考研數(shù)學(xué)一（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷1（共234題）

考研數(shù)學(xué)一（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷1（共7套）（共234題）考研數(shù)學(xué)一（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，且f(x)在點x0處間斷，則在點x0處必定間斷的函數(shù)為()A、f(x)sinxB、f(x)+sinxC、f2(x)D、｜f(x)｜標(biāo)準答案：B知識點解析：若f(x)+sinx在點x0處連續(xù)，則f(x)=If(x)+sinx]一sinx在點x0處也連續(xù)，與已知矛盾．連續(xù)．若設(shè)f(x)在點x=0處間斷，但f2(x)=1，｜f(x)｜=1在x=0處都連續(xù)．故可排除A，C，D．2、設(shè)當(dāng)x→x0時，α(x)，β(x)都是無窮小(β(x)≠0)，則當(dāng)x→x0時，下列表達式中不一定為無窮小的是()A、B、C、ln[1+α(β).β2(x)]D、｜α(x)｜+｜β(x)｜標(biāo)準答案：A知識點解析：有限個無窮小的和、差、積、絕對值還是無窮小量．3、設(shè)當(dāng)x→0時，etanx—ex與xn是同階無窮小，則n為A、1B、2C、3D、4標(biāo)準答案：C知識點解析：則n=3時，4、當(dāng)x→0時，f(x)=x—sinax與g(x)=x2ln(1一bx)是等價無窮小，則()A、B、C、D、標(biāo)準答案：A知識點解析：由泰勒公式5、若在(一∞，+∞)上連續(xù)，且則()A、λ＜0，k＜0B、λ＜0，k＞0C、λ≥0，k＜0D、λ≤0，k＞0標(biāo)準答案：D知識點解析：分母不為零，故λ≤0；，故k＞0．6、設(shè)當(dāng)x→0時，有ax3＋bx2＋cx～，則()．A、a＝，b＝1，c＝0B、a＝，b＝1，c＝0C、a＝，b＝－1，c＝0D、a＝0，b＝2，c＝0標(biāo)準答案：D知識點解析：因為x→0時，ax3＋bx2＋cx～，所以，顯然c＝0，再由得a＝0，b＝2，選(D)．7、設(shè)f(x)＝，g(x)＝x3＋x4，當(dāng)x→0時，f(x)是g(x)的()．A、等價無窮小B、同階但非等價無窮小C、高階無窮小D、低階無窮小標(biāo)準答案：B知識點解析：因為，所以正確答案為(B)．8、設(shè)，則當(dāng)x→0時，f(x)是g(x)的()．A、低階無窮小B、高階無窮小C、等價無窮小D、同階但非等價的無窮小標(biāo)準答案：A知識點解析：二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、若當(dāng)x→0時，有則α=________．標(biāo)準答案：一3知識點解析：當(dāng)x→0時，10、當(dāng)x→0時，若有，則A=________，k=________．標(biāo)準答案：知識點解析：故11、當(dāng)x→π時，若有,則A=________，k=________．標(biāo)準答案：知識點解析：當(dāng)x→π時，12、若是(一∞，+∞)上的連續(xù)函數(shù)，則a=________．標(biāo)準答案：1知識點解析：f(x)在零點處連續(xù)，可得13、已知數(shù)列標(biāo)準答案：知識點解析：因為三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)14、設(shè)f(x)＝，求f(x)的間斷點并指出其類型．標(biāo)準答案：首先其次f(x)的間斷點為x＝kπ(k＝0，±1，…)，因為＝e，所以x＝0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點中的可去間斷點，x＝kπ(k＝±1，…)為函數(shù)f(x)的第二類間斷點。知識點解析：暫無解析15、求函數(shù)的反函數(shù)．標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析16、求極限標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析17、求極限標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析18、證明：標(biāo)準答案：當(dāng)x∈[1，2]時有當(dāng)x∈[2，3]時有……當(dāng)x∈[n，n＋1]時有從而有又當(dāng)x∈[1，2]時，當(dāng)x∈[2，3]時，……當(dāng)x∈[n一1，n]時，從而有故于是由夾逼定理得知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)＝a1ln(1＋x)＋a2ln(1＋2x)＋…＋anln(1＋nx)，其中a1，a2，…，an為常數(shù)，且對一切x有｜f(x)｜≤｜ex一1｜．證明：｜a1＋2a2＋…＋nan｜≤1．標(biāo)準答案：當(dāng)x≠0時，由｜f(x)｜≤｜ex一1｜得，知識點解析：暫無解析20、求極限標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析21、設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)且，對任意的x0，作xn＋1＝f(xn)(n＝0，1，2，…)，證明：存在且滿足方程f(x)＝x．標(biāo)準答案：xn＋1一xn＝f(xn)一f(xn－1)＝f’(ξn)(xn一xn－1)，因為f’(x)≥0，所以xn＋1一xn與xn一xn－1同號，故{xn}單調(diào)．即{xn}有界，于是存在，根據(jù)f(x)的可導(dǎo)性得f(x)處處連續(xù)，等式xn＋1＝f(xn)兩邊令n→∞，得，原命題得證．知識點解析：暫無解析22、56．設(shè)f(x)在[a，＋∞)上連續(xù)，且存在．證明：f(x)在[a，＋∞)上有界．標(biāo)準答案：設(shè)＝A，取ε0＝1，根據(jù)極限的定義，存在X0＞0，當(dāng)x＞X0時，｜f(x)一A｜＜1，從而有｜f(x)｜≤｜A｜＋1．又因為f(x)在[a，X0]上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界的性質(zhì)，存在k＞0，當(dāng)x∈[a，X0]，有｜f(x)｜≤k．取M＝max{｜A｜＋1，k)，對一切的x∈[a，＋∞)，有｜f(x)｜≤M．知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，任取xi∈[a，b](i＝1，2，…，n)，任取ki＞0(i＝1，2，…，n)，證明：存在ξ∈[a，b]，使得k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)＝(k1＋k2＋…＋kn)f(ξ)．標(biāo)準答案：因為f(x)在[a，b]上連續(xù)，所以f(x)在[a，b]上取到最小值m和最大值M，顯然有m≤f(xi)≤M(i＝1，2，…，n)，注意到ki＞0(i＝1，2，…，n)，所以有kim≤kif(xi)≤kiM(i＝1，2，…，n)，同向不等式相加，得(k1＋k2＋…＋kn)m≤k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)≤(k1＋k2＋…＋kn)M，即，由介值定理，存在ξ∈[a，b]，使得即k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)＝(k1＋k2＋…＋kn)f(ξ)．知識點解析：暫無解析24、求極限標(biāo)準答案：原極限=知識點解析：暫無解析25、求極限標(biāo)準答案：為了在使用洛必達法則時使求導(dǎo)變得簡單，先做變量代換，令從而原式=知識點解析：暫無解析26、求極限標(biāo)準答案：此題為型未定式，若用洛必達法則，則連續(xù)使用完兩次法則，又回到了起點，法則失效，正確的做法是先對式子恒等變形．分子分母同乘知識點解析：暫無解析27、求極限;ai>0，且ai≠1，i=1，2，…，n，n≥2．標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析28、求極限標(biāo)準答案：原極限等價于求由拉格朗日中值定理可得知識點解析：暫無解析29、設(shè)標(biāo)準答案：因為知識點解析：暫無解析30、設(shè)f(x)是奇函數(shù)，且對一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又x(1)=a，a為常數(shù)，n為整數(shù)，則f(n)=__________．標(biāo)準答案：m知識點解析：令x=一1，則f(1)=f(-1)+f(2)，因f(x)是奇函數(shù)，得到f(2)=f(1)一f(-1)=2f(1)一2a．再令x=1，則f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)=na．當(dāng)n=1，2，3時，已知或者已證．