人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)教學(xué)設(shè)計(jì)1：7 3 2　離散型隨機(jī)變量的方差教案

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE17.3.2離散型隨機(jī)變量的方差教學(xué)目標(biāo)1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念.2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.3.掌握方差的性質(zhì)以及兩點(diǎn)分布的方差的求法，會(huì)利用公式求它們的方差．教學(xué)知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示．Xx1x2…xnPp1p2…pn我們用X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來(lái)度量隨機(jī)變量X取值與其均值E(X)的偏離程度．我們稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差(variance)，有時(shí)也記為Var(X)，并稱eq\r(D(X))為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation)，記為σ(X)．知識(shí)點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)1．設(shè)a，b為常數(shù)，則D(aX＋b)＝a2D(X)．2．D(c)＝0(其中c為常數(shù))．教學(xué)小測(cè)1.已知X的分布列為X1234Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)則D(X)的值為()A.eq\f(29,12) B.eq\f(121,144)C.eq\f(179,144)D.eq\f(17,12)〖答案〗C2.已知X的分布列為X012Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)設(shè)Y＝2X＋3，則D(Y)＝________．〖答案〗eq\f(8,3)3.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，則p＝________．〖答案〗eq\f(1,3)〖解析〗由E(X)＝30，D(X)＝20，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(np＝30，,np（1－p）＝20，))解得p＝eq\f(1,3).教學(xué)案例案例一求離散型隨機(jī)變量的方差例1.袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1，2，3，4)．現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標(biāo)號(hào)．求ξ的分布列、均值和方差.解：由題意得，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，P(ξ＝0)＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝1)＝eq\f(1,20)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,20)＝eq\f(1,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(3,20)，P(ξ＝4)＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).故ξ的分布列為ξ01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)所以E(ξ)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5，D(ξ)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75.反思感悟(1)求離散型隨機(jī)變量方差的步驟①理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X的所有取值；②求出X取每個(gè)值的概率；③寫出X的分布列；④計(jì)算E(X)；⑤計(jì)算D(X)．(2)線性關(guān)系的方差計(jì)算：若η＝aξ＋b，則D(η)＝a2D(ξ)．跟蹤訓(xùn)練1.某校從6名學(xué)生會(huì)干部(其中男生4人，女生2人)中選3人參加市中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)志愿者．(1)所選3人中女生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及方差．(2)在男生甲被選中的情況下，求女生乙也被選中的概率．解：(1)ξ的可能取值為0,1,2.由題意P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，所以ξ的分布列為ξ012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)E(ξ)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,5)＝1，D(ξ)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)2×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).(2)設(shè)在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的事件為C，“男生甲被選中”包含的基本事件數(shù)為Ceq\o\al(2,5)＝10，“男生甲被選中，女生乙也被選中”包含的基本事件數(shù)為Ceq\o\al(1,4)＝4，所以P(C)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).故在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為eq\f(2,5).案例二方差的應(yīng)用例2.有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度如下：ξA110120125130135P0.10.20.40.10.2ξB100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，ξA，ξB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強(qiáng)度，在使用時(shí)要求抗拉強(qiáng)度不低于120，試比較甲、乙兩種建筑材料的穩(wěn)定程度(哪一個(gè)的穩(wěn)定性較好)．解：E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50.D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可見E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)<D(ξB)，故兩種材料的抗拉強(qiáng)度的均值相等，其穩(wěn)定程度材料乙明顯不如材料甲，即甲的穩(wěn)定性較好．反思感悟均值、方差在決策中的作用(1)均值：均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．(2)方差：方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的離散波動(dòng)程度，方差越大越不穩(wěn)定．(3)在決策中常結(jié)合實(shí)際情形依據(jù)均值、方差做出決斷．跟蹤訓(xùn)練2.甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等，而兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)生違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為ξ0123P0.30.30.20.2η012P0.10.50.4試評(píng)定兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平．解：甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)ξ的均值和方差分別為E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)η的均值和方差分別為E(η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D(η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因?yàn)镋(ξ)＝E(η)，D(ξ)>D(η)，所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同，但甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散和波動(dòng)，乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定．案例三分布列、均值、方差的綜合應(yīng)用例3.一出租車司機(jī)從某飯店到火車站途中有六個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是eq\f(1,3).(1)求這位司機(jī)遇到紅燈數(shù)ξ的期望與方差；(2)若遇上紅燈，則需等待30秒，求司機(jī)總共等待時(shí)間η的期望與方差．解：(1)易知司機(jī)遇上紅燈次數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，∴E(ξ)＝6×eq\f(1,3)＝2，D(ξ)＝6×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(4,3).(2)由已知η＝30ξ，∴E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1200.反思感悟處理綜合問(wèn)題的方法第一步：確定事件間的關(guān)系，是互斥、對(duì)立還是相互獨(dú)立．第二步：要依據(jù)事件間的關(guān)系，選擇相應(yīng)的概率公式，計(jì)算相應(yīng)事件的概率．第三步：列分布列，并計(jì)算均值及方差．跟蹤訓(xùn)練3.袋中有大小相同的三個(gè)球，編號(hào)分別為1,2,3，從袋中每次取出一個(gè)球，若取到球的編號(hào)為奇數(shù)，則取球停止，用X表示所有被取到的球的編號(hào)之和，則X的方差為________．〖答案〗eq\f(17,9)〖解析〗X的分布列為X135Peq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(1,6)則E(X)＝1×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,2)＋5×eq\f(1,6)＝eq\f(8,3)，D(X)＝eq\f(17,9).課堂小結(jié)1．知識(shí)清單：(1)離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差．(2)離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)．2．方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸．3．常見誤區(qū)：方差公式套用錯(cuò)誤．當(dāng)堂檢測(cè)1．已知某離散型隨機(jī)變量X服從的分布列如下表所示，則隨機(jī)變量X的方差D(X)等于()X01Pm2mA.eq\f(1,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)〖解析〗由題意可知：m＋2m＝1，所以m＝eq\f(1,3)，所以E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，所以D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9).〖答案〗B2．已知A1，A2為兩所高校舉行的自主招生考試，某同學(xué)參加每所高校的考試獲得通過(guò)的概率均為eq\f(1,2)，該同學(xué)一旦通過(guò)某所高校的考試，就不再參加其他高校的考試，設(shè)該同學(xué)通過(guò)高校的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，則D(X)＝()A.eq\f(3,16) B.eq\f(5,4)C.eq\f(25,64) D.eq\f(19,64)〖解析〗因?yàn)閄的取值為0，1，P(X＝0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，所以E(X)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)，D(X)＝eq\f(9,16)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,16)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,16).〖答案〗A3．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，則a＝________，b＝________.X－1012Pabceq\f(1,12)〖答案〗eq\f(5,12)eq\f(1,4)〖解析〗由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝\f(11,12)，,－a＋c＋\f(1,6)＝0，,a＋c＋\f(1,3)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(5,12)，,b＝\f(1,4)，,c＝\f(1,4).))4．有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2，2張標(biāo)有數(shù)字5，從中隨機(jī)地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片數(shù)字之和為ξ，求E(ξ)和D(ξ)．解：ξ的可能取值為6，9，12.ξ＝6表示取出的3張卡片上都標(biāo)有2，則P(ξ＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).ξ＝9表示取出的3張卡片上兩張標(biāo)有2，一張標(biāo)有5，則P(ξ＝9)＝eq\f(Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).ξ＝12表示取出的3張卡片上兩張標(biāo)有5，一張標(biāo)有2，則P(ξ＝12)＝eq\f(Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).所以ξ的分布列為ξ6912Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)所以E(ξ)＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝7.8，D(ξ)＝(6－7.8)2×eq\f(7,15)＋(9－7.8)2×eq\f(7,15)＋(12－7.8)2×eq\f(1,15)＝3.36.5．編號(hào)為1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)為1,2,3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的人數(shù)是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．解：ξ的所有可能取值為0,1,3，ξ＝0表示三位同學(xué)全坐錯(cuò)了，有2種情況，即編號(hào)為1,2,3的座位上分別坐了編號(hào)為2,3,1或3,1,2的學(xué)生，則P(ξ＝0)＝eq\f(2,A\o\