高考數(shù)學(xué)講義隨機變量及其分布列參考教案

隨機變量及其分布列

隹高考要求

要求層次重難點

取有限值的離散型⑴理解取有限個值的離散型隨機變量及

隨機變量及隨機變量及其分布C其分布列的概念，了解分布列對于刻畫

其分布列隨機現(xiàn)象的重要性.

⑵理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能

超幾何分布A進(jìn)行簡單的應(yīng)用.

要求層次重難點

條件概率A

二項分布-了解條件概率和兩個事件相互獨立的概

事件的獨立性A

及其應(yīng)用念，理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二

n次獨立重復(fù)試驗與

B項分布，并能解決一些簡單的實際問題.

二項分布

要求層次重難點

離散型隨-

理解取有限個值的離散型隨機變量均

機變量的

取有限值的離散型隨值、方差的概念，能計算簡單離散型隨

均值與方B

機變量的均值、方差機變量的均值、方差，并能解決一些實

差

際問題.

要求層次重難點

正態(tài)分布利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布

正態(tài)分布A

曲線的特點及曲線所表示的意義.

隹知識內(nèi)容

1.離散型隨機變量及其分布列

⑴離散型隨機變量

如果在試驗中，試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗的結(jié)

果的不同而坐化的，我們把這樣的變量X叫做一個隨機變量.隨機變量常用大寫字母

X,Y,表示.

如果隨機變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量.

⑵離散型隨機變量的分布列

將離散型隨機變量X所有可能的取值x,與該取值對應(yīng)的概率p,(i=l,2,,〃)列表表示：

X冗2Xi

pPlp?PiPn

我們稱這個表為離散型隨機變量X的概率分布，或稱為離散型隨機變量X的分布列.

2.幾類典型的隨機分布

⑴兩點分布

如果隨機變量X的分布列為

X10

ppq

其中q=\-p,則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為p的二點分布.

二點分布舉例：某次抽查活動中，一件產(chǎn)品合格記為1,不合格記為0,已知產(chǎn)品的合格率

為80%,隨機變量X為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則X的分布列滿足二點分布.

X10

p0.80.2

兩點分布又稱0-1分布，由于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗叫做伯努利試驗，所以這種分

布又稱為伯努利分布.

⑵超幾何分布

一般地,設(shè)有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件,從所有物品中任取n件(nWN),

這?件中所含這類物品件數(shù)X是一個離散型隨機變量，它取值為m時的概率為

p(X=,")=(ow〃?W/,/為〃和M中較小的一個).

CN

我們稱離散型隨機變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為N,

M,〃的超幾何分布.在超幾何分布中，只要知道N,"和”，就可以根據(jù)公式求出X

取不同值時的概率P(X=m),從而列出X的分布列.

⑶二項分布

1.獨立重復(fù)試驗

如果每次試驗，只考慮有兩個可能的結(jié)果A及入，并且事件A發(fā)生的概率相同.在相同

的條件下，重復(fù)地做〃次試驗，各次試驗的結(jié)果相互獨立，那么一般就稱它們?yōu)椤ù为?/p>

立重復(fù)試驗.〃次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生人次的概率為

P.*)=C.pkQ-p)i(k=0,l,2,,n).

2.二項分布

若將事件A發(fā)生的次數(shù)設(shè)為X,事件A不發(fā)生的概率為4=1-0,那么在〃次獨立重復(fù)

試驗中，事件A恰好發(fā)生*次的概率是P(X=Z)=C其中々=0,1,2,于

是得到X的分布列

X01kn

C：pkq“Y

pCp°q"C：pnq°

由于表中的第二行恰好是二項展開式

(q+P)"=CpW+C：p“i++c：pW-?+C：：PZ。

各對應(yīng)項的值，所以稱這樣的散型隨機變量X服從參數(shù)為〃，p的二項分布，

記作X~B(n,p).

二項分布的均值與方差：

若離散型隨機變量X服從參數(shù)為"和p的二項分布，則

E(X)=np,D(x)=npq(q=1-p).

