新教材2021-2022學(xué)年人教A版選擇性必修第二冊(cè) - 第一課時(shí) 數(shù)列的概念 學(xué)案

4.1數(shù)列的概念

新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)

通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、

數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算

圖象、通項(xiàng)公式)，了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)

第一課時(shí)數(shù)列的概念

廖酸鉤知識(shí)桅理

心情境導(dǎo)入

傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題.他們研究數(shù)的概念時(shí)，喜

歡把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，小石子能夠擺成不同的幾何圖形，于是就產(chǎn)生一系列的形

數(shù).畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，當(dāng)小石子的數(shù)目是1,3,6,10等數(shù)時(shí)，小石子都能擺成正三角形，

如圖①.他把這些數(shù)叫作三角形數(shù)：當(dāng)小石子的數(shù)目是1,4,9,16等數(shù)時(shí)，小石子都能擺

成正方形，如圖②.他把這些數(shù)叫作正方形數(shù)，等等.每一系列有形狀的數(shù)按順序排列出來

就稱為數(shù)列.

1361014916

圖①圖②

1問題］⑴數(shù)列的有關(guān)概念是什么？

(2)數(shù)列可分為哪幾類？

場新知初探

知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列的概念

1.定義：按照確定的順底排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.

2.項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列

的第1項(xiàng)，常用符號(hào)團(tuán)表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，用及表示……第〃

個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第〃項(xiàng)，用友表示.其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng).

3.記法：數(shù)列的一般形式是4|,“2，…，斯，…,簡記為{&"}.

。想一想

1.如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同但排列次序不同，那么它們是相同的數(shù)列嗎？

提示：從數(shù)列的定義可以看出，組成數(shù)列的數(shù)是按一定順序排列的，如果組成數(shù)列的數(shù)

相同但排列次序不同，那么它們就不是同一數(shù)列.

2.同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)嗎？

提示：在數(shù)列的定義中，并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可

以重復(fù)出現(xiàn).例如：I,—1,1,—1,1,…；2,2,2,

知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列的分類

1.按項(xiàng)的個(gè)數(shù)分類

類別含義

有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列

無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列

2.按項(xiàng)的變化趨勢分類

類別含義

遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列

。做一做

給定以下數(shù)列:

11

_-

2H

33-23一63

2)1

2

,-

0.().

■.2

4)0,20.4(),80;

IXT

(5/-12,2,

(6)6,6,6,….

其中，有窮數(shù)列為;無窮數(shù)列為;遞增數(shù)列為;遞減數(shù)列為

;常數(shù)列為.(填序號(hào))

答案：⑵(4)⑴⑶(5)(6)⑷⑴⑵(6)

知識(shí)點(diǎn)三數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果數(shù)列｛%｝的第〃項(xiàng)““與它的序號(hào)”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這

個(gè)式王叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

?點(diǎn)、一點(diǎn)?

1.并非所有的數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式.例如，n的不同近似值，依據(jù)精確的程度

可形成一個(gè)數(shù)列3,3.1,3.14,3.141,它沒有通項(xiàng)公式.

2.如果一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式，則它的通項(xiàng)公式可以有多種形式.

。想一想

1.數(shù)列｛斯｝與函數(shù)有什么關(guān)系？

提示：由于數(shù)列｛斯｝中的每一項(xiàng)為與它的序號(hào)〃有下列對(duì)應(yīng)關(guān)系：

序號(hào)1234…”…

IlliI

項(xiàng)a\az。3?4"?an???

根據(jù)函數(shù)定義，上述對(duì)應(yīng)關(guān)系可以看作自變量為序號(hào)明函數(shù)值為即，記數(shù)

列｛〃“｝即為伏〃)｝.

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，定義域?yàn)檎麛?shù)集N*或它的有限子集｛1,2,…，，?｝.

2.數(shù)列的表示方法有哪些？

提示：數(shù)列的表示方法有解析法、列表法和圖象法.

3.用圖象法表示數(shù)列時(shí)，其圖象有什么特點(diǎn)？

提示：其圖象是一些離散的點(diǎn).

6做一做

1.(2021?為?澤高二質(zhì)檢)已知數(shù)列1,小,巾，巾，…,.2wT,若3于是這個(gè)數(shù)列

的第〃項(xiàng)，貝“"=()

A.20B.21

C.22D.23

解析：選D由題意得，、2〃-1=3小,即2〃一1=45,解得〃=23,故選D.

