人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第八章 立體幾何初步達(dá)標(biāo)檢測試卷（含答案）

人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第八章立體幾何初步達(dá)標(biāo)檢測(滿分:150分;時間:120分鐘)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.下列說法正確的是()A.有兩個面平行,其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B.有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C.有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐D.棱臺各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)2.圓木長2丈4尺,圓周為5尺,葛藤從圓木的底部開始向上生長,繞圓木兩周,剛好頂部與圓木平齊,問葛藤最少長多少尺?這個問題的答案為(注:1丈等于10尺)()A.29尺 B.24尺 C.26尺 D.30尺3.設(shè)l為直線,α,β是兩個不同的平面,下列命題中正確的是()A.若l∥α,l∥β,則α∥β B.若l⊥α,l⊥β,則α∥βC.若l⊥α,l∥β,則α∥β D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β4.設(shè)α,β,γ為三個不同的平面,m,n為兩條不同的直線,則下列命題中為假命題的是()A.當(dāng)α⊥β時,若β∥γ,則α⊥γB.當(dāng)m⊥α,n⊥β時,若α∥β,則m∥nC.當(dāng)m?α,n?β時,若α∥β,則m,n是異面直線D.當(dāng)m∥n,n⊥β時,若m?α,則α⊥β5.用半徑為R的半圓卷成一個無底的圓錐,則該圓錐的體積為()A.324πR3 B.38πR3 C.524πR3 D.6.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥B1C,AA1=BC=2AB,則異面直線A1B與B1C所成的角的余弦值為()A.255 B.55 C.157.已知四棱錐P-ABCD的體積是363,底面ABCD是正方形,△PAB是等邊三角形,平面PAB⊥平面ABCD,則四棱錐P-ABCD外接球的體積為()A.2821π B.9911C.6372π D.1088.點(diǎn)D是Rt△ABC斜邊AB上一動點(diǎn),AC=3,BC=4,將△BCD沿著CD翻折,翻折后的三角形為△B'CD,且平面B'DC⊥平面ADC,則翻折后AB'的最小值是()A.21 B.13 C.22 D.7二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多個選項(xiàng)符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分)9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,四邊形ABCD是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2CD=2,F是AB的中點(diǎn),E是PB上的一點(diǎn),則下列說法正確的是()A.若PB=2PE,則EF∥平面PACB.若PB=2PE,則四棱錐P-ABCD的體積是三棱錐E-ABC體積的6倍C.三棱錐P-ADC中有且只有三個面是直角三角形D.平面BCP⊥平面ACE10.已知菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC與BD相交于點(diǎn)E,將△ABD沿BD折起,使頂點(diǎn)A至點(diǎn)M,在折起的過程中,下列結(jié)論正確的是()A.BD⊥CMB.存在一個位置,使△CDM為等邊三角形C.DM與BC不可能垂直D.直線DM與平面BCD所成的角的最大值為60°11.沙漏是古代的一種計時裝置,它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成,開始時細(xì)沙全部在上部容器中,細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時.如圖,某沙漏由上、下兩個圓錐組成,圓錐的底面直徑和高均為8cm,細(xì)沙全部在上部時,其高度為圓錐高度的23(如圖1,細(xì)管長度忽略不計).假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙,且細(xì)沙全部漏入下部后,恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆(如圖2).以下結(jié)論正確的是圖1圖2A.沙漏中的細(xì)沙體積為1024π81B.沙漏的體積是128πcm3C.細(xì)沙全部漏入下部后,錐形沙堆的高度約為2.4cmD.該沙漏的一個沙時大約是1985秒(π≈3.14)12.設(shè)α是給定的平面,A,B是不在α內(nèi)的任意兩點(diǎn),則()A.在α內(nèi)存在直線與直線AB異面B.在α內(nèi)存在直線與直線AB相交C.在α內(nèi)存在直線與直線AB平行D.存在過直線AB的平面與α垂直三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中橫線上)13.若圓錐的表面積為27π,且它的側(cè)面展開圖是一個半圓,則這個圓錐的底面圓的半徑為.

14.在如圖所示的四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為菱形,∠DAB=60°,DM⊥PA,PA=PD=AB=4,M為BC中點(diǎn),則點(diǎn)M到平面PBD的距離是.

15.如圖,在長方形ABCD中,AB=2,AD=1,E是CD的中點(diǎn),沿AE將△DAE向上折起,使D到D'的位置,且平面AED'⊥平面ABCE,則直線AD'與平面ABC所成角的正弦值為.

