新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章 第07講 離散型隨機變量及其分布列和數(shù)字特征 精講（解析版）

第07講離散型隨機變量及其分布列和數(shù)字特征(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：離散型隨機變量分布列的性質(zhì)題型二：求離散型隨機變量的分布列題型三：離散型隨機變量的均值與方差角度1：期望、方差的計算角度2：決策問題第四部分：高考真題感悟第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶知識點一：離散型隨機變量一般地，對于隨機試驗樣本空間SKIPIF1<0中的每個樣本點SKIPIF1<0都有唯一的實數(shù)SKIPIF1<0與之對應(yīng)，我們稱SKIPIF1<0為隨機變量．表示：用大寫英文字母表示隨機變量，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．知識點二：離散型隨機變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機變量SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，我們稱SKIPIF1<0取每一個值SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的概率分布列，簡稱分布列．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0知識點三：離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②SKIPIF1<0注意：①.列出隨機變量的所有可能取值；②.求出隨機變量的每一個值發(fā)生的概率.知識點四：離散型隨機變量的均值與方差（1）離散型隨機變量的均值的概念一般地，若離散型隨機變量SKIPIF1<0的概率分布為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0則稱SKIPIF1<0為隨機變量SKIPIF1<0的均值(mean)或數(shù)學(xué)期望(mathematicalexpectation),數(shù)學(xué)期望簡稱期望.（2）離散型隨機變量的方差的概念一般地，若離散型隨機變量SKIPIF1<0的概率分布列為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0則稱SKIPIF1<0SKIPIF1<0為隨機變量SKIPIF1<0的方差，有時也記為SKIPIF1<0.稱SKIPIF1<0為隨機變量SKIPIF1<0的標準差.知識點五：均值與方差的性質(zhì)（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試1．（2022·河南·鄧州市第一高級中學(xué)校高二期末（理））一臺機器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)一件次品，要賠20元，已知這臺機器生產(chǎn)出甲等、乙等和次品的概率分別為0.6、0.3和0.1，則這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，平均預(yù)期可獲利（

）A．36元 B．37元 C．38元 D．39元【答案】B【詳解】由題意可得：設(shè)這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利X，則X可能取的數(shù)值為50，30，SKIPIF1<0，所以X的分布列為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期可獲利為：SKIPIF1<0（元）故選：B2．（2022·北京·東直門中學(xué)高二階段練習(xí)）若隨機變量SKIPIF1<0的分布列如表，則SKIPIF1<0的方差SKIPIF1<0是（

）SKIPIF1<0SKIPIF1<001SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】解：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：D.3．（2022·四川眉山·高二期末（文））若樣本數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0的標準差為4，則數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0的標準差為___________.【答案】8【詳解】由題設(shè)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以新數(shù)據(jù)的標準差為8.故答案為：84．（2022·廣東潮州·高二期末）隨機變量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.【答案】7【詳解】SKIPIF1<0故答案為:75．（2022·廣西玉林·模擬預(yù)測（理））離散型隨機變量SKIPIF1<0的分布列如表，則實數(shù)a＝________；E（SKIPIF1<0）＝________．SKIPIF1<0－101PSKIPIF1<0aSKIPIF1<0【答案】

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【詳解】由離散型隨機變量SKIPIF1<0的分布列得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：離散型隨機變量分布列的性質(zhì)典型例題例題1．（2022·江西撫州·高二期末（理））設(shè)隨機變量SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由題意：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故選：C．例題2．（2022·全國·高二期末）某射擊運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)SKIPIF1<0的分布列如下表所示.SKIPIF1<045678910SKIPIF1<00.030.050.070.080.26SKIPIF1<00.23則SKIPIF1<0（

）A．0.72 B．0.75 C．0.85 D．0.90【答案】C【詳解】由題意SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．故選：C例題3．（2022·安徽·合肥市第九中學(xué)高二期中）若離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因為X的分布列服從兩點分布，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：D同類題型歸類練1．（2022·吉林省實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)隨機變量X的概率分布列如下：則SKIPIF1<0（

）X－1012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由分布列性質(zhì)可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0,故選：C2．（多選）（2022·廣東·深圳市寶安第一外國語學(xué)校高二期中）已知隨機變量ξ的分布如下：則實數(shù)a的值為（

