人教A版（2019）必修第二冊(cè)必殺技第6章第6.4節(jié)綜合訓(xùn)練

人教A版(2019)必修第二冊(cè)必殺技第6章第6.4節(jié)綜合訓(xùn)

練

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.一只鷹正以與水平方向成30。角的方向向下飛行，直撲獵物，太陽(yáng)光從頭上直照下來(lái)，

鷹在地面上的影子的速度是40m/s,則鷹的飛行速度為

.804073,?80石,「40

A.——m/sB.——m/sC.—―m/sD.—m/s

3333

2.兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力耳，耳，當(dāng)它們夾角為90°時(shí)，合力大小為20N,則當(dāng)它們的

夾角為1200時(shí)，合力大小為

A.40NB.10V2NC.20V2ND.10>/3N

3.質(zhì)點(diǎn)P在平面上作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度向量；=(4,-3)(即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向與5相同，

且每秒移動(dòng)的距離為1個(gè)單位).設(shè)開始時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-10,10),則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)

為()

A.(-2,4)B.(-30,25)

C.(10,-5)D.(5,-10)

4.已知作用在點(diǎn)A的三個(gè)力，=(3,4),&=(2,-5)，6=31),且41,1),則合力

/=￡+6+△的終點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)

5.在A4BC中，AB=3,AC邊上的中線石，AC-AB=5,則AC的長(zhǎng)為()

A.1B.2C.3D.4

6.已知點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心,且函+而+的=0,則4ABC的內(nèi)角A等于

A.3()B.60°C.90D.120

7.在AABC中，內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,4C.則下列關(guān)系式中：①asinB=bsinA；

@a=bcosC+ccosB；③/+b2-c2-2abcosC?b=csinA+asinC.

一定成立的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.在AA6C中，角A、B-C的對(duì)邊分別為“，b?c,若2ccosC=6cosA+acosB,

則NC的值為

A2萬(wàn)c5〃〃冗C萬(wàn)

A.--B.--C.-,D.一

3663

9.在AABC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為。，b,J若(a+"c)(b+c-a)=3bc,

且sinA=2sinBcosC,則AABC是()

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

10.已知AABC內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,若

(sin2A+sin2C—sin2tanB=sinAsinC,則8=()

A71

A-6

C3或生萬(wàn)t27r

6典6D.彳或可

11.在圓內(nèi)接四邊形ABC。中，AB=136,8c=80,6=150,DA=102,則它的外

接圓直徑為（）

A.170B.180C.87605D.前三個(gè)答案都

不對(duì)

二、填空題

12.如圖，兩根固定的光滑硬桿OB成。角，在桿上分別套一小環(huán)P,0（小環(huán)重

力不計(jì)），并用輕線相連.現(xiàn)用恒力尸沿而方向拉小環(huán)。，則當(dāng)兩環(huán)穩(wěn)定時(shí)，輕線上的

拉力的大小為.

13.某物體做斜拋運(yùn)動(dòng)，初速度|M=l0m/s,與水平方向成60°,不計(jì)空氣阻力，則該

物體在水平方向上的速度是m/s.

14.設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為",b,c且,,cosC=--i-,sinA=2sinB,

試卷第2頁(yè)，總4頁(yè)

則6=.

15.AABC的內(nèi)角A,B,C的的對(duì)邊分別是。、b、c,若3=2A,?=1,b=6,

貝ijc=_______

16.已知AABC的內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a,6,c,^C=y,tz=6,l<Z><4,貝?。輘inA的

取值范圍為

17.如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)設(shè)水的阻力大小不變，那么小

船勻速靠岸過程中，下列說(shuō)法中正確的是.（寫出所有正確答案的序號(hào)）

①繩子的拉力不斷增大；②繩子的拉力不斷變?。虎鄞母×Σ粩嘧冃?；④船的浮力

保持不變.

三、解答題

18.三個(gè)大小相同的力力b，"作用在同一物體P上，使物體尸沿￡方向做勻速運(yùn)動(dòng)，

設(shè)中=￡，PB=b，PC=c，判斷AABC的形狀.