16.如圖,矩形ABCD中,AB=23,AD=2,Q為BC的中點(diǎn),點(diǎn)M,N分別在線段AB,CD上運(yùn)動(其中M不與A,B重合,N不與C,D重合),且MN∥AD,沿MN將△DMN折起,得到三棱錐D-MNQ,則三棱錐D-MNQ體積的最大值為;當(dāng)三棱錐D-MNQ體積最大時,其外接球的表面積為.(本題第一空2分,第二空3分)

四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)如圖,在多面體ABCDE中,平面ACD⊥平面ABC,AC⊥BC,BC=2AC=4,DA=DC=3,F是BC的中點(diǎn),EF⊥平面ABC,EF=22.(1)證明:A、B、E、D四點(diǎn)共面;(2)求三棱錐的體積.

從①B-ACD;②A-BCE;③B-CDE這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在上面問題中并作答.注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.18.(本小題滿分12分)如圖所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,平面ABCD⊥平面ABB1A1,∠BAA1=60°,AB=AA1=2BC=3CD=6.(1)求該四棱柱的體積;(2)在線段DB1上是否存在點(diǎn)M,使得CM∥平面DAA1D1?若存在,求DMDB1的值;若不存在19.(本小題滿分12分)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,E為AC的中點(diǎn).(1)求證:AB1∥平面BEC1;(2)若BB1=BA,求異面直線AB1與EC1所成角的余弦值.20.(本小題滿分12分)如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,側(cè)面SBC為等邊三角形,SD=2.(1)求證:SD⊥BC;(2)求點(diǎn)B到平面SAD的距離.21.(本小題滿分12分)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都為2,且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°.(1)證明:平面A1AC⊥平面A1BD;(2)求直線BC1與平面A1AC所成的角θ的正弦值.22.(本小題滿分12分)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC=2BC,E為AB的中點(diǎn),沿DE將△ADE折起,使得點(diǎn)A到點(diǎn)P的位置,且PE⊥EB,M為PB的中點(diǎn),N是BC上的動點(diǎn)(與點(diǎn)B,C不重合).(1)證明:平面EMN⊥平面PBC;(2)是否存在點(diǎn)N,使得二面角B-EN-M的余弦值為66?若存在,確定N點(diǎn)位置;若不存在,說明理由答案全解全析一、單項(xiàng)選擇題1.D棱柱是有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體,A選項(xiàng)不能保證四邊形的公共邊平行;B選項(xiàng)可以是兩個棱柱的組合體;C選項(xiàng)不能保證三角形有公共頂點(diǎn);棱臺是由平行于棱錐底面的平面截得的,因此各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn).故選D.2.C由題意可知,圓柱的側(cè)面展開圖是矩形,其中一條邊(即圓木的高)長為24尺,其鄰邊長為5尺,因此葛藤長242+(5×2)23.B若l∥α,l∥β,則平面α,β還可能相交,此時交線與l平行,故A錯誤;若l⊥α,l⊥β,則根據(jù)垂直于同一直線的兩個平面平行,可知B正確;若l⊥α,l∥β,則存在直線m?β,使l∥m,則m⊥α,故此時α⊥β,故C錯誤;若α⊥β,l∥α,則l與β可能相交,可能平行,也可能線在面內(nèi),故D錯誤.故選B.4.C對于A,根據(jù)平面與平面平行、垂直的性質(zhì),可得A正確;對于B,根據(jù)平面與平面平行、線面垂直的性質(zhì),可得B正確;對于C,m,n可能異面,也可能平行,故C錯誤;對于D,由m∥n,n⊥β可知m⊥β,又m?α,所以α⊥β,故D正確.