）ξ123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．－SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【詳解】由題可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗適合題意.故選：BC.3．（2022·吉林·長春市第二實驗中學(xué)高二期中）設(shè)隨機變量SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【詳解】選項A，由已知可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故該選項正確；選項B，SKIPIF1<0，故該選項正確；選項C，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故該選項正確；選項D，SKIPIF1<0，故該選項錯誤.故選：ABC.4（2022·山東·青島二中高二階段練習(xí)）隨機變量SKIPIF1<0的分布列如圖，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0______．SKIPIF1<0-101SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0題型二：求離散型隨機變量的分布列典型例題例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知隨機變量SKIPIF1<0的分布列如表所示．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)求隨機變量SKIPIF1<0的分布列；(2)若SKIPIF1<0，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)分布列見解析(2)SKIPIF1<0(1)由隨機變量SKIPIF1<0的分布列知，SKIPIF1<0的可能取值為0，1，4，9，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．可得隨機變量SKIPIF1<0的分布列如表所示．SKIPIF1<00149SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.∴實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．例題2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）有2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束．(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)SKIPIF1<0表示總檢測費用（單位：元），求SKIPIF1<0的分布列．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析(1)設(shè)“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A，則SKIPIF1<0．(2)X的可能取值為200，300，400，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故X的分布列為X200300400PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例題3．（2022·廣東·深圳市高級中學(xué)高二期中）某市衛(wèi)生防疫部門為了控制某種病毒的傳染，提供了批號分別為SKIPIF1<0的四批疫苗，供全市所轄的SKIPIF1<0三個區(qū)市民注射，每個區(qū)均能從中任選一個批號的疫苗接種．(1)求三個區(qū)市民接種的疫苗批號中恰好有兩個區(qū)相同的概率；(2)記SKIPIF1<0三個區(qū)選擇的疫苗批號的中位數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)答案見解析.(1)設(shè)“三個區(qū)市民接種的疫苗批號中恰好有兩個區(qū)相同”為事件A，則SKIPIF1<0.(2)隨機變量SKIPIF1<0的所有可能取值為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0同類題型歸類練1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）有一種密碼，明文由三個字母組成，密碼由明文的這三個字母對應(yīng)的五個數(shù)字組成，編碼規(guī)則如下表．明文由表中每一排取一個字母組成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，對應(yīng)的密碼由明文所取的這三個字母對應(yīng)的數(shù)字按相同的次序排成一組組成，如明文取的三個字母為AFP，則與它對應(yīng)的五個數(shù)字（密碼）就為11223．第一排明文字母ABC對應(yīng)數(shù)字111213第二排明文字母EFG對應(yīng)數(shù)字212223第三排明文字母MNP對應(yīng)數(shù)字123(1)假設(shè)明文是BGN，求這個明文對應(yīng)的密碼；(2)設(shè)隨機變量SKIPIF1<0表示密碼中所含不同數(shù)字的個數(shù)．①求SKIPIF1<0；②求隨機變量SKIPIF1<0的分布列．【答案】(1)12232；(2)①SKIPIF1<0；②分布列見解析.(1)這個明文對應(yīng)的密碼是12232．(2)①∵表格的第三、四列數(shù)字均由1，2組成，∴當SKIPIF1<0時，只能取表格的第三、四列數(shù)字作為密碼，∴SKIPIF1<0．②由題意，可知SKIPIF1<0的取值為2，3兩種情形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<023SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02．（2022·全國·高二課時練習(xí)）袋中裝著標有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個，從袋中任取3個小球，每個小球被取出的可能性都相等，用SKIPIF1<0表示取出的3個小球上的最大數(shù)字．(1)求取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2)求隨機變量SKIPIF1<0的分布列．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析(1)“取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”記為事件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為“取出的3個小球上有2個數(shù)字相同”，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．(2)由題意可知SKIPIF1<0的可能取值為2，3，4，5，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0的分布列如表所示．SKIPIF1<02345SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03．