高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 第1講 兩個基本計數(shù)原理配套限時規(guī)范訓(xùn)練 理 蘇教版

第十一章計數(shù)原理第1講兩個基本計數(shù)原理分層訓(xùn)練A級基礎(chǔ)達標(biāo)演練(時間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每小題5分，共30分)1．由0,1,2,3這四個數(shù)字組成的四位數(shù)中，有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有________個．解析可用排除法，由0,1,2,3可組成的四位數(shù)共有3×43＝192(個)，其中無重復(fù)的數(shù)字的四位數(shù)共有3Aeq\o\al(3,3)＝18(個)，故共有192－18＝174(個)．答案1742．(·長春市三測)現(xiàn)有4名教師參加說題比賽，共有4道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機選出一道題進行說題，其中恰有一道題沒有被這4位選中的情況有________種．解析首先選擇題目，從4道題目中選出3道，選法為Ceq\o\al(3,4)，而后再將獲得同一道題目的2位老師選出，選法為Ceq\o\al(2,4)，最后將3道題目，分配給3組老師，分配方式為Aeq\o\al(3,3)，即滿足題意的情況共有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝144(種)．答案1443．某次活動中，有30人排成6行5列，現(xiàn)要從中選出3人進行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為________(用數(shù)字作答)．解析其中最先選出的一個人有30種方法，此時不能再從這個人所在的行和列共9個位置上選人，還剩一個5行4列的隊形，故選第二個人有20種方法，此時不能再從該人所在的行和列上選人，還剩一個4行3列的隊形，此時第三個人的選法有12種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，總的選法種數(shù)是30×20×12＝7200.答案72004.(·汕頭模擬)如圖，用6種不同的顏色把圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有________種．解析從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D、A同色1種，D、A不同色3種，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(種)．答案4805．高三年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參加社會實踐，三個班去何工廠可自由選擇，但甲工廠必須有班級要去，則不同的分配方案有________種．解析三個班去四個工廠不同的分配方案共43種，甲工廠沒有班級去的分配方案共33種，因此滿足條件的不同的分配方案共有43－33＝37(種)．答案376．(·全國卷改編)4位同學(xué)從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法有________種．解析分三步，第一步先從4位同學(xué)中選2人選修課程甲．共有Ceq\o\al(2,4)種不同選法，第二步給第3位同學(xué)選課程，有2種選法．第三步給第4位同學(xué)選課程，也有2種不同選法．故共有Ceq\o\al(2,4)×2×2＝24(種)．答案24二、解答題(每小題15分，共30分)7.如圖，用四種不同顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色．則不同的涂色方法共有多少種？解先涂A、D、E三個點，共有4×3×2＝24(種)涂法，然后再按B、C、F的順序涂色，分為兩類：一類是B與E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8(種)涂法；另一類是B與E或D不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3(種)涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264(種)．8．現(xiàn)安排一份5天的工作值班表，每天有一個人值班，共有5個人，每個人都可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不準由同一個人值班，問此值班表共有多少種不同的排法？解可將星期一、二、三、四、五分給5個人，相鄰的數(shù)字不分給同一個人．星期一：可分給5人中的任何一人有5種分法；星期二：可分給剩余4人中的任何一人有4種分法；星期三：可分給除去分到星期二的剩余4人中的任何一人有4種分法；同理星期四和星期五都有4種不同的分法，由分步計數(shù)原理共有5×4×4×4×4＝1280(種)不同的排法．分層訓(xùn)練B級創(chuàng)新能力提升1．