19.已知三個(gè)點(diǎn)A（2,l）,B（3,2）,￡>（-1,4）.

（1）求證：ABLAD-,

（2）若四邊形ABC。為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)及矩形ABC。兩對(duì)角線所成銳角的余弦值.

20.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a<*3b=2c?.

（1）求角C；

（2）若c=2區(qū)a=2,求AABC的周長(zhǎng).

21.在AABC中，內(nèi)角A8,C所對(duì)的邊分別為“Ac,且滿足4<6<以/-02=從-半，

a=3,A4BC的面積為6.

（1）求角A的正弦值；

（2）求邊長(zhǎng)b,c的值.

22.已知海島廨在海島，源北偏東母章，，源，廨相距20海里，物體甲從海島譽(yù)以當(dāng)海里

/小時(shí)的速度沿直線向海島移動(dòng)，同時(shí)物體乙從海島激沿著海島西北偏西」管方向以

何海里/小時(shí)的速度移動(dòng).

(1)問經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，物體甲在物體乙的正東方向；

(2)求甲從海島廨到達(dá)海島盤，的過程中，甲、乙兩物體的最短距離.

7T

23.在AA5C中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別是“，b,c.如果a+A22c,求證：C<-.

試卷第4頁(yè)，總4頁(yè)

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參考答案

1.C

【分析】

畫出示意圖，根據(jù)直角三角形進(jìn)行分析.

【詳解】

如圖，|/|=同=40,且NC48=30°,則|4用=同=今叵?

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查向量中速度的分解，難度較易利用三角形法則或者平行四邊形法則計(jì)算的時(shí)，可

根據(jù)是否是特殊的三角形或者平行四邊形去計(jì)算.

2.B

【分析】

當(dāng)?shù)醵鼈儕A角為90。時(shí),結(jié)合平行四邊形法則可知，國(guó)卜國(guó)=|ncos45°,當(dāng)耳和耳的

夾角為120?時(shí),結(jié)合平行四邊形法則,可求出國(guó)=同=同

【詳解】

設(shè)合力為用，

由平行四邊形法則可知，同=國(guó)=國(guó)際45°=10a[

當(dāng)耳和耳的夾角為120°時(shí),由平行四邊形法則，同=|同=|同=1。&N,

故選:B.

【點(diǎn)睛】

答案第1頁(yè)，總13頁(yè)

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本題考查了向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.C

【分析】

根據(jù)向量坐標(biāo)的意義求解.

【詳解】

UUU

設(shè)A(-10,10),5秒后P點(diǎn)的坐標(biāo)為A(x,y),則例=(x+10,y-10),

UUU1

由題意有A4,=5v.

即(x—10,y—10)=(20,T5)

10=20,x=10,

所以解得

y—10=—15,y=-5.

故選:C

4.A

【分析】

先求出了=(8,0),再設(shè)終點(diǎn)為8(x,y),由(x-l,y-l)=(8,0)求出x,y的值即得解.

【詳解】

/=￡+/+/=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),

設(shè)終點(diǎn)為則(x-l,y-D=(8,0),

[x-l=8[x=9

所以i所以1-

b-i=o[y=i

所以終點(diǎn)坐標(biāo)為(9,1).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的坐標(biāo)和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

5.B

【分析】

根據(jù)題意可得BD=^AC-AB,平方后即可得到AC的長(zhǎng).

【詳解】

因?yàn)辂?通-通=g/一通，

答案第2頁(yè)，總13頁(yè)

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所以前2=弓/_珂霜—林?福+通2=5,

又8。=逐，ACAB=5,AB=3,

則;*Ji,所以“卜2,即AC=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是向量運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是利用平方公式進(jìn)行求解，是基礎(chǔ)題.

6.A

【詳解】

由方+方+函=0得函+礪=詼，如圖由。為△ABC外接圓的

圓心結(jié)合向量加法的幾何意義知四邊形OACB為菱形，且/60=60,4=30,故選人.

7.C

【分析】

①③由正弦定理、余弦定理可直接判斷，②由sinA=sin(8+C)=sinBcosC+sinCcosB,然后利

用正弦定理可判斷，④由正弦定理可得sin8=2sinAsinC,當(dāng)AABC為等邊三角形時(shí)，等式

不成立，可判斷得出答案.

