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文檔簡介
人教A版(2019)必修第二冊必殺技第6章第6.4節(jié)綜合訓(xùn)
練
學(xué)校:姓名:班級:考號:
一、單選題
1.一只鷹正以與水平方向成30。角的方向向下飛行,直撲獵物,太陽光從頭上直照下來,
鷹在地面上的影子的速度是40m/s,則鷹的飛行速度為
.804073,?80石,「40
A.——m/sB.——m/sC.—―m/sD.—m/s
3333
2.兩個大小相等的共點力耳,耳,當(dāng)它們夾角為90°時,合力大小為20N,則當(dāng)它們的
夾角為1200時,合力大小為
A.40NB.10V2NC.20V2ND.10>/3N
3.質(zhì)點P在平面上作勻速直線運動,速度向量;=(4,-3)(即點P的運動方向與5相同,
且每秒移動的距離為1個單位).設(shè)開始時點P的坐標(biāo)為(-10,10),則5秒后點P的坐標(biāo)
為()
A.(-2,4)B.(-30,25)
C.(10,-5)D.(5,-10)
4.已知作用在點A的三個力,=(3,4),&=(2,-5),6=31),且41,1),則合力
/=£+6+△的終點坐標(biāo)為()
A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)
5.在A4BC中,AB=3,AC邊上的中線石,AC-AB=5,則AC的長為()
A.1B.2C.3D.4
6.已知點O為△ABC外接圓的圓心,且函+而+的=0,則4ABC的內(nèi)角A等于
A.3()B.60°C.90D.120
7.在AABC中,內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,4C.則下列關(guān)系式中:①asinB=bsinA;
@a=bcosC+ccosB;③/+b2-c2-2abcosC?b=csinA+asinC.
一定成立的有()
A.1個B.2個C.3個D.4個
8.在AA6C中,角A、B-C的對邊分別為“,b?c,若2ccosC=6cosA+acosB,
則NC的值為
A2萬c5〃〃冗C萬
A.--B.--C.-,D.一
3663
9.在AABC中,內(nèi)角4,B,C的對邊分別為。,b,J若(a+"c)(b+c-a)=3bc,
且sinA=2sinBcosC,則AABC是()
A.直角三角形B.等邊三角形
C.等腰三角形D.等腰直角三角形
10.已知AABC內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。,b,c,若
(sin2A+sin2C—sin2tanB=sinAsinC,則8=()
A71
A-6
C3或生萬t27r
6典6D.彳或可
11.在圓內(nèi)接四邊形ABC。中,AB=136,8c=80,6=150,DA=102,則它的外
接圓直徑為()
A.170B.180C.87605D.前三個答案都
不對
二、填空題
12.如圖,兩根固定的光滑硬桿OB成。角,在桿上分別套一小環(huán)P,0(小環(huán)重
力不計),并用輕線相連.現(xiàn)用恒力尸沿而方向拉小環(huán)。,則當(dāng)兩環(huán)穩(wěn)定時,輕線上的
拉力的大小為.
13.某物體做斜拋運動,初速度|M=l0m/s,與水平方向成60°,不計空氣阻力,則該
物體在水平方向上的速度是m/s.
14.設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為",b,c且,,cosC=--i-,sinA=2sinB,
試卷第2頁,總4頁
則6=.
15.AABC的內(nèi)角A,B,C的的對邊分別是。、b、c,若3=2A,?=1,b=6,
貝ijc=_______
16.已知AABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,6,c,^C=y,tz=6,l<Z><4,貝?。輘inA的
取值范圍為
17.如圖所示,小船被繩索拉向岸邊,船在水中運動時設(shè)水的阻力大小不變,那么小
船勻速靠岸過程中,下列說法中正確的是.(寫出所有正確答案的序號)
①繩子的拉力不斷增大;②繩子的拉力不斷變??;③船的浮力不斷變?。虎艽母×?/p>
保持不變.
三、解答題
18.三個大小相同的力力b,"作用在同一物體P上,使物體尸沿£方向做勻速運動,
設(shè)中=£,PB=b,PC=c,判斷AABC的形狀.