故選C.5.A設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,則由題得2π·r=πR,所以r=R2,則h=R2-R22=3R2,所以圓錐的體積V=13π·r6.D∵AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥AB,∵BB1∥AA1,∴BB1⊥AB,∵AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,∴AB⊥平面BB1C1C,∴三棱柱可以補(bǔ)成長方體ABCD-A1B1C1D1,連接CD1,B1D1,則A1B∥CD1,∴∠B1CD1是異面直線A1B與B1C所成的角(或其補(bǔ)角),令A(yù)B=1,則AA1=BC=2,在△B1CD1中,B1D1=CD1=5,B1C=22,∴cos∠B1CD1=B1C2CD7.A由題意可設(shè)正方形ABCD的邊長為2x,在等邊三角形PAB中,過點(diǎn)P作PE⊥AB,由于平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PE?平面PAB,∴PE⊥平面ABCD.由△PAB是等邊三角形,可得PE=3x,∴VP-ABCD=13·2x·2x·3x=363,解得∴PE=33,底面正方形ABCD的外接圓的半徑為32.設(shè)外接球的球心為O,半徑為R,O到底面ABCD的距離為h,則(32)2+h2=(33-h)2+622,得h=3,∴R=18+3=21.∴V球=43π·(21)3=8.B過點(diǎn)B'作B'E⊥CD于點(diǎn)E,連接AE,如圖所示.設(shè)∠BCD=∠B'CD=α0<α<π2,則B'E=4sinα,CE=4cos在△AEC中,由余弦定理得,AE2=AC2+CE2-2AC·CEcosπ=9+16cos2α-24cosαsinα.∵平面B'CD⊥平面ACD,平面B'CD∩平面ACD=CD,B'E⊥CD,B'E?平面B'CD,∴B'E⊥平面ACD.又AE?平面ACD,∴B'E⊥AE.在Rt△AEB'中,由勾股定理得,AB'2=AE2+BE'2=9+16cos2α-24cosαsinα+16sin2α=25-12sin2α,∴當(dāng)α=π4時,AB'取得最小值,為13故選B.二、多項(xiàng)選擇題9.AD對于選項(xiàng)A,∵PB=2PE,∴E是PB的中點(diǎn).∵F是AB的中點(diǎn),∴EF∥PA,又PA?平面PAC,EF?平面PAC,∴EF∥平面PAC,故A正確.對于選項(xiàng)B,∵PB=2PE,∴VP-ABCD=2VE-ABCD.∵AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2CD=2,∴梯形ABCD的面積為12(CD+AB)·AD=12×(1+2)×1=32,S△ABC=12AB∴VE-ABCD=32VE-ABC,∴VP-ABCD=3VE-ABC,故B錯誤對于選項(xiàng)C,∵PC⊥底面ABCD,∴PC⊥AC,PC⊥CD,∴△PAC,△PCD為直角三角形.又AB∥CD,AB⊥AD,∴AD⊥CD,∴△ACD為直角三角形,∴PA2=PC2+AC2=PC2+AD2+CD2,PD2=CD2+PC2,則PA2=PD2+AD2,∴△PAD是直角三角形,∴三棱錐P-ADC的四個面都是直角三角形,故C錯誤.對于選項(xiàng)D,∵PC⊥底面ABCD,∴PC⊥AC.在Rt△ACD中,AC=AD2+在直角梯形ABCD中,BC=AD2+∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.∵BC∩PC=C,∴AC⊥平面BCP.又AC?平面ACE,∴平面BCP⊥平面ACE,故D正確.故選AD.10.ABD對于A,在菱形ABCD中,易知AC⊥BD.連接ME,則ME⊥BD,∵CE⊥BD,ME∩CE=E,∴BD⊥平面MCE.又MC?平面MCE,∴MC⊥BD,故A正確.對于B,由題意可知,AB=BC=CD=DA=BD,∴當(dāng)三棱錐M-BCD是正四面體時,△CDM為等邊三角形,故B正確.對于C,當(dāng)三棱錐M-BCD是正四面體時,DM與BC垂直,故C不正確.