【詳解】

對(duì)于①③，由正弦定理、余弦定理知一定成立.

對(duì)于②，由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCeosB,

由正弦定理有a=bcosC+ccos8,所以②一定成立.

對(duì)于④，利用正弦定理，變形得sin8=sinCsinA+sinAsinC=2sinAsinC,

即sin8=2sinAsinC,當(dāng)AABC為等邊三角形時(shí)，等式不成立，所以④不一定成立.

所以其中一定成立的是①②③

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【分析】

首先由正弦定理邊化角，然后結(jié)合兩角和差正余弦公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得cosC

答案第3頁(yè)，總13頁(yè)

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的值，據(jù)此可得NC的值.

【詳解】

由題意利用正弦定理邊化角可得：2sinCcosC=sinBcosA+sinA8sB

=sin(A+8)=sinC,

1ZF

sinCw0,/.cosC=—,C=y.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)

算求解能力.

9.B

【分析】

通過5+人+祖人+^“^收"化簡(jiǎn)整理得從—松+^:^^利用余弦定理中求得出人，進(jìn)而

求得A,再由sinA=2sin8cosC利用正弦余弦定理得b=c進(jìn)而可判斷三角形的形狀.

【詳解】

(a+6+c)(b+c-a)=3bc,

(。+c1-?2=3i>c即b2-bc+c2=a2,

根據(jù)余弦定理“2=從+°2_2bccosA，

^b2-bc+c2=a2=b2+c2-2bccosA,即bc=2M;cosA,

???cosA=！，又???0。<4<180。，

2

A=60°又sinA=2sinBcosC,/.‘訪”=2cosC,

sinB

由正弦定理及余弦定理得@=2?三土二土，

hlab

化簡(jiǎn)可得從=02,即』,

“ABC是等邊三角形.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，要熟練記憶余弦定理的公式及其變形公式,

是基礎(chǔ)題.

答案第4頁(yè)，總13頁(yè)

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10.C

【分析】

TT1

由正弦定理，余弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得2cosB-sin8=cosB,且8片一，得sinB=-,結(jié)

22

合3?0,萬(wàn))，可得8的值.

【詳解】

(sin2A+sin2C-sin2tanB=sinA?sinC,

(sin2A+sin2C-sin28)?sin5=sinA-sinC-cosB,且Bw匹,

/.由正弦定理可得(/+c2-")-sin8=a-c-cos8,

由余弦定理可得2trc-cos8-sin8=a-c-cos8,

即2cosBsin8=cos5,cosB=0(舍去)或sin8=L

2

Bw(O㈤,

66

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及正弦函數(shù)圖像

和性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

11.A

【分析】

在△ABO和ABCD中，由余弦定理得公共邊BO?和/BA￡>+NBCD=T,可得8。是直徑.

【詳解】

V1502+802=1362+1022,即CD2+BC2=AB2+DA2.

在△/$￡>和ABCD中，由余弦定理得：

BD2=BC2+DC2-2BCDCcosNBCD=BA2+DA1-2BA-DAcosZBAD,

BC-DCcosNBCD=BA-DAcosZBAD.

又,:NBAD+NBCD=7T,

：.ZBAD=ZBCD=-,

答案第5頁(yè)，總13頁(yè)

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.?.外接圓直徑為8。，BD=yjBC2+DC2-170.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是余弦定理的應(yīng)用，以及圓內(nèi)接四邊形所滿足的條件，考查學(xué)生的分析和解

決問題能力和計(jì)算能力，是中檔題.

【分析】

由題，P，Q是兩個(gè)輕環(huán)，重力不計(jì)，當(dāng)用恒力F沿而方向拉環(huán)Q,兩環(huán)穩(wěn)定時(shí)，產(chǎn)環(huán)受到

兩個(gè)力而平衡，。環(huán)受到三個(gè)力而平衡，以尸為研究對(duì)象，根據(jù)二力平衡條件確定出輕繩的

方向，再以。為研究對(duì)象，求出輕繩的拉力.

