新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章 第05講 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用 精練（教師版）

第05講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用(精練）一、單選題1．（2022·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°，且AC＝BC，則A在點(diǎn)B的()A．北偏東15° B．北偏西15°C．北偏東10° D．北偏西10°【答案】B【詳解】由∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西15°.故答案為B.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖,設(shè)SKIPIF1<0兩點(diǎn)在河的兩岸,在A所在河岸邊選一定點(diǎn)C,測(cè)量SKIPIF1<0的距離為50m,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則可以計(jì)算SKIPIF1<0兩點(diǎn)間的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解:在三角形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,由正弦定理:SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故選:A3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東60°方向上，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東30°方向上，且AC=BC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的（

）A．北偏東SKIPIF1<0方向上 B．北偏西SKIPIF1<0方向上C．北偏東SKIPIF1<0方向上 D．北偏西SKIPIF1<0方向上【答案】A由題意，點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東60°方向上，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東30°方向上，且AC=BC，可得幾何位置關(guān)系如下圖所示：則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,故點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏東SKIPIF1<0方向上故選：A4．（2022·青海西寧·一模（文））某居民小區(qū)擬將一塊三角形空地改造成綠地.經(jīng)測(cè)量，這塊三角形空地的兩邊長(zhǎng)分別為32m和68m，它們的夾角是SKIPIF1<0.已知改造費(fèi)用為50元/m2，那么，這塊三角形空地的改造費(fèi)用為（

）A．SKIPIF1<0元 B．SKIPIF1<0元 C．SKIPIF1<0元 D．SKIPIF1<0元【答案】C由題意，三角形空地的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0改造費(fèi)用為50元SKIPIF1<0，SKIPIF1<0這塊三角形空地的改造費(fèi)用為：SKIPIF1<0元.故選：C.5．（2022·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，一艘船自西向東勻速航行，上午SKIPIF1<0時(shí)到達(dá)一座燈塔SKIPIF1<0的南偏西SKIPIF1<0距塔SKIPIF1<0海里的SKIPIF1<0處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的SKIPIF1<0處，則這艘船航行的速度為A．SKIPIF1<0海里/時(shí) B．SKIPIF1<0海里/時(shí)C．SKIPIF1<0海里/時(shí) D．SKIPIF1<0海里/時(shí)【答案】ASKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中有SKIPIF1<0SKIPIF1<0海里/時(shí)，選A.6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））“湖畔波瀾飛，耕耘戰(zhàn)鼓催”，合肥一六八中學(xué)的一草一木都見(jiàn)證了同學(xué)們的成長(zhǎng)．某同學(xué)為了測(cè)量瀾飛湖兩側(cè)C，D兩點(diǎn)間的距離，除了觀測(cè)點(diǎn)C，D外，他又選了兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，已經(jīng)測(cè)得兩個(gè)角SKIPIF1<0，由于條件不足，需要再觀測(cè)新的角，則利用已知觀測(cè)數(shù)據(jù)和下面三組新觀測(cè)的角的其中一組，就可以求出C，D間距離的有（

）組①SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴可求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0和SKIPIF1<0：△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，即可求SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0和SKIPIF1<0：可求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則在△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0求SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0和SKIPIF1<0：可求SKIPIF1<0，則在△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，即可求SKIPIF1<0；∴①②③都可以求SKIPIF1<0.故選：D二、多選題7．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)市第九高級(jí)中學(xué)高一期中）為了測(cè)量B，C之間的距離，在河的南岸A，C處測(cè)量（測(cè)量工具：量角器、卷尺），如圖所示.下面是四位同學(xué)所測(cè)得的數(shù)據(jù)記錄，你認(rèn)為不合理的有（