⑷正態(tài)分布

1.概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時，

直方圖上面的折線所接近的曲線.在隨機變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機變

量X，則這條曲線稱為X的概率密度曲線.

曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是1,而隨機變量X落在指定的兩個

數(shù)。，匕之間的概率就是對應(yīng)的曲邊梯形的面積.

2.正態(tài)分布

⑴定義：如果隨機現(xiàn)象是由一些互相獨立的偶然因素所引起的，而且每一個偶然因素

在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的年

隨機現(xiàn)象的隨機變量的概率分布近似服從正態(tài)分布.x=n\

服從正態(tài)分布的隨機變量叫做正態(tài)隨機變量，簡稱正態(tài)變量.△

正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為/\

yj2Tl.cy/N

xeR,其中〃，cr是參數(shù)，且cr>0,-oo<f,i<+oo./

式中的參數(shù)必和b分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差.期望------------同-----T

為〃、標(biāo)準(zhǔn)差為b的正態(tài)分布通常記作N（〃，〃）.

正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線.

⑵標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為0,標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

⑶重要結(jié)論：

①正態(tài)變量在區(qū)間（〃-cr,〃+cr）,（〃-2cr,〃+2cr）,（〃-3cr,〃+3cr）內(nèi)，取值的概率分

別是68.3%,95.4%,99.7%.

②正態(tài)變量在（-8,+8）內(nèi)的取值的概率為1,在區(qū)間（〃-3b,〃+3cr）之外的取值的概率

是0.3%,故正態(tài)變量的取值幾乎都在距x=〃三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的3b原

則.

⑷若g~N（",s）,f（x）為其概率密度函數(shù)，則稱F（x）=pqwx）=fy（ry/f為概率分布

函數(shù)，特別的,尸),稱/x)=L意"，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)?

a

尸修<幻=。（土必）.

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得.

分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求，適當(dāng)了解以加深對密度曲線的理解即可.

3.離散型隨機變量的期望與方差

1.離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望

定義：一般地，設(shè)一個離散型隨機變量X所有可能的取的值是百，聲,…，演，這些

值對應(yīng)的概率是Pi，P2，…，p??則E（x）=x/i+x2P2++x“p”,叫做這個離散型隨

機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望（簡稱期望）.

離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個離散型隨機變量的平均取值水平.

2.離散型隨機變量的方差

一般地，設(shè)一個離散型隨機變量X所有可能取的值是x，與，???，相，這些值對應(yīng)的

概率是Pi,p2>P?>則o（x）=（西-E（X）7PI+電-E僅）力2++觴一￡￡）舫“叫

做這個離散型隨機變量X的方差.

離散型隨機變量的方差反映了離散隨機變量的取值相對于期望的平均波動的大小（離散

程度）.

o（x）的算術(shù)平方根辰y(tǒng)叫做離散型隨機變量x的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個衡量離散型隨

機變量波動大小的量.

3.X為隨機變量，為常數(shù)，則E(aX+%)=〃E(X)+8,D(aX+力="2￡>(X)；

4.典型分布的期望與方差：

⑴二點分布：在一次二點分布試驗中，離散型隨機變量X的期望取值為°,在〃次二

點分布試驗中，離散型隨機變量X的期望取值為即.

⑵二項分布：若離散型隨機變量X服從參數(shù)為〃和p的二項分布，則E(X)=叩，

0(x)=npq(q=\-p).

⑶超幾何分布：若離散型隨機變量X服從參數(shù)為N,〃的超幾何分布，

則￡(%)=—,=——

N儲(N-1)

4.事件的獨立性

如果事件A是否發(fā)生對事件3發(fā)生的概率沒有影響，即尸(0A)=P(B),

這時，我們稱兩個事件A,8相互獨立，并把這兩個事件叫做相互獨立事件.

如果事件A,&A.相互獨立，那么這〃個事件都發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)

生的概率的積，即p(4&4)=尸(A)xP(4)xxP(4),并且上式中任意多個事

件A換成其對立事件后等式仍成立.

5.條件概率

對于任何兩個事件A和3,在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概

率，用符號“P(8|A)”來表示.把由事件A與8的交(或積)，記做O=AB(或。=M).