19.已知三個點A(2,l),B(3,2),£>(-1,4).
(1)求證:ABLAD-,
(2)若四邊形ABC。為矩形,求點C的坐標(biāo)及矩形ABC。兩對角線所成銳角的余弦值.
20.在AABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a<*3b=2c?.
(1)求角C;
(2)若c=2區(qū)a=2,求AABC的周長.
21.在AABC中,內(nèi)角A8,C所對的邊分別為“Ac,且滿足4<6<以/-02=從-半,
a=3,A4BC的面積為6.
(1)求角A的正弦值;
(2)求邊長b,c的值.
22.已知海島廨在海島,源北偏東母章,,源,廨相距20海里,物體甲從海島譽以當(dāng)海里
/小時的速度沿直線向海島移動,同時物體乙從海島激沿著海島西北偏西」管方向以
何海里/小時的速度移動.
(1)問經(jīng)過多長時間,物體甲在物體乙的正東方向;
(2)求甲從海島廨到達(dá)海島盤,的過程中,甲、乙兩物體的最短距離.
7T
23.在AA5C中,內(nèi)角4,B,C的對邊分別是“,b,c.如果a+A22c,求證:C<-.
試卷第4頁,總4頁
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參考答案
1.C
【分析】
畫出示意圖,根據(jù)直角三角形進(jìn)行分析.
【詳解】
如圖,|/|=同=40,且NC48=30°,則|4用=同=今叵?
故選:C
【點睛】
本題考查向量中速度的分解,難度較易利用三角形法則或者平行四邊形法則計算的時,可
根據(jù)是否是特殊的三角形或者平行四邊形去計算.
2.B
【分析】
當(dāng)?shù)醵鼈儕A角為90。時,結(jié)合平行四邊形法則可知,國卜國=|ncos45°,當(dāng)耳和耳的
夾角為120?時,結(jié)合平行四邊形法則,可求出國=同=同
【詳解】
設(shè)合力為用,
由平行四邊形法則可知,同=國=國際45°=10a[
當(dāng)耳和耳的夾角為120°時,由平行四邊形法則,同=|同=|同=1。&N,
故選:B.
【點睛】
答案第1頁,總13頁
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本題考查了向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
3.C
【分析】
根據(jù)向量坐標(biāo)的意義求解.
【詳解】
UUU
設(shè)A(-10,10),5秒后P點的坐標(biāo)為A(x,y),則例=(x+10,y-10),
UUU1
由題意有A4,=5v.
即(x—10,y—10)=(20,T5)
10=20,x=10,
所以解得
y—10=—15,y=-5.
故選:C
4.A
【分析】
先求出了=(8,0),再設(shè)終點為8(x,y),由(x-l,y-l)=(8,0)求出x,y的值即得解.
【詳解】
/=£+/+/=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),
設(shè)終點為則(x-l,y-D=(8,0),
[x-l=8[x=9
所以i所以1-
b-i=o[y=i
所以終點坐標(biāo)為(9,1).
【點睛】
本題主要考查平面向量的坐標(biāo)和運算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.
5.B
【分析】
根據(jù)題意可得BD=^AC-AB,平方后即可得到AC的長.
【詳解】
因為麗=通-通=g/一通,
答案第2頁,總13頁
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所以前2=弓/_珂霜—林?福+通2=5,
又8。=逐,ACAB=5,AB=3,
則;*Ji,所以“卜2,即AC=2.
故選:B.
【點睛】
本題主要考查的是向量運算,解題的關(guān)鍵是利用平方公式進(jìn)行求解,是基礎(chǔ)題.
6.A
【詳解】
由方+方+函=0得函+礪=詼,如圖由。為△ABC外接圓的
圓心結(jié)合向量加法的幾何意義知四邊形OACB為菱形,且/60=60,4=30,故選人.
7.C
【分析】
①③由正弦定理、余弦定理可直接判斷,②由sinA=sin(8+C)=sinBcosC+sinCcosB,然后利
用正弦定理可判斷,④由正弦定理可得sin8=2sinAsinC,當(dāng)AABC為等邊三角形時,等式
不成立,可判斷得出答案.
