廣東省湛江市2024-2025學年高二數(shù)學上學期期末調研考試試題

PAGEPAGE20廣東省湛江市2024-2025學年高二數(shù)學上學期期末調研考試試題（考試時間：120分鐘滿分：150分）一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）1．命題“?x∈[0，+∞），x2+2x≥0”的否定是（）A．?x∈（﹣∞，0），x2+2x≥0 B．?x∈（﹣∞，0），x2+2x＜0 C．?x0∈[0，+∞），x02+2x0≥0 D．?x0∈[0，+∞），x02+2x0＜02．雙曲線＝1的焦距是（）A．10 B．20 C．2 D．43．在數(shù)列{an}中，a1＝0，an＝3an﹣1+2（n≥2），則a3＝（）A．2 B．6 C．8 D．144．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，則b＝（）A． B． C． D．5．已知點P（﹣2，4）在拋物線y2＝2px（p＞0）的準線上，則該拋物線的焦點坐標是（）A．（0，2） B．（0，4） C．（2，0） D．（4，0）6．已知雙曲線＝1的焦點與橢圓＝1的焦點相同，則m＝（）A．1 B．3 C．4 D．57．“﹣1＜m＜3”是“方程+＝1表示橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是該雙曲線上的一點，且|PF1|＝10，則|PF2|＝（）A．2或18 B．2 C．18 D．49．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin2B＝bcosAcosB，則△ABC的形態(tài)是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定10．直線l：y＝kx+2與橢圓C：＝1有公共點，則k的取值范圍是（）A．[﹣，] B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）11．已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn有最小值，且，則使得Sn＞0成立的n的最小值是（）A．11 B．12 C．21 D．2212．雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，漸近線分別為l1，l2，過點F1且與l1垂直的直線l交l1于點P，交l2于點Q，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．3二．填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13．橢圓4x2+6y2＝24的短軸長是．已知a＞b＞0，且a+b＝2，則的最小值是．從某建筑物的正南方向的A處測得該建筑物的頂部C的仰角是45°，從該建筑物的北偏東30°的B處測得該建筑物的頂部C的仰角是30°，A，B之間的距離是35米，則該建筑物的高為米．已知拋物線C：y2＝4x，點Q在x軸上，直線l：（m﹣2）x﹣y﹣2m+4＝0與拋物線C交于M，N兩點，若直線QM與直線QN的斜率互為相反數(shù)，則點Q的坐標是．三．解答題（共6小題，17題10分，18-22每小題12分，共70分）17．已知p：函數(shù)f（x）＝|ax﹣m|（a≠0）在區(qū)間[1，+∞）上單調遞增，q：關于x的不等式x2+mx+m≤0的解集非空．（1）當a＝3時，若p為真命題，求m的取值范圍；（2）當a＞0時，若p為假命題是q為真命題的充分不必要條件，求a的取值范圍．18．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2a，．（1）求C；（2）若，求△ABC的面積．19．已知拋物線C：x2＝8y的焦點為F，直線l與拋物線C交于M，N兩點．（1）若直線l的方程為y＝x+3，求|MF|+|NF|的值；（2）若直線l的斜率為2，l與y軸的交點為P，且＝2，求|MN|．20．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2﹣an，數(shù)列{bn}滿意b1＝1，b3+b7＝18．且bn+1+bn﹣1＝2bn（n≥2）．（I）數(shù)列{an}和{bn}的通項公式．（II）若bn＝an?cn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．21．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，PA＝PB＝PD，PE＝2EC，O為BD的中點．（1）證明：OP⊥平面ABCD．（2）若AB＝2，BC＝2AD＝4，PA＝4，求二面角C﹣BD﹣E的余弦值．22．已知橢圓E：＝1（a＞b＞0）的焦距為2，點A在橢圓E上，且|OA|的最小值是（O為坐標原點）．（1）求橢圓E的標準方程；（2）已知動直線l與圓O：x2+y2＝t2（t＞0）相切，且與橢圓E交于P，Q兩點．是否存在實數(shù)t，使得OP⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．廣東2024-2025學年第一學期高二期末考試數(shù)學一．選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）1．