【詳解】

以小環(huán)P為研究對(duì)象，由于受力平衡，故輕線與桿3垂直，

即輕線與桿。B的夾角為三-氏

設(shè)小環(huán)Q受輕線的拉力為彳，對(duì)其受力分析，

可得在水平方向上有亍cos(pj=H

故答案為：.H.

sin。

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是共點(diǎn)力平衡的條件及其應(yīng)用，通過力的分析了解向量的實(shí)際背景，考查學(xué)

生對(duì)受力的分析能力，是基礎(chǔ)題.

13.5

【解析】

【分析】

結(jié)合平面向量的平行四邊形法則及三角形知識(shí)，可知該物體在水平方向上的速度為

v0cos60.

答案第6頁(yè)，總13頁(yè)

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【詳解】

設(shè)該物體在豎直方向上的速度為7,水平方向上的速度為名，如圖所示，由向量的平行四

邊形法則以及直角三角形的知識(shí)可知，同=同360'=10x；=5(m/s),所以該物體在水平

方向上的速度是5m/s.

故答案為：5

V2

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的平行四邊形法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.1

【分析】

由題意利用正弦定理得到a=2b,進(jìn)而根據(jù)余弦定理即可得b.

【詳解】

sinA=2sin8,

.?.由正弦定理可得。=加.

又c=\/6,cosC=--,

4

由余弦定理C?=6+/-2abcosC,可得6=〃+〃一2赤(一；)=4〃+/+gx2凡

解得6=1或方=-1,

因%>0,故6=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，熟練掌握正弦定理和余弦定理是關(guān)鍵，是基

礎(chǔ)題.

15.2

【解析】

【分析】

答案第7頁(yè)，總13頁(yè)

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利用正弦定理列出關(guān)系式，將B=2A,a,匕的值代入，利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),

整理求出COSA的值，再由b及COSA的值，利用余弦定理即可求出c的值.

【詳解】

,/B=2A,?=1,b=上，

由正弦定理-得：_L=__@------

sinAsinBsinAsinBsin242sinAcos4

cosA=——，

2

由余弦定理得：a2=b2+c2—2bccosA>即l=3+<?-3c,

解得：c=2或c=l（經(jīng)檢驗(yàn)不合題意，舍去），

則c=2.

故答案為2

【點(diǎn)睛】

此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，屬于

基礎(chǔ)題.

【分析】

由已知利用余弦定理可得：=（6-3）2+27,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求

22

c=（/,-3）+27e[27,31],進(jìn)而求得。的范圍，由正弦定理可求siM=乎的范圍.

【詳解】

7T

C=—=6,1</?<4,

3

...由余弦定理可得：。2="+/一〃。=36+〃-6b=(b-3y+27,

,c2=(fe-3)2+27e[27,31],

.?.ce[3石，后]

ac6x-

???由正弦定理可得：-,可得：,沁―sinj_2_3道「3屈「

siaAsinCsiM-；--;一=一€——,1?

cc31

故答案為

答案第8頁(yè)，總13頁(yè)

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【點(diǎn)睛】

本題主要考查了余弦定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)

算能力和函數(shù)思想，屬于中檔題.

17.①③

【分析】

小船勻速直線運(yùn)動(dòng)，處于平衡狀態(tài)，結(jié)合物理知識(shí)可知小船水平方向和豎直方向所受合力大

小為0,結(jié)合平面向量知識(shí)列出式子可選出答案.

【詳解】

設(shè)水的阻力為繩的拉力為：r，聲與水平方向夾角為小＜"3則同coso=p|,

，用工.???6增大，...cose減小，...網(wǎng)增大?閏sin?增大，.?.船的浮力減小.

故答案為：①③

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量在物理中的應(yīng)用，考查了學(xué)生分析問題與解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.等邊三角形

【分析】

根據(jù)題意作出圖像，可得PA,PB,PC兩兩所成角均為120。，再結(jié)合余弦定理，即可判定AABC

的形狀

【詳解】

由題意得B|=W=。，由于在合力作用下物體做勻速運(yùn)動(dòng)，故合力為6,即2+B+"=0,所

以a+c=?

