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1.1空間向量及其運(yùn)算(第二課時(shí))學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過程,了解空間向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.會(huì)用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差,了解向量加法的交換律和結(jié)合律.3.掌握空間向量數(shù)乘運(yùn)算的定義及數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律.4.了解平行(共線)向量、共面向量的意義,掌握它們的表示方法.5.理解共線向量的充要條件和共面向量的充要條件及其推論,并能應(yīng)用其證明空間向量的共線、共面問題。新知探究共線向量與共面向量思考1回顧平面向量中關(guān)于向量共線知識(shí),給出空間中共線向量的定義.答案:如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量叫做共線向量或平行向量.思考2空間中任何兩個(gè)向量都是共面向量,這個(gè)結(jié)論是否正確?答案:正確.根據(jù)向量相等的定義,可以把向量進(jìn)行平移,空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一平面內(nèi),成為共面向量.新知探究梳理
(1)平行(共線)向量定義表示空間向量的有向線段所在的直線的位置關(guān)系:互相平行或重合充要條件對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(b≠0),存在唯一實(shí)數(shù)λ,使a=λb點(diǎn)P在直線l上的充要條件存在實(shí)數(shù)t滿足等式=+tɑ在直線l上取向量=ɑ,則=+t向量ɑ為直線的方向向量新知探究定義平行于同一個(gè)平面的向量三個(gè)向量共面的充要條件向量p與不共線向量a,b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)使p=xa+yb點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使=x+y對(duì)空間任一點(diǎn)O,有=+x+y(2)共面向量小試牛刀向量共線問題
提示:判定向量a,b(b≠0)共線,只需利用已知條件找到x,使a=xb即可.證明點(diǎn)共線,只需證明對(duì)應(yīng)的向量共線.小試牛刀向量共線問題
小試牛刀向量共面問題
考點(diǎn):空間向量的運(yùn)算.提示:利用向量法證明四點(diǎn)共面,實(shí)質(zhì)上是證明向量共面問題,解題的關(guān)鍵是熟練地進(jìn)行向量表示,恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件,解題過程中要注意區(qū)分向量所在的直線的位置關(guān)系與向量的位置關(guān)系小試牛刀向量共面問題跟蹤訓(xùn)練
若e1、e2、e3是三個(gè)不共面向量,則向量a=3e1+2e2+e3,b=-e1+e2+3e3,c=2e1-e2-4e3是否共面?請(qǐng)說明理由.解析:設(shè)c=λ1a+λ2b,則
新知探究空間向量數(shù)量積的概念
解析:新知探究梳理
(1)定義:已知兩個(gè)非零向量a,b,則|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的數(shù)量積,記作a·b.(2)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b=λ(a·b)交換律a·b=b·a分配律a·(b+c)=a·b+a·c新知探究(3)空間向量的夾角
新知探究空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)兩個(gè)向量數(shù)量積的性質(zhì)①若a,b是非零向量,則a⊥b?a·b=0②若a與b同向,則a·b=|a|·|b|;若反向,則a·b=-|a|·|b|.特別地,a·a=|a|2或|a|=③若θ為a,b的夾角,則cosθ=④|a·b|≤|a|·|b|小試牛刀空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
【答案】6【解題技巧】本題根據(jù)垂直向量的數(shù)量積為0,進(jìn)行運(yùn)算,主要考察空間向量的數(shù)量積運(yùn)算,考察運(yùn)算能力.小試牛刀空間向量的數(shù)量積運(yùn)算跟蹤訓(xùn)練
如圖,在大小為45°的二面角A-EF-D中,四邊形ABFE,CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形,則B,D兩點(diǎn)間的距離是(
)
【答案】D小試牛刀利用數(shù)量積求夾角
提示:兩向量的數(shù)
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