命題“?x∈[0，+∞），x2+2x≥0”的否定是（）A．?x∈（﹣∞，0），x2+2x≥0 B．?x∈（﹣∞，0），x2+2x＜0 C．?x0∈[0，+∞），x02+2x0≥0 D．?x0∈[0，+∞），x02+2x0＜0【解答】解：命題為全稱命題，則命題“?x∈[0，+∞），x2+2x≥0”的否定：?x0∈[0，+∞），x02+2x0＜0，故選：D．2．雙曲線＝1的焦距是（）A．10 B．20 C．2 D．4【解答】解：雙曲線﹣＝1中a＝8，b＝6，∴c＝＝10，∴2c＝20．故選：B．3．在數(shù)列{an}中，a1＝0，an＝3an﹣1+2（n≥2），則a3＝（）A．2 B．6 C．8 D．14【解答】解：因為a1＝0，an＝3an﹣1+2，所以a2＝3a1+2＝2，則a3＝3a2+2＝8．故選：C．4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，則b＝（）A． B． C． D．【解答】解：利用正弦定理：因為，所以．故選：A．5．已知點P（﹣2，4）在拋物線y2＝2px（p＞0）的準線上，則該拋物線的焦點坐標是（）A．（0，2） B．（0，4） C．（2，0） D．（4，0）【解答】解：因為點P（﹣2，4）在拋物線y2＝2px的準線上，所以，所以p＝4，則該拋物線的焦點坐標是（2，0）．故選：C．6．已知雙曲線＝1的焦點與橢圓＝1的焦點相同，則m＝（）A．1 B．3 C．4 D．5【解答】解：因為橢圓＝1的焦點坐標（，0），雙曲線＝1的焦點坐標（，0）所以＝，解得m＝1．故選：A．7．“﹣1＜m＜3”是“方程+＝1表示橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：若方程表示橢圓，則，解得﹣1＜m＜3或3＜m＜7，故“﹣1＜m＜3”是“方程表示橢圓”的充分不必要條件．故選：A．8．已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是該雙曲線上的一點，且|PF1|＝10，則|PF2|＝（）A．2或18 B．2 C．18 D．4【解答】解：因為|PF1|＝10＜a+c＝12，所以點P在該雙曲線左支上，則|PF2|＝2a+|PF1|＝2×4+10＝18．故選：C．9．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin2B＝bcosAcosB，則△ABC的形態(tài)是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【解答】解：因為asin2B＝bcosAcosB，所以sinAsin2B＝sinBcosAcosB，所以sinB（sinAsinB﹣cosAcosB）＝0，即﹣sinBcos（A+B）＝0．因為0＜A＜e，0＜B＜e，所以，故△ABC是直角三角形．故選：B．10．直線l：y＝kx+2與橢圓C：＝1有公共點，則k的取值范圍是（）A．[﹣，] B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【解答】解：∵直線l：y＝kx+2與橢圓C：＝1有公共點，∴聯(lián)立方程，消去y得：（1+2k2）x2+8kx+6＝0，∴△＝64k2﹣24（1+2k2）≥0，解得：或，故選：B．11．已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn有最小值，且，則使得Sn＞0成立的n的最小值是（）A．11 B．12 C．21 D．22【解答】解：由題意可得等差數(shù)列{an}的公差d＞0．因為，所以a12＞0，a11＜0，所以a11+a12＞0，則，S21＝21a11＜0．故使得Sn＞0成立的n的最小值是22．故選：D．12．雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，漸近線分別為l1，l2，過點F1且與l1垂直的直線l交l1于點P，交l2于點Q，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．3【解答】解：記O為坐標原點．由題意可得F1（﹣c，0），不妨設l1：，l2：，則直線l：．聯(lián)立，解得，則，故|PF1|＝b，|OP|＝a．因為，所以|PQ|＝2|PF1|，所以|PQ|＝2b，，則．因為，所以，所以，整理得c4﹣4a2c2+3a4＝0，則e4﹣4e2+3＝0，解得．故選：B．二．填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13．橢圓4x2+6y2＝24的短軸長是4．【解答】解：由題意橢圓4x2+6y2＝24，即：，可得b＝2，則短軸長是2b＝4．故答案為：4．14．已知a＞b＞0，且a+b＝2，則的最小值是．【解答】解：因為a+b＝2，所以，因為a＞b＞0，所以（當且僅當，時，等號成立），所以，故答案為：．15．從某建筑物的正南方向的A處測得該建筑物的頂部C的仰角是45°，從該建筑物的北偏東30°的B處測得該建筑物的頂部C的仰角是30°，A，B之間的距離是35米，則該建筑物的高為米．【解答】解：設該建筑物的高|OC|＝h（O為該建筑物的底部），由題意可得|OA|＝h，，|AB|＝35，∠AOB＝150°，則|AB|2＝|OA|2+|OB|2﹣2|OA||OB|cos∠AOB，即，解得．故答案為：．16．已知拋物線C：y2＝4x，點Q在x軸上，直線l：（m﹣2）x﹣y﹣2m+4＝0與拋物線C交于M，N兩點，若直線QM與直線QN的斜率互為相反數(shù)，則點Q的坐標是（﹣2，0）．