如圖，作平行四邊形4PC。，則其為菱形.

因?yàn)辂?￡+2=-人所以NAPC=120°洞理NAPB=ZBPC=120°.

由余弦定理得A3?=7+片+2問卡際120。,AC2=+c2+2p|?|c|cos120°,

答案第9頁(yè)，總13頁(yè)

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BC2=c+b+2|<,|-|/?|cosl20o,

又因?yàn)閱?W=H,

:.AB=BC=AC.

所以為等邊三角形.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的有關(guān)知識(shí)，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意分析題目中隱含的條件，尋找解答問題

的條件是什么，從而解答問題，是基礎(chǔ)題.

19.(1)證明見詳解；(2)C(0,5),矩形A8CZ)兩對(duì)角線所成銳角的余弦值為g.

【分析】

(1)利用向量垂直證明即可；

(2)設(shè)C坐標(biāo)，根據(jù)向量相等求C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角求對(duì)角線所成銳角余弦值.

【詳解】

解：⑴由題知，而=(1,1),而=(-3,3),所以而?而=lx(-3)+lx3=O,所以醺_L而，

所以

(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為c(x,y),則根據(jù)四邊形A8C3為矩形得通=反，即：

(l,l)=(x+l,y-4),所以1y_4=l，解得》=。，'=5,所以C(0,5)；

所以/=(—2,4),麗=(T,2),

所以8s(/方AC而S?！?、同AC南BD［=爾忑16=與16=不4

4

矩形ABC。兩對(duì)角線所成銳角的余弦值為y.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用向量解決平面幾何問題，是中檔題.

20.(1)；(2)4+2>/3

【分析】

(1)用正弦定理對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理可求得角C；

(2)由余弦定理求得邊b的大小，進(jìn)而求得三角形ABC的周長(zhǎng).

答案第10頁(yè)，總13頁(yè)

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【詳解】

(1)由a+2Z?=2ccosA.

根據(jù)正弦定理，得$1114+25106=2€0$對(duì)也(7,

化為sinA+2sin(A+C)=2cosAsinC,

整理得到sinA=-2sin4cosC,因?yàn)閟inA>0,

i24

故cosC=-x，又0<C<〃，所以C=丁.

23

(2)由余弦定理有c2=a2+b2-labcosC>

,/c=2百,a=2,故b=2,

所以周長(zhǎng)為2+2+26=4+2石.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用正余弦定理解三角形，熟悉公式，合理運(yùn)用，屬于較為基礎(chǔ)題.

3

21.(1)sinA=-(2)b=4,c=5

【解析】

【分析】

4

(1)由已知利用余弦定理可求cosA=g,結(jié)合范圍Ae(O"),可得sinA的值.

(2)由三角形面積公式可求兒=20,由余弦定理可求^+/=41,聯(lián)立結(jié)合b<c解得Ec的

值.

【詳解】

z<xu-.22r28Z?c4曰b~+—u~4.4

(1)山。—c=h-----,得：-----------=—,即nncosA=—.

52bc55

3

VAe(0,^),AsinA=j.

113

(2)VS..nr=—bcsinA=—xbcx.—=6,

MBC225

：.be=20,①

由"...-,及bc=20、a=3,得：+c2=41,②

2bc5

由①、②及b<c解得6=4,c=5.

【點(diǎn)睛】

三角形中共有七個(gè)幾何量(三邊三角以及外接圓的半徑)，一般地，知道其中的三個(gè)量(除

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三個(gè)角外)，可以求得其余的四個(gè)量.

(1)如果知道三邊或兩邊及其夾角，用余弦定理；

(2)如果知道兩邊即一邊所對(duì)的角，用正弦定理(也可以用余弦定理求第三條邊)；

(3)如果知道兩角及一邊，用正弦定理.

22.(1)20-10石小時(shí)；(2)”海里.

【詳解】

試題分析：⑴設(shè)經(jīng)過/小時(shí)，物體甲在物體乙的正東方向，因?yàn)?20=5小時(shí)