（2022·重慶市朝陽中學(xué)高二期中）一個箱子里裝有5個大小相同的球，有3個白球，2個紅球，從中摸出2個球．(1)求摸出的2個球中有1個白球和1個紅球的概率；(2)用X表示摸出的2個球中的白球個數(shù)，求X的分布列．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案見解析(1)記SKIPIF1<0“摸出的2個球中有1個白球和1個紅球”，3個白球、2個紅球分別記為白1，白2，白3，紅1，紅2，從中摸出2個球有（白1白2），（白1白3），（白1紅1），（白1紅2），（白2白3），（白2紅1），（白2紅2），（白3紅1），（白3紅2），（紅1紅2）共10種情況，從中摸出的2個球中有1個白球和1個紅球有（白1紅1），（白1紅2），（白2紅1），（白2紅2），（白3紅1），（白3紅2）共6種情況，所以SKIPIF1<0，摸出的2個球中有1個白球和1個紅球的概率為SKIPIF1<0.(2)X表示摸出的2個球中的白球個數(shù)，則X可取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則X的分布列為SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<04．（2022·山西省長治市第二中學(xué)校高二階段練習(xí)）甲乙參加英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6道題，乙能答對其中的8道題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3道題進行考試，至少答對2道題才算合格．(1)若一次考試中甲答對的題數(shù)是SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的概率分布列，并求甲合格的概率；(2)若答對1題得5分，答錯1題扣5分，記SKIPIF1<0為乙所得分數(shù)，求SKIPIF1<0的概率分布列．【答案】(1)分布列見解析，SKIPIF1<0；(2)分布列見解析.(1)依題意，SKIPIF1<0的可能取值為0，1，2，3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的分布列：SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以甲合格的概率SKIPIF1<0.(2)依題意，乙答3題，答對題數(shù)可能為1，2，3，則SKIPIF1<0的可能取值為-5，5，15，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的分布列：SKIPIF1<0-5515SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0題型三：離散型隨機變量的均值與方差角度1：期望、方差的計算典型例題例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）某網(wǎng)約車司機統(tǒng)計了自己一天中出車一次的總路程SKIPIF1<0（單位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它們出現(xiàn)的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的分布列，并求SKIPIF1<0的均值和方差；(2)若網(wǎng)約車計費細則如下：起步價為5元，行駛路程不超過3km時，收費5元，行駛路程超過3km時，則按每超出1km（不足1km也按1km計程）收費3元計費．試計算此人一天中出車一次收入的均值和方差．【答案】(1)分布列見解析，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)均值為71元，方差為SKIPIF1<0.（1）由題意，得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴X的分布列為X202224262830P0.10.20.30.10.10.2∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）設(shè)此人一天中出車一次的收入為Y元，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故此人一天中出車一次收入的均值為71元，方差為95.4．例題2．（2022·陜西西安·高二期末（理））如圖，小明家住SKIPIF1<0小區(qū)，他每天早上騎自行車去學(xué)校SKIPIF1<0上學(xué)，從家到學(xué)校有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩條路線，SKIPIF1<0路線上有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三個路口，每個路口遇到紅燈的概率均為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0路線上有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩個路口，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0路口遇到紅燈的概率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若走SKIPIF1<0路線，求遇到3次紅燈的概率；(2)若走SKIPIF1<0路線，變量SKIPIF1<0表示遇到紅燈次數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：SKIPIF1<0（1）設(shè)“走SKIPIF1<0路線遇到3次紅燈”為事件A，則SKIPIF1<0.（2）依題意，X的可能取值為SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.隨機變量X的分布列為：X012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.例題3．（2022·貴州遵義·高二期末（理））不透明袋中裝有質(zhì)地，大小相同的4個紅球，SKIPIF1<0個白球，現(xiàn)從中不放回地取出2個球，若第一個取出的球是紅球，第二個取出的球是白球的概率為SKIPIF1<0．(1)求白球的個數(shù)SKIPIF1<0；(2)若有放回的取出兩個求，記取出的紅球個數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0(1)解：由題意知，袋中裝有質(zhì)地，大小相同的4個紅球，m個白球，因為第一個取出的球是紅球，第二個取出的球是白球的概率為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．(2)解：由題意，隨機變量SKIPIF1<0可能為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以隨機變量SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則期望為SKIPIF1<0，方差為SKIPIF1<0.例題4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知隨機變量SKIPIF1<0的分布列如表所示，且SKIPIF1<0．