2025屆高考數(shù)學基礎總復習提升之專題突破詳解專題39填空題的解法含解析

PAGEPAGE1專題39填空題的解法一、題型特點近幾年來，在新課標全國卷Ⅰ數(shù)學試題中選擇題始終是12道題，填空題始終是4道題，所占分值為80分，約占數(shù)學試題總分數(shù)的53%.且在高考題中屬于中低難度的試題，僅有個別題屬于較高難度試題，在一般的狀況下分別按由易到難的依次排列，在高考數(shù)學中選擇題和填空題是一種只要求得到結果，不要求寫出解答過程的試題．具有概括性強、小巧敏捷、學問覆蓋面廣，其中融入多種數(shù)學思想和方法等特點，可以有效地檢驗考生的數(shù)學思維層次及分析問題、推斷問題、推理問題和解決問題的實力．二、解題思路做選填題的步驟為：1．首先，審題．能很好的把數(shù)學的三種語言(文字語言、圖形語言、數(shù)字符號語言)之間快速轉化并發(fā)掘題目中的隱含條件，要去偽存真，快速領悟題目的真正含義．2．其次，要留意選填題的解題技巧．小題小做、巧做，簡潔做，要多用數(shù)形結合、特別值法等技巧，節(jié)約時間．3．最終，細致檢查答卷不能有漏填的現(xiàn)象(遇到不會做的，也不要空著不做，確定要寫一個答案)，不能有把答案抄錯的現(xiàn)象．三、解題方法與技巧(一)干脆演繹法所謂干脆演繹法，就是干脆從題設條件動身，運用有關概念、性質、定理、法則和公式等學問，通過變形、推理、運算等過程，干脆得到結果．例1(2015課標全國Ⅰ)一個圓經過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為____________【解析】由題意知，圓過橢圓的三個頂點(4，0)，(0，2)，(0，－2)，設圓心為(a，0)，其中a>0，由4－a＝eq\r(a2＋4)，解得a＝eq\f(3,2)，所以該圓的標準方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,4)【反思】干脆演繹法是解選擇填空題最基本的方法，涉及概念、性質的辨析或運算較簡潔的題目，充分挖掘題設條件，通過嚴謹?shù)耐评?，正確的運算必能得出正確的答案．因此，學會嫻熟運用基本學問，并能快速分析題目，抓住主干，吃透題意是用干脆演繹法解題的不二法寶．(二)特例(值)法所謂特例(值)法，就是利用滿意題設條件的一些特別數(shù)值、特別函數(shù)、特別方程、特別數(shù)列、特別點、特別角、特別圖形、特別位置等進行求解，從而得出正確答案． 例2(2015課標全國Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))為偶函數(shù)，則a＝________．【反思】特例(值)法是高考數(shù)學解選擇填空題的最佳方法，能降低解題難度，提高解題效率．當正確的選擇對象，在題設普遍條件下都成立的狀況下，用特例(值)法(取得越簡潔越好)進行探究，從而清楚、快捷地得到正確答案，即通過對特別狀況的探討來推斷一般規(guī)律．(三)極限化法在一些選擇填空題中，有一些隨意選取或者改變的元素，我們對這些元素的改變趨勢進行探討，分析它們的極限狀況或者極端位置，并進行計算，以此來推斷結果．這種通過動態(tài)改變，或對極端取值來解選擇填空的策略是一種極限化法．例3(2015課標全國Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是__________．【反思】用極限化法是解選擇填空題的一種有效方法，也是在選擇填空題中避開“小題大做”的有效途徑．它依據(jù)題干及選擇支的特征，考慮極端情形，有助于縮小做題難度，計算簡便，能快速得到答案．(四)數(shù)形結合法所謂數(shù)形結合法是把抽象的數(shù)學語言同直觀的圖形結合起來，通過“以形助數(shù)”、“以數(shù)輔形”，使抽象思維與形象思維相結合，通過圖形的描述、代數(shù)的論證來探討和解決數(shù)學問題．例4(2015課標全國Ⅰ)若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－4≤0，))則eq\f(y,x)的最大值為______【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由可行域知，在點A(1，3)處，eq\f(y,x)取得最大值3.