新高考一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練考點(diǎn)24 排列與組合原卷版

考點(diǎn)24排列與組合（核心考點(diǎn)講與練）1.排列與組合的概念名稱(chēng)定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)不同元素按照一定的順序排成一列組合合成一組2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù).(2)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！).(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m?。╪－m）！)(n，m∈N+，且m≤n).特別地Ceq\o\al(0,n)＝1性質(zhì)(1)0！＝1；Aeq\o\al(n,n)＝n！.(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)1.求解排列應(yīng)用問(wèn)題的6種主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中定序問(wèn)題除法處理對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法2.兩類(lèi)有附加條件的組合問(wèn)題的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：若“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；若“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx?。?2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類(lèi)題目必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法或間接法都可以求解，通常用直接法分類(lèi)復(fù)雜時(shí)，用間接法求解．3.排列、組合問(wèn)題的求解方法與技巧(1)特殊元素優(yōu)先安排；(2)合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步；(3)排列、組合混合問(wèn)題先選后排；(4)相鄰問(wèn)題捆綁處理；(5)不相鄰問(wèn)題插空處理；(6)定序問(wèn)題倍除法處理；(7)分排問(wèn)題直排處理；(8)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題先整體后局部；(9)構(gòu)造模型；(10)正難則反，等價(jià)條件.4.解答排列、組合綜合問(wèn)題的一般思路和注意點(diǎn)(1)一般思路：“先選后排”，也就是把符合題意的元素都選出來(lái)，再對(duì)元素或位置進(jìn)行排列．(2)注意點(diǎn)：①元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法，元素?zé)o序是組合問(wèn)題，元素有序是排列問(wèn)題．②對(duì)于有多個(gè)限制條件的復(fù)雜問(wèn)題，應(yīng)認(rèn)真分析每個(gè)限制條件，然后再考慮是分類(lèi)還是分步，這是處理排列、組合的綜合問(wèn)題的一般方法．排列1.（2021哈六中高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理））用1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字組成六位數(shù)，其中奇數(shù)不相鄰且1、2必須相鄰，則滿(mǎn)足要求的六位數(shù)共有（）個(gè)A.72 B.96 C.120 D.2882.（2021湖南省永州市高三上第一次適應(yīng)性考試）永州是一座有著兩千多年悠久歷史的湘南古邑，民俗文化資源豐富.在一次民俗文化表演中，某部門(mén)安排了《東安武術(shù)》、《零陵漁鼓》、《瑤族傘舞》、《祁陽(yáng)小調(diào)》、《道州調(diào)子戲》、《女書(shū)表演》六個(gè)節(jié)目，其中《祁陽(yáng)小調(diào)》與《道州調(diào)子戲》不相鄰，則不同的安排種數(shù)為（）A．480B．240C．384D．14403.（2021新疆喀什地區(qū)莎車(chē)縣一中高三上期中）7個(gè)人排成一排準(zhǔn)備照一張合影，其中甲、乙要求相鄰，丙、丁要求分開(kāi)，則不同的排法有（）A.480種 B.720種 C.960種 D.1200種組合1..某中學(xué)為了發(fā)揮青年志原者模范帶頭作用，利用周末開(kāi)展青年志愿者進(jìn)社區(qū)服務(wù)活動(dòng).該校決定成立一個(gè)含有甲?乙兩人的4人青年志愿者社區(qū)服務(wù)團(tuán)隊(duì)，現(xiàn)把4人分配到和兩個(gè)社區(qū)去服務(wù)，若每個(gè)社區(qū)都有志愿者，每個(gè)志愿者只服務(wù)一個(gè)社區(qū)，且甲?乙兩人不同在一個(gè)社區(qū)的分配方案種類(lèi)有（）A．4B．8C．10D．122.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.60種 B.120種 C.240種 D.480種排列組合的綜合運(yùn)用1.從將標(biāo)號(hào)為1，2，3，…，9的9個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為1，2，3，…，9的9個(gè)盒子里，每個(gè)盒內(nèi)只放一個(gè)球，恰好3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其所在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法種數(shù)為（）A.84 B.168 C.240 D.2522.（2021寧夏銀川一中高三上學(xué)期第二次月考）有12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（）A．168B．260C．840D．5603.（2021江蘇省南通市海安高三第一次月考）為了更好的了解黨的歷史，宣傳黨的知識(shí)，傳頌英雄事跡．某校團(tuán)支部6人組建了黨史宣講，歌曲演唱，詩(shī)歌創(chuàng)作三個(gè)小組，每組2人，其中甲不會(huì)唱歌，乙不能勝任詩(shī)歌創(chuàng)作，則組建方法有（）種A.60 B.72 C.30 D.421.