新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章 第03講 平面向量的數(shù)量積 精講（學(xué)生版）

第03講平面向量的數(shù)量積(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：平面向量數(shù)量積的定義角度1：平面向量數(shù)量積的定義及辨析角度2：平面向量數(shù)量積的幾何意義高頻考點(diǎn)二：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算角度1：用定義求數(shù)量積角度2：向量模運(yùn)算角度3：向量的夾角角度4：已知模求數(shù)量積角度5：已知模求參數(shù)高頻考點(diǎn)三：平面向量的綜合應(yīng)用高頻考點(diǎn)四：極化恒等式第四部分：高考真題感悟第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶1、平面向量數(shù)量積有關(guān)概念1.1向量的夾角已知兩個(gè)非零向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，如圖所示，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)叫做向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角，記作SKIPIF1<0．(2)范圍：夾角SKIPIF1<0的范圍是SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，兩向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線且同向；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，兩向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相互垂直，記作SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，兩向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線但反向．1.2數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，我們把數(shù)量SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其中θ是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角，記作：SKIPIF1<0．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零．記作：SKIPIF1<0.1.3向量的投影①定義：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0.過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0就是向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量.②投影向量計(jì)算公式:當(dāng)SKIPIF1<0為銳角（如圖（1））時(shí)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0方向相同，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0為直角（如圖（2））時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0為鈍角（如圖（3））時(shí)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0方向相反，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0綜上可知，對(duì)于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.2、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夾角：2.1數(shù)量積SKIPIF1<02.2模：SKIPIF1<02.3夾角：SKIPIF1<02.4非零向量SKIPIF1<0的充要條件：SKIPIF1<02.5三角不等式：SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立）SKIPIF1<0SKIPIF1<03、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<04、極化恒等式①平行四邊形形式：若在平行四邊形SKIPIF1<0中，則SKIPIF1<0②三角形形式：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<05、常用結(jié)論①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試一、判斷題1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）判斷（正確的填“正確”，錯(cuò)誤的填“錯(cuò)誤”）（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積仍然是向量.()（2）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.()（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線?SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=|SKIPIF1<0||SKIPIF1<0|.()（4）若SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=SKIPIF1<0·SKIPIF1<0，則一定有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.()（5）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加法?減法?數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量.()2．（2021·全國(guó)·高二課前預(yù)習(xí)）已知兩個(gè)向量SKIPIF1<0的夾角為60°，則∠NMP＝60°.()二、單選題3．（2022·河南安陽(yáng)·高一階段練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．24．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））在邊長(zhǎng)為2的正三角形SKIPIF1<0中，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．25．（2022·廣東·深圳市龍崗區(qū)德琳學(xué)校高一期中）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0－定是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：平面向量數(shù)量積的定義角度1：平面向量數(shù)量積的定義及辨析例題1．（2022·河北武強(qiáng)中學(xué)高一期中）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．0 B．2 C．3 D．4例題2．（2022·山西太原·高一期中）給出以下結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）①SKIPIF1<0

②SKIPIF1<0

③SKIPIF1<0

④SKIPIF1<0A．1 B．2 C．3 D．4例題3．（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）在銳角SKIPIF1<0中，關(guān)于向量夾角的說(shuō)法，正確的是（

）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是銳角 B．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是銳角C．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是銳角 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是鈍角例題4．（2022·寧夏·平羅中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知向量SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影為_(kāi)__________.角度2：平面向量數(shù)量積的幾何意義例題1．（2022·江西撫州·高一期中）已知向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影數(shù)量為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））在圓SKIPIF1<0中弦SKIPIF1<0的長(zhǎng)度為8，則SKIPIF1<0=（

）A．8 B．16 C．24 D．32例題3．（2022·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為120°，則向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影為（）A．4 B．－4 C．2 D．－2例題4．（2022·吉林一中高一期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為邊上SKIPIF1<0的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題5．（2022·江西景德鎮(zhèn)·三模（理））窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，它是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．在2022年虎年新春來(lái)臨之際，人們?cè)O(shè)計(jì)了一種由外圍四個(gè)大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如圖1）．已知正方形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為2，中心為SKIPIF1<0，四個(gè)半圓的圓心均在正方形SKIPIF1<0各邊的中點(diǎn)（如圖2，若點(diǎn)SKIPIF1<0在四個(gè)半圓的圓弧上運(yùn)動(dòng)，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型歸類練1．（2022·黑龍江·佳木斯一中高一期中）已知△ABC的外接圓圓心為O，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的正射影的數(shù)量為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·北京市第十九中學(xué)高一期中）如圖，已知四邊形ABCD為直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AB=1，AD=3，SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)P為直角梯形ABCD內(nèi)一點(diǎn)（不包含邊界），則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0方向相同的單位向量為SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·河南河南·三模（理））在△SKIPIF1<0中，“SKIPIF1<0”是“△SKIPIF1<0為鈍角三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校高一期中）在圓SKIPIF1<0中弦SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________.7．（2022·四川·樹(shù)德中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，直徑SKIPIF1<0的半圓，D為圓心，點(diǎn)C在半圓弧上，SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0上有動(dòng)點(diǎn)P，則SKIPIF1<0的取值范圍為_(kāi)________．高頻考點(diǎn)二：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算角度1：用定義求數(shù)量積例題1．（2022·全國(guó)·華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）正六邊形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為2，則SKIPIF1<0=（