）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0【答案】ABC因?yàn)锳，C在河的同一側(cè)，所以可以測(cè)量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，故選：ABC8．（2022·江蘇·南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校高一期中）某貨輪在SKIPIF1<0處看燈塔SKIPIF1<0在貨輪北偏東SKIPIF1<0，距離為SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0處看燈塔SKIPIF1<0在貨輪的北偏西SKIPIF1<0，距離為SKIPIF1<0.貨輪由SKIPIF1<0處向正北航行到SKIPIF1<0處時(shí)，再看燈塔SKIPIF1<0在南偏東SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．SKIPIF1<0處與SKIPIF1<0處之間的距離是SKIPIF1<0 B．燈塔SKIPIF1<0與SKIPIF1<0處之間的距離是SKIPIF1<0C．燈塔SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的西偏南SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0在燈塔SKIPIF1<0的北偏西SKIPIF1<0【答案】ABC在SKIPIF1<0中，由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0處與SKIPIF1<0處之間的距離為SKIPIF1<0，故A正確；在SKIPIF1<0中，由余弦定理得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以燈塔SKIPIF1<0與SKIPIF1<0處之間的距離為SKIPIF1<0，故B正確，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0燈塔SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的西偏南SKIPIF1<0，故C正確；SKIPIF1<0燈塔SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的南偏東SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在燈塔SKIPIF1<0的北偏西SKIPIF1<0，故D錯(cuò)誤；故選：ABC．9．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）某貨輪在SKIPIF1<0處看燈塔SKIPIF1<0在貨輪北偏東75°，距離為SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0處看燈塔SKIPIF1<0在貨輪的北偏西30°，距離SKIPIF1<0．貨輪由SKIPIF1<0處向正北航行到SKIPIF1<0處時(shí)，再看燈塔SKIPIF1<0在南偏東60°，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．SKIPIF1<0處與SKIPIF1<0處之間的距離是SKIPIF1<0； B．燈塔SKIPIF1<0與SKIPIF1<0處之間的距離是SKIPIF1<0；C．燈塔SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的西偏南60°； D．SKIPIF1<0在燈塔SKIPIF1<0的北偏西30°．【答案】AC由題意可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正確；在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以燈塔SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的西偏南SKIPIF1<0，故C正確；由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在燈塔SKIPIF1<0的北偏西SKIPIF1<0處，故D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題10．（2022·河北深州市中學(xué)高一期末）隨著生活水平的不斷提高，人們更加關(guān)注健康，重視鍛煉.通過(guò)“小步道”，走出“大健康”，健康步道成為引領(lǐng)健康生活的一道亮麗風(fēng)景線.如圖，SKIPIF1<0為某區(qū)的一條健康步道，其中SKIPIF1<0為線段，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為直徑的半圓，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.則該健康步道的長(zhǎng)度為_(kāi)__________.【答案】SKIPIF1<0連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由直角三角形三角函數(shù)的定義知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以半圓SKIPIF1<0的弧長(zhǎng)為SKIPIF1<0.在RtSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，設(shè)SKIPIF1<0，由余弦定理可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以健康步道的長(zhǎng)度為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<011．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，無(wú)人機(jī)在離地面的高SKIPIF1<0的A處，觀測(cè)到山頂M處的仰角為SKIPIF1<0，山腳C處的俯角為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，則山的高度SKIPIF1<0為_(kāi)__________.【答案】SKIPIF1<0m在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由圖知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0m，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0m四、解答題12．（2022·陜西·西安中學(xué)一模（理））為了測(cè)量隧道口SKIPIF1<0、SKIPIF1<0間的距離，開(kāi)車從SKIPIF1<0點(diǎn)出發(fā)，沿正西方向行駛SKIPIF1<0米到達(dá)SKIPIF1<0點(diǎn)，然后從SKIPIF1<0點(diǎn)出發(fā)，沿正北方向行駛一段路程后到達(dá)SKIPIF1<0點(diǎn)，再?gòu)腟KIPIF1<0點(diǎn)出發(fā)，沿東南方向行駛400米到達(dá)隧道口SKIPIF1<0點(diǎn)處，測(cè)得SKIPIF1<0間的距離為1000米.(1)若隧道口SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0的北偏東SKIPIF1<0度的方向上，求SKIPIF1<0的值；(2)求隧道口SKIPIF1<0間的距離.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)1000米.(1)在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由題可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(2)由（1）可知，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故兩隧道口SKIPIF1<0間的距離為1000米.13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，對(duì)角線SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知SKIPIF1<0.(1)求B；(2)若SKIPIF1<0，且________，求線段SKIPIF1<0的長(zhǎng).從下面①②中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的空格中進(jìn)行求解.①△ABC的面積SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)選①SKIPIF1<0；選②SKIPIF1<0.(1)因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)選①，因?yàn)镾KIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平分SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，選②，因?yàn)镾KIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平分SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是直角三角形，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.14．（2022·黑龍江·哈師大附中高一期中）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKI