導數(shù)的定義與性質練習題

導數(shù)的定義與性質練習題一、選擇題1.函數(shù)f(x)在x=a處可導，則下列說法正確的是（）。A.f(x)在x=a處連續(xù)B.f(x)在x=a處單調C.f(x)在x=a處的切線斜率為0D.f(x)在x=a處的導數(shù)存在但不一定連續(xù)2.設函數(shù)f(x)在區(qū)間(∞,+∞)內可導，且f'(x)>0，則下列說法正確的是（）。A.f(x)在(∞,+∞)內單調遞減B.f(x)在(∞,+∞)內單調遞增C.f(x)在(∞,+∞)內有極值點D.f(x)在(∞,+∞)內為常數(shù)函數(shù)3.設函數(shù)f(x)在x=0處可導，且f'(0)=2，則下列極限值為2的是（）。A.lim(x→0)[f(x)f(0)]B.lim(x→0)[f(x)f(0)]/xC.lim(x→0)[f(x)+f(0)]/xD.lim(x→0)[f(x)2x]/x二、填空題1.設函數(shù)f(x)=x^33x，則f'(x)=________。2.已知函數(shù)f(x)在x=1處的導數(shù)為2，且f(1)=3，則f(x)在x=2處的導數(shù)值為______。3.設函數(shù)f(x)=e^x，則f'(x)=________。三、計算題1.求函數(shù)f(x)=x^22x+1在x=1處的導數(shù)值。2.求函數(shù)f(x)=ln(x+1)在x=0處的導數(shù)值。3.求函數(shù)f(x)=sin(x)在x=π/2處的導數(shù)值。4.已知函數(shù)f(x)=2x^33x^2+4x5，求f'(x)。5.已知函數(shù)f(x)=(x^2+1)^3，求f'(x)。四、應用題1.一物體做直線運動，其位移s（單位：米）與時間t（單位：秒）的關系為s=2t^23t+4，求物體在t=2秒時的瞬時速度。2.某企業(yè)生產一種產品，其成本函數(shù)為C(x)=3x^2+2x+10，其中x為生產的產品數(shù)量。求該企業(yè)生產100件產品時的邊際成本。3.設某商品的需求量Q與價格P的關系為Q=100P^2，求當價格P=5時的需求彈性。五、證明題1.證明：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可導，且f'(x)在[a,b]上恒為0，則f(x)在[a,b]上為常數(shù)函數(shù)。2.證明：設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內可導，且f'(x)>0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內單調遞增。3.證明：若函數(shù)f(x)在x=a處可導，且f'(a)存在，則極限lim(h→0)[f(a+h)f(ah)]/2h存在，并且等于2f'(a)。六、綜合題1.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上可導，且f(0)=0，f(2)=4，證明至少存在一點ξ∈(0,2)，使得f'(ξ)=2。2.已知函數(shù)f(x)=x^36x^2+9x+1，求證存在x∈(1,1)，使得f'(x)=3。3.設函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上可導，且f'(x)>0，證明對于任意x∈[1,e]，都有f(x)>f(1)。七、極限與導數(shù)結合題1.計算極限lim(x→0)[e^xln(1+x)]/x。2.計算極限lim(x→0)[(sinx)/x1]/x^2。3.已知函數(shù)f(x)在x=0處可導，且f'(0)=3，求極限lim(x→0)[f(2x)3x]/x。4.設函數(shù)f(x)在x=0處可導，且f'(0)=4，求極限lim(x→0)[f(x^2)2f(x)]/x^2。八、實際應用題1.一質點沿直線運動，其速度v（單位：m/s）與時間t（單位：s）的關系為v=2t3t^2，求在t=2秒時質點的加速度。2.某企業(yè)的利潤函數(shù)為L(x)=x^2+4x+10，其中x為銷售量（單位：千件），求銷售量為2000件時的利潤增長速度。3.一曲線在某點處的切線斜率為4x，求該曲線在該點處的曲率。答案一、選擇題1.A2.B3.B二、填空題1.3x^222.23.e^x三、計算題1.f'(1)=02.f'(0)=13.f'(π/2)=14.f'(x)=6x^26x+45.f'(x)=6x(x^2+1)^2四、應用題1.瞬時速度為8米/秒2.邊際成本為603元3.需求彈性為2五、證明題（略，證明題答案通常需要詳細的步驟和解釋，不符合題目要求只提供答案。）六、綜合題（略，綜合題答案通常需要詳細的步驟和解釋，不符合題目要求只提供答案。）七、極限與導數(shù)結合題1.lim(x→0)[e^xln(1+x)]/x=1/22.lim(x→0)[(sinx)/x1]/x^2=1/63.lim(x→0)[f(2x)3x]/x=34.lim(x→0)[f(x^2)2f(x)]/x^2