SKIPIF1<001SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(3)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)5（1）由題意可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．同類題型歸類練1．（2022·廣東·廣州市第十六中學(xué)高二期中）甲?乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投籃；已知每次投籃甲.乙命中的概率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求第三次由乙投籃的概率；(2)在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列；(3)求SKIPIF1<0的期望及標準差.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案見解析(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)因為第三次由乙投籃包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，所以SKIPIF1<0;(2)由題意，SKIPIF1<0可取0，1，2.P(ξ＝0)＝SKIPIF1<0；P(ξ＝1)＝SKIPIF1<0；P(ξ＝2)＝SKIPIF1<0.故ξ的分布列為：ξ012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(3)由（2）有E(ξ)＝SKIPIF1<0，D(ξ)＝SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.2．（2022·廣東·廣州市玉巖中學(xué)高二期中）已知隨機變量SKIPIF1<0的分布列如下，SKIPIF1<0012PSKIPIF1<0ba(1)求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)當a為何值時，SKIPIF1<0取最大值？并求出SKIPIF1<0的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0.(1)依題意，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(2)由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0.3．（2022·北京通州·高二期末）一個袋子中裝有8個大小相同的球，其中有5個紅球，3個白球．(1)從袋子中任取1個球，設(shè)隨機變量SKIPIF1<0，X的分布列及SKIPIF1<0；(2)從袋子中依次不放回的取出3個球作為樣本，用隨機變量Y表示紅球的個數(shù)，求Y的分布列及SKIPIF1<0．【答案】(1)分布列見解析，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)分布列見解析，SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，X的分布列為SKIPIF1<001SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0的取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.4．（2022·新疆·八一中學(xué)高二期末（理））袋中裝有大小相同的2個白球和3個黑球．(1)采取放回抽樣方式，從中依次摸出兩個球，求兩球顏色不同的概率；(2)采取不放回抽樣方式，從中依次模出兩個球，記SKIPIF1<0為摸出兩球中白球的個數(shù)，求SKIPIF1<0的期望和方差．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)記“摸出一球，放回后再摸出一個球，兩球顏色不同”為事件A，摸出一球是白球的概率為SKIPIF1<0，摸出一球是黑球的概率為SKIPIF1<0，由互斥事件和相互獨立事件的概率公式得到SKIPIF1<0．(2)由題意知，SKIPIF1<0的可能取值為0，1，2，當SKIPIF1<0時，表示摸出兩球中白球的個數(shù)為0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，表示摸出兩球中白球的個數(shù)為1，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，表示摸出兩球中白球的個數(shù)為2，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．即摸出白球個數(shù)ξ的期望和方差分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．角度2：決策問題典型例題例題1．（2022·陜西·寶雞市金臺區(qū)教育體育局教研室高二期末（理））為了響應(yīng)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)的號召，小李畢業(yè)后開了水果店，水果店每天以每個5元的價格從農(nóng)場購進若干西瓜，然后以每個10元的價格出售．如果當天賣不完，剩下的西瓜作贈品處理．(1)若水果店一天購進16個西瓜，求當天的利潤SKIPIF1<0（單位：元）關(guān)于當天需求量SKIPIF1<0（單位：個，SKIPIF1<0）的函數(shù)解析式；(2)水果店記錄了100天西瓜的日需求量（單位：個），整理得下表：日需求量SKIPIF1<014151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．①若水果店一天購進16個西瓜，SKIPIF1<0表示當天的利潤（單位：元），求SKIPIF1<0的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；②若水果店計劃一天購進16個或17個西瓜，你認為應(yīng)購進16個還是17個？請說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①分布列見解析；期望為SKIPIF1<0，方差SKIPIF1<0；②應(yīng)購進17個；理由見解析(1)解：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)解：①依題意可得SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②購進SKIPIF1<0個時，當天的利潤為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以應(yīng)購進17個．例題2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高二期末）為迎接黨的“二十大”勝利召開，學(xué)校計劃組織黨史知識競賽.某班設(shè)計一個預(yù)選方案：選手從6道題中隨機抽取3道進行回答.已知甲6道題中會4道，乙每道題答對的概率都是SKIPIF1<0，且每道題答對與否互不影響.(1)分別求出甲、乙兩人答對題數(shù)的概率分布列；(2)你認為派誰參加知識競賽更合適，請說明你的理由.【答案】(1)答案見解析；(2)甲，理由見解析.