遼寧省撫順市六校聯(lián)合體2022年高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若雙曲線(xiàn)的焦距為，則的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離為（）A． B． C． D．2．在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A．74 B．121 C． D．3．函數(shù)的圖象大致是()A． B．C． D．4．設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（）A．8 B．32 C．64 D．1286．函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A． B．C． D．7．設(shè)函數(shù)，則，的大致圖象大致是的()A． B．C． D．8．定義在上的偶函數(shù)，對(duì)，，且，有成立，已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．9．已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為，，以線(xiàn)段為直徑的圓與雙曲線(xiàn)在第二象限的交點(diǎn)為，若直線(xiàn)與圓相切，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，則（）A．2 B．5 C．1 D．311．以下三個(gè)命題：①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線(xiàn)上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)，這樣的抽樣是分層抽樣；②若兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1；③對(duì)分類(lèi)變量與的隨機(jī)變量的觀(guān)測(cè)值來(lái)說(shuō)，越小，判斷“與有關(guān)系”的把握越大；其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．012．復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則__________.14．已知，，，，則______.15．已知函數(shù)，且，，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.16．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）追求人類(lèi)與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（）的檢測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于，的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟(jì)損失（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系式為，試估計(jì)該企業(yè)一個(gè)月（按30天計(jì)算）的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望.18．（12分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，為上頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)．（1）若，求直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線(xiàn)為，的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，求證：直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)在橢圓上．19．（12分）已知橢圓E：（）的離心率為，且短軸的一個(gè)端點(diǎn)B與兩焦點(diǎn)A，C組成的三角形面積為.（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）若點(diǎn)P為橢圓E上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓E的切線(xiàn)交圓O：于不同的兩點(diǎn)M，N（其中M在N的右側(cè)），求四邊形面積的最大值.20．（12分）購(gòu)買(mǎi)一輛某品牌新能源汽車(chē)，在行駛?cè)旰?，政府將給予適當(dāng)金額的購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼.某調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)擬購(gòu)買(mǎi)該品牌汽車(chē)的消費(fèi)者，就購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，其樣本頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計(jì)擬購(gòu)買(mǎi)該品牌汽車(chē)的消費(fèi)群體對(duì)購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）將頻率視為概率，從擬購(gòu)買(mǎi)該品牌汽車(chē)的消費(fèi)群體中隨機(jī)抽取人，記對(duì)購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值高于萬(wàn)元的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）統(tǒng)計(jì)最近個(gè)月該品牌汽車(chē)的市場(chǎng)銷(xiāo)售量，得其頻數(shù)分布表如下：月份銷(xiāo)售量（萬(wàn)輛）試預(yù)計(jì)該品牌汽車(chē)在年月份的銷(xiāo)售量約為多少萬(wàn)輛？附：對(duì)于一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.21．（12分）為了響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，促進(jìn)垃圾分類(lèi)，某校組織了高三年級(jí)學(xué)生參與了“垃圾分類(lèi)，從我做起”的知識(shí)問(wèn)卷作答隨機(jī)抽出男女各20名同學(xué)的問(wèn)卷進(jìn)行打分，作出如圖所示的莖葉圖，成績(jī)大于70分的為“合格”.（Ⅰ）由以上數(shù)據(jù)繪制成2×2聯(lián)表，是否有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問(wèn)卷結(jié)果”有關(guān)？男女總計(jì)合格不合格總計(jì)（Ⅱ）從上述樣本中，成績(jī)?cè)?0分以下（不含60分）的男女學(xué)生問(wèn)卷中任意選2個(gè)，記來(lái)自男生的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822．（10分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，如果方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍，并證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

根據(jù)焦距即可求得參數(shù)，再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的焦距為，故可得，解得，不妨?。挥纸裹c(diǎn)，其中一條漸近線(xiàn)為，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求的.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由雙曲線(xiàn)的焦距求方程，以及雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，屬綜合基礎(chǔ)題.2．D【解析】

根據(jù)，利用通項(xiàng)公式得到含的項(xiàng)為：，進(jìn)而得到其系數(shù)，【詳解】因?yàn)樵?，所以含的?xiàng)為：，所以含的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是，，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題，3．B【解析】

