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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學模擬試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知命題,;命題若,則,下列命題為真命題的是()A. B. C. D.2.如圖,圓的半徑為,,是圓上的定點,,是圓上的動點,點關(guān)于直線的對稱點為,角的始邊為射線,終邊為射線,將表示為的函數(shù),則在上的圖像大致為()A. B. C. D.3.設(shè)集合A={y|y=2x﹣1,x∈R},B={x|﹣2≤x≤3,x∈Z},則A∩B=()A.(﹣1,3] B.[﹣1,3] C.{0,1,2,3} D.{﹣1,0,1,2,3}4.記的最大值和最小值分別為和.若平面向量、、,滿足,則()A. B.C. D.5.設(shè),是空間兩條不同的直線,,是空間兩個不同的平面,給出下列四個命題:①若,,,則;②若,,,則;③若,,,則;④若,,,,則.其中正確的是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④6.已知函數(shù),則的值等于()A.2018 B.1009 C.1010 D.20207.已知等差數(shù)列中,若,則此數(shù)列中一定為0的是()A. B. C. D.8.已知函數(shù)f(x)=eb﹣x﹣ex﹣b+c(b,c均為常數(shù))的圖象關(guān)于點(2,1)對稱,則f(5)+f(﹣1)=()A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.49.若點x,y位于由曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域內(nèi)(包括邊界),則A.-3,1 B.-3,5 C.-∞,-310.若復數(shù),則()A. B. C. D.2011.已知復數(shù)滿足,則=()A. B.C. D.12.閱讀下面的程序框圖,運行相應的程序,程序運行輸出的結(jié)果是()A.1.1 B.1 C.2.9 D.2.8二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)實數(shù)x,y滿足,則點表示的區(qū)域面積為______.14.雙曲線的焦距為__________,漸近線方程為________.15.三棱柱中,,側(cè)棱底面,且三棱柱的側(cè)面積為.若該三棱柱的頂點都在同一個球的表面上,則球的表面積的最小值為_____.16.“六藝”源于中國周朝的貴族教育體系,具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.某校在周末學生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),則滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié),“射”和“御”兩講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線經(jīng)過點且傾斜角為.(1)求曲線的極坐標方程和直線的參數(shù)方程;(2)已知直線與曲線交于,滿足為的中點,求.18.(12分)某單位準備購買三臺設(shè)備,型號分別為已知這三臺設(shè)備均使用同一種易耗品,提供設(shè)備的商家規(guī)定:可以在購買設(shè)備的同時購買該易耗品,每件易耗品的價格為100元,也可以在設(shè)備使用過程中,隨時單獨購買易耗品,每件易耗品的價格為200元.為了決策在購買設(shè)備時應購買的易耗品的件數(shù).該單位調(diào)查了這三種型號的設(shè)備各60臺,調(diào)査每臺設(shè)備在一個月中使用的易耗品的件數(shù),并得到統(tǒng)計表如下所示.每臺設(shè)備一個月中使用的易耗品的件數(shù)678型號A30300頻數(shù)型號B203010型號C04515將調(diào)查的每種型號的設(shè)備的頻率視為概率,各臺設(shè)備在易耗品的使用上相互獨立.(1)求該單位一個月中三臺設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率;(2)以該單位一個月購買易耗品所需總費用的期望值為決策依據(jù),該單位在購買設(shè)備時應同時購買20件還是21件易耗品?19.(12分)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且,(,且)(1)求數(shù)列的通項公式;(2)證明:當時,20.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,圓的方程為.(1)寫出直線的普通方程和圓的直角坐標方程;(2)若點坐標為,圓與直線交于兩點,求的值.21.(12分)某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷,規(guī)定凡在該超市購物滿400元的顧客,均可獲得一次摸獎機會.摸獎規(guī)則如下:獎盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個球(紅、黃、黑、白).顧客不放回的每次摸出1個球,若摸到黑球則摸獎停止,否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎勵20元,摸到白球或黃球獎勵10元,摸到黑球不獎勵.(1)求1名顧客摸球2次摸獎停止的概率;(2)記X為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.22.(10分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(2)設(shè)直線與曲線相交于兩點,的頂點也在曲線上運動,求面積的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】解:命題p:?x>0,ln(x+1)>0,則命題p為真命題,則¬p為假命題;取a=﹣1,b=﹣2,a>b,但a2<b2,則命題q是假命題,則¬q是真命題.∴p∧q是假命題,p∧¬q是真命題,¬p∧q是假命題,¬p∧¬q是假命題.故選B.2.B【解析】