【反思】“數(shù)”與“形”是數(shù)學的重要基石，二者在內容上相互聯(lián)系，在方法上相互滲透，在確定條件下可以相互轉化，假如在解答選擇填空題的過程中能夠很好的運用這一數(shù)學解題中最重要的方法之一，就能夠使困難的問題簡潔化，抽象的問題詳細化，進而簡化解題過程，從而達到事半功倍的效果．(五)構造法所謂構造法就是依據(jù)某些數(shù)學問題的條件或結論所具有的典型特征，用已知條件中的元素為“元件”，用已知的數(shù)學關系為“支架”，在思維中構造出一種相關的數(shù)學對象、一種新的數(shù)學形式；或者利用詳細問題的特別性，為待解決的問題設置一個框架，從而使問題轉化并得到解決的方法． 例5如圖，已知球O的球面上有四個點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r(2)，則球O的體積等于________．【解析】eq\r(6)π如圖，以DA，AB，BC為棱長構造正方體，設正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CD))＝eq\r(（\r(2)）2＋（\r(2)）2＋（\r(2)）2)＝2R，所以R＝eq\f(\r(6),2)，故球O的體積V＝eq\f(4πR3,3)＝eq\r(6)π.【反思】構造法是一種創(chuàng)建性思維，是綜合運用各種學問和方法，依據(jù)問題給出的條件和結論給出的信息，把問題作適當?shù)募庸ぬ幚?，構造與問題相關的數(shù)學模式，揭示問題的本質，從而溝通解題思路的方法．四．題型演練1．若數(shù)列是正項數(shù)列，且，則______．【答案】【方法總結】：本題主要考查的學問點是數(shù)列的概念及簡潔表示法。通過已知的條件求出數(shù)列的通項公式，然后化簡所求的數(shù)列的各項，最終再利用等差數(shù)列求出數(shù)列的和。2．在中，是線段的中點，，，則__________．【答案】【解析】設，則，3．在平面上，，且，．若，則的取值范圍是____________________．【答案】.【解析】分別以、為、軸建立直角坐標系，設，由得.設，由得，，兩式相加得，即，于是，又，故，即的取值范圍是.4．在的綻開式中，的系數(shù)為______(用數(shù)字作答)．【答案】31【解析】綻開式中含有的項有：五項，的系數(shù)為.5．在中，內角所對的邊分別為,已知，且，則面積的最大值為________．【答案】.6．甲、乙、丙三名同學參與某高校組織的自主招生考試的初試，考試成果采納等級制（分為三個層次），得的同學干脆進入其次輪考試．從評委處得知，三名同學中只有一人獲得．三名同學預料誰能干脆進入其次輪競賽如下：甲說：看丙的狀態(tài)，他只能得或；乙說：我確定得；丙說：今日我的確沒有發(fā)揮好，我贊同甲的預料．事實證明：在這三名同學中，只有一人的預料不精確，那么得的同學是_____．【答案】甲.【解析】若得的同學是甲，則甲、丙預料都精確，乙預料不精確，符合題意；若得的同學是乙，則甲、乙、丙預料都精確，不符合題意；若得的同學是丙，則甲、乙、丙預料都不精確，不符合題意。綜上，得的同學是甲.7．已知實數(shù)滿意約束條件，則的最小值是_____．【答案】.【解析】約束條件表示的平面區(qū)域為封閉的三角形，求出三角形的三個頂點坐標分別為、、，帶入所得值分別為、、，故的最小值是.另，作出可行域如下：由得，當直線經過點時，截距取得最大值，此時取得最小值，為.【方法總結】：線性規(guī)劃的實質是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結合的思想.須要留意的是：一、精確無誤地作出可行域；二、畫標準函數(shù)所對應的直線時，要留意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避開出錯；三、一般狀況下，目標函數(shù)的最大或最小會在可行域的端點或邊界上取得.8．已知點圓上,點在橢圓上移動,則的最大值為_________.【答案】7【方法總結】：本題考查橢圓、圓的方程、二次函數(shù)的性質，考查學生分析解決問題的實力，考查計算實力以及轉化思想，屬于中檔題；求出橢圓上的點與圓心的最大距離，加上半徑，即可得出，兩點間的最大距離.9．已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為______.【答案】【解析】由函數(shù)可得，，∴即切線的斜率，∴切線方程為，故答案為.