新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第18講 等差數(shù)列及其求和（解析版）

第18講等差數(shù)列及其求和學(xué)校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.等差數(shù)列的概念(1)定義：一般地，如果數(shù)列{an}從第2項起，每一項與它的前一項之差都等于同一個常數(shù)d，即an＋1－an＝d恒成立，則稱{an}為等差數(shù)列.其中d稱為等差數(shù)列的公差.數(shù)學(xué)語言表達式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)).(2)等差中項：①如果x，A，y是等差數(shù)列，那么稱A為x與y的等差中項，A＝eq\f(x＋y,2).②推廣：若{an}為等差數(shù)列，則2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立.2.等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式(1)若等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則其通項公式為an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).3.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列.(6)若等差數(shù)列的項數(shù)為2n(n∈N＋)時，則S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).(7)若等差數(shù)列的項數(shù)為2n－1(n∈N＋)時，則S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).考點和典型例題1、等差數(shù)列的基本運算【典例1-1】（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知正項等比數(shù)列SKIPIF1<0首項為1，且SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0前6項和為（

）A．31 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．63【答案】C【詳解】∵SKIPIF1<0成等差數(shù)列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：C.【典例1-2】（2022·北京育才學(xué)校模擬預(yù)測）設(shè)SKIPIF1<0是等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】解：由題意得：設(shè)SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：D【典例1-3】（2022·云南師大附中模擬預(yù)測（理））《九章算術(shù)》是我國秦漢時期一部杰出的數(shù)學(xué)著作，書中第三章“衰分”有如下問題：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增等差數(shù)列，這5個人各出多少錢?”在這個問題中，若不更出17錢，則公士出的錢數(shù)為（

）A．10 B．14 C．23 D．26【答案】A【詳解】解：設(shè)大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的錢數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列SKIPIF1<0．由題意可知，等差數(shù)列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，前5項和為100，設(shè)公差為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以公士出的錢數(shù)為SKIPIF1<0，故選：A．【典例1-4】（2022·海南?？凇ざ＃┰O(shè)公差不為0的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【詳解】因為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C.【典例1-5】（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：D.【典例1-6】（2022·河南·通許縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：B.2、等差數(shù)列的判定與證明【典例2-1】（2022·安徽·高二階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．數(shù)列SKIPIF1<0為單增數(shù)列 B．數(shù)列SKIPIF1<0為單減數(shù)列C．對任意正整數(shù)n，都有SKIPIF1<0 D．對任意正整數(shù)n，都有SKIPIF1<0【答案】BD【詳解】在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，此時數(shù)列為遞減數(shù)列，可得對任意正整數(shù)n，都有SKIPIF1<0.故選：BD.【典例2-2】（2022·遼寧實驗中學(xué)高二期中）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0，其前n項的和為SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列B．數(shù)列SKIPIF1<0不可能是等差數(shù)列C．SKIPIF1<0D．若公差SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值【答案】ACD【詳解】設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，C正確；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值，D對，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，A對，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，化簡可得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0可能是等差數(shù)列，B錯，故選：ACD.【典例2-3】（2022·湖北·高二階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.(1)求證數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【解析】(1)由已知可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差數(shù)列.(2)由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0相減得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典例2-4】（2021·河北保定·高二期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0．(1)判斷數(shù)列SKIPIF1<0是否為等差數(shù)列，并說明理由；(2)若SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，求SKIPIF1<0的通項公式．【解析】(1)由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，故由SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列；(2)由（1）知，數(shù)列SKIPIF1<0為首項SKIPIF1<0，公差為2的等差數(shù)列，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，故SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0適合上式，故SKIPIF1<0.【典例2-5】（2018·河南洛陽·一模（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.（1）求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【解析】（1）因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由等差數(shù)列的定義可得SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列.∴SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩邊同時乘以SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.3、等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【典例3-1】（2021·北京·高考真題）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長SKIPIF1<0(單位:cm)成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為SKIPIF1<0(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．64 B．96 C．128 D．160【答案】C【詳解】由題意，五種規(guī)格黨旗的長SKIPIF1<0(單位:cm)成等差數(shù)列，設(shè)公差為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由長與寬之比都相等，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.【典例3-2】（2007·遼寧·高考真題（理））設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．63 B．36 C．45 D．27【答案】C【詳解】由等差數(shù)列的SKIPIF1<0項和的性質(zhì)可知，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0.故選：C【典例3-3】（2020·全國·高考真題（理））北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】C【詳解】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為SKIPIF1<0，第一層共有n環(huán)，則SKIPIF1<0是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為SKIPIF1<0，因為下層比中層多729塊，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C【典例3-4】（2022·福建·廈門雙十中學(xué)模擬預(yù)測）等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為整數(shù)，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為整數(shù)知，等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0為整數(shù).又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【典例3-5】（2022·湖南·長沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列{SKIPIF1<0}為等差數(shù)列，SKIPIF1<0