對于D,當(dāng)平面BDM與平面BDC垂直時,直線DM與平面BCD所成的角最大,為60°,故D正確.11.ACDA選項(xiàng),由題圖可知,細(xì)沙在上部時,細(xì)沙的底面半徑與圓錐的底面半徑之比等于細(xì)沙的高與圓錐的高之比,∴細(xì)沙的底面半徑r=23×4=83∴細(xì)沙的體積為13×πr2×2?3=13×64π9×16B選項(xiàng),沙漏的體積為2×13×π×?22×h=2×13×π×42×8=2563C選項(xiàng),設(shè)細(xì)沙全部漏入下部后的高度為h1,根據(jù)細(xì)沙體積不變可知1024π81=13×π×?∴1024π81=16π∴h1≈2.4cm.選項(xiàng)D,∵細(xì)沙的體積為1024π81cm3,沙漏每秒鐘漏下0.02cm3∴一個沙時為1024π810.02≈1024×3.1481×50≈1故選ACD.12.ADA、B是不在α內(nèi)的任意兩點(diǎn),則直線AB與平面α相交或平行.若AB與平面α相交,設(shè)交點(diǎn)為O,則α內(nèi)不過交點(diǎn)O的直線與AB異面,但平面α內(nèi)不存在與AB平行的直線;若AB與平面α平行,則在α內(nèi)存在直線b與AB平行,而在α內(nèi)與b相交的直線與AB異面,但α內(nèi)不存在直線與AB相交,由上知A正確,B、C均錯;不論AB與平面α平行還是相交,過A作平面α的垂線,則這條垂線與直線AB所在平面與平面α垂直(如果垂線與AB重合,則過AB的任意平面都與α垂直),D正確.故選AD.三、填空題13.答案3解析設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長為l,∵側(cè)面展開圖是半圓,∴2πr=πl(wèi),∴l(xiāng)=2r,∴圓錐表面積S=πr2+2πr2=3πr2=27π,∴r=3.14.答案2解析∵四邊形ABCD為菱形,且∠DAB=60°,∴△BCD是等邊三角形,又M是BC的中點(diǎn),∴DM⊥BC,又BC∥AD,∴DM⊥AD,又DM⊥PA,PA∩AD=A,∴DM⊥平面PAD,又DM?平面ABCD,∴平面PAD⊥平面ABCD,取AD的中點(diǎn)H,連接PH、BH,∵PA=PD=AB=4,AB=BD=AD=4,∴PH⊥AD,且PH=BH=23.由平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,得PH⊥平面ABCD,故PH⊥BH,∴PB=26,又PD=BD=4,∴S△BDP=12×26×42-設(shè)M到平面PBD的距離為h,則VM-PBD=13×215×h=2又VM-PBD=VP-BDM=13×12×2×23×2∴215h3=4,解得∴點(diǎn)M到平面PBD的距離為21515.答案2解析由題意,知△AED'為等腰直角三角形,∵平面AED'⊥平面ABCE,∴AD'在底面的射影在AE上,∴∠D'AE為直線AD'與平面ABC所成角,且∠D'AE=45°,其正弦值為22,故答案為216.答案1;253解析設(shè)MB=t(0<t<23),則AM=DN=23-t,沿MN將△DMN折起,當(dāng)DN⊥平面MNQ時,三棱錐D-MNQ的體積最大,此時VD-MNQ=13×12×MN×MB×(2=13×t(23-t)=-13t2+∴當(dāng)t=3時,VD-MNQ取得最大值,最大值為1,此時MB=3,DN=3,∴MQ=NQ=2,∴△MNQ為等邊三角形.∴當(dāng)三棱錐D-MNQ體積最大時,三棱錐D-MNQ是正三棱柱的一部分,如圖所示,則三棱柱MNQ-EDF的外接球即是三棱錐D-MNQ的外接球,設(shè)點(diǎn)G,H分別是上、下底面正三角形的中心,連接GH,則線段GH的中點(diǎn)即是三棱柱MNQ-EDF的外接球的球心,設(shè)為O,連接HQ,OQ,則OH=12DN=3∵△MNQ是邊長為2的等邊三角形,∴HQ=23∴三棱柱MNQ-EDF的外接球的半徑R=OQ=OH2+∴三棱錐D-MNQ的外接球的表面積為4πR2=25π四、解答題17.解析(1)證明:如圖,取AC的中點(diǎn)M,連接DM、MF,∵DA=DC=3,AC=2,M為AC的中點(diǎn),∴DM⊥AC,且DM=22.(2分)∵平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC,DM?平面ACD,∴DM⊥平面ABC.又EF⊥平面ABC,∴DM∥EF,且DM=EF=22,∴四邊形DEFM是平行四邊形,∴DE∥MF,(4分)在△ABC中,∵M(jìn)、F是AC、BC的中點(diǎn),∴MF∥AB,∴DE∥AB,∴A、B、E、D四點(diǎn)共面.