【方法總結】：本題考查導數(shù)的幾何意義即函數(shù)在某點處的導數(shù)即為在該點處切線的斜率，切線方程的求法，考查計算實力；我們在解答這類題的時候關鍵找好兩點，第一找到切線的斜率；其次告知的這點其實也就是直線上的一個點，在知道斜率的狀況下可以用點斜式把直線方程求出來.10．已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,以平面直角坐標系的坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,則直線與曲線的位置關系是_________.【答案】相切11．已知定點,為拋物線的焦點,點在該拋物線上移動,當取最小值時,點的坐標為____________.【答案】【解析】由拋物線方程可知焦點，準線方程為，設在拋物線準線方程上射影為，∵點到準線的距離與到焦點距離相等，∴，當，代入拋物線方程求得，∴點拋物線的內部，當，，三點共線時，的值最小，此時，此時的縱坐標為4，，即的坐標為，故答案為.【方法總結】：本題主要考查了拋物線的基本性質，解題的關鍵是利用拋物線的定義；先由拋物線的方程求得拋物線的焦點坐標和準線方程，推斷點在拋物線內部，設在拋物線準線方程上射影為，依據(jù)拋物線的定義可知，分析，，三點共線時，的值最小.12．小李從網上購買了一件商品，快遞員安排在5:00-6:00之間送貨上門.已知小李下班到家的時間為下午5:30-6:00.快遞員到小李家時，假如小李未到家，就將商品存放到快遞柜中，則小李須要去快遞柜收取商品的概率等于__________．【答案】【解析】如圖所示，軸表示快遞員送貨的試卷，軸表示小李到家的時間，圖中的矩形區(qū)域為全部可能的時間組合，陰影部分為滿意小李須要去快遞柜收取商品的時間，結合幾何概型公式可得小李須要去快遞柜收取商品的概率：.【方法總結】：數(shù)形結合為幾何概型問題的解決供應了簡捷直觀的解法．用圖解題的關鍵：用圖形精確表示出試驗的全部結果所構成的區(qū)域，由題意將已知條件轉化為事務A滿意的不等式，在圖形中畫出事務A發(fā)生的區(qū)域，據(jù)此求解幾何概型即可.13．已知四棱錐的側棱長都相等，且底面是邊長為的正方形，它的五個頂點都在直徑為10的球面上，則四棱錐的體積為__________．【答案】6或5414．已知半徑為的球內有一個內接四棱錐，四棱錐的側棱長都相等，底面是正方形，當四棱錐的體積最大時，它的底面邊長等于__________．【答案】4【解析】如圖，設四棱錐的側棱長為，底面正方形的邊長為，棱錐的高為．由題意可得頂點在地面上的射影為底面正方形的中心，則球心在高上．在中，，∴，整理得．又在中，有，∴．∴，∴．設，則，∴當時，單調遞增，當時，單調遞減．∴當時取得最大值，即四棱錐的體積取得最大值，此時，解得．∴四棱錐的體積最大時，底面邊長等于4．答案:415．在中，角的對邊分別為，設的面積為，若，則的最大值為___________．【答案】【解析】由題得【方法總結】:本題的難在解題思路,第一個難點就是把中的分母化簡成,其次個難點是得到后，如何求tanA的最大值.轉化成利用基本不等式求cosA的最大值.16．已知函數(shù)，由是奇函數(shù)，可得函數(shù)的圖象關于點對稱，類比這一結論，可得函數(shù)的圖象關于點___________對稱.【答案】【解析】由題得所以是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于點對稱.故填.17．設函數(shù)，則使成立的的取值范圍是_________.【答案】【方法總結】：本題考查了函數(shù)的單調性、奇偶性和函數(shù)不等式的求解問題，其中解答中函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調性，轉化為不等式是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實力，對于解函數(shù)不等式：首先依據(jù)函數(shù)的單調性和奇偶性把函數(shù)的“”去掉，轉化為詳細的不等式(組)，此時要留意與的取值應在外層函數(shù)的定義域內是試題的易錯點.18．如圖，在三角形中，、分別是邊、的中點，點在直線上，且，則代數(shù)式的最小值為__________．【答案】【解析】不妨設為直角,且,以分別為軸,此時為點的坐標,表示到原點的距離,最短時為點到直線的距離,由于是中位線,故最短的等于點到距離的一半,即.19．