根據(jù)圖象分析變化過程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域,即可排除錯誤選項,得到函數(shù)圖象,即可求解.【詳解】由題意,當時,P與A重合,則與B重合,所以,故排除C,D選項;當時,,由圖象可知選B.故選:B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),正確表示函數(shù)的表達式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.3.C【解析】
先求集合A,再用列舉法表示出集合B,再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】解:∵集合A={y|y=2x﹣1,x∈R}={y|y>﹣1},B={x|﹣2≤x≤3,x∈Z}={﹣2,﹣1,0,1,2,3},∴A∩B={0,1,2,3},故選:C.【點睛】本題主要考查集合的交集運算,屬于基礎(chǔ)題.4.A【解析】
設(shè)為、的夾角,根據(jù)題意求得,然后建立平面直角坐標系,設(shè),,,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算得出點的軌跡方程,將和轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距離,利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得,則,,,建立平面直角坐標系,設(shè),,,由,可得,即,化簡得點的軌跡方程為,則,則轉(zhuǎn)化為圓上的點與點的距離,,,,轉(zhuǎn)化為圓上的點與點的距離,,.故選:A.【點睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解,將向量坐標化,將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距離的最值問題是解答的關(guān)鍵,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用,屬于中等題.5.C【解析】
根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.【詳解】解:①:、也可能相交或異面,故①錯②:因為,,所以或,因為,所以,故②對③:或,故③錯④:如圖因為,,在內(nèi)過點作直線的垂線,則直線,又因為,設(shè)經(jīng)過和相交的平面與交于直線,則又,所以因為,,所以,所以,故④對.故選:C【點睛】考查線面平行或垂直的判斷,基礎(chǔ)題.6.C【解析】
首先,根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式,根據(jù)所求函數(shù)的周期性,得到其周期為4,然后借助于三角函數(shù)的周期性確定其值即可.【詳解】解:.,,的周期為,,,,,..故選:C【點睛】本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識,掌握輔助角公式化簡函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.7.A【解析】
將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式,由此確定數(shù)列為的項.【詳解】由于等差數(shù)列中,所以,化簡得,所以為.故選:A【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計算,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】
根據(jù)對稱性即可求出答案.【詳解】解:∵點(5,f(5))與點(﹣1,f(﹣1))滿足(5﹣1)÷2=2,故它們關(guān)于點(2,1)對稱,所以f(5)+f(﹣1)=2,故選:C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的對稱性的應用,屬于中檔題.9.D【解析】
畫出曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域,y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(x,y)【詳解】畫出曲線x=y-2+1與y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(x,y)和定點P(2,-1)設(shè)k=y+1x-2,結(jié)合圖形可得k≥k由題意得點A,B的坐標分別為A(3,0),B(1,2),∴kPA∴k≥1或k≤-3,∴y+1x-2的取值范圍為-∞,-3故選D.【點睛】解答本題的關(guān)鍵有兩個:一是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解問題,即把y+1x-210.B【解析】
化簡得到,再計算模長得到答案.【詳解】,故.故選:.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算,復數(shù)的模,意在考查學生的計算能力.11.B【解析】
利用復數(shù)的代數(shù)運算法則化簡即可得到結(jié)論.【詳解】由,得,所以,.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】
根據(jù)程序框圖的模擬過程,寫出每執(zhí)行一次的運行結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題.【詳解】初始值,第一次循環(huán):,;第二次循環(huán):,;第三次循環(huán):,;第四次循環(huán):,;第五次循環(huán):,;第六次循環(huán):,;第七次循環(huán):,;第九次循環(huán):,;第十次循環(huán):,;所以輸出.故選:C【點睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的讀取以及運行結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