【詳解】
對于①③,由正弦定理、余弦定理知一定成立.
對于②,由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCeosB,
由正弦定理有a=bcosC+ccos8,所以②一定成立.
對于④,利用正弦定理,變形得sin8=sinCsinA+sinAsinC=2sinAsinC,
即sin8=2sinAsinC,當(dāng)AABC為等邊三角形時,等式不成立,所以④不一定成立.
所以其中一定成立的是①②③
故選:C.
【點睛】
本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,考查推理能力,屬于基礎(chǔ)題.
8.D
【分析】
首先由正弦定理邊化角,然后結(jié)合兩角和差正余弦公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得cosC
答案第3頁,總13頁
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的值,據(jù)此可得NC的值.
【詳解】
由題意利用正弦定理邊化角可得:2sinCcosC=sinBcosA+sinA8sB
=sin(A+8)=sinC,
1ZF
sinCw0,/.cosC=—,C=y.
故選D.
【點睛】
本題主要考查正弦定理的應(yīng)用,特殊角的三角函數(shù)值等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計
算求解能力.
9.B
【分析】
通過5+人+祖人+^“^收"化簡整理得從—松+^:^^利用余弦定理中求得出人,進(jìn)而
求得A,再由sinA=2sin8cosC利用正弦余弦定理得b=c進(jìn)而可判斷三角形的形狀.
【詳解】
(a+6+c)(b+c-a)=3bc,
(。+c1-?2=3i>c即b2-bc+c2=a2,
根據(jù)余弦定理“2=從+°2_2bccosA,
^b2-bc+c2=a2=b2+c2-2bccosA,即bc=2M;cosA,
???cosA=!,又???0。<4<180。,
2
A=60°又sinA=2sinBcosC,/.‘訪”=2cosC,
sinB
由正弦定理及余弦定理得@=2?三土二土,
hlab
化簡可得從=02,即』,
“ABC是等邊三角形.
故選:B.
【點睛】
本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,要熟練記憶余弦定理的公式及其變形公式,
是基礎(chǔ)題.
答案第4頁,總13頁
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10.C
【分析】
TT1
由正弦定理,余弦定理化簡已知等式可得2cosB-sin8=cosB,且8片一,得sinB=-,結(jié)
22
合3?0,萬),可得8的值.
【詳解】
(sin2A+sin2C-sin2tanB=sinA?sinC,
(sin2A+sin2C-sin28)?sin5=sinA-sinC-cosB,且Bw匹,
/.由正弦定理可得(/+c2-")-sin8=a-c-cos8,
由余弦定理可得2trc-cos8-sin8=a-c-cos8,
即2cosBsin8=cos5,cosB=0(舍去)或sin8=L
2
Bw(O㈤,
66
故選:C.
【點睛】
本題主要考查的是正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及正弦函數(shù)圖像
和性質(zhì)的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.
11.A
【分析】
在△ABO和ABCD中,由余弦定理得公共邊BO?和/BA£>+NBCD=T,可得8。是直徑.
【詳解】
V1502+802=1362+1022,即CD2+BC2=AB2+DA2.
在△/$£>和ABCD中,由余弦定理得:
BD2=BC2+DC2-2BCDCcosNBCD=BA2+DA1-2BA-DAcosZBAD,
BC-DCcosNBCD=BA-DAcosZBAD.
又,:NBAD+NBCD=7T,
:.ZBAD=ZBCD=-,
答案第5頁,總13頁
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.?.外接圓直徑為8。,BD=yjBC2+DC2-170.
故選:A.
【點睛】
本題主要考查的是余弦定理的應(yīng)用,以及圓內(nèi)接四邊形所滿足的條件,考查學(xué)生的分析和解
決問題能力和計算能力,是中檔題.
【分析】
由題,P,Q是兩個輕環(huán),重力不計,當(dāng)用恒力F沿而方向拉環(huán)Q,兩環(huán)穩(wěn)定時,產(chǎn)環(huán)受到
兩個力而平衡,。環(huán)受到三個力而平衡,以尸為研究對象,根據(jù)二力平衡條件確定出輕繩的
方向,再以。為研究對象,求出輕繩的拉力.