假設(shè)n≤k時，有f(k)=ka．當(dāng)n=k+1時，f(k+1)=f(k一1)+f(2)=(k一1)a+2a=(k+1)a，故對一切正整數(shù)n，有f(n)=na，令x=0，則f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0.a，又f(x)是奇函數(shù)，故對一切負整數(shù)n有f(n)=一f(-n)=一(一m)=na．所以對一切整數(shù)n，均有f(n)=na．考研數(shù)學(xué)一（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)1、當(dāng)x→1時，函數(shù)的極限()A、等于2．B、等于0．C、為∞．D、不存在，但不為∞．標(biāo)準答案：D知識點解析：因為故當(dāng)x→1時，函數(shù)極限不存在，也不是∞，應(yīng)選D．2、函數(shù)f(x)=xsinx()A、當(dāng)x→∞時為無窮大．B、在(一∞，+∞)內(nèi)有界．C、在(一∞，+∞)內(nèi)無界．D、當(dāng)x→∞時有有限極限．標(biāo)準答案：C知識點解析：由于當(dāng)x→∞時，f(x)中含有“∞”因子x，而無確定的零因子，因而f(x)無界，故選C．3、設(shè)數(shù)列極限函數(shù)f(x)=，則f(x)的定義域I和f(x)的連續(xù)區(qū)間J分別是()A、I=(一∞，+∞)，J=(一∞，+∞)．B、I=(一1，+∞)，J=(一1，1)∪(1，+∞)．C、I=(一1，+∞)，J=(一1，+∞)．D、I=(一1，1)，J=(一1，1)．標(biāo)準答案：B知識點解析：f(x)的連續(xù)區(qū)間是J=(一1，1)∪(1，+∞)．4、設(shè)f(x)可導(dǎo)，f(x)=0，f’(0)=2，F(xiàn)(x)=∫0xt2f(x3一t3)dt，g(x)=，則當(dāng)x→0時，F(xiàn)(x)是g(x)的()A、低階無窮?。瓸、高階無窮小．C、等價無窮?。瓺、同階但非等價無窮?。畼?biāo)準答案：D知識點解析：先改寫5、設(shè)f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，且f(x)在x0間斷，則在點x0處必定間斷的函數(shù)是()A、f(x)sinx．B、f(x)+sinx．C、f2(x)．D、｜f(x)｜．標(biāo)準答案：B知識點解析：若f(x)+sinx在x=x0連續(xù)，則f(x)=(f(x)+sinx)一sinx在x=x0連續(xù)，與已知矛盾．因此f(x)+sinx在x0必間斷．故選B．6、設(shè)當(dāng)x→0時，(1一cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高階的無窮小，xsinxn是比(一1)高階的無窮小，則正整數(shù)n等于()A、1．B、2．C、3．D、4．標(biāo)準答案：B知識點解析：因當(dāng)x→0時，而由(1一cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高階的無窮小，知4＞n+1，即n＜3；由xsinxn是比(一1)高階的無窮小，知n+1＞2，即n＞1．因此取正整數(shù)n=2，故選B．7、設(shè)f(x)在x0點連續(xù)，且在x0一空心鄰域中有f(x)＞0，則()A、f(x0)＞0．B、f(x0)≥0．C、f(x0)＜0．D、f(x0)=0．標(biāo)準答案：B知識點解析：由f(x)在x0連續(xù)，有=f(x0)，又因在x0的一空心鄰域中有f(x)＞0，由極限的保號性有f(x0)≥0，故選B．8、把x→0+時的無窮小量α=排列起來，使排在后面的是前面一個的高階無窮小，則正確的排列次序是()A、α，β，γ．B、α，γ，β．C、β，α，γ．D、β，γ，α．標(biāo)準答案：B知識點解析：因為所以當(dāng)x→0+時，α是x的一階無窮小，β是x的三階無窮小，γ是x的二階無窮小，故選B．9、函數(shù)f(x)=的間斷點及類型是()A、x=1為第一類間斷點，x=一1為第二類間斷點．B、x=±1均為第一類間斷點．C、x=1為第二類間斷點，x=一1為第一類間斷點．D、x=±1均為第二類間斷點．標(biāo)準答案：B知識點解析：分別就｜x｜=1，｜x｜＜1，｜x｜＞1時求極限，得出f(x)的分段表達式：所以，x=±1為f(x)的第一類間斷點，故選B．10、設(shè)f(x)=則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：D知識點解析：用推演法．將題設(shè)條件f(x)中的所有自變量x都用(一x)替換，得故選D．11、設(shè)f(x)在R上連續(xù)，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定義，且有間斷點，則下列陳述中正確的個數(shù)是()①φ[x)]必有間斷點．②[φ(x)]2必有間斷點．③[φ(x)]沒有間斷點．A、0．B、1．C、2．D、3．標(biāo)準答案：B知識點解析：①錯誤．舉例：設(shè)φ(x)=，f(x)=ex，則φ[f(x)]=1在R上處處連續(xù)。②錯誤．舉例：設(shè)φ(x)=，則[φ(x)]2=9在R上處處連續(xù)。③正確．因為f(x)在R上連續(xù)，而φ(x)的取值必定在R上．因此選B．12、設(shè)對任意的x，總有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且()A、存在且等于零．B、存在但不一定為零．C、一定不存在．D、不一定存在．標(biāo)準答案：D知識點解析：取φ(x)=f(x)=g(x)=x，顯然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且不存在，故A、B排除．再取φ(x)=f(x)=g(x)=1，同樣有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且=1，可見C也不正確，故選D．13、設(shè)f(x)=2x+3x一2，則當(dāng)x→0時()A、f(x)是x等價無窮?。瓸、f(x)與x是同階，但非等價無窮?。瓹、f(x)是比x高階的無窮?。瓺、f(x)是比x低階的無窮?。畼?biāo)準答案：B知識點解析：利用洛必達法則求解．因=ln2+ln3=ln6，故選B．14、設(shè)=2，其中a2+c2≠0，則必有()A、b=4d．B、b=一4d．C、a=4c．D、a=一4c．標(biāo)準答案：D知識點解析：當(dāng)x→0時，由皮亞諾型余項的泰勒公式可知，tanx，ln(1—2x)均為x的一階無窮??；而1一cosx，1一均為x的二階無窮小，因此有15、當(dāng)x→0時，ex一(ax2+bx+1)是比x2高階的無窮小，則()A、a=，b=1．B、a=1，b=1C、a=，b=一1．D、a=一1，b=1標(biāo)準答案：A知識點解析：因顯然要使上式為x2高階的無窮小(x→0時)，只要故選A．16、設(shè)函數(shù)f(x)==0，則常數(shù)a，b滿足()A、a＜0，b＜0．B、a＞0，b＞0．C、a≤0，b＞0．D、a≥0，b＜0．標(biāo)準答案：D知識點解析：因f(x)連續(xù)，故a+ebx≠0，因此只要a≥0即可．再由可知x→一∞時，a+ebx必為無窮大(否則極限必不存在)，此時需b＜0，故選D．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)17、=_________．標(biāo)準答案：知識點解析：18、=_________．標(biāo)準答案：2知識點解析：19、設(shè)a1，a2，…，am為正數(shù)(m≥2)，則=_________。標(biāo)準答案：max{a1，a2，…，am}知識點解析：假設(shè)a1為最大值，則20、=_________．標(biāo)準答案：知識點解析：21、[x]表示x的最大整數(shù)部分，則=_________．標(biāo)準答案：2知識點解析：22、數(shù)列xn==_________。標(biāo)準答案：知識點解析：利用等價無窮小因子代換，23、若f(x)=在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，則a=_________．標(biāo)準答案：0知識點解析：因為f(c)在(一∞，0)及(0，+00)內(nèi)連續(xù)，所以需要確定數(shù)a，使f(x)在x=0處連續(xù)．當(dāng)=a時，f(x)在x=0處連續(xù)，因此a=0時，f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)．24、設(shè)函數(shù)f(x)在x=1連續(xù)，且f(1)=1，則=_________．標(biāo)準答案：ln3知識點解析：由題干可知25、設(shè)函數(shù)f(x)=f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，則A=_________.標(biāo)準答案：知識點解析：令函數(shù)f(x)=，其中g(shù)(x)，h(x)分別在[0，x0]，(x0，b]上是初等函數(shù)，因而是連續(xù)的．