2.(多選)下列四個(gè)命題中，正確的有()

A.數(shù)列《寧：的第％項(xiàng)為1+2

B.已知數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為斯=層一〃一50,〃GN*,則一8是該數(shù)列的第7項(xiàng)

C.數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為％=2"—1

D.數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為小=弟，nGN*,則數(shù)列｛〃“｝是遞增數(shù)列

解析：選ABD對(duì)于A,數(shù)列［V］的第G項(xiàng)為1+，A正確；

對(duì)于B,令“2—”-50=—8,得"=7或"=-6(舍去)，B正確；

對(duì)于C,將3,5,9,17,33,…的各項(xiàng)減去1,得2,4,8,16,32,■■■,設(shè)該數(shù)列

為｛仇｝,則其通項(xiàng)公式為"=2"(〃GN"),因此數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為

斯=6"+l=2"+l(”wN*),C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,如=宙=1—不'則知+|―如=布―六=(〃+］)(〃+2)>0，因此

數(shù)列｛如｝是遞增數(shù)列，D正確.故選A、B、D.

…忽說殷物典囪精析…

「工7=1數(shù)列的概念及分類

［例1］(1)(多選)下列關(guān)于數(shù)列的敘述正確的是()

A.a?=n2,數(shù)列｛〃”｝是遞增數(shù)列

B.數(shù)列1,2,3與3,2,1是同一個(gè)數(shù)列

C.a”=sin號(hào),數(shù)列｛斯｝只有三項(xiàng)1,0,—1

D.a?=sin-,數(shù)列｛斯｝的前三項(xiàng)依次為1,0,—1

(2)下列說法正確的序號(hào)是.

①｛0,1,2,3,4,5｝是有窮數(shù)列;

②按從小到大排列的所有自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)無窮遞增數(shù)列；

③一2,-1,1,3,~2,4,3是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為5的數(shù)列；

④數(shù)列1,2,3,4,…，2〃是無窮數(shù)列.

［解析］(1)由于出=層滿足。”=層〈(〃+1)2=%+1,故數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列，選項(xiàng)A正

YIn

確；數(shù)列1,2,3與3,2,1的順序不同，不是同一個(gè)數(shù)列，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由于a“=sin—,

數(shù)列｛〃“｝的前四項(xiàng)依次為1,0,—1,0,且a”+4=sin("藍(lán)'”=sin(^"+2n)=sin

=a,?所以數(shù)列｛““｝是周期數(shù)列，且是無窮數(shù)列，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.

(2)｛0,1,2,3,4,5｝是集合，而不是數(shù)列，故①錯(cuò)誤；按從小到大排列的所有自然

數(shù)構(gòu)成一個(gè)無窮遞增數(shù)列，故②正確；同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)，故此數(shù)列共有7

項(xiàng)，故③錯(cuò)誤；數(shù)列1,2,3,4,…，In,共有2〃項(xiàng)，是有窮數(shù)列，故④錯(cuò)誤.

［答案］(1)AD⑵②

1.數(shù)列｛斯｝表示數(shù)列他，03,…,a”,…，不是表示一個(gè)集合，與集合表示有本質(zhì)

的區(qū)別.

2.在判斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時(shí)要緊扣概念及數(shù)列的特點(diǎn).對(duì)于是遞增、遞減、

擺動(dòng)還是常數(shù)列要從項(xiàng)的變化趨勢來分析；而有窮與無窮數(shù)列則看項(xiàng)的個(gè)數(shù)是有限還是無

限.

［跟蹤訓(xùn)練］

下列數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞減數(shù)列的是()

111

A?1，？菸不，…

n2冗3n4兀

B.sinYj,sin-yy,sin-yy,sin-yy,…

八111

C.-1,-2>_Q，-不…

D.L2,3,4,…，30

解析：選A數(shù)列1,I，^2,…是無窮數(shù)列，是遞減數(shù)列：數(shù)列sin已sin皆，

sinsin"■，…是無窮數(shù)列，但它既不是遞增數(shù)列，又不是遞減數(shù)列；數(shù)列一1,一；，

-1,一:，…是無窮數(shù)列，而是遞增數(shù)列；數(shù)列1,2,3,4,…，30是遞增數(shù)列，但不是

無窮數(shù)列.

由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式

［例2J(鏈接教科書第5頁例2)(1)第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡稱ICME-7)的會(huì)徽的主

體圖案是由如圖所示的一連串直角三角形演化而成的，其中OAI=4IA2=AM3=~=A748=

1,如果把圖中的直角三角形繼續(xù)作下去，記04,04,…，0Anf…的長度構(gòu)成數(shù)歹

則。9=，此數(shù)列的通項(xiàng)公式為時(shí)=

（2）寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:

6,8,10

3731

-

-^15--_

甲0⑹32

1524

③-1,~9~99

④5,55,555,5555,???.