根據(jù)函數(shù)表達(dá)式,把分母設(shè)為新函數(shù),首先計(jì)算函數(shù)定義域,然后求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性,對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設(shè)，，則的定義域?yàn)?，當(dāng)，，單增，當(dāng)，，單減，則.則在上單增，上單減，.選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷,用到了換元的思想,簡(jiǎn)化了運(yùn)算,同學(xué)們還可以用特殊值法等方法進(jìn)行判斷.4．B【解析】

根據(jù)題意,畫(huà)出幾何圖形,根據(jù)向量加法的線(xiàn)性運(yùn)算即可求解.【詳解】根據(jù)題意,可得幾何關(guān)系如下圖所示:,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的線(xiàn)性運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5．C【解析】

根據(jù)給定的程序框圖，逐次計(jì)算，結(jié)合判斷條件，即可求解.【詳解】由題意，執(zhí)行上述程序框圖，可得第1次循環(huán)，滿(mǎn)足判斷條件，；第2次循環(huán)，滿(mǎn)足判斷條件，；第3次循環(huán)，滿(mǎn)足判斷條件，；第4次循環(huán)，滿(mǎn)足判斷條件，；不滿(mǎn)足判斷條件，輸出.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出，其中解答中認(rèn)真審題，逐次計(jì)算，結(jié)合判斷條件求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6．B【解析】

根據(jù)定義域排除，求出的值，可以排除，考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域?yàn)?，所以不合題意；選項(xiàng)，計(jì)算，不符合函數(shù)圖象；對(duì)于選項(xiàng)，與函數(shù)圖象不一致；選項(xiàng)符合函數(shù)圖象特征.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式，主要利用函數(shù)性質(zhì)分析，常見(jiàn)方法為排除法.7．B【解析】

采用排除法：通過(guò)判斷函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A；通過(guò)判斷特殊點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)排除選項(xiàng)D和選項(xiàng)C即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)?，其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)?所以函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故選A排除；對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)?故選項(xiàng)D排除;對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)判斷函數(shù)圖象;考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點(diǎn)并判斷其函數(shù)值符號(hào)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.8．A【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：對(duì)，，且，有在上遞增因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)所以在上遞減又因?yàn)椋?，所以故選：A【點(diǎn)睛】考查偶函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性的應(yīng)用，基礎(chǔ)題.9．B【解析】

先設(shè)直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，根據(jù)題意，得到，再由，根據(jù)勾股定理求出，從而可得漸近線(xiàn)方程.【詳解】設(shè)直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，因?yàn)槭且詧A的直徑為斜邊的圓內(nèi)接三角形，所以，又因?yàn)閳A與直線(xiàn)的切點(diǎn)為，所以，又，所以，因此，因此有，所以，因此漸近線(xiàn)的方程為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，熟記雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于常考題型.10．B【解析】

由函數(shù)為奇函數(shù),則有,代入已知即可求得.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查奇偶性在抽象函數(shù)中的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,難度較易.11．C【解析】

根據(jù)抽樣方式的特征，可判斷①；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可判斷②；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法和步驟，可判斷③．【詳解】①根據(jù)抽樣是間隔相同，且樣本間無(wú)明顯差異，故①應(yīng)是系統(tǒng)抽樣，即①為假命題；②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1；兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越弱，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于0；故②為真命題；③對(duì)分類(lèi)變量與的隨機(jī)變量的觀(guān)測(cè)值來(lái)說(shuō)，越小，“與有關(guān)系”的把握程度越小，故③為假命題．故選：．【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關(guān)系數(shù)、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．12．D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)出，即可得出虛部.【詳解】解：=，故虛部為-2.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由題意知，繼而利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和為的公式代入求值即可.【詳解】解：由題意知，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，屬于中檔題.14．【解析】

由已知利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求得，的值，由兩角差的正弦公式即可計(jì)算得的值.【詳解】，，，，，，，，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的正弦公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集；分別求值域即可得到結(jié)論.【詳解】解：依題意，，即函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集.因?yàn)樵谏系闹涤驗(yàn)椋ǎ┗颍ǎ谏系闹涤驗(yàn)?，故或，解得故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的值域求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.16．【解析】