因為f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，于是f(x)在x0連續(xù)，所以需g(x0)=h(x0)．對任意常數(shù)A，顯然，x≠1時f(x)連續(xù)．僅當(dāng)時，f(x)在x=1連續(xù)．因此，當(dāng)A=時，f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)．26、=_________．標(biāo)準答案：1知識點解析：原式==1。三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)27、設(shè)x1=a＞0，y1=b＜0，(a≤b)，且xn+1=，n=1，2，…，證明：標(biāo)準答案：(1)由不等式及題設(shè)條件，有0＜xn+1≤yn+1(n=0，1，2，…)，所以于是可知數(shù)列{xn}單調(diào)增加，數(shù)列{yn}單調(diào)減少，又a=x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤yn+1≤yn≤…≤y1=b．所以數(shù)列{xn}有上界，數(shù)列{yn}有下界，根據(jù)單調(diào)有界準則，此二數(shù)列均收斂．知識點解析：暫無解析28、設(shè)函數(shù)f(x)在x=1的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且有標(biāo)準答案：由已知條件得又因為在x=0的某空心鄰域內(nèi)f(x+1)+3sin2x≠0，現(xiàn)利用等價無窮小替換：當(dāng)x→0時，ln[1+f(x+1)+3sin2x]一f(x+1)+3sin2x，知識點解析：暫無解析29、求下列極限．標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析30、計算：標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析31、求標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析32、求標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析33、求標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析34、求標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析35、求標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析36、設(shè)f(x)=，求常數(shù)a與b的值，使f(x)在(一∞，+∞)上處處連續(xù)．標(biāo)準答案：當(dāng)｜x｜＞1時，解得a=0，b=1．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、函數(shù)f(x)=xsinx()A、在(-∞，+∞)內(nèi)無界B、在(-∞，+∞)內(nèi)有界C、當(dāng)x→∞時為無窮大D、當(dāng)x→∞時極限存在標(biāo)準答案：A知識點解析：對于任意給定的正數(shù)M，總存在點，使｜f(xn)｜=｜2nπ+｜＞M，故f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)無界．(C)錯，對于任意給定的正數(shù)M，無論x取多么大的正數(shù)，總有xn=｜2nπ｜＞x(只要｜n｜＞)，使f(xn)=xnsinxn=0＜M，故當(dāng)x→∞時f(x)不是無窮大．千萬不要將無窮大與無界混為一談．2、極限的充要條件是()A、a＞1B、a≠1C、a＞0D、與a無關(guān)標(biāo)準答案：B知識點解析：令3、設(shè)當(dāng)x→x0時，f(x)不是無窮大，則下述結(jié)論正確的是()A、設(shè)當(dāng)x→x0時，g(x)是無窮小，則f(x)g(x)必是無窮小B、設(shè)當(dāng)x→x0時，g(x)不是無窮小，則f(x)g(x)必不是無窮小C、設(shè)在x=x0的某鄰域g(x)無界，則當(dāng)x→x0時，f(x)g(x)必是無窮大D、設(shè)在x=x0的某鄰域g(x)有界，則當(dāng)x→x0時，f(x)g(x)必不是無窮大標(biāo)準答案：D知識點解析：設(shè)f(x)=，當(dāng)x→0時為無界變量，不是無窮大．令g(x)=x，當(dāng)x→0時為無窮小，可排除(A)．設(shè)x→0時，令f(x)=x2，g(x)=可排除(B)，(C)．4、設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，且f(x)在點x0處間斷，則在點x0處必定間斷的函數(shù)為()A、f(x)sinxB、f(x)+sinxC、f2(x)D、｜f(x)｜標(biāo)準答案：B知識點解析：方法一若f(x)+sinx在點x0處連續(xù)，則f(x)=[f(x)+sinx]-sinx在點x0處也連續(xù)，與已知矛盾．方法二排除法．設(shè)f(x)=則f(x)在點x=0處間斷，f(x)sinx≡0在x=0處連續(xù)．若設(shè)f(x)=f(x)在點x=0處間斷，但f2(x)=1，｜f(x)｜=1在x=0處都連續(xù)．故可排除(A)，(C)，(D)．5、設(shè)當(dāng)x→x0時，α(x)，β(x)(β(x)≠0)都是無窮小，則當(dāng)x→x0時，下列表達式中不一定為無窮小的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：A知識點解析：有限個無窮小的和、差、積、絕對值還是無窮小量．6、設(shè)當(dāng)x→0時，etanx-ex與xn是同階無窮小，則n為()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準答案：C知識點解析：7、若f(x)=在(-∞，+∞)上連續(xù)，且，則()A、λ＜0，k＜0B、λ＜0，k＞0C、λ≥0，k＜0D、λ≤0，k＞0標(biāo)準答案：D知識點解析：分母不為零，故λ≤0；又f(x)=0，故k＞0．8、設(shè)f(x)=，則()A、x=0，x=1都是f(x)的第一類間斷點B、x=0，x=1都是f(x)的第二類間斷點C、x=0是f(x)的第一類間斷點，x=1是f(x)的第二類間斷點D、x=0是f(x)的第二類間斷點，x=1是f(x)的第一類間斷點標(biāo)準答案：D知識點解析：由f(x)的表達式可知x=0，x=1為其間斷點．故x=1是第一類間斷點，x=0是第二類間斷點，選(D)．9、設(shè)f(x)=，則f(x)有()A、1個可去間斷點，1個跳躍間斷點B、1個跳躍間斷點，1個無窮間斷點C、2個可去間斷點D、2個無窮間斷點標(biāo)準答案：A知識點解析：x=0和x=1為f(x)的間斷點，其余點連續(xù)．因x→1時，Inx=ln(1+x-1)～x-1，則x=1為跳躍間斷點．答案選擇(A)．10、若f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)有界，則f(x)在(a，b)內(nèi)間斷點的類型只能是()A、第一類間斷點B、第二類間斷點C、既有第一類間斷點也有第二類間斷點D、結(jié)論不確定標(biāo)準答案：A知識點解析：不妨設(shè)f(x)單調(diào)增加，且｜f(x)｜≤M，對任一點x0∈(a，b)，當(dāng)x→x0-時，f(x)隨著x增加而增加且有上界，故存在；當(dāng)x→x0+時，f(x)隨著x減小而減小且有下界，故存在，故x0只能是第一類間斷點．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)11、若當(dāng)x→0時，有，則a=______標(biāo)準答案：-3知識點解析：當(dāng)x→0時，12、當(dāng)x→0時，若有則A=_______，k=________標(biāo)準答案：知識點解析：13、當(dāng)x→π時，若有，則A=______，k=_______標(biāo)準答案：知識點解析：當(dāng)x→π時，14、若f(x)=是(-∞，+∞)上的連續(xù)函數(shù)，則a=______標(biāo)準答案：1知識點解析：15、已知數(shù)列Fn==_______標(biāo)準答案：知識點解析：因為三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)16、數(shù)列{xn}通項xn=標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析17、設(shè)a1=2，an+1=存在并求其極限值．標(biāo)準答案：因為，所以{an}有下界．下面再證明{an}單調(diào)遞減．知識點解析：暫無解析18、設(shè)x1=1，xn+1=標(biāo)準答案：即xn+1＞xn，由數(shù)學(xué)歸納法可知對一切n，都有xn+1＞xn．又xn+1=1+，所以{xn}單調(diào)增加且有上界，{xn}必收斂．