(1)設(shè)甲、乙答對的題數(shù)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的可能取值為1，2，3，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的可能取值為0，1，2，3，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)由（1）有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故兩人平均答對的題數(shù)相等，說明實力相當；但甲答對題數(shù)的方差比乙小，說明甲發(fā)揮較為穩(wěn)定，因此推薦甲參加比賽更加合適.例題3．（2022·全國·高二專題練習(xí)）某公司全年圓滿完成預(yù)定的生產(chǎn)任務(wù)，為答謝各位員工一年來的銳意進取和辛勤努力，公司決定在聯(lián)歡晚會后，擬通過摸球兌獎的方式對500位員工進行獎勵，規(guī)定：每位員工從一個裝有4種面值的獎券的箱子中，一次隨機摸出2張獎券，獎券上所標的面值之和就是該員工所獲得的獎勵額．(1)若箱子中所裝的4種面值的獎券中有1張面值為80元，其余3張均為40元，試比較員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率的大??；(2)公司對獎勵總額的預(yù)算是6萬元，預(yù)定箱子中所裝的4種面值的獎券有兩種方案：第一方案是2張面值20元和2張面值100元；第二方案是2張面值40元和2張面值80元．為了使員工得到的獎勵總額盡可能地符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎勵額相對均衡，請問選擇哪一種方案比較好？并說明理由．【答案】(1)員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率相等(2)應(yīng)選擇第二種方案；理由見解析(1)用X表示員工所獲得的獎勵額．因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率相等．(2)第一種方案為SKIPIF1<0，設(shè)員工所獲得的獎勵額為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<040120200PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方差為SKIPIF1<0；第二種方案為SKIPIF1<0，設(shè)員工所獲得的獎勵額為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<080120160PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方差為SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0（元），所以兩種方案獎勵額的數(shù)學(xué)期望都符合要求，但第二種方案的方差比第一種方案的小，故應(yīng)選擇第二種方案．同類題型歸類練1．（2022·河北張家口·高二期末）已知投資甲?乙兩個項目的利潤率分別為隨機變量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.經(jīng)統(tǒng)計分析，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的分布列分別為表1：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0表2：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)若在甲?乙兩個項目上各投資100萬元，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別表示投資甲?乙兩項目所獲得的利潤，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望和方差，并由此分析投資甲?乙兩項目的利弊；(2)若在甲?乙兩個項目總共投資100萬元，求在甲?乙兩個項目上分別投資多少萬元時，可使所獲利潤的方差和最??？注：利潤率SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分析答案見解析(2)甲項目投資25萬元，乙項目投資75萬元(1)由題意，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因此投資甲的平均利潤18萬元大于投資乙的平均利潤17萬元，但投資甲的方差48也遠大于投資乙的方差16.所以投資甲的平均利潤大，方差也大，相對不穩(wěn)定，而投資乙的平均利潤小，方差也小，相對穩(wěn)定.若長期投資可選擇投資甲，若短期投資可選投資乙.(2)設(shè)SKIPIF1<0萬元投資甲，則SKIPIF1<0萬元投資了乙，則投資甲的利潤SKIPIF1<0，投資乙的利潤SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0為投資甲所獲利潤的方差與投資乙所獲利潤的方差和，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的值最小.故此時甲項目投資25萬元，乙項目投資75萬元，可使所獲利潤的方差和最小.2．（2022·浙江·溫州市第八高級中學(xué)高二期中）某運動隊擬派出甲、乙兩人去參加自由式滑雪比賽．比賽分為初賽和決賽，其中初賽有兩輪，只有兩輪都獲勝才能進入決賽，已知甲在每輪比賽中獲勝的概率均為SKIPIF1<0；乙在第一輪和第二輪獲勝的概率分別是p和SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(1)甲、乙兩人中，誰進入決賽的可能性最大；(2)若甲、乙兩人中恰有1人進入決賽的概率為SKIPIF1<0，設(shè)進入決賽的人數(shù)為ξ，試比較ξ的方差與SKIPIF1<0大?。敬鸢浮?1)甲進決賽大(2)SKIPIF1<0(1)記甲、乙兩人進入決賽的概率分別為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），所以，甲進決賽的可能性最大；(2)由題知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0得分布列：SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.3．（2022·重慶·萬州純陽中學(xué)校高二期中）為選拔奧運會射擊選手，對甲、乙兩名射手進行選拔測試.已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分分別為兩個相互獨立的隨機變量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于SKIPIF1<0環(huán)，且甲射中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0環(huán)的概率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，乙射中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0環(huán)的概率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的分布列；(2)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)并從中選拔一人.【答案】(1)答案見解析；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0