■tte典例分析

版塊一：離散型隨機變量及其分布列

【例1】以下隨機變量中，不是離散型隨機變量的是：

(1)某城市一天之內(nèi)發(fā)生的火警次數(shù)X;

⑵某城市一天之內(nèi)的溫度Y.

【考點】離散型隨機變量的定義

【難度】1星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】略

【答案】⑴X是隨機變量，其取值為0,1,2,;

⑵丫不是隨機變量，它可以取某一范圍內(nèi)的所有實數(shù)，無法一一列舉.

【例2】拋擲兩顆骰子，所得點數(shù)之和為g,那么g=4表示的隨機試驗結(jié)果是()

A.一顆是3點，一顆是1點

B.兩顆都是2點

C.兩顆都是4點

D.一顆是3點，一顆是1點或兩顆都是2點

【考點】離散型隨機變量的定義

【難度】1星

【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】無

【解析】對A,B中表示的隨機試驗的結(jié)果，隨機變量均取值4,

而D是彳=4代表的所有試驗結(jié)果.掌握隨機變量的取值與它刻畫的隨機試險

的結(jié)果的對應(yīng)關(guān)系是理解隨機變量概念的關(guān)鍵.

【答案】D:

【例3】如果g是一個離散型隨機變量，則假命題是()

A.J取每一個可能值的概率都是非負(fù)數(shù)；

B.J取所有可能值的概率之和為1;

C.J取某幾個值的概率等于分別取其中每個值的概率之和；

D.4在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和.

【考點】離散型隨機分布列的性質(zhì)

【難度】1星

【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】無

【解析】略

【答案】D:

【例4】有六節(jié)電池，其中有2只沒電，4只有電，每次隨機抽取一個測試，不放回,

直至分清楚有電沒電為止，所要測試的次數(shù)J為隨機變量，求J的分布列.

【考點】離散型隨機分布列的性質(zhì)

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】略

【答案】容易知道§=2,3,4,5.

A21

：4=2表示前2只測試均為次品，尸(§=2)=+=—

A：15

4=3表示前兩次中一好一壞，第三次為壞,尸片一3)—一^一百

?.?《=4表示前四只均為好，或前三只中一壞二好，第四個為壞,

A：?_1?14

P片=4)=

父415515

4=5表示前四只三好一壞，第五只為壞或前四只三好一壞第五只為好

.C；CM_8

??-5)-丁+丁-百

分布列為

g2345

P1248

15Isis

【例5】設(shè)隨機變量J所有可能取值為1,2,3,4,且已知概率P(J=&)與Z成正比，求4

的分布.

【考點】離散型隨機分布列的性質(zhì)

【難度】2星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】略

【答案】=k)=ak(a為常數(shù))，由分布列的性質(zhì)有a+2a+3a+4a=1,解得a=\.

b

因此g的分布為尸?=幻=歷.

【例6】一批產(chǎn)品分為一、二,三級，其中一級品是二級品的兩倍，三級品為二級品的

從這批產(chǎn)品中隨機抽取一個檢驗，其級別為隨機變量

年代|卜()

123

A.-B.-C.-D.-

7777

【考點】離散型隨機分布列的性質(zhì)

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】無

【解析】設(shè)二級品有A個，一級品有2A個，三級品有4個,總數(shù)為爻個.

22

4123

421

P-77一

二分布列為1____L2_L2_L_7_

154

P(嚴(yán)W?=PC=1)=,

【答案】D：

【例7】隨機變量X的分布列尸(X=舟=P(k,1,2,3,p為常數(shù)，則

k(k+1)

【考點】離散型隨機分布列的性質(zhì)

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】無

【解析】X的分布列為

【答案】D：

【例8】在第1,3,6,8,16路公共汽車都要依靠的一個站（假設(shè)這個站只能停靠一輛汽

車），有一位乘客等候第6路或第16路汽車.假定當(dāng)時各路汽車首先到站的可

能性都是相等，則首先到站正好是這位乘客所需求的汽車的概率等于.