記兩邊取極限，得a=1+知識點解析：暫無解析19、如果數(shù)列{xn}收斂，{yn}發(fā)散，那么{xnyn}是否一定發(fā)散?如果{xn}和(yn}都發(fā)散，那么{xnyn}的斂散性又將如何?標(biāo)準答案：在題設(shè)兩種情況下，{xnyn}的收斂性都不能確定．現(xiàn)在先就{xn}收斂，{yn}發(fā)散的情況來分析．利用這個恒等式，就可得到下述結(jié)論：若{xn}收斂且不收斂于零，{yn}發(fā)散，則{xnyn}必發(fā)散．這是因為若{xnyn}收斂，且又{xn}收斂而極限不等于零，則從上述恒等式及極限相除法則，可知{yn}收斂，這與假設(shè)矛盾．若，且{yn}發(fā)散，則{xnyn}可能收斂，也可能發(fā)散，如：①xn=，yn=n，則xnyn=1，于是{xnyn}收斂．②xn=，yn=(-1)nn，則xnyn=(-1)n，于是{xnyn}發(fā)散．現(xiàn)在再就{xn}和{yn}都發(fā)散的情況來分析{xnyn}的收斂性．有下面的結(jié)論：若{xn}和{yn}都發(fā)散，且兩者至少有一個是無窮大，則{xnyn}必發(fā)散．這是因為如果{xnyn}收斂，而{xn}為無窮大，從等式便得到{yn}收斂于零，這與假設(shè)矛盾．若{xn}和{yn}都不是無窮大且都發(fā)散，則{xnyn}可能收斂，也可能發(fā)散，如③xn=yn=(-1)n有xnyn=1，于是{xnyn}收斂．④xn=(-1)n，yn=1-(-1)n，有xnyn=(-1)”-1，于是{xnyn}發(fā)散．知識點解析：暫無解析20、分段函數(shù)一定不是初等函數(shù)，若正確，試證之；若不正確，試說明它們之間的關(guān)系?標(biāo)準答案：不正確．初等函數(shù)是指由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算及有限次復(fù)合步驟所得到的，并用一個式子表示的函數(shù)．分段函數(shù)雖用幾個表達式表示，但并不能說肯定不能用一個表達式表示，因此，分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，也可能不是初等函數(shù)，如φ(x)=｜x｜，通常寫成分段函數(shù)的形式但也可以寫成一個表達式，所以函數(shù)φ(x)=｜x｜是初等函數(shù)．而則不是初等函數(shù)．知識點解析：暫無解析21、求極限標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析已知數(shù)列{xn}的通項22、證明標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析23、計算標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析24、利用夾逼定理證明：標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在x=0處二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且試求f(0)，f’(0)，f’’(0)以及極限標(biāo)準答案：如果知識點解析：暫無解析26、設(shè)a＞0，x1＞0，xn+1=標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析27、試討論函數(shù)g(x)=在點x=0處的連續(xù)性．標(biāo)準答案：g(0)=(ex+β)｜x=0=，所以：當(dāng)a＞0且β=-1時，有g(shù)(0-)=g(0+)=g(0)=0，故g(x)在x=0處連續(xù)；當(dāng)a＞0且p≠-1時，有g(shù)(0-)≠g(0+)，故點x=0是g(x)的跳躍間斷點；當(dāng)a≤0時，點x=0是g(x)的振蕩間斷點．知識點解析：暫無解析28、求函數(shù)F(x)=的間斷點，并判斷它們的類型．標(biāo)準答案：對于函數(shù)F(x)的分段點x=0，因故x=0是函數(shù)F(x)的跳躍間斷點．當(dāng)x＞0時，不存在，故x=1是函數(shù)F(x)的振蕩間斷點．知識點解析：暫無解析29、設(shè)f(x)=，求f(x)的間斷點并判定其類型．標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析30、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=0，F(xiàn)(x)=標(biāo)準答案：令知識點解析：暫無解析31、設(shè)f(x)=，為了使f(x)對一切z都連續(xù)，求常數(shù)a的最小正值．標(biāo)準答案：當(dāng)由此可見，f(x)在(-∞，-1]，(-1，1)，[1，+∞)內(nèi)連續(xù)，故只需f(x)在x=-1，x=兩點連續(xù)即可．因為知識點解析：暫無解析32、設(shè)f(x)=.求f(x)的間斷點，并說明間斷點的類型，如是可去間斷點，則補充或改變定義使它連續(xù)．標(biāo)準答案：f(x)存(-1，0)，(0，1)及(1，+∞)都是初等函數(shù)，是連續(xù)的f(0)無定義，故x=0是間斷點．因為所以x=0為跳躍間斷點.f(1)無定義，故x=1是間斷點.因為不存在.所以x=1為無窮間斷點.知識點解析：暫無解析33、設(shè)f(x；t)=((x-)(t-1)＞0，x≠t)，函數(shù)f(x)由下列表達式確定，求出f(x)的連續(xù)區(qū)間和間斷點，并研究f(x)在間斷點處的左右極限．標(biāo)準答案：顯然x=1為間斷點，連續(xù)區(qū)間(-∞，1)∪(1，+∞)．所以x=1為無窮間斷點．知識點解析：暫無解析34、設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，x1，x2，…，xn，…是[a，b]上一個點列，求標(biāo)準答案：本題考慮夾逼準則．由f(x)在[a，b]上連續(xù)，知ef(x)在[a，b]上非負連續(xù)，且0＜m≤ef(x)≤M，其中M，m分別為ef(x)在[a，b]上的最大值和最小值，于是0＜m≤≤M，故知識點解析：暫無解析35、設(shè)函數(shù)f(x)在0＜x≤1時f(x)=xsinx，其他的x滿足關(guān)系式f(x)+k=2f(x+1)，試求常數(shù)k使極限存在．標(biāo)準答案：因求“00”型未定式極限的常用方法是將該類冪指數(shù)函數(shù)u(x)v(x)化為復(fù)合函數(shù)ev(x)lnu(x)，故其中，通過等價無窮小替換與洛必達法則求得：根據(jù)題設(shè)的關(guān)系式f(x)=2f(x+1)-k，得，由上述結(jié)果f(x)在x=0處右極限f(0+)=1；而其左極限由于極限是存在的，故2-k=f(0-)=f(0+)=1，則常數(shù)k=1知識點解析：暫無解析36、設(shè)f(x)對一切x1，x2滿足f(x1+x2)-f(x1)+f(x2)，并且f(x)在x=0處連續(xù)．證明：函數(shù)f(x)在任意點x0處連續(xù)．標(biāo)準答案：已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，令x2=0，則f(x1)=f(x1)+f(0)，可得f(0)=0，又f(x)在z=0處連續(xù)，則有f(△x)=f(0)=0，而f(x0+△x)-f(x0)=f(x0)+f(△x)-f(x0)-f(△x)，兩邊取極限得到，故函數(shù)f(x)在任意點x0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、以下3個命題，①若數(shù)列{un}收斂于A，則其任意子數(shù)列{uni}必定收斂于A；②若單調(diào)數(shù)列{xn}的某一子數(shù)列{xni}收斂于A，則該數(shù)列必定收斂于A；③若數(shù)列{x2n}與{x2n+1}都收斂于A，則數(shù)列{xn}必定收斂于A．正確的個數(shù)為()A、0B、1C、2D、3標(biāo)準答案：D知識點解析：對于命題①，由數(shù)列收斂的定義可知，若數(shù)列{un}收斂于A，則對任意給定的ε＞0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n＞N時，恒有｜un一A｜＜ε．可知當(dāng)ni＞N時，恒有｜uni一A｜＜ε．因此數(shù)列{uni}也收斂于A，可知命題正確．對于命題②，不妨設(shè)數(shù)列{xn}為單調(diào)增加的，即x1≤x2≤…≤xn≤…，其中某一給定子數(shù)列{xni}收斂于A，則對任意給定的ε＞0，存在自然數(shù)N，當(dāng)ni＞N時，恒有｜xni—A｜＜ε．由于數(shù)列{xn}為單調(diào)增加的數(shù)列，對于任意的n>N，必定存在ni≤n≤ni+1，有一εni一A≤xn一A≤xni+1一A＜ε，從而｜xn一A｜＜ε．可知數(shù)列{xn}收斂于A．因此命題正確．對于命題③，因，由極限的定義可知，對于任意給定的ε>0，必定存在自然數(shù)N1，N2：當(dāng)2n＞N1時，恒有｜x2n一A｜＜ε；當(dāng)2n+1＞N2時，恒有｜x2n+1一A｜＜ε．取N=max{N1，N2}，則當(dāng)n＞N時，總有｜xn一A｜＜ε．因此．可知命題正確．故答案選擇D．2、設(shè)f(x)是偶函數(shù)，φ(x)是奇函數(shù)，則下列函數(shù)(假設(shè)都有意義)中，是奇函數(shù)的是()A、f(φ(x))B、f(f(x))C、φ(f(x))D、φ(φ(x))標(biāo)準答案：D知識點解析：令g(x)=φ(φ(x))，注意φ(x)是奇函數(shù)，有g(shù)(一x)=φ(φ(一x))=φ(一φ(x))=一φ(φ(x))=一g(x)．3、設(shè)f(x)=sin(cosx)，φ(x)=cos(sinx)，則在區(qū)間內(nèi)()A、f(x)是增函數(shù)，φ(x)是減函數(shù)B、f(x)，φ(x)都是減函數(shù)C、f(x)是減函數(shù)，φ(x)是增函數(shù)D、f(x)，φ(x)都是增函數(shù)標(biāo)準答案：B知識點解析：注意在內(nèi)，sinx是增函數(shù)，cosx是減函數(shù)．任取x1，x2∈，且x12，有cosx1＞cosx2所以sin(cosx)>sin(cosx2)，即f(x)是減函數(shù)；由于sinx12，所以cos(sinx1)>cos(sinx2)，即φ(x)是減函數(shù)．4、設(shè)則當(dāng)n＞1時，fn(x)=()A、B、C、D、標(biāo)準答案：C知識點解析：5、設(shè)則f(一x)等于()A、B、C、D、標(biāo)準答案：D知識點解析：6、設(shè)f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)一v(x)，并設(shè)都不存在，下列論斷正確的是()A、若不存在，則必存在B、若不存在，則必不存在C、若存在，則*]必不存在D、若存在，則必存在標(biāo)準答案：C知識點解析：令，當(dāng)x→0時可排除A；令當(dāng)x→0時可排除B；令當(dāng)x→0時可排除D．7、兩個無窮小比較的結(jié)果是()A、同階B、高階C、低階D、不確定標(biāo)準答案：D知識點解析：如當(dāng)x→0時，都是無窮?。淮嬖?，故α(x)和β(x)無法比較階的高低．8、函數(shù)f(x)=xsinx()A、在(一∞，+∞)內(nèi)無界B、在(一∞，+∞)內(nèi)有界C、當(dāng)x→∞時為無窮大D、當(dāng)x→∞時極限存在標(biāo)準答案：A知識點解析：對于任意給定的正數(shù)M，總存在著點故f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)無界．C錯，對于任意給定的正數(shù)M，無論x取多么大的正數(shù)，總有xn=｜2nπ｜＞x(只要)，使f(xn)=xnsinxn=09、極限的充要條件是()A、α＞1B、α≠1C、α＞0D、與α無關(guān)標(biāo)準答案：B知識點解析：令10、設(shè)當(dāng)x→x0時，f(x)不是無窮大，則下述結(jié)論正確的是()A、設(shè)當(dāng)x+x0時，g(x)是無窮小，則f(x)g(x)必是無窮小B、設(shè)當(dāng)x→x0時，g(c)不是無窮小，則f(x)g(x)必不是無窮小C、設(shè)在x=x0的某鄰域g(x)無界，則當(dāng)x→x0時，f(x)g(x)必是無窮大D、設(shè)在x=x0的某鄰域g(x)有界，則當(dāng)x→x0時，f(x)g(x)必不是無窮大標(biāo)準答案：D知識點解析：設(shè)當(dāng)x→0時為無界變量，不是無窮大，令g(x)=x，當(dāng)x→0時為無窮小，可排除A．設(shè)x→0時，令f(x)=x2,可排除B，C．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)11、設(shè)f(x)是奇函數(shù)，且對一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又x(1)=a，a為常數(shù)，n為整數(shù)，則f(n)=__________．標(biāo)準答案：m知識點解析：令x=一1，則f(1)=f(-1)+f(2)，因f(x)是奇函數(shù)，得到f(2)=f(1)一f(-1)=2f(1)一2a．再令x=1，則f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)=na．當(dāng)n=1，2，3時，已知或者已證．假設(shè)n≤k時，有f(k)=ka．當(dāng)n=k+1時，f(k+1)=f(k一1)+f(2)=(k一1)a+2a=(k+1)a，故對一切正整數(shù)n，有f(n)=na，令x=0，則f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0.a，又f(x)是奇函數(shù)，故對一切負整數(shù)n有f(n)=一f(-n)=一(一m)=na．所以對一切整數(shù)n，均有f(n)=na．12、對充分大的一切x，以下5個函數(shù)：100x，log10x100，e10x，，最大的是__________．標(biāo)準答案：知識點解析：當(dāng)x充分大時，有重要關(guān)系：eαx》xβ》lnγx，其中α，β，γ＞0，故本題填．13、標(biāo)準答案：0知識點解析：14、極限標(biāo)準答案：2知識點解析：15、設(shè)則α，β的值為_________．標(biāo)準答案：知識點解析：三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)16、設(shè)，求n，c的值．標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析17、已知，求a，b的值．標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析18、確定a，b，使得x一(a＋bcosx)sinx當(dāng)x→0時為階數(shù)盡可能高的無窮?。畼?biāo)準答案：令y＝x一(a＋bcosx)sinx，y’＝1＋bsin2x一(a＋bcosx)cosx，y"＝bsin2x＋sin2x＋(a＋bcosx)sinx＝asinx＋2bsin2x，y’’’＝acosx＋4bcos2x，顯然y(0)＝0，y"(0)＝0，所以令y’(0)＝y(tǒng)’’’(0)＝0得故當(dāng)時，x一(a＋bcosx)sinx為階數(shù)盡可能高的無窮?。R點解析：暫無解析19、設(shè)，求a，b的值．標(biāo)準答案：ln(1＋x)－(ax＋bx2)＝x一＋o(x2)一(ax＋bx2)＝(1－a)x一(b＋)x2＋o(x2)，由得x→0時，，于是，故a＝1，b＝一2．知識點解析：暫無解析20、確定常數(shù)a，b，c，使得＝c.標(biāo)準答案：由得b＝一1；由得a＝；于是c＝.知識點解析：暫無解析21、設(shè)，其中f(x)連續(xù)，求標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析22、標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析23、標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析24、標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析25、標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析26、設(shè)f’(x)連續(xù)，f(0)＝0，f’(0)≠0，F(xiàn)(x)＝，且當(dāng)x→0時，F(xiàn)(x)～xn，求n及f’(0)．標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(x)在[1，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，f’(x)＜0且＝a＞0，令an＝－.證明：{an}收斂且0≤≤f(1)．標(biāo)準答案：因為f’(x)＜0，所以f(x)單調(diào)減少．又因為an＋1一an＝f(n＋1)一＝f(n＋1)一f(ξ)≤0(ξ∈[n，n＋1)，所以{an}單調(diào)減少．因為an＝[f(k)－f(x)]dx＋f(n)，而[f(k)－f(x)]dx≥0(k＝1，2，…，n－1)且＝a＞0，所以存在X＞0，當(dāng)x＞X時，f(x)＞0．由f(x)單調(diào)遞減得f(x)＞0(x∈[1，＋∞))，故an≥f(n)＞0，所以存在．由an＝f(1)＋，而f(k)一≤0(k＝2，3，…，n)，所以an≤f(1)，從而0≤≤f(1)．知識點解析：暫無解析28、設(shè)a＞0，x1＞0，且定義xn＋1＝(n＝1，2，…)，證明：存在并求其值．標(biāo)準答案：因為正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)，所以有知識點解析：暫無解析29、設(shè)a1＝1，當(dāng)n≥1時，an＋1＝，證明：數(shù)列{an}收斂并求其極限．標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析30、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，且f(0)＝0，f(1)＝1．證明：(1)存在c∈(0，1)，使得f(c)＝1—2c；(2)存在拿∈[0，2]，使得2f(0)＋f(1)＋3f(2)＝6f(ξ)．標(biāo)準答案：(1)令φ(x)＝f(x)一1＋2x，φ(0)＝一1，φ(1)＝2，因為φ(0)φ(1)＜0，所以存在c∈(0，1)，使得φ(c)＝0，于是f(c)＝1—2c．(2)因為f(x)∈C[0，2]，所以f(x)在[0，2]上取到最小值m和最大值M，由6m≤2f(0)＋f(1)＋3f(2)≤6M得由介值定理，存在ξ∈[0，2]，使得于是2f(0)＋f(1)＋3f(2)＝6f(ξ)．知識點解析：暫無解析31、設(shè)＝A，證明：數(shù)列{an}有界．標(biāo)準答案：取ε0＝1，因為＝A，根據(jù)極限定義，存在N＞0，當(dāng)n＞N時，有｜an一A｜＜1，所以｜an｜≤｜A｜＋1．取M＝max{｜a1｜，｜a2｜，…，｜aN｜，｜A｜＋1)，則對一切的n，有｜an｜≤M.知識點解析：暫無解析32、設(shè)f(x)在[0，1]上有定義，且exf(x)與e－f(x)在[0，1]上單調(diào)增加．證明：f(x)在[0，1]上連續(xù)．標(biāo)準答案：對任意的x0∈[0，1]，因為exf(x)與e－f(x)在[0，1]上單調(diào)增加，所以當(dāng)x＜x0時，有故f(x0)≤f(x)≤，令x→，由夾逼定理得f(x0一0)＝f(x0)；當(dāng)x＞x0時，有故令x→，由夾逼定理得f(x0＋0)＝f(x0)，故f(x0一0)＝f(x0＋0)＝f(x0)，即f(x)在x＝x0處連續(xù)，由x0的任意性得f(x)在[0，1]上連續(xù)．知識點解析：暫無解析33、設(shè)f(x)在[a，＋∞)上連續(xù)，f(a)＜0，而存在且大于零．證明：f(x)在(a，＋∞)內(nèi)至少有一個零點．標(biāo)準答案：令＝k＞0，取ε0＝＞0，因為＝k＞0，所以存在X0＞0，當(dāng)x≥X0時，有｜f(x)一k｜≤，從而f(x)≥＞0，特別地，f(X0)＞0，因為f(x)在[a，X0]上連續(xù)，且f(a)f(X0)＜0，所以存在ξ∈(a，X0)，使得f(ξ)＝0．知識點解析：暫無解析34、f(x)＝，求f(x)的間斷點并分類．標(biāo)準答案：x＝k(k＝0，一1，一2，…)及x＝1為f(x)的間斷點．f(0—0)＝因為f(0—0)≠f(0＋0)，所以x＝0為跳躍間斷點；由得x＝－2為可去間斷點；當(dāng)x＝k(k＝一1，一3，一4，…)時，由＝∞得x＝k(k＝一1，一3，一4，…)為第二類間斷點；由＝∞得x＝1為第二類間斷點．知識點解析：暫無解析35、求f(x)＝的間斷點并判斷其類型．標(biāo)準答案：f(x)的間斷點為x＝0，一1，一2，…及x＝1．當(dāng)x＝0時，f(0—0)＝，f(0＋0)＝，則x＝0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點中的跳躍間斷點．當(dāng)x＝一1時，，則x＝一1為f(x)的第一類間斷點中的可去間斷點．當(dāng)x＝k(k＝一2，一3，…)時，，則x＝k(k＝一2，一3，…)為函數(shù)f(x)的第二類間斷點．當(dāng)x＝1時，因為limf(x)不存在，所以x＝1為f(x)的第二類間斷點．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第5套一、解答題(本題共27題，每題1.0分，共27分。)1、已知存在，且，求f(x)．標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析2、設(shè)f(x)是三次多項式，且有標(biāo)準答案：因為所以f(2a)=f(4a)=0，從而得知x一2a，x一4a為f(x)的因式．又因為f(x)為三次多項式，可令f(x)=b(x一2a)(x一4a)(x—c)．于是知識點解析：暫無解析3、設(shè)，試求α，β的值．標(biāo)準答案：顯然由條件知β≠0，而知識點解析：暫無解析4、設(shè)函數(shù)，證明：存在常數(shù)A，B，使得當(dāng)x→0+時，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常數(shù)A，B．標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析5、計算標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析6、求極限標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析7、數(shù)列{xn}通項標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析8、設(shè)證明：存在并求其極限值．標(biāo)準答案：因為所以{an}有下界．下面再證明{an}單調(diào)遞減．知識點解析：暫無解析9、設(shè)標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析10、如果數(shù)列{xn}收斂，{yn}發(fā)散，那么{xnyn}是否一定發(fā)散?如果{xn}和{yn}都發(fā)散，那么{xnyn}的斂散性又將如何?標(biāo)準答案：在題設(shè)兩種情況下，{xnyn}的收斂性都不能確定，現(xiàn)在先就{xn}收斂，{yn}發(fā)散的情況來分析．利用這個恒等式，就可得到下述結(jié)論：若{xn}收斂且不收斂于零，{yn}發(fā)散，則{xnyn}必發(fā)散．這是因為若{xnyn}收斂，且又{xn}收斂而極限不等于零，則從上述恒等式及極限相除法則，可知{yn}收斂，這與假設(shè)矛盾．若，且{yn}發(fā)散，則{xnyn}可能收斂，也可能發(fā)散，如：①yn=n，則xnyn=1，于是{xnyn}收斂．②,yn=(一1)nn，則xnyn=(一1)n，于是{xnyn}發(fā)散．現(xiàn)在再就{xn}和{yn}都發(fā)散的情況來分析{xnyn}的收斂性．有下面的結(jié)論：若{xn}和{yn}都發(fā)散，且兩者至少有一個是無窮大，則{xnyn}必發(fā)散．這是因為如果{xnyn}收斂，而{xn}為無窮大，從等式便得到{yn}收斂于零，這與假設(shè)矛盾．若{xn}和{yn}都不是無窮大且都發(fā)散，則{xnyn}可能收斂，也可能發(fā)散，如③xn=yn=(一1)n有xnyn=1，于是{xnyn}收斂．④xn=(一1)n，yn=1一(一1)n，有xnyn=(一1)n一1，于是{xnyn}發(fā)散．知識點解析：暫無解析11、分段函數(shù)一定不是初等函數(shù)，若正確，試證之；若不正確，試說明它們之間的關(guān)系?標(biāo)準答案：不正確．初等函數(shù)是指由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算及有限次復(fù)合步驟所得到的，并用一個式子表示的函數(shù)．分段函數(shù)雖用幾個表達式表示，但并不能說肯定不能用一個表達式表示，因此，分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，也可能不是初等函數(shù)，如φ(x)=｜x｜，通常寫成分段函數(shù)的形式但也可以寫成一個表達式，所以函數(shù)φ(x)=｜x｜是初等函數(shù)，而，則不是初等函數(shù)．知識點解析：暫無解析12、求極限標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析13、計算極限標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析14、利用夾逼定理證明：標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析15、設(shè)f(x)在x=0處二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且試求f(0)，f’(0)，f’’(0)以及極限標(biāo)準答案：從而得F’(0)=0，F(xiàn)’’(0)=4,知識點解析：暫無解析16、計算標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析17、設(shè)標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析18、試討論函數(shù),在點x=0處的連續(xù)性．標(biāo)準答案：所以：當(dāng)a＞0且β=一1時，有g(shù)(0一0)一g(0+0)=g(0)=0，故g(x)在x=0處連續(xù)；當(dāng)a＞0且β≠一1時，有g(shù)(0—0)≠g(0+0)，故點x=0是g(x)的跳躍間斷點；當(dāng)a≤0時，點x=0是g(x)的振蕩間斷點．知識點解析：暫無解析19、求函數(shù)的間斷點，并判斷它們的類型．