（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.60種 B.120種 C.240種 D.480種2.（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅱ））4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類(lèi)宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有__________種.一、單選題1.（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若從甲?乙2名女志愿者和6名男志愿者中選出正組長(zhǎng)1人，副組長(zhǎng)1人，普通組員2人到北京冬奧會(huì)花樣滑冰場(chǎng)館服務(wù)，且要求女志愿者甲不能做正組長(zhǎng)，女志愿者乙不能做普通組員，則不同的選法種數(shù)為（）A.210 B.390 C.555 D.6602．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）為推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育各項(xiàng)工作扎實(shí)開(kāi)展，營(yíng)造“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開(kāi)新局”的濃厚氛圍，某校黨委計(jì)劃將中心組學(xué)習(xí)、專(zhuān)題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日、主題班會(huì)、主題團(tuán)日這五種活動(dòng)分5個(gè)階段安排，以推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行．若中心組學(xué)習(xí)必須安排在前2個(gè)階段，且主題班會(huì)、主題團(tuán)日安排的階段相鄰，則不同的安排方案共有（

）A．12種 B．28種 C．20種 D．16種3.（2022·廣東汕頭·一模）有4名大學(xué)生志愿者參加2022年北京冬奧會(huì)志愿服務(wù).冬奧會(huì)志愿者指揮部隨機(jī)派這4名志愿者參加冰壺、短道速滑、花樣滑冰3個(gè)項(xiàng)目比賽的志愿服務(wù)，則每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的概率（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<04.（2022·山東濰坊·一模）第十三屆冬殘奧會(huì)于2022年3月4日至3月13日在北京舉行.現(xiàn)從4名男生，2名女生中選3人分別擔(dān)任冬季兩項(xiàng)、單板滑雪、輪椅冰壺志愿者，且至多有1名女生被選中，則不同的選擇方案共有（）.A.72種 B.84種 C.96種 D.124種5.（2022·重慶·一模）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.60種 B.120種 C.240種 D.480種6.（2022·重慶市求精中學(xué)校一模）北京2022年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”一亮相，好評(píng)不斷，這是一次中國(guó)文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合，是一次現(xiàn)代設(shè)計(jì)理念的傳承與突破.為了宣傳2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，某學(xué)校決定派小明和小李等SKIPIF1<0名志愿者將兩個(gè)吉祥物安裝在學(xué)校的體育廣場(chǎng)，若小明和小李必須安裝同一個(gè)吉祥物，且每個(gè)吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<07.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）當(dāng)前，新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化防控新階段，防止疫情輸入的任務(wù)依然繁重，疫情防控工作形勢(shì)依然嚴(yán)峻、復(fù)雜．某地區(qū)安排A，B，C，D，E五名同志到三個(gè)地區(qū)開(kāi)展防疫宣傳活動(dòng)，每個(gè)地區(qū)至少安排一人，且A，B兩人安排在同一個(gè)地區(qū)，C，D兩人不安排在同一個(gè)地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（）A.30種 B.36種 C.42種 D.64種8.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）為迎接2021年9月15日-9月27日的第十四屆全國(guó)運(yùn)動(dòng)會(huì)，某單位準(zhǔn)備組織一場(chǎng)混合雙打比賽，現(xiàn)從6名男乒乓球愛(ài)好者和5名女乒乓球愛(ài)好者中各選2名選手進(jìn)行一場(chǎng)混合雙打比賽，則不同的選擇方法有（）A.150種 B.300種 C.450種 D.600種9.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“女排精神”是中國(guó)女子排球隊(duì)頑強(qiáng)戰(zhàn)斗?勇敢拼搏精神的總概括，她們?cè)谑澜绫徘蛸愔袘{著頑強(qiáng)戰(zhàn)斗?勇敢拼搏的精神，五次獲得世界冠軍，為國(guó)爭(zhēng)光.2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本舉行，中國(guó)隊(duì)以上屆冠軍的身份出戰(zhàn)，最終以11戰(zhàn)全勝且只丟3局的成績(jī)成功衛(wèi)冕世界杯冠軍，為中華人民共和國(guó)70華誕獻(xiàn)上最及時(shí)的賀禮.朱婷連續(xù)兩屆當(dāng)選女排世界杯MVP，她和顏妮?丁霞?王夢(mèng)潔共同入選最佳陣容，賽后4人和主教練郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中間，她們4人隨機(jī)站于兩側(cè)，則朱婷和王夢(mèng)潔站于郎平同一側(cè)的概率為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0二、多選題10.（2022·江蘇常州·高三期末）如圖，用4種不同的顏色，對(duì)四邊形中的四個(gè)區(qū)域進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法數(shù)為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<011.（2022·重慶市朝陽(yáng)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）現(xiàn)安排甲?乙?丙?丁?戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯?導(dǎo)游?禮儀?司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法數(shù)為SKIPIF1<0B.若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為SKIPIF1<0C.每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲?乙不會(huì)開(kāi)車(chē)但能從事其他三項(xiàng)工作，丙?丁?戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是SKIPIF1<0D.如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為SKIPIF1<0三、填空題12.（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校二模（理））某地區(qū)突發(fā)傳染病公共衛(wèi)生事件，廣大醫(yī)務(wù)工作者逆行而上，紛紛志愿去一線抗擊疫情.某醫(yī)院呼吸科共有SKIPIF1<0名醫(yī)生，SKIPIF1<0名護(hù)士，其中SKIPIF1<0名醫(yī)生為科室主任，SKIPIF1<0名護(hù)士為護(hù)士長(zhǎng).根據(jù)組織安排，從中選派SKIPIF1<0人去支援抗疫一線，要求醫(yī)生和護(hù)士均有，且科室主任和護(hù)士長(zhǎng)至少有SKIPIF1<0人參加，則不同的選派方案共有_____種.13．（2022·湖南岳陽(yáng)·一模）有唱歌、跳舞、小品、雜技、相聲五個(gè)節(jié)目制成一個(gè)節(jié)目單，其中小品、相聲不相鄰且相聲、跳舞相鄰的節(jié)目單有______種．（結(jié)果用數(shù)字作答）14．（2022·湖南湖南·二模）一次考試后，學(xué)校準(zhǔn)備表彰在該次考試中排名前10位的同學(xué)，其中有2位是高三（1）班的同學(xué)，現(xiàn)要選4人去“表彰會(huì)”上作報(bào)告，若高三（1）班的2人同時(shí)參加，則2人作報(bào)告的順序不能相鄰，則要求高三（1）班至少有1人參加的作報(bào)告的方案共有___________種.（用數(shù)字作答）15．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）某九位數(shù)的各個(gè)數(shù)位由數(shù)字1，2，3組成，其中每個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)3次，且數(shù)字1和數(shù)字2不能相鄰，則符合條件的不同九位數(shù)的個(gè)數(shù)是___．（用數(shù)字作答）16．（2022·江西鷹潭·一模（理））2021年12月，南昌最美地鐵4號(hào)線開(kāi)通運(yùn)營(yíng)，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定乘坐地鐵去觀洲、人民公園、新洪城大市場(chǎng)三個(gè)地方游覽，每人只能去一個(gè)地方，人民公園一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為_(kāi)_____.17．（2022·浙江溫州·高三開(kāi)學(xué)考試）將標(biāo)有1，2，3，4，5，6的6個(gè)球放入A，B，C三個(gè)盒子，每個(gè)盒子放兩個(gè)球，其中1號(hào)球不放A盒子中，2號(hào)和3號(hào)球都不放B盒子中，則共有__________種不同的放法（用數(shù)字作答）.18．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）現(xiàn)有15個(gè)省三好學(xué)生名額分給1、2、3、4共四個(gè)班級(jí)，其中1班至少2個(gè)名額，2班、4班每班至少3個(gè)名額，3班最多2個(gè)名額，則共有_________種不同分配方案.19．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））某公司在元宵節(jié)組織了一次猜燈謎活動(dòng)，主持人事先將10條不同燈謎分別裝在了如圖所示的10個(gè)燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個(gè)燈籠中的謎語(yǔ)來(lái)猜（無(wú)論猜中與否，選中的燈籠就拿掉），則這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法數(shù)為_(kāi)___________.（用數(shù)字作答）20．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，某貨場(chǎng)有三堆集裝箱，每堆2個(gè)，現(xiàn)需要全部裝運(yùn)，每次只能從其中一堆取最上面的一個(gè)集裝箱，則在裝運(yùn)的過(guò)程中不同取法的種數(shù)是____________（用數(shù)字作答）.21．（2022·河北保定·一模）2022年北京冬奧會(huì)的某滑雪項(xiàng)目中有三個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)員服務(wù)點(diǎn)，現(xiàn)需將10名志愿者分配到這三個(gè)運(yùn)動(dòng)員服務(wù)點(diǎn)處，每處需要至少2名至多4名志愿者，則不同的安排方法一共有______種．22．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書(shū)》中的一部，相傳是漢末徐岳所著.該書(shū)記述了我國(guó)古代14種算法，分別是：積算（即籌算）、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運(yùn)籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算、珠算和計(jì)數(shù).某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙、丁四人，該小組擬全部收集九宮算、運(yùn)籌算、了知算、成數(shù)算和把頭算等