(1)［解析］因?yàn)镺Ai=lfOA2=yf29043=小，…，OAfl=y［nf???,所以卬=1,〃2=讓,

===

々3=4^，…，ci9y［939ciny［ti.

［答案］3血

⑵［解］①易知該數(shù)列是首項(xiàng)從4開始的偶數(shù)，所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為m=2〃

+2,nGN\

②易知該數(shù)列中每一項(xiàng)分子比分母少1,且分母可寫成2122,2\24,25,…，故所

2"-1

求數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫為％=一=，nGN；

③通過觀察可知，該數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故選擇（一1）".又第1項(xiàng)可改寫

3

成分?jǐn)?shù)一1,所以每一項(xiàng)的分母依次為3,5,7,9,…，可寫成2〃+1的形式.分子為3=1X3,

8=2X4,15=3X5,24=4X6,.......,可寫成〃（〃+2）的形式.所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式

,n（”+2）,

為廝=（一1尸?-2〃+1，neN

④這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以變?yōu)闈?,椒99,椒999,靚9999,

05555

即-X（100-l）,^x（l000-1）,gX（lOOOO-l）,

即沁10-1）,1x（102-l）,1x（103-l）,1x（104-l）,

所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為t7?=jx（10"-l）,/1GN*.

1.用觀察法求數(shù)列通項(xiàng)公式的策略

2.對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對(duì)值，再用(一及處理符號(hào)問題.

3.對(duì)于周期出現(xiàn)的數(shù)列，可考慮拆成幾個(gè)簡單數(shù)列和的形式，或者利用周期函數(shù)，如

三角函數(shù)等.

［跟蹤訓(xùn)練］

(多選)能作為數(shù)列2,0,2,0,…的通項(xiàng)公式的是()

A.a?=l+(-l)n+1B.a?=1-(-1)n

C.a?=1+(—1)"D.a,,=1—cosnJi

解析：選ABD驗(yàn)證易知，只有C選項(xiàng)中的式子不能作為已知數(shù)列的通項(xiàng)公式.

數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用

［例3］(鏈接教科書第4頁例1,5頁例3)已知數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式為%=3層一28”.

(1)寫出此數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)；

(2)—49是否是該數(shù)列的一項(xiàng)？如果是，應(yīng)是哪一項(xiàng)？68呢？

［解］(l)“4=3X42-28X4=-64,

46=3X62-28X6=-60.

7

(2)令3〃2—28〃=-49,解得?=7或〃=］(舍去)，

所以一49是該數(shù)列的第7項(xiàng)；

令3〃2—28〃=68,解得n=—2或"=芋，

均不合題意，所以68不是該數(shù)列的項(xiàng).

［母題探究］

1.(變?cè)O(shè)問)若本例中的條件不變.

(1)試寫出該數(shù)列的第3項(xiàng)和第8項(xiàng)；

(2)20是不是該數(shù)列的一項(xiàng)？若是，是哪一項(xiàng)？

解：⑴因?yàn)椤ā?3層一28〃，

所以〃3=3X32—28X3=-57,痣=3義82-28X8=-32.

2

(2)令3〃2—28〃=20,解得幾=10或〃=一1(舍去)，

所以20是該數(shù)列的第10項(xiàng).

2.(變條件、變?cè)O(shè)問)若將本例中“斯=3/一28/'變?yōu)椤八?"+2〃-5”試判斷數(shù)列｛斯｝

是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？

角翠：Viz,j=??2+2/?——5,

/.?！?[-??=(〃+1/+2(〃+1)-5-(/+2〃-5)

="+2〃+1+2〃+2-5—〃2—2〃+5=2〃+3.

VnEN,2n+3>0,,?！?\>an.

,數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列.

1.由通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的指定項(xiàng)，主要是對(duì)〃進(jìn)行取值，然后代入通項(xiàng)公式，相當(dāng)于

函數(shù)中，已知函數(shù)解析式和自變量的值求函數(shù)值.

2.判斷一個(gè)數(shù)是否為該數(shù)列中的項(xiàng)，其方法是可由通項(xiàng)公式等于這個(gè)數(shù)求方程的根，

根據(jù)方程有無正整數(shù)根便可確定這個(gè)數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng).

3.在用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決數(shù)列問題時(shí)，要注意它的定義域是N*(或它的有限子集｛1,

2,3,…，〃｝)這一約束條件.

[跟蹤訓(xùn)練]

(3n+l,"為奇數(shù)，

1.數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為=1c小田%則42a3=()

[2n~2,〃為偶數(shù)，

A.70B.28

C.20D.8

解析：選C由通項(xiàng)公式得G=2X2—2=2,43=3X3+1=10,所以〃2田=20.