(·無錫調(diào)研)將數(shù)字1,2,3,4,5,6按第一行1個數(shù)，第二行2個數(shù)，第三行3個數(shù)的形式隨機排列，設(shè)Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的數(shù)，則滿足N1＜N2＜N3的所有排列的個數(shù)是________(用數(shù)字作答)．解析由已知數(shù)字6一定在第三行，第三行的排法種數(shù)為Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,5)＝60；剩余的三個數(shù)字中最大的一定排在第二行，第二行的排法種數(shù)為Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)＝4，由分步計數(shù)原理滿足條件的排列個數(shù)是240.答案2402.(·鹽城檢測)數(shù)字1,2,3，…，9這九個數(shù)字填寫在如圖的9個空格中，要求每一行從左到右依次增大，每列從上到下也依次增大，當(dāng)數(shù)字4固定在中心位置時，則所有填寫空格的方法共有________種．解析必有1、4、9在主對角線上，2、3只有兩種不同的填法，對于它們的每一種填法，5只有兩種填法．對于5的每一種填法，6、7、8只有3種不同的填法，由分步計數(shù)原理知共有22×3＝12(種)填法．答案123．(·上海)從集合U＝{a，b，c，d}的子集中選出4個不同的子集，需同時滿足以下兩個條件：(1)?，U都要選出；(2)對選出的任意兩個子集A和B，必有A?B或A?B.那么，共有________種不同的選法．解析將選法分成兩類．第一類：其中一個是單元素集合，則另一集合為含兩個或三個元素且含有單元素集合中的元素，有Ceq\o\al(1,4)×6＝24(種)．第二類：其中一個是兩個元素集合，則另一個是含有這兩個元素的三元素集合，有Ceq\o\al(2,4)×2＝12(種)．綜上共有24＋12＝36(種)．答案364．(·揭陽一中檢測)用n個不同的實數(shù)a1，a2，…，an可得到n！個不同的排列，每個排列為一行寫成一個n！行的數(shù)陣，對第i行ai1，ai2，…，ain，記bi＝－ai1＋2ai2－3ai3＋…＋(－1)nn·ain，i＝1,2,3，…，n！.例如：用1,2,3可得數(shù)陣如圖，由于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是12，所以，b1＋b2＋…＋b6＝－12＋2×12－3×12＝－24.那么，在用1,2,3,4,5形成的數(shù)陣中，b1＋b2＋…＋b120等于________．解析在用1,2,3,4,5形成的數(shù)陣中，每一列的和為(1＋2＋3＋4＋5)×Aeq\o\al(4,4)＝360，∴b1＋b2＋…＋b120＝－360＋2×360－3×360＋4×360－5×360＝－3×360＝－1080.答案－10805．(·揚州調(diào)研一)用n種不同的顏色為兩塊廣告牌著色(如圖甲、乙所示)．要求在①，②，③，④四個區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用同一種顏色．(1)若n＝6，為甲著色時共有多少種不同的方法？(2)若為乙著色時共有120種不同的方法，求n的值．解完成著色這件事，共分為四個步驟，可以依次考慮為①，②，③，④這四個區(qū)域著色時各自的方法數(shù)，再利用分步乘法計數(shù)原理確定出總的著色種數(shù)，因此有：(1)為①區(qū)域著色時有6種方法，為②區(qū)域著色時有5種方法，為③區(qū)域著色時有4種方法，為④區(qū)域著色時有4種方法，∴依據(jù)分步(乘法)計數(shù)原理，不同的著色方法為6×5×4×4＝480(種)．(2)由題意知，為①區(qū)域著色時有n種方法，為②區(qū)域著色時有(n－1)種方法，為③區(qū)域著色時有(n－2)種方法，為④區(qū)域著色時有(n－3)種方法，由分步計數(shù)原理得不同的著色數(shù)為n(n－1)(n－2)(n－3)．∴n(n－1)(n－2)(n－3)＝120.而120＝5×4×3×2，∴n＝5.6．(·鎮(zhèn)江調(diào)研二)已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是從A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原象，這樣不同的f有多少個？(2)若B中的元素0無原象，這樣的f有多少個？(3)若f滿足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，這樣的f又有多少個？解(1)顯然對應(yīng)是一一對應(yīng)的，即a1找象有4種方法，a2找象有3種方法，a3找象有2種方法，a4找象有1種方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(個)．(2)0無原象，1,2,3有無原象不限，所以為A中每一元素找象時都有3種方法．所以不同的f共有34＝81(個)．(3)分為如下四類：第一類，A中每一元素都與1對應(yīng)，有1種方法；第二類，A中有兩個元素對應(yīng)1，一個元素對應(yīng)2，另一個元素與0對應(yīng)，有Ceq\o\al(2,