新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第27講 橢圓（原卷版）

第27講橢圓學(xué)校____________姓名____________班級____________知識梳理1.橢圓的定義如果F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)的兩個定點，a是一個常數(shù)，且2a＞|F1F2|，則平面內(nèi)滿足|PF1|＋|PF2|＝2a的動點P的軌跡稱為橢圓，其中兩個定點F1，F(xiàn)2稱為橢圓的焦點，兩個焦點之間的距離|F1F2|稱為橢圓的焦距.其數(shù)學(xué)表達式：集合M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：(1)若a＞c，則點P的軌跡為橢圓；(2)若a＝c，則點P的軌跡為線段；(3)若a＜c，則點P的軌跡不存在.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2考點和典型例題1、橢圓的定義及應(yīng)用【典例1-1】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個定點，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正常數(shù)），動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則動點SKIPIF1<0的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．橢圓或線段 D．直線【答案】C【詳解】解：因為SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，等號成立SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時動點SKIPIF1<0的軌跡是橢圓；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時動點SKIPIF1<0的軌跡是線段SKIPIF1<0．故選：C．【典例1-2】已知橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線交橢圓于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0的周長為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓的上的點，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓的焦點，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，故選：D【典例1-3】已知橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點分別為SKIPIF1<0是橢圓上一點，SKIPIF1<0，且離心率為SKIPIF1<0，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】根據(jù)橢圓定義可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由離心率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.故選：B【典例1-4】已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在橢圓上，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】解：由題意，橢圓方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以焦點SKIPIF1<0，又由橢圓的定義，可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選:C．【典例1-5】已知點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0分別為左、右焦點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由SKIPIF1<0，，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：A.2、橢圓的簡單幾何性質(zhì)【典例2-1】橢圓SKIPIF1<0的左右焦點分別為SKIPIF1<0，右頂點為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在橢圓上，滿足SKIPIF1<0，則橢圓的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），故選：B.【典例2-2】橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的離心率之積為1，則雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線的傾斜角分別為（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因為橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的離心率之積為1，所以有SKIPIF1<0，因此雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線方程為：SKIPIF1<0，所以雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線的傾斜角分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：D【典例2-3】已知點A、B為橢圓SKIPIF1<0的長軸頂點，P為橢圓上一點，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由題得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故選：A．【典例2-4】已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右頂點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦點在y軸上的橢圓以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點，且離心率為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交雙曲線于另一點SKIPIF1<0，交橢圓于另一點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0，半焦距為SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的左頂點為SKIPIF1<0，右頂點為SKIPIF1<0，由于橢圓SKIPIF1<0以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點，則SKIPIF1<0，該橢圓的離心率為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，橢圓的方程為SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0，由于點SKIPIF1<0在橢圓上，點SKIPIF1<0在雙曲線上，所以，SKIPIF1<0，聯(lián)立得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此時點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0重合，不滿足題意舍去；當(dāng)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.【典例2-5】已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，第一象限內(nèi)的點SKIPIF1<0在橢圓上，且滿足SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，設(shè)SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，使得平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0垂直，要使翻折后SKIPIF1<0的長度最小，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】在橢圓SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0為第一象限內(nèi)的點，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，翻折前，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為點SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，翻折后，如下圖所示：因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時，即當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，則在翻折前，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的角平分線，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：A.3、橢圓的綜合應(yīng)用【典例3-1】（多選）已知橢圓SKIPIF1<0的左，右焦點分別為SKIPIF1<0，橢圓的上頂點和右頂點分別為A，B．若P，Q兩點都在橢圓C上，且P，Q關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則（

）A．|PQ|的最大值為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0為定值C．橢圓上不存在點M，使得SKIPIF1<0D．若點P在第一象限，則四邊形APBQ面積的最大值為SKIPIF1<0【答案】BD【詳解】如圖所示：A.|PQ|的最大值為長軸長2SKIPIF1<0，故錯誤；B.易知SKIPIF1<0是平行四邊形，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故正確；C.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故橢圓上存在點M，使得SKIPIF1<0，故錯誤；D.直線AB所在直線方程為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則點P到直線AB的距離為SKIPIF1<0，其最大值為SKIPIF1<0，同理點Q到直線AB的最大值為SKIPIF1<0，所以四邊形APBQ面積的最大值為SKIPIF1<0，故正確.故選：BD【典例3-2】（多選）過橢圓SKIPIF1<0的中心任作一直線交橢圓于P，Q兩點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓的左、右焦點，A，B是橢圓的左、右頂點，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0周長的最小值為18B．四邊形SKIPIF1<0可能為矩形C．若直線PA斜率的取值范圍是SKIPIF1<0，則直線PB斜率的取值范圍是SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最小值為-1【答案】AC【詳解】A：根據(jù)橢圓的對稱性，SKIPIF1<0，當(dāng)PQ為橢圓的短軸時，SKIPIF1<0有最小值8，所以SKIPIF1<0周長的最小值為18，正確；B：若四邊形SKIPIF1<0為矩形，則點P，Q必在以SKIPIF1<0為直徑的圓上，但此圓與橢圓SKIPIF1<0無交點，錯誤；C：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為直線PA斜率的范圍是SKIPIF1<0，所以直線PB斜率的范圍是SKIPIF1<0，正確；D：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最小值為SKIPIF1<0，錯誤.故選：AC．【典例3-3】（多選）已知橢圓SKIPIF1<0的左，右焦點分別為SKIPIF1<0，A，B兩點都在C上，且A，B關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則（

）A．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0為定值C．C的焦距是短軸長的2倍 D．存在點A，使得SKIPIF1<0【答案】ABD【詳解】解：由題意，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以A正確，C錯誤；由橢圓的對稱性知，SKIPIF1<0，所以B正確；當(dāng)A在y軸上時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為鈍角，所以存在點A，使得SKIPIF1<0，所以D正確.故選：ABD.【典例3-4】已知橢圓SKIPIF1<0的兩焦點分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，短軸的一個端點為SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；(2)橢圓C上是否存在一點P，使得SKIPIF1<0?若存在，求SKIPIF1<0的面積；若不存在，請說明理由．【解析】(1)由焦點坐標(biāo)知SKIPIF1<0，由短軸端點SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.(2)假設(shè)橢圓C上存在一點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，此方程無解.故橢圓上不存在點P，