標(biāo)準答案：對于函數(shù)F(x)的分段點x=0，因故x=0是函數(shù)F(x)的跳躍間斷點．當(dāng)x＞0時，在x=1處沒有定義，且極限不存在．故x=1是函數(shù)F(x)的振蕩間斷點．當(dāng)x＜0時，在點列處沒有定義，則這些點都是函數(shù)F(x)的間斷點,特別對點，有故是函數(shù)F(x)的可去間斷點；而點，顯然是函數(shù)F(x)的無窮間斷點．知識點解析：暫無解析20、設(shè)求f(x)的間斷點并判定其類型．標(biāo)準答案：故x=0為可去間斷點．則x=一1為跳躍間斷點．知識點解析：暫無解析21、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，標(biāo)準答案：令xn一tn=u，則，于是知識點解析：暫無解析22、設(shè)為了使f(x)對一切x都連續(xù)，求常數(shù)a的最小正值．標(biāo)準答案：當(dāng)｜x｜＜1時，所以f(x)=sinax；知識點解析：暫無解析23、設(shè)求f(x)的間斷點，并說明間斷點的類型，如是可去間斷點，則補充或改變定義使它連續(xù)．標(biāo)準答案：f(x)在(一1，0)，(0，1)及(1，+∞)都是初等函數(shù)，是連續(xù)的，f(0)無定義，故x=0縣間斷點，因，所以x=0為跳躍間斷點．f(1)無定義，故x=1是間斷點．因為不存在，所以x=1為無窮間斷點．知識點解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)f(x)由下列表達式確定，求出f(x)的連續(xù)區(qū)間和間斷點，并研究f(x)在間斷點處的左右極限．標(biāo)準答案：顯然x=1為間斷點，連續(xù)區(qū)間(一∞，1)∪(1，+∞)．所以x=1為無窮間斷點．知識點解析：暫無解析25、設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，x1，x2，…，xn，…是[a，b]上一個點列，求標(biāo)準答案：本題考慮夾逼準則，由f(x)在[a，b]上連續(xù)，知ef(x)在[a，b]上非負連續(xù)，且0＜m≤ef(x)≤M，其中M，m分別為ef(x)在[a，b]上的最大值和最小值，于是故由，根據(jù)夾逼準則，得知識點解析：暫無解析26、設(shè)函數(shù)f(x)在0sinx，其他的x滿足關(guān)系式f(x)+k=2f(x+1)，試求常數(shù)k使極限存在．標(biāo)準答案：因求“00”型未定式極限的常用方法是將該類冪指數(shù)函數(shù)u(x)v(x)化為復(fù)合函數(shù)，其中，通過等價無窮小替換與洛必達法則求得：根據(jù)題設(shè)的關(guān)系式f(x)=2f(x+1)一k，得，由上述結(jié)果f(x)在x=0處右極限f(0+)=1；而其左極限由于極限是存在的，故2一k=f(0-)=f(0+)=1，則常數(shù)k=1．知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(x)對一切x1，x2滿足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，并且f(x)在x=0處連續(xù)．證明：函數(shù)f(x)在任意點x0處連續(xù)．標(biāo)準答案：已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，令x2=0，則f(x1)=f(x1)+f(0)，可得f(0)=0，又f(x)在x=0處連續(xù)，則有，而f(x0+△x)一f(x0)=f(x0)+f(△x)一f(x0)=f(△x)，兩邊取極限得到，故函數(shù)f(x)在任意點x0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)數(shù)列{xn}和{yn}滿足，則當(dāng)n→∞時，{yn}必為無窮小的充分條件是()A、{xn}是無窮小B、是無窮小C、{xn}有界D、{xn}單調(diào)遞減標(biāo)準答案：B知識點解析：若，故(B)正確．若取，且{xn}在n→∞時是無窮小、有界、單調(diào)遞減的，但{yn}不是無窮小，排除(A)，(C)，(D)．2、以下3個命題，①若數(shù)列{un}收斂于A，則其任意子數(shù)列{unj}必定收斂于A；②若單調(diào)數(shù)列{xn}的某一子數(shù)列{xhj}收斂于A，則該數(shù)列必定收斂于A；③若數(shù)列{x2n}與{x2n+1}都收斂于A，則數(shù)列{xn}必定收斂于A正確的個數(shù)為()A、0B、1C、2D、3標(biāo)準答案：D知識點解析：對于命題①，由數(shù)列收斂的定義可知，若數(shù)列{un}收斂于A，則對任意給定的ε＞0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n＞N時，恒有｜un-A｜＜ε．可知當(dāng)ni＞N時，恒有｜uni-A｜＜ε因此數(shù)列{uni}也收斂于A，可知命題正確．對于命題②，不妨設(shè)數(shù)列{xn}為單調(diào)增加的，即x1≤x2≤…≤xn≤…，其中某一給定子數(shù)列{xni}收斂于A，則對任意給定的ε＞0，存在自然數(shù)N，當(dāng)ni＞N時，恒有｜xni-A｜＜ε由于數(shù)列{xn}為單調(diào)增加的數(shù)列，對于任意的n＞N，必定存在ni≤n≤ni+1，有從而｜xn-A｜＜ε可知數(shù)列{xn}收斂于A因此命題正確．對于命題③，因，由極限的定義可知，對于任意給定的e＞0，必定存在自然數(shù)N1，N2：當(dāng)2n＞N1時，恒有｜x2n-A｜＜ε；當(dāng)2n+1＞N2時，恒有｜x2n+1-A｜＜ε．取N=max{N1，N2)，則當(dāng)n＞N時，總有｜xn-A｜＜ε．因此．可知命題正確．故答案選擇(D)．3、設(shè)f(x)是偶函數(shù)，φ(x)是奇函數(shù)，則下列函數(shù)(假設(shè)都有意義)中，是奇函數(shù)的是()A、f[φ(x)]B、f[f(x)]C、φ[f(x)]D、φ[φ(x)]標(biāo)準答案：D知識點解析：令g(x)=φ[φ(x)]，注意φ(x)是奇函數(shù)，有g(shù)(-x)=φ[φ(-x)]=φ[-φ(x)]=-φ[φ(x)]=-g(x)，因此φ[φ(x)]為奇函數(shù)，同理可得f[φ(x)]，f[f(x)]，φ[ff(x)]均為偶函數(shù)．答案選(D).4、設(shè)f(x)=sin(cosx)，φ(x)=cos(sinx)，則在區(qū)間(0，)內(nèi)()A、f(x)是增函數(shù)，φ(x)是減函數(shù)B、f(x)，φ(x)都是減函數(shù)C、f(x)是減函數(shù)，φ(x)是增函數(shù)D、f(x)，φ(x)都是增函數(shù)標(biāo)準答案：B知識點解析：注意在(0，)內(nèi)，sinx是增函數(shù)，cosx是減函數(shù)．任取x1，x2∈，且x1＜x2，有cosx1＞cosx2，所以sin(cosx1)＞sin(cosx2)，即f(x)是減函數(shù)；由于sinx1＜sinx2，所以cos(sinx1)＞cos(sinx2)，即φ(x)是減函數(shù)．5、設(shè)f1(x)=，f2(x)=f1[f1(x)]，fk+1(x)=f1[fk(x)]，k=1，2，…，則當(dāng)n＞1時，fn(x)=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：C知識點解析：6、設(shè)f(x)=則f(-x)=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：D知識點解析：7、設(shè)f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)-v(x)，并設(shè)都不存在，下列論斷正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：C知識點解析：令，當(dāng)x→0時可排除(B)；令u(x)=，當(dāng)x→0時可排除(D)．8、兩個無窮小比較的結(jié)果是()A、同階B、高階C、低階D、不確定標(biāo)準答案：D知識點解析：如a(x)=不存在，故α(x)和β(x)無法比較階的高低．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、設(shè)f(x)是奇函數(shù)，且對一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，a為常數(shù)，n為整數(shù)，則f(n)=_____標(biāo)準答案：na知識點解析：令x=-1，則f(1)=f(-1)+f(2)，因f(x)是奇函數(shù)，得到f(2)=f(1)-f(-1)=2f(1)=2a．再令x=1，則f(3)=f(1)+f(2)-3f(1)=3a，現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)=na．當(dāng)n=1，2，3時，已知或者已證．假設(shè)n=k時，有f(k)=ka．