【考點】離散型隨機分布列的計算

【難度】1星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】無

【解析】略

【答案】-；

5

【例9】（2010廣東高考）

已知隨機量X服從正態(tài)分布N（3,1）,且P（2WXW4）=0.6826,則P（X>4）=

（）

A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585

【考點】離散型隨機分布列的計算

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】2010年，廣東高考

X—3

【解析】當(dāng)XN(3,l)時，有1N(0，l)即p(-iwx-3W1)=0.6826

P(0vX-3W1)=g.0.6826-0.3413

p（X>4）=P（X-3>l）=0.5-0.3413=0.1587

于是

【答案】B:

【例10】袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為L現(xiàn)有甲、

7

乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，

直到兩人中有一人取到白球時即終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能

的，用X表示取球終止所需要的取球次數(shù).

⑴求袋中所有的白球的個數(shù)；

⑵求隨機變量X的概率分布；

⑶求甲取到白球的概率.

【考點】離散型隨機分布列的計算

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】略

n(n-1)

【答案】⑴設(shè)袋中原有"個白球，由題意知』=￡=一^=弛二12,

7C,7x6

可得〃=3或〃=-2(舍去)即袋中原有3個白球.

(2)由題意，X的可能取值為1,2,3,4,5,

3P（X=2）=非號,尸（X=3）=黑!=*

p(X=l)=-9

尸(X=4)=塵巨x2x33n/v—4x3x2xlx31

--------=—,r（X=5）=------------=—.

7x6x5x4357x6x5x4x335

所以X的分布女為：

X12345

32631

P

77353535

(3)因為甲先取，所以甲只有可能在第一次，第三次和第5次上漢球,記“甲取到白球”

為事件A,

則P（A）=P（X=1）+P（X=3）+P（X=5）=—.

【例11】某種電子玩具按下按鈕后，會出現(xiàn)紅球或綠球，已知按鈕第一次按下后，出現(xiàn)

紅球與綠球的概率都是工，從按鈕第二次按下起，若前次出現(xiàn)紅球，則下一次

2

出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別為1,2；若前次出現(xiàn)綠球，則下一次出現(xiàn)紅球、綠

33

球的概率分別為記第〃(〃eN*)次按下按鈕后出現(xiàn)紅球的概率為4.

⑴求鳥的值；

⑵當(dāng)〃wN,〃22時，求用月一表示Pn的表達(dá)式；

⑶求P"關(guān)于n的表達(dá)式.

【考點】離散型隨機分布列的計算

【難度】5星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】略

【答案】⑴鳥是“第二次按下按鈕后出現(xiàn)紅球

若第一次，第二次均出現(xiàn)紅球，則概率為：---=-

236

133

第一次出現(xiàn)綠球，第二次出現(xiàn)紅球的概率為：.

2510

137

故所求概率為：P,=-+—=一.

-61015

⑵第〃-1次按下按鈕出現(xiàn)紅球的概率為：21（〃22）,則出現(xiàn)綠球的概率為：1一加

若第〃一1次，第w次均出現(xiàn)紅球，其概率為：9T.

若第〃一1次，第”次依次出現(xiàn)綠球，紅球，其^率為：（1一匕_1）］.

1343

于是口=尹+（1-^.）-=--^,+-;

1343

⑶由⑵E,=§EI+（1_CI）7=-EEI+W，

4

引入代定參數(shù)x,使得Pn+x=-—（^_j+x）.

4IQ1Q39

上式即為乙=一1月1一］尤，與月的表達(dá)式對比=因此,x=---

19

Q4Q4941

于是勺_歷=―石區(qū)--歷）==（一話）"歷）=（一百）"'

38

41Q

=(——產(chǎn)——+—(〃eN,心2).

153819

版塊二：幾類典型的隨機分布

1.超幾何分布

【例12】一盒子內(nèi)裝有10個乒乓球，其中3個舊的，7個新的，從中任意取4個，則取

到新球的個數(shù)的期望值是.

【考點】超幾何分布

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無

【解析】超幾何分布，忙=2.8.

10

【答案】2.8;

【例13】以隨機方式自5男3女的小群體中選出5人組成一個委員會，求該委員會中女

性委員人數(shù)的概率分布、期望值與方差.