【詳解】
以小環(huán)P為研究對象,由于受力平衡,故輕線與桿3垂直,
即輕線與桿。B的夾角為三-氏
設(shè)小環(huán)Q受輕線的拉力為彳,對其受力分析,
可得在水平方向上有亍cos(pj=H
故答案為:.H.
sin。
【點睛】
本題主要考查的是共點力平衡的條件及其應(yīng)用,通過力的分析了解向量的實際背景,考查學(xué)
生對受力的分析能力,是基礎(chǔ)題.
13.5
【解析】
【分析】
結(jié)合平面向量的平行四邊形法則及三角形知識,可知該物體在水平方向上的速度為
v0cos60.
答案第6頁,總13頁
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【詳解】
設(shè)該物體在豎直方向上的速度為7,水平方向上的速度為名,如圖所示,由向量的平行四
邊形法則以及直角三角形的知識可知,同=同360'=10x;=5(m/s),所以該物體在水平
方向上的速度是5m/s.
故答案為:5
V2
【點睛】
本題考查了平面向量的平行四邊形法則的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
14.1
【分析】
由題意利用正弦定理得到a=2b,進(jìn)而根據(jù)余弦定理即可得b.
【詳解】
sinA=2sin8,
.?.由正弦定理可得。=加.
又c=\/6,cosC=--,
4
由余弦定理C?=6+/-2abcosC,可得6=〃+〃一2赤(一;)=4〃+/+gx2凡
解得6=1或方=-1,
因%>0,故6=1.
故答案為:1.
【點睛】
本題主要考查的是正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,熟練掌握正弦定理和余弦定理是關(guān)鍵,是基
礎(chǔ)題.
15.2
【解析】
【分析】
答案第7頁,總13頁
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利用正弦定理列出關(guān)系式,將B=2A,a,匕的值代入,利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡,
整理求出COSA的值,再由b及COSA的值,利用余弦定理即可求出c的值.
【詳解】
,/B=2A,?=1,b=上,
由正弦定理-得:_L=__@------
sinAsinBsinAsinBsin242sinAcos4
cosA=——,
2
由余弦定理得:a2=b2+c2—2bccosA>即l=3+<?-3c,
解得:c=2或c=l(經(jīng)檢驗不合題意,舍去),
則c=2.
故答案為2
【點睛】
此題考查了正弦、余弦定理,二倍角的正弦函數(shù)公式,熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵,屬于
基礎(chǔ)題.
【分析】
由已知利用余弦定理可得:=(6-3)2+27,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求
22
c=(/,-3)+27e[27,31],進(jìn)而求得。的范圍,由正弦定理可求siM=乎的范圍.
【詳解】
7T
C=—=6,1</?<4,
3
...由余弦定理可得:。2="+/一〃。=36+〃-6b=(b-3y+27,
,c2=(fe-3)2+27e[27,31],
.?.ce[3石,后]
ac6x-
???由正弦定理可得:-,可得:,沁―sinj_2_3道「3屈「
siaAsinCsiM-;--;一=一€——,1?
cc31
故答案為
答案第8頁,總13頁
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【點睛】
本題主要考查了余弦定理,二次函數(shù)的性質(zhì),正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計
算能力和函數(shù)思想,屬于中檔題.
17.①③
【分析】
小船勻速直線運動,處于平衡狀態(tài),結(jié)合物理知識可知小船水平方向和豎直方向所受合力大
小為0,結(jié)合平面向量知識列出式子可選出答案.
【詳解】
設(shè)水的阻力為繩的拉力為:r,聲與水平方向夾角為?。?3則同coso=p|,
,用工.???6增大,...cose減小,...網(wǎng)增大?閏sin?增大,.?.船的浮力減小.
故答案為:①③
【點睛】
本題考查了平面向量在物理中的應(yīng)用,考查了學(xué)生分析問題與解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.
18.等邊三角形
【分析】
根據(jù)題意作出圖像,可得PA,PB,PC兩兩所成角均為120。,再結(jié)合余弦定理,即可判定AABC
的形狀
【詳解】
由題意得B|=W=。,由于在合力作用下物體做勻速運動,故合力為6,即2+B+"=0,所
以a+c=?