當(dāng)n=k+1時，f(k+1)=f(k-1)+f(2)=(k-1)a+2a=(k+1)a，故對一切正整數(shù)n，有f(n)=m，令x=0，則f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0.a，又f(x)是奇函數(shù)，故對一切負整數(shù)n有f(n)=-f(-n)=-(-m)=m．所以對一切整數(shù)n，均有f(n)=na．10、對充分大的一切x，以下5個函數(shù)：，最大的是_______標(biāo)準答案：知識點解析：當(dāng)x充分大時，有重要關(guān)系：eαx》xβ》lnγx，其中α，β，γ＞0，故本題填11、=_______標(biāo)準答案：0知識點解析：12、極限=_______標(biāo)準答案：2知識點解析：13、設(shè)，則α，β的值為_______標(biāo)準答案：知識點解析：原式三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)14、設(shè)標(biāo)準答案：本題考查分段函數(shù)的復(fù)合方法．下面用解析法求解．首先，廣義化為尢g(x)]=由g(x)的表達式知，(1)當(dāng)g(x)≤0，即(2ex-1≤0)∩{x≤0)或{x2-1≤0)∩{x＞0}，而{2ex-1≤0)∩{x≤0)={x≤-In2)∩{x≤0)={x≤-In2}，{x2-1≤0)∩(x＞0)={-1≤x≤1)∩{x＞0)={0＜x≤1)．(2)當(dāng)g(x)＞0，即{2ex-1＞0)∩(x≤0)或{x2-1＞0)∩{x＞0)，而{2ex-1＞0)∩{x≤0)={x＞-ln2)∩{x≤0)={-In2＜x≤0)，{x2-1＞0)∩{x＞0)={x＞1或x＜-1)∩{x＞0)={x＞1)．綜上，得f[g(x)]=知識點解析：暫無解析15、求f(x)=的表達式，x≥0；標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析16、討論f(x)的連續(xù)性．標(biāo)準答案：因為f(x)在所以f(x)在[0，+∞)上連續(xù)．知識點解析：暫無解析17、計算極限標(biāo)準答案：因為知識點解析：暫無解析18、求下列極限．標(biāo)準答案：(1)當(dāng)x→0時，(2)這是“1∞”型極限，可用公式來計算，事實上(3)這是“∞-∞”型未定式極限，首先通分變成型未定式，然后使用洛必達法則求極限．或利用等價無窮小代換ex-1～x(x→0)，則(4)是“1∞”型極限，可以使用洛必達法則求極限，也可以湊成第二個重要極限，還可以利用等價無窮小代換．(9)當(dāng)x=0，原式=1；知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)=x2+ax+b，證明：｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜中至少有一個不小于2．標(biāo)準答案：用反證法．設(shè)｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜都小于2，即｜f(i)｜=｜a+b+1｜＜2，｜f(3)｜=3a+b+9｜＜2，｜f(5)｜=5a+b+25｜＜2，則｜f(1)-2f(3)+f(5)｜≤｜f(1)｜+2｜f(3)｜+｜f(5)｜＜2+2×2+2=8．而事實上，｜f(1)-2f(3)+f(5)｜=｜a+b+1-6a-2b-18+5a+b+25｜=8矛盾，故｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜中至少有一個不小于2．知識點解析：暫無解析20、求極限標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析21、求極限標(biāo)準答案：因為x→0時知識點解析：暫無解析22、求極限標(biāo)準答案：原式知識點解析：暫無解析23、求極限標(biāo)準答案：原式知識點解析：暫無解析24、求極限標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析25、求極限標(biāo)準答案：為了在使用洛必達法則時使求導(dǎo)變得簡單，先做變量代換，令t=，從而原式=知識點解析：暫無解析26、求極限標(biāo)準答案：此題為型未定式，若用洛必達法則，則連續(xù)使用完兩次法則，又回到了起點，法則失效，正確的做法是先對式子恒等變形．分子分母同乘知識點解析：暫無解析27、求極限，ai＞0，且ai≠1，i=1，2，…，n，n≥2．標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析28、求極限標(biāo)準答案：方法一原極限等價于求知識點解析：暫無解析29、設(shè)標(biāo)準答案：因為知識點解析：暫無解析30、已知標(biāo)準答案：設(shè)知識點解析：暫無解析31、設(shè)f(x)是三次多項式，且有標(biāo)準答案：因為，所以f(2a)=f(4a)=0，從而得知x-2a，x-4a為f(x)的因式．又因為f(x)為三次多項式，可令f(x)=b(x-2a)(x-4a)(x-c)．于是知識點解析：暫無解析32、設(shè)，試求α，β的值．標(biāo)準答案：顯然由條件知β≠0，而知識點解析：暫無解析33、設(shè)函數(shù)f(x)=，證明：存在常數(shù)A，B，使得當(dāng)x→0+時，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常數(shù)A，B．標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析34、計算標(biāo)準答案：原式=知識點解析：暫無解析35、求極限標(biāo)準答案：先看知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)1、設(shè)f(x)=，則f(f(f(x)))等于()A、0．B、1．C、D、標(biāo)準答案：B知識點解析：由題設(shè)可知｜f(x)｜≤1，因此f(f(f(x)))=1．故選B．2、下列各題計算過程中正確無誤的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：D知識點解析：A項錯誤，數(shù)列沒有導(dǎo)數(shù)概念，不能直接用洛必達法則．B項錯誤，是定式，不能用洛必達法則．C項錯誤，用洛必達法則求不存在，也不為∞，法則失效，因此不能推出原極限不存在，事實上該極限是存在的．故選D．3、下列各式中正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：A知識點解析：由重要極限結(jié)論=e，可立即排除B、D．對于A、C選項，只要驗算其中之一即可．對于C選項，因，故C不正確，選A．4、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)有定義，則()A、x=0必是g(x)的第一類間斷點．B、x=0必是g(x)的第二類間斷點．C、x=0必是g(x)的連續(xù)點．D、g(x)在點x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)．標(biāo)準答案：D知識點解析：因為又g(0)=0，所以當(dāng)a=0時，有=g(0)．也就是說，此時g(x)在點x=0處連續(xù)，當(dāng)a≠0時，≠g(0)，即x=0是g(x)的第一類間斷點．因此，g(x)在x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)，故選D．5、設(shè)x→0時ax2+bx+c—cosx是比x2高階無窮小，其中a，b，c為常數(shù)，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：C知識點解析：由題意得(ax2+bx+c—cosx)=0，得c=1，又因為6、設(shè)數(shù)列xn與yn滿足=0，則下列判斷正確的是()A、若xn發(fā)散，則yn必發(fā)散．B、若xn無界，則yn必?zé)o界．C、若xn有界，則yn必為無窮?。瓺、若為無窮小，則yn必為無窮?。畼?biāo)準答案：D知識點解析：取xn=n，yn=0，顯然滿足，由此可排除A、B．若取xn=0，yn=n，也滿足，又排除C，故選D．7、設(shè)x→0時，(1+sinx)x一1是比xtanxn低階的無窮小，而xtanxn是比(一1)ln(1+x2)低階的無窮小，則正整數(shù)n等于()A、1．B、2．C、3．D、4．標(biāo)準答案：B知識點解析：當(dāng)x→0時，(1+sinx)x一1～ln[(1+sinx)x一1+1]=xln(1+sinx)～xsinx～x2，(一1)ln(1+x2)～sin2x.x2～x4，而xtanxn～x.xn=xn+1．因此2＜n+1＜4，則正整數(shù)n=2，故選B．8、設(shè)f(x)和φ(x)在(一∞，+∞)上有定義，f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f(x)≠0，φ(x)有間斷點，則()A、φ(x))必有間斷點．B、[φ(x)]2必有間斷點．C、f(φ