已知函數(shù)，e(e是自然對數(shù)的底數(shù))，對隨意的R，存在，有，則的取值范圍為____________.【答案】【解析】對隨意的R，存在，有等價于.∵函數(shù)∴，令，得；令，得.∴函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)∴∵e∴的對稱軸為①當，即時，，即，故無解；②當，即時，，即，此時的取值范圍為；③當，即時，，即，此時的取值范圍為.綜上所述，的取值范圍為.故答案為.20．上方右圖是一個容量為200的樣本的頻率分布直方圖，請依據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)填空：(1)樣本數(shù)據(jù)落在范圍[5，9的可能性為__________；(2)樣本數(shù)據(jù)落在范圍[9，13的頻數(shù)為__________．【答案】0.327221．如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為cm，該紙片上的正方形的中心為，，，，為圓上的點，，，，分別以，，，為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以，，，為折痕折起，，，，使得，，，重合，得到一個四棱錐，當該四棱錐的側面積是底面積的倍時，該四棱錐的外接球的體積為__________．【答案】【解析】如圖：連接OE交AB于點I，設E，F(xiàn)，G，H重合于點P，正方形的邊長為x，則OI=，.因為該四棱錐的側面積是底面積的2倍，所以，解得設該四棱錐的外接球的球心為Q，半徑為R，則，，解得，外接球的體積22．已知數(shù)列，且，．①若，則__________．②設是數(shù)列的前項和，則__________．【答案】【解析】①由已知可得，，，∴，當時，，（舍去），當時，，解得，滿意條件．故．②由，，，得：，當時，，故，∴，∴，當時，，則，，∴，∴，∴，故答案為(1)，(2)．23．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，分別為，，則輸出的__________．【答案】【解析】執(zhí)行程序，可得，；，，，不滿意條件，執(zhí)行循環(huán)體，，，，不滿意條件，執(zhí)行循環(huán)體，，，，滿意條件，推出循環(huán)，輸出,故答案為．【方法】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結構流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時確定留意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)留意區(qū)分程序框圖是條件分支結構還是循環(huán)結構；(3)留意區(qū)分當型循環(huán)結構和直到型循環(huán)結構；(4)處理循環(huán)結構的問題時確定要正確限制循環(huán)次數(shù)；(5)要留意各個框的依次,（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要依據(jù)程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.24．設，，稱為，的平方平均數(shù)，為，的調和平均數(shù)．如圖，為線段上的點，且，，為中點，以為直徑作圓．過點，分別作的垂線，交圓于，兩點．連結，．過點作的垂線，垂足為．已知圖中線段的長度是，的算術平均數(shù)，線段的長度是，的幾何平均數(shù)．則圖中所示線段中，線段__________的長度是，的平方平均數(shù)，線段__________的長度是，的調和平均數(shù)．【答案】25．如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛錘平面內，已知飛機的高度為海拔，速度為，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?，經過后又看到山頂?shù)母┙菫椋瑒t山頂?shù)暮０胃叨葹開_________．【答案】【解析】如圖，，在等腰三角形中，，∴，故山頂?shù)暮０胃叨葹椋痉椒偨Y】：解三角形應用題的一般步驟(1)閱讀理