根據(jù)遞推公式，以及之間的關(guān)系，即可容易求得，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，求得其最大值，則參數(shù)的范圍可求.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得.所以.因?yàn)?，則，兩式相減，可得，即，則.兩式相減，可得.所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以，則.令，則.當(dāng)時(shí)，，數(shù)列單調(diào)遞減，而，，，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及數(shù)列單調(diào)性的判斷，屬綜合困難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）（2）9060元【解析】

(1)根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)的計(jì)算可得所求概率；(2)任選一天，設(shè)該天的經(jīng)濟(jì)損失為元，分別求出，，，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望，據(jù)此得出該企業(yè)一個(gè)月經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）設(shè)為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則.（2）任選一天，設(shè)該天的經(jīng)濟(jì)損失為元，則的可能取值為0，220，1480，，，，所以（元），故該企業(yè)一個(gè)月的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為（元）.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率公式和組合數(shù)的計(jì)算及數(shù)學(xué)期望，屬于基礎(chǔ)題.18．（1）（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）直接求出直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得直線(xiàn)方程，得其與軸交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)，則，求出直線(xiàn)和的方程，從而求得兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，證明此交點(diǎn)在橢圓上，即此點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程．代入驗(yàn)證即可．注意分和說(shuō)明．【詳解】解：本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的綜合，（1）由題知，，則．因?yàn)椋?，則直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，可得故．則，直線(xiàn)的方程為．令，得，故直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）證明：因?yàn)?，，所以．設(shè)點(diǎn)，則．設(shè)當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)直線(xiàn)與軸垂直，其直線(xiàn)方程為，直線(xiàn)的方程為，即．在方程中，令，得，得交點(diǎn)為，顯然在橢圓上．同理當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)也在橢圓上．當(dāng)時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，即．直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程，消去得，化簡(jiǎn)并解得．將代入中，化簡(jiǎn)得．所以?xún)芍本€(xiàn)的交點(diǎn)為．因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，則，所以點(diǎn)在橢圓上．綜上所述，直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)在橢圓上．【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題，解題方法是解析幾何的基本方程，求出直線(xiàn)方程，解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線(xiàn)方程驗(yàn)證點(diǎn)在曲線(xiàn)．本題考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力．19．（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】

（Ⅰ）結(jié)合已知可得，求出a，b的值，即可得橢圓方程；（Ⅱ）由題意可知，直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，利用判別式等于0可得，聯(lián)立直線(xiàn)方程與圓的方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得，利用弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，求出，得到，整理后利用基本不等式求最值.【詳解】解：（Ⅰ）可得，結(jié)合，解得，，，得橢圓方程；（Ⅱ）易知直線(xiàn)的斜率k存在，設(shè)：，由，得，由，得，∵，設(shè)點(diǎn)O到直線(xiàn)：的距離為d，，，由，得，，，∴∴，∴而，，易知，∴，則，四邊形的面積當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”.∴四邊形面積的最大值為4.【點(diǎn)睛】本題考查了由求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性比較強(qiáng)，屬于難題.20．（1）1.7；（2），見(jiàn)解析；（2）2.【解析】

（1）平均數(shù)的估計(jì)值為每個(gè)小矩形組中值乘以小矩形面積的和；（2）易得，由二項(xiàng)分布列的期望公式計(jì)算；（3）利用所給公式計(jì)算出回歸直線(xiàn)即可解決.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，消費(fèi)群體對(duì)購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)的估計(jì)值為，所以方差的估計(jì)值為；（2）由頻率分布直方圖可知，消費(fèi)群體對(duì)購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值高于3萬(wàn)元的頻率為，則，所以的分布列為，數(shù)學(xué)期望；（3）將2018年11月至2019年3月的月份數(shù)依次編號(hào)為1，2，3，4，5，記，，，，，，由散點(diǎn)圖可知，5組樣本數(shù)據(jù)呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，因?yàn)?，，，，則，，所以回歸直線(xiàn)方程為，當(dāng)時(shí)，，預(yù)計(jì)該品牌汽車(chē)在年月份的銷(xiāo)售量約為2萬(wàn)輛.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)、方差的估計(jì)值、二項(xiàng)分布列及其期望、線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程及其應(yīng)用，是一個(gè)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合題，本題是一道中檔題.21．（Ⅰ）填表見(jiàn)解析，有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問(wèn)卷結(jié)果”有關(guān)；（Ⅱ）分