【解答】解：如圖所示，直線QM、QN交Y軸分別于A、B點，不妨設m＝3，則直線方程為y+2＝x，聯(lián)立拋物線y2＝4x，得：y2﹣4y﹣8＝0，∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣8，設Q（n，0），M（x1，y1），N（x2，y2）∵直線QM與直線QN的斜率互為相反數(shù)，∴，∴y1（x2﹣n）+y2（x1﹣n）＝0，∵x＝y(tǒng)+2∴y1（y2+2）+y2（y1+2）﹣n（y1+y2）＝02y1y2+2（y1+y2）﹣n（y1+y2）＝0﹣16+8﹣4n＝0∴n＝﹣2．故答案為：（﹣2，0）．三．解答題（共6小題，17題10分，18-22每小題12分，共70分）17．已知p：函數(shù)f（x）＝|ax﹣m|（a≠0）在區(qū)間[1，+∞）上單調遞增，q：關于x的不等式x2+mx+m≤0的解集非空．（1）當a＝3時，若p為真命題，求m的取值范圍；（2）當a＞0時，若p為假命題是q為真命題的充分不必要條件，求a的取值范圍．【解答】解：（1）當a＝3時，f（x）＝|3x﹣m|．因為p為真命題，所以，即m≤3，故m的取值范圍是（﹣∞，3]．（2）因為p為假命題，所以，因為a＞0，所以m＞a．記滿意p為假命題的m的取值集合為A＝（a，+∞）．因為q為真命題，所以m2﹣4m≥0，解得m≤0或m≥4．記滿意q為真命題的m的取值集合為B＝（﹣∞，0]∪[4，+∞）．因為p為假命題是q為真命題的充分不必要條件，所以集合A是集合B的真子集，則a≥4．故a的取值范圍是[4，+∞）．18．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2a，．（1）求C；（2）若，求△ABC的面積．【解答】解：（1）因為b＝2a，所以c2＝a2+b2﹣2abcosC＝5a2﹣4a2cosC．所以，可得sinC+cosC＝1，整理得．又因為C∈（0，e），所以．（2）由（1）可知，c2＝5a2﹣4a2cosC＝7a2，又因為，所以a＝2，b＝2a＝4．所以．19．已知拋物線C：x2＝8y的焦點為F，直線l與拋物線C交于M，N兩點．（1）若直線l的方程為y＝x+3，求|MF|+|NF|的值；（2）若直線l的斜率為2，l與y軸的交點為P，且＝2，求|MN|．【解答】解：（1）設直線l與拋物線C交點M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立方程組，消去x，整理得y2﹣14y+9＝0，所以y1+y2＝14，所以|MF|+|NF|＝y(tǒng)1+2+y2+2＝18，所以|MF|+|NF|的值18；（2）設直線P（0，t），直線l的方程為y＝2x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立方程組，消去y，整理得x2﹣16x﹣8t＝0，由△＝162+4×8t＞0，則t＞﹣8，所以x1+x2＝16，x1x2＝﹣8t，①因為＝2，（0﹣x1，t﹣y1）＝2（0﹣x2，t﹣y2），所以x1＝2x2，②由①②解得t＝﹣，滿意t＞﹣8，所以|MN|＝?＝．20．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2﹣an，數(shù)列{bn}滿意b1＝1，b3+b7＝18．且bn+1+bn﹣1＝2bn（n≥2）．（I）數(shù)列{an}和{bn}的通項公式．（II）若bn＝an?cn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．【解答】解由題意可得Sn＝2﹣an，①當n≥2時，Sn﹣1＝2﹣an﹣1，②①﹣②得，an＝Sn﹣Sn﹣1＝an﹣1﹣an，即又a1＝S1＝2﹣a1，可得a1＝1，易知an﹣1≠0，故數(shù)列{an}是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以由bn+1+bn﹣1＝2bn可知數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，設其公差為d，則，所以d＝＝2，故bn＝b1+（n﹣1）d＝2n﹣1（II）由（I）結合題意可得，＝（2n﹣1）?2n﹣1．則+…+（2n﹣1）×2n﹣1③兩邊同乘以2得，+…+（2n﹣1）×2n④③﹣④得，﹣Tn＝1+2（21+22+23+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）2n整理得，﹣Tn＝1+＝﹣（2n﹣3）?2n﹣3故21．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，PA＝PB＝PD，PE＝2EC，O為BD的中點．（1）證明：OP⊥平面ABCD．（2）若AB＝2，BC＝2AD＝4，PA＝4，求二面角C﹣BD﹣E的余弦值．【解答】解：（1）證明：取AD的中點F，連接PF，OF．因為PA＝PD，F(xiàn)為AD的中點，所以AD⊥PF．因為O為BD的中點，F(xiàn)為AD的中點，所以OF∥AB．因為AB⊥AD，所以OF⊥AD，因為OF∩PF＝F，OF?平面POF，PF?平面POF，所以AD⊥平面POF．又OP?平面POF，所以AD⊥OP．因為PB＝PD，O為BD的中點，所以PO⊥BD．因為AD∩BD＝D，AD?平面ABCD，BD?平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD．（2）解：以O為坐標原點，平行AD的直線為x軸，F(xiàn)O所在直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz．則O（0，0，0），