先畫出滿足條件的平面區(qū)域,求出交點坐標,利用定積分即可求解.【詳解】畫出實數(shù)x,y滿足表示的平面區(qū)域,如圖(陰影部分):則陰影部分的面積,故答案為:【點睛】本題考查了定積分求曲邊梯形的面積,考查了微積分基本定理,屬于基礎(chǔ)題.14.6【解析】由題得所以焦距,故第一個空填6.由題得漸近線方程為.故第二個空填.15.【解析】
分析題意可知,三棱柱為正三棱柱,所以三棱柱的中心即為外接球的球心,設(shè)棱柱的底面邊長為,高為,則三棱柱的側(cè)面積為,球的半徑表示為,再由重要不等式即可得球表面積的最小值【詳解】如下圖,∵三棱柱為正三棱柱∴設(shè),∴三棱柱的側(cè)面積為∴又外接球半徑∴外接球表面積.故答案為:【點睛】考查學生對幾何體的正確認識,能通過題意了解到題目傳達的意思,培養(yǎng)學生空間想象力,能夠利用題目條件,畫出圖形,尋找外接球的球心以及半徑,屬于中檔題16.【解析】
分步排課,首先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié),然后,“射”和“御”捆綁一一起作為一個元素與其它兩個元素合起來全排列,同時它們內(nèi)部也全排列.【詳解】第一步:先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié),有種不同的排法;第二步:將“射”和“御”兩節(jié)講座捆綁再和其他兩藝全排有種不同的排法,所以滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié),“射”和“御”兩節(jié)講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為.故答案為:1.【點睛】本題考查排列的應用,排列組合問題中,遵循特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮的原則,相鄰問題用捆綁法,不相鄰問題用插入法.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1),;(2).【解析】
(1)由曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)可得曲線的普通方程,由此可求曲線的極坐標方程;直接利用直線的傾斜角以及經(jīng)過的點求出直線的參數(shù)方程即可;(2)將直線的參數(shù)方程,代入曲線的普通方程,整理得,利用韋達定理,根據(jù)為的中點,解出即可.【詳解】(1)由(為參數(shù))消去參數(shù),可得,即,已知曲線的普通方程為,,,,即,曲線的極坐標方程為,直線經(jīng)過點,且傾斜角為,直線的參數(shù)方程:(為參數(shù),).(2)設(shè)對應的參數(shù)分別為,.將直線的參數(shù)方程代入并整理,得,,.又為的中點,,,,,即,,,,即,.【點睛】本題考查了圓的參數(shù)方程與極坐標方程之間的互化以及直線參數(shù)方程的應用,考查了計算能力,屬于中檔題.18.(1)(2)應該購買21件易耗品【解析】
(1)由統(tǒng)計表中數(shù)據(jù)可得型號分別為在一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8時的概率,設(shè)該單位三臺設(shè)備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則,利用獨立事件概率公式進而求解即可;(2)由題可得X所有可能的取值為,即可求得對應的概率,再分別討論該單位在購買設(shè)備時應同時購買20件易耗品和21件易耗品時總費用的可能取值及期望,即可分析求解.【詳解】(1)由題中的表格可知A型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為6和7的頻率均為;B型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8的頻率分別為;C型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為7和8的頻率分別為;設(shè)該單位一個月中三臺設(shè)備使用易耗品的件數(shù)分別為,則,,,設(shè)該單位三臺設(shè)備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則而,,故,即該單位一個月中三臺設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率為.(2)以題意知,X所有可能的取值為;;;由(1)知,,若該單位在購買設(shè)備的同時購買了20件易耗品,設(shè)該單位一個月中購買易耗品所需的總費用為元,則的所有可能取值為,;;;;;若該單位在肋買設(shè)備的同時購買了21件易耗品,設(shè)該單位一個月中購買易耗品所需的總費用為元,則的所有可能取值為,;;;;,所以該單位在購買設(shè)備時應該購買21件易耗品【點睛】本題考查獨立事件的概率,考查離散型隨機變量的分布列和期望,考查數(shù)據(jù)處理能力.19.(1)(2)見證明【解析】
(1)由題意將遞推關(guān)系式整理為關(guān)于與的關(guān)系式,求得前n項和然后確定通項公式即可;(2)由題意結(jié)合通項公式的特征放縮之后裂項求和即可證得題中的不等式.【詳解】(1)由,得,即,所以數(shù)列是以為首項,以為公差的等差數(shù)列,所以,即,當時,,當時,,也滿足上式,所以;(2)當時,,所以【點睛】給出與的遞推關(guān)系,求an,常用思路是:一是利用轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系,再求其通項公式;二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系,先求出Sn與n之間的關(guān)系,再求an.20.(1)(2)【解析】試題分析:(1)由加減消元得直線的普通方程,由得圓的直角坐標方程;(2)把直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程,由直線參數(shù)方程幾何意義得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根據(jù)韋達定理可得結(jié)果試題解析:解:(Ⅰ)由得直線l的普通方程為x+y﹣3﹣=0又由得ρ2=2ρsinθ,化為直角坐標方程為x2+
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