）A．-6 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．6例題2．（2022·廣東·東莞市東方明珠學(xué)校高一期中）已知正方形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為2，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．SKIPIF1<0 D．2例題3．（2022·北京·中關(guān)村中學(xué)高一期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0例題4．（2022·安徽·高二階段練習(xí)）已知平面向量SKIPIF1<0，單位向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角為_(kāi)__________.例題5．（2022·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高一期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______角度2：向量模運(yùn)算例題1．（2022·山東濰坊·高一期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·四川綿陽(yáng)·高一期中）已知向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題3．（2022·河南安陽(yáng)·高一階段練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．2 D．4例題4．（2022·河南新鄉(xiāng)·高一期中）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題5．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．例題6．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．角度3：向量的夾角例題1．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)（理））若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·山東濟(jì)南·三模）已知單位向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夾角為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題3．（2022·河北邯鄲·二模）若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值為（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題4．（2022·河南·扶溝縣第二高中高一階段練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是單位向量，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為_(kāi)____.例題5．（2022·山東煙臺(tái)·高一期中）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角大小為_(kāi)_____．例題6．（2022·安徽·巢湖市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例題7．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校高一期中）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是______．例題8．（2022·黑龍江·勃利縣高級(jí)中學(xué)高一期中）已知向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0所成角為鈍角．則SKIPIF1<0的取值范圍是______．例題9．（2022·河北·高一期中）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為鈍角，則SKIPIF1<0的取值范圍為_(kāi)_____角度4：已知模求數(shù)量積例題1．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．6 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．－2例題3．（2022·北京十五中高一期中）若向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____.例題4．（2022·安徽馬鞍山·三模（文））設(shè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.例題5．（2022·貴州貴陽(yáng)·二模（理））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________．角度5：已知模求參數(shù)例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．-2 D．2例題2．（2022·廣東·高一階段練習(xí)）已知單位向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題3．（2022·湖北鄂州·高二期末）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題4．（2022·安徽·高二階段練習(xí)（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為_(kāi)_____．題型歸類練1．（2022·北京·潞河中學(xué)三模）已知菱形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·河南·方城第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為單位向量，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一期中（理））如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P為CD上一點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，若AC＝3，AB＝4，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市明德中學(xué)二模）已知非零向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0夾角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)SKIPIF1<0為非零向量，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為_(kāi)__________.8．（2022·廣東廣州·三模）已知SKIPIF1<0為單位向量，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________.9．（2022·山東濟(jì)寧·三模）在邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的等邊SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________.高頻考點(diǎn)三：平面向量的綜合應(yīng)用例題1．（2022·湖南·高二階段練習(xí)）“趙爽弦圖”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的圖騰，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如圖，某人仿照趙爽弦圖，用四個(gè)三角形和一個(gè)小的平行四邊形拼成一個(gè)大平行四邊形，其中SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·河南·唐河縣第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式中，當(dāng)《雪花》這個(gè)節(jié)目開(kāi)始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺(tái)中央，十分壯觀．理論上，一片雪花的周長(zhǎng)可以無(wú)限長(zhǎng)，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線．如圖是“雪花曲線”的一種形成過(guò)程：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程．已知圖①中正三角形的邊長(zhǎng)為6，則圖③中SKIPIF1<0的值為（

）A．24 B．6 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題4．（2022·江蘇·常州市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，已知平行四邊形SKIPIF1<0的對(duì)角線相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0所在直線分別交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題5．（2022·江蘇·常州市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn).(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值；題型歸類練1．（2022·浙江·高一階段練習(xí)）已知P是SKIPIF1<0的外心，且SKIPIF1<0，則cosC=（

）A．-SKIPIF1<0 B．-SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或-SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或-SKIPIF1<02．（2022·河南洛陽(yáng)·高二階段練習(xí)（文））在△SKIPIF1<0中，點(diǎn)D滿足SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·山東淄博·高一期中）如圖，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________4．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）在三角形ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．5．（2022·浙江·高一階段練習(xí)）平面內(nèi)的三個(gè)向量SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)k的值.6．（2022·重慶市二0三中學(xué)校高一階段練習(xí)）已知平面向量SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值.7．（2022·湖北·高一階段練習(xí)）已知平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AE和BF交于點(diǎn)P.(1)試用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示向量SKIPIF1<0.(2)若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的余弦值.8．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一期中（文））如圖，設(shè)△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，AD為BC邊上的中線，已知SKIPIF1<0，c＝1且SKIPIF1<0．(1)求b邊的長(zhǎng)；(2)求△ABC的面積；(3)設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，線段EF交AD于G，且△AEF的面積為△ABC面積的一半，求SKIPIF1<0的最小值．高頻考點(diǎn)四：極化恒等式例題1．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）閱讀一下一段文字：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，我們把這個(gè)等式稱作“極化恒等式”，它實(shí)現(xiàn)了在沒(méi)有夾角的參與下將兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算化為“?！钡倪\(yùn)算.試根據(jù)上面的內(nèi)容解決以下問(wèn)題：如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的兩個(gè)三等分點(diǎn).（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.例題2．（2022·河北唐山·高三期末）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．