【考點】超幾何分布

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】設(shè)女性委員的人數(shù)為X,則X服從參數(shù)為(8,3,5)的超幾何分布，其概率分布

為尸(X=o)=-L尸(X=l)="，尸(X=2)=的，尸(X=3)=W,

56565656

期望E(X)="=—,方差￡>(X)=1=經(jīng)“0.5022.

8882X(8-1)448

【答案】概率分布：P(X=O)=—,P(X=1)=—,P(X=2)=—,P(X=3)=—,

56565656

期望：—,方差：0.5022.

8

【例14】在12個同類型的零件中有2個次品，抽取3次進(jìn)行檢驗，每次任取一個，并且

取出不再放回，若以J和〃分別表示取出次品和正品的個數(shù).求J，77的期望值

及方差.

【考點】超幾何分布

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】抽取樣本連續(xù)抽取3次，也可認(rèn)為一次抽取3個，所以自服從參數(shù)為12,2,3的

超幾何分布.7；服從參數(shù)為12,10,3的超幾何分布.且J+〃=3.

于是―舒斗助=3_喏4”=3(12-3)x2(12-2)15

122(12-1)~44

015

Dz7=(-1)2^=—.

44

【答案】E^=-,Erj=~,D^=—

2244

【例15】某人可從一個內(nèi)有2張100元，3張50元的袋子里任取2張，求他獲得錢數(shù)的

期望值.

【考點】超幾何分布

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】方法一：設(shè)他取得100元的張數(shù)為X,則X服從參數(shù)為5,2,2的超幾何分布.

卬…一的.3w-CC_6

i(A_U)-z———,i(X_1)_z———,i(A—2)-z———.

C；10C；10C；10

X=0,1,2時他所獲得的錢數(shù)分別為100,150,200.

因此他獲得錢數(shù)的期望值為：

100P(X=0)+150P(X=1)+200P(X=2)=140元.

方法二：設(shè)他取得100元的張數(shù)為X,則X服從參數(shù)為5,2,2的超幾何分布.

由公式知EX=2x2=9.

55

44

因此他獲得錢數(shù)的期望值為：100><弓+50乂(2-1)=140元.

【答案】140.

【例16】某人有一張100元與4張10元，他從中隨機地取出2張給孫兒、孫女，每人一

張，求孫兒獲得錢數(shù)的期望值.

【考點】超幾何分布

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】方法一：設(shè)他取出100元的張數(shù)為X,則X服從參數(shù)為5,1,2的超幾何分布.

C'C14

p(X=0)=^L=—,p(X=l)=^-±=—

C；10C；10

X=0,1時他所取出的錢數(shù)分別為20,110.

因此他取出錢數(shù)的期望值為：20P(X=0)+110P(X=1)=12+44=56.

孫兒獲得錢數(shù)的期望值為」56=28.

2

方法二：設(shè)他取得100元的張數(shù)為X,則X服從參數(shù)為5,1,2的超幾何分布.

由公式知EX—I、2=—.

55

22

因此他取出錢數(shù)的期望值為：100xy+10x(2-7=56元.

【答案】56.

【例17】甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道題中，甲能答對其中

的6題，乙能答對其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進(jìn)行

測試，至少答對2題才算合格.

⑴求甲答對試題數(shù)X的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差;

⑵求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.

【考點】超幾何分布

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】⑴依題意，X可能取的值為0,1,2,3,k=0,1,2,3.

甲答對試題數(shù)X的分布列如下:

X0123

1311

P

301026

13119

甲答對試題數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x—+lx—+2x—+3x-=-.

3010265

D(X)=[o-1

(注：X服從參數(shù)為10,6,3的超幾何分布，故由公式得E(X)=4\xU6=]Q)

⑵設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B,

11256+56_14

則P(A)=-+-=-,P(B)=六三~~工-

263jo120Ts

因為事件A、B相互獨立，

法一：

二甲、乙兩人考試均不合格的概率為

G歷=隔)嗝+即一國*?

——144

甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P=1-P(A?B)=1——=—.

4545

法二：

甲、乙兩人至少有一個考試合格的概率為P=P(A-5)+P(A?歷+P(A-B)

——2111421444

=尸(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)=-x—+-x—+-x—=—.

31531531545

【答案】⑴甲答對試題數(shù)X的分布列如下:______________

X0123

131_

P

301026

91444

￡(X)=-.D(X)=—;⑵一.

52545

2.二項分布

【例18】已知隨機變量4服從二項分布，4~8(4,4,則尸(4=2)等于-

【考點】二項分布

【難度】1星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無

【解析】C^(1)2(I-1)2=A

【答案】—:

27

【例19】某人參加一次考試，4道題中解對3道則為及格，已知他的解題正確率為0.4,

則他能及格的概率為(保留到小數(shù)點后兩位小數(shù))

【考點】二項分布

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無

【解析】他能及格則要解對4道題中解對3道或4道：解對3道的概率為

P(A)=C：?0.43.0.6,解對4道的概率為P(B)=C：0.44,且A與8互斥，

他能及格的概率為P(A+B)=C^-0.43-0.6+C*.0.44?0.18.

【答案】0.18;

【例20】從一批由9件正品，3件次品組成的產(chǎn)品中，有放回地抽取5次，每次抽一件,

求恰好抽到兩次次品的概率(結(jié)果保留2位有效數(shù)字).

【考點】二項分布

【難度】2星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】略

【答案】有放回地抽取5件，視為5重Bernoulli實驗.

，1

設(shè)A表示“一次實驗中抽到次品"，P(A)=-記X為抽到的次品數(shù)，則

124

X~B(5,；),于是P(X=2)=C式;)2(l-；)3=0.26.

【例21】某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%,現(xiàn)從一批產(chǎn)品中的任意連續(xù)取出2

件，求次品數(shù)4的概率分布列及至少有一件次品的概率.

【考點】二項分布

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】略

【答案】J的取值分別為0、1、2

J=0表示抽取兩件均為正品，F(xiàn)(^=0)=C(l-0.05)2=0.9025.

表示抽取一件正品一件次品，PC=1)=C；(1-0.05)?0.05=0.095.

g=2表示抽取兩件均為次品，PC=2)=C；(0.05)2=0.0025.

，g的概率分布列為：

g012

P0.90250.0950.0025

PC>1)=0.095+0.0025=0.0975.

【例22】某萬國家具城進(jìn)行促銷活動，促銷方案是：顧客每消費1000元，便可獲得獎券

一張，每張獎券中獎的概率為工，若中獎，則家具城返還顧客現(xiàn)金200元.某

顧客消費了3400元，得到3張獎券.

⑴求家具城恰好返還該顧客現(xiàn)金200元的概率；

⑵求家具城至少返還該顧客現(xiàn)金200元的概率.

【考點】二項分布

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】略

【答案】⑴家具城恰好返還給該顧客現(xiàn)金200元，即該顧客的三張獎券有且只有一張中

獎.所求概率為p=C；（g＞（§2=^.

⑵設(shè)家具城至少返還給該顧客現(xiàn)金200元為事件A,這位顧客的三張獎券有且

只有一張中獎為事件A,這位顧客有且只有兩張中獎為事件&,這位顧客有且

只有三張中獎為事件則人=4+42+4，且A，4,A是互斥事件.

P（A）=P（A）+P（4）+P（A）=嘿）42+嗯）24）+c沖3嚏+蒜+擊

61

-125,

_461

也可以用間接法求：P（A）=1-P（A）=1-（-）3=—.

【例23］（05浙江）

袋子A和3中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是

從8中摸出一個紅球的概率為2.

3

⑴從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止.

①求恰好摸5次停止的概率；

②記5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為求隨機變量g的分布.

⑵若A,8兩個袋子中的球數(shù)之比為1:2,將4,8中的球裝在一起后，從中摸出一

個紅球的概率是:，求〃的值.

【考點】二項分布

【難度】4星

【題型】解答

【關(guān)犍字】2005年，浙江高考

【解析】略

【答案】（1）恰好摸5次停止，則第5次摸到的是紅球，前面4次獨立重復(fù)試驗摸到兩次

紅球，所求概率為：C沖2（|）2義：=郎

隨機變量J的取值為0,1,2.由〃次獨立重復(fù)試驗概率公式

P.（kpgYbT,得

g）9吟嗤,-=1）=令*1一*果,

pc=2）=c；x（+xaJ;幽，-擔(dān)心

53324324381

⑵設(shè)袋子A中有m個球，則袋子3中有2加個球，且A中紅球數(shù)為，3中紅

m+2mp

球數(shù)為2rnp,由--------I,解得p塌.

3m

【例24】假設(shè)飛機的每一臺發(fā)動機在飛行中的故障率都是1-P,且各發(fā)動機互不影

響.如果至少50%的發(fā)動機能正常運行，飛機就可以順利地飛行.問對于多大

的P而言，四發(fā)動機飛機比二發(fā)動機飛機更安全？

【考點】二項分布

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】略

【答案】分析：4臺發(fā)動機中要有2臺(或3、4臺)正常運行，而這2臺可以是任意的.故

屬〃次獨立重復(fù)試驗問題.2臺發(fā)動機的情形同理.建立不等式求解.

解：四發(fā)動機飛機成功飛行的概率為

C〉p2.(i_p)2+c：.p3.(l-P)‘+C；?尸=6P2(1-P)2+4^(1-P)+P4

二發(fā)動機飛機成功飛行的概率為C)P-(l-P)+C；p2=2P(1-P)+尸

要使四發(fā)動機飛機比二發(fā)動機飛機安全，只要

6產(chǎn)(1_p)2+4尸(1—P)+戶1>2P(1-P)+P2

nP(P-l)2(3P-2)>0,解得±<P<1.

3

答：當(dāng)發(fā)動機不出故障的概率大于士時，四發(fā)動機飛機比二發(fā)動機飛機安全.

3

注：計算飛機成功飛行的概率時可從反而考慮：四發(fā)動機為

—C1P(1-P)3,二發(fā)動機為這樣更簡單.

【例25】已知X~8(10,0.8),求E(X)與￡)(X).

【考點】二項分布

【難度】1星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】略

【答案】由二項分布的期望與方差公式得E(X)=，w=8,n(X)=〃p(l-p)=1.6.

【例26】已知隨機變量X服從參數(shù)為6,0.4的二項分布，則它的期望或X)=,

方差O(X)=.

【考點】二項分布

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無

【解析】略

【答案】2.4,1.44.

【例27】同時拋擲4枚均勻硬幣80次，設(shè)4枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上，2枚反面向上

的次數(shù)為g,則g的數(shù)學(xué)期望是（）

A.20B.25C.30D.40

【考點】二項分布

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無

【解析】拋擲一次，4枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上，2枚反面向上的概率是與=3,故

248

3a

g~8（80，N，因此數(shù)學(xué)期望為8Ox—=3O,選C.

88

【答案】C:

【例28】某班級有〃人，設(shè)一年365天中，恰有班上的機（〃?W〃）個人過生日的天數(shù)

為X,求X的期望值以及至少有兩人過生日的天數(shù)的期望值.

【考點】二項分布

【難度】5星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】略

【答案】〃個人在哪天過生日可看成〃次獨立重復(fù)試驗，設(shè)某天過生日的人數(shù)為y,則

y~8（"，?1），因此p（y=附=c;（白1）m（黑364廠=c：364"-'",

3o5Jo?JOJ303

365天每天有多少人過生日，又可看作365次獨立重復(fù)試驗，因此

X~8（365,P（Y=機））.

由二項分布的期望值公式知：

E(X)=365-P(y=〃?)=C：^3r

364"364"

沒有人過生日的天數(shù)期望值為C；

365“T365"T

恰有一人過生日的天數(shù)期望值為c,"T=〃WrT

365"365"

364"364”T

因此至少有兩人過生日的天數(shù)的期望值為：365-―n---------

365”T365"T

【例29】將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入

口處，小球?qū)⒆杂上?/p>