2.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式an=19-2n,則使a?>0成立的最大正整數(shù)n的值為

解析：由斯=19—2〃>0,得,.,〃WN*,...nWg.

答案：9

???%?＞函絲箭思維升隼

數(shù)列單調(diào)性的判斷及應(yīng)用

函數(shù)的單調(diào)性在研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)有著重要的作用，而數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，也具有

單調(diào)性，且單調(diào)性是數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì).數(shù)列的單調(diào)性在研究數(shù)列的最值、數(shù)列不等式以

及在判定某一項(xiàng)是否為己知數(shù)列中的項(xiàng)等問題時(shí)，都有重要的作用.

1.數(shù)列單調(diào)性的判斷

(D利用數(shù)列單調(diào)性的定義判斷：

①作差法：即作差知+1一%后與0進(jìn)行比較.

若6??+1-4??＞0對(duì)于任意N*)恒成立，則數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列；

若為+1一為＜0對(duì)于任意N*)恒成立，則數(shù)列｛斯｝是遞減數(shù)列；

若知+1一為=0對(duì)于任意"(〃eN*)恒成立，則數(shù)列｛斯｝是常數(shù)列.

②作商法：即作商等(務(wù)必要確定斯的符號(hào))后與1進(jìn)行比較.

對(duì)于任意以〃WN*),若m＞0,則當(dāng)誓＞1時(shí)，數(shù)列｛〃“｝是遞增數(shù)列；

當(dāng)?shù)龋?時(shí)，數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列.

a”

對(duì)于任意"(〃GN*),若知＜0,則當(dāng)誓＜1時(shí)，數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列；

當(dāng)誓＞1時(shí)，數(shù)列僅“｝是遞減數(shù)列.

對(duì)于任意"(〃wN*),若a“W0,則當(dāng)?shù)?1時(shí)，數(shù)列｛”“｝是常數(shù)列.

(2)利用數(shù)列的圖象直觀地判斷.

2.利用數(shù)列的單調(diào)性確定變量的取值范圍

常利用以下的等價(jià)關(guān)系：

數(shù)列｛斯｝遞增臺(tái)%+1＞an(neN)；

數(shù)列｛斯｝遞減Oa“+i＜an(neN).

進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式成立(恒成立)，通過分離變量轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的最值來解決；或由數(shù)列

的函數(shù)特征，通過構(gòu)建變量的不等關(guān)系，解不等式(組)來確定變量的取值范圍.

［遷移應(yīng)用］

1.已知數(shù)列｛斯｝滿足斯=〃2+沏(〃eN*),且對(duì)任意〃wN*,即＜%+|恒成立，則實(shí)數(shù)4

滿足（）

A.A>0B.4<0

C.4一2D.A>-3

解析：選D因?yàn)閷?duì)任意”“<斯+|恒成立，所以數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列.由斯=

/+筋知（〃，a”）（"GN*）是函數(shù)式》）=/+及圖象上的點(diǎn)，而函數(shù)y（x）的圖象的對(duì)稱軸為直線

X=-4,事實(shí)上，數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，滿足<…<如<…即可.欲滿足上述不等關(guān)

入3

系，需一7<加解得2>—3.

2.設(shè)斯=一3層+15〃-18,則數(shù)列｛斯｝中的最大項(xiàng)的值是（）

16-13

A-TBT

C.4D.0

解析：選D斯=—31一I）+；,由二次函數(shù)的性質(zhì)，得當(dāng)〃=2或3時(shí)，最大，為

0.

1隨堂檢測

1.（多選）下列命題為真命題的有（）

A.已知數(shù)列｛〃“｝,a〃=（那么會(huì)是這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)，且最大項(xiàng)

n（n+2）120

為第一項(xiàng)

B.數(shù)列/，巾,2巾,yjn,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是斯="3"—1

C.已知數(shù)列｛斯｝,%=kn—5,且。8=11，則。17=29

D.已知如+i=〃+3,則數(shù)列｛?。沁f增數(shù)列

解析：選ABCD對(duì)于A,令m=—（[八=7^今〃=D,易知最大項(xiàng)為第一項(xiàng)，A

n｛n+2）12。

正確；對(duì)于B,數(shù)列小,木,2^2,VTT,…，變?yōu)橐玻?，啊①，?即43X1—1,

73X2—1,]3義3-1,^3X4-1,…，即即=[3—-1,B正確；對(duì)于C,an=kn-5,且

〃8=11,:.k=2,即〃“=2〃-5,.*.6/17=29,C正確；對(duì)于D