(5分)(2)若選①,∵平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC,AC⊥BC,BC?平面ABC,∴BC⊥平面ACD.(7分)∴VB-ACD=13S△ACD由(1)知,DM⊥AC,且DM=22,∴S△ACD=12×AC×DM=12×2×22=22.(9∴VB-ACD=13×22×4=823若選②,由題圖可知,VA-BCE=VE-ABC.(6分)∵EF⊥平面ABC,∴VE-ABC=13×S△ABC×EF.(8分∵AC⊥BC,∴S△ABC=12×AC×BC=1∴VE-ABC=13×4×22=8即VA-BCE=823.(10若選③,由(1)知DM∥EF,∵DM?平面BCE,EF?平面BCE,∴DM∥平面BCE,∴點(diǎn)D到平面BCE的距離等于點(diǎn)M到平面BCE的距離,則三棱錐D-BCE與三棱錐M-BCE的體積相等,(7分)∵AC⊥BC,AC=2,BC=4,M為AC的中點(diǎn),∴S△BCM=12CM·BC=2,(8分又EF⊥平面ABC,且EF=22,∴VB-CDE=VD-BCE=VM-BCE=VE-BCM=13S△BCM·EF=42318.解析(1)過A1作A1H⊥AB于點(diǎn)H,(2分)由平面ABCD⊥平面ABB1A1,平面ABCD∩平面ABB1A1=AB,A1H⊥AB,A1H?平面ABB1A1,知A1H⊥平面ABCD,易得A1H=33,(4分)∴VABCD-A1B1C1D1=S梯形ABCD·A(2)存在.當(dāng)DMDB1=13時,CM∥平面DAA1D連接DA1,在DB1上取點(diǎn)M,使DMDB1=13,在DA1上取點(diǎn)N,使DNDA1則MN∥A1B1,且MN=2,則MN=DC,又CD∥AB∥A1B1,∴MN∥CD,∴四邊形CMND為平行四邊形,∴CM∥DN,又CM?平面DAA1D1,DN?平面DAA1D1,∴CM∥平面DAA1D1.(12分)19.解析(1)證明:如圖所示.連接B1C,交BC1于點(diǎn)O,易知O為B1C的中點(diǎn),連接EO,∵E為AC的中點(diǎn),∴AB1∥EO,(2分)又∵AB1?平面BEC1,EO?平面BEC1,∴AB1∥平面BEC1.(4分)(2)由(1)知AB1∥EO,∴∠C1EO為異面直線AB1與EC1所成的角(或其補(bǔ)角).(5分)設(shè)BB1=BA=a,則C1B=2a,C1O=12C1B=22a,C1E=C1C2∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,∴易得BE⊥平面AA1C1C,∴BE⊥EC1.(9分)在Rt△BEC1中,EO=12C1B=2在△OEC1中,cos∠C1EO=EC12+EO2-OC122×EC20.解析(1)證明:設(shè)BC邊的中點(diǎn)是E,連接DE、SE、BD,(2分)∵△SBC是等邊三角形,∴SE⊥BC,又易知△DBC是等邊三角形,∴DE⊥BC,(4分)∵DE∩SE=E,∴BC⊥平面SDE,又SD?平面SDE,∴BC⊥SD.(5分)(2)解法一:∵△SBC是邊長為2的等邊三角形,∴SE=3,同理DE=3,取SD的中點(diǎn)P,連接PE,(6分)∵SE=DE=3,∴PE⊥SD,∴PE=SE2-PS2=2,∴∠BDE=30°,∴∠ADE=90°,∴AD⊥DE,∵SD⊥BC,AD∥BC,∴AD⊥SD,又DE∩SD=D,∴AD⊥平面SDE,(8分)又∵AD?平面SAD,∴平面SAD⊥平面SDE.∵AD∥BC,AD?平面SAD,BC?平面SAD,∴BC∥平面SAD,∴點(diǎn)B到平面SAD的距離等于點(diǎn)E到平面SAD的距離,(10分)∵PE⊥SD,平面SAD∩平面SDE=SD,PE?平面SDE,∴PE⊥平面SAD,∴E到平面SAD的距離為PE=2,∴B到平面ASD的距離為2.(12分)解法二:∵△SBC是邊長為2的等邊三角形,∴SE=3,同理DE=3,又SD=2,∴PE=2,∴S△SDE=12×2×2=2,(7分又由(1)可知BC⊥平面SDE,∴VS-BCD=13S△SDE·BC=13×2×2=223=V易知三棱錐S-BCD是正四面體,∴S在底面BCD上的射影H為△BCD各邊中線的交點(diǎn),且為△BCD的重心.(9分)連接AC,易知H在AC上,由勾股定理,得SA=SH2+AH2,又CH=23OC=233(其中O為AC與BD的交點(diǎn)),∴SH=SC2-CH2∴SD2+AD2=SA2,∴