如圖,作平行四邊形4PC。,則其為菱形.
因為麗=£+2=-人所以NAPC=120°洞理NAPB=ZBPC=120°.
由余弦定理得A3?=7+片+2問卡際120。,AC2=+c2+2p|?|c|cos120°,
答案第9頁,總13頁
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BC2=c+b+2|<,|-|/?|cosl20o,
又因為問=W=H,
:.AB=BC=AC.
所以為等邊三角形.
【點睛】
本題考查了平面向量的有關(guān)知識,解題時應(yīng)根據(jù)題意分析題目中隱含的條件,尋找解答問題
的條件是什么,從而解答問題,是基礎(chǔ)題.
19.(1)證明見詳解;(2)C(0,5),矩形A8CZ)兩對角線所成銳角的余弦值為g.
【分析】
(1)利用向量垂直證明即可;
(2)設(shè)C坐標(biāo),根據(jù)向量相等求C點坐標(biāo),根據(jù)向量夾角求對角線所成銳角余弦值.
【詳解】
解:⑴由題知,而=(1,1),而=(-3,3),所以而?而=lx(-3)+lx3=O,所以醺_L而,
所以
(2)設(shè)點C的坐標(biāo)為c(x,y),則根據(jù)四邊形A8C3為矩形得通=反,即:
(l,l)=(x+l,y-4),所以1y_4=l,解得》=。,'=5,所以C(0,5);
所以/=(—2,4),麗=(T,2),
所以8s(/方AC而S?!?、同AC南BD[=爾忑16=與16=不4
4
矩形ABC。兩對角線所成銳角的余弦值為y.
【點睛】
本題考查利用向量解決平面幾何問題,是中檔題.
20.(1);(2)4+2>/3
【分析】
(1)用正弦定理對原式進(jìn)行化簡整理可求得角C;
(2)由余弦定理求得邊b的大小,進(jìn)而求得三角形ABC的周長.
答案第10頁,總13頁
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【詳解】
(1)由a+2Z?=2ccosA.
根據(jù)正弦定理,得$1114+25106=2€0$對也(7,
化為sinA+2sin(A+C)=2cosAsinC,
整理得到sinA=-2sin4cosC,因為sinA>0,
i24
故cosC=-x,又0<C<〃,所以C=丁.
23
(2)由余弦定理有c2=a2+b2-labcosC>
,/c=2百,a=2,故b=2,
所以周長為2+2+26=4+2石.
【點睛】
本題考查了利用正余弦定理解三角形,熟悉公式,合理運用,屬于較為基礎(chǔ)題.
3
21.(1)sinA=-(2)b=4,c=5
【解析】
【分析】
4
(1)由已知利用余弦定理可求cosA=g,結(jié)合范圍Ae(O"),可得sinA的值.
(2)由三角形面積公式可求兒=20,由余弦定理可求^+/=41,聯(lián)立結(jié)合b<c解得Ec的
值.
【詳解】
z<xu-.22r28Z?c4曰b~+—u~4.4
(1)山。—c=h-----,得:-----------=—,即nncosA=—.
52bc55
3
VAe(0,^),AsinA=j.
113
(2)VS..nr=—bcsinA=—xbcx.—=6,
MBC225
:.be=20,①
由"...-,及bc=20、a=3,得:+c2=41,②
2bc5
由①、②及b<c解得6=4,c=5.
【點睛】
三角形中共有七個幾何量(三邊三角以及外接圓的半徑),一般地,知道其中的三個量(除
答案第11頁,總13頁
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三個角外),可以求得其余的四個量.
(1)如果知道三邊或兩邊及其夾角,用余弦定理;
(2)如果知道兩邊即一邊所對的角,用正弦定理(也可以用余弦定理求第三條邊);
(3)如果知道兩角及一邊,用正弦定理.
22.(1)20-10石小時;(2)”海里.
【詳解】
試題分析:⑴設(shè)經(jīng)過/小時,物體甲在物體乙的正東方向,因為920=5小時
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