考研數(shù)學三（微積分）模擬試卷6（共275題）

考研數(shù)學三（微積分）模擬試卷6（共9套）（共275題）考研數(shù)學三（微積分）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(x)=則f{f[f(x)]}等于()．A、0B、1C、D、標準答案：B知識點解析：f[f(x)]=，因為｜f(x)｜≤1，所以f[f(x)]=1，于是f{f[f(x)])=1，選B．2、函數(shù)f(x)=｜xsinx｜ecosx，一∞＜x＜+∞是()．A、有界函數(shù)B、單調(diào)函數(shù)C、周期函數(shù)D、偶函數(shù)標準答案：D知識點解析：顯然函數(shù)為偶函數(shù)，選D．3、當x→0時，下列無窮小中，哪個是比其他三個更高階的無窮小?()A、x2B、1一cosxC、一1D、x—tanx標準答案：D知識點解析：所以x—tanx是比其他三個無窮小階數(shù)更高的無窮小，選D．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、設(shè)f(x)=sinx，f[φ(x)]=1一x2，則φ(x)=__________，定義域為__________．標準答案：知識點解析：φ(x)=arcsin(1一x2)，[]．5、設(shè)a＞0，且，則a=__________，b=__________．標準答案：4；1知識點解析：6、當x→0時，，則a=__________．標準答案：知識點解析：7、=________．標準答案：知識點解析：8、=__________標準答案：知識點解析：9、=__________標準答案：1知識點解析：10、=__________標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)11、求標準答案：知識點解析：暫無解析12、求標準答案：知識點解析：暫無解析13、標準答案：知識點解析：暫無解析14、求標準答案：知識點解析：暫無解析15、求標準答案：知識點解析：暫無解析16、求標準答案：知識點解析：暫無解析17、求標準答案：知識點解析：暫無解析18、求標準答案：知識點解析：暫無解析19、求標準答案：知識點解析：暫無解析20、求標準答案：知識點解析：暫無解析21、求標準答案：知識點解析：暫無解析22、求標準答案：知識點解析：暫無解析23、設(shè)0＜a＜b＜c，求標準答案：知識點解析：暫無解析24、求標準答案：知識點解析：暫無解析25、求標準答案：知識點解析：暫無解析26、求標準答案：知識點解析：暫無解析27、求標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（微積分）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(x)=，則當x→0時，g(x)是f(x)的()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階但非等價的無窮小D、等價無窮小標準答案：A知識點解析：故g(x)是f(x)的高階無窮小，應(yīng)選A．2、設(shè)f(x)=，則當x→0時，f(x)是g(x)的()．A、低階無窮小B、高階無窮小C、等價無窮小D、同階但非等價的無窮小標準答案：B知識點解析：所以f(x)是g(x)的高階無窮小，選B．3、極限()．A、等于1B、為∞C、不存在但不是∞D(zhuǎn)、等于0標準答案：B知識點解析：二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、=__________標準答案：知識點解析：5、=__________標準答案：知識點解析：當x→0時，6、=__________標準答案：知識點解析：7、=__________標準答案：知識點解析：8、=__________標準答案：2知識點解析：9、=__________標準答案：知識點解析：10、=__________標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)11、若標準答案：知識點解析：暫無解析12、設(shè)標準答案：知識點解析：暫無解析13、求標準答案：知識點解析：暫無解析14、求標準答案：知識點解析：暫無解析15、求標準答案：知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)=∫0tanxarctant2dt，g(x)=x—sinx，當x=0時，比較這兩個無窮小的關(guān)系．標準答案：所以當x→0時，f(x)=∫0tanxarctant2dt與g(x)=x—sinx是同階非等價的無窮?。R點解析：暫無解析17、設(shè)f(x)連續(xù)，且，且f’(0)存在，求f’(0)．標準答案：知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導，f"(0)=4，求下列極限。標準答案：知識點解析：暫無解析19、求標準答案：知識點解析：暫無解析20、求標準答案：知識點解析：暫無解析21、求標準答案：知識點解析：暫無解析22、求標準答案：知識點解析：暫無解析23、求標準答案：知識點解析：暫無解析24、求標準答案：知識點解析：暫無解析25、求標準答案：知識點解析：暫無解析26、求標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（微積分）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、設(shè)數(shù)列{xn}與{yn}滿足=0，則下列判斷正確的是（）A、若{xn}發(fā)散，則{yn}必發(fā)散B、若{xn}無界，則{yn}必無界C、若{xn}有界，則{yn}必為無窮小D、若為無窮小，則{yn}必為無窮小標準答案：D知識點解析：取xn=n，yn=0，顯然滿足xnyn=0，由此可排除A、B。若取xn=0，yn=n，也滿足xnyn=0，又排除C，故選D。2、設(shè)函數(shù)f（x）=在（一∞，+∞）內(nèi)連續(xù)，且f（x）=0，則常數(shù)a，b滿足（）A、a＜0，b＜0B、a＞0，b＞0C、a≤0，b＞0D、a≥0，b＜0標準答案：D知識點解析：因f（x）連續(xù)，故a+ebx≠0，因此只要a≥0即可。再由可知x→∞時，a+ebx必為無窮大（否則極限必不存在），此時需b＜0，故選D。3、f（x）=則f（x）在x=0處（）A、極限不存在B、極限存在，但不連續(xù)C、連續(xù)但不可導D、可導標準答案：C知識點解析：由f+’（0），f+’（0）都存在可得，f（x）在x=0右連續(xù)和左連續(xù)，所以f（x）在x=0連續(xù)；但f+’（0）≠f—’（0），所以f（x）在x=0處不可導。所以選C。4、設(shè)f（x）可導且f’（x0）=，則當△x→0時，f（x）在x0點處的微分dy是（）A、與△x等價的無窮小B、與△x同階的無窮小C、比△x低階的無窮小D、比△x高階的無窮小標準答案：B知識點解析：由f（x）在x0點處可導及微分的定義可知即當△x→0時，dy與△x是同階的無窮小，故選B。5、設(shè)常數(shù)k＞0，函數(shù)f（x）=lrix—+k在（0，+∞）內(nèi)零點個數(shù)為（）A、3B、2C、0D、1標準答案：B知識點解析：因令f’（x）=0，得唯一駐點x=e，且在f（x）的定義域內(nèi)無f’（x）不存在的點，故f（x）在區(qū)間（0，e）與（e，+∞）內(nèi)都具有單調(diào)性。又f（e）=k＞0，而所以f（x）在（0，e）與（e，+∞）內(nèi)分別有唯一零點，故選B。6、設(shè)f（x）在[a，b]上二階可導，且f（x）＞0，使不等式f（a）（b—a）＜∫abf（x）dx＜（b—a）成立的條件是（）A、f’（x）＞0，f"（x）＜0B、f’（x）＜0，f"（x）＞0C、f’（x）＞0，f"（x）＞0D、f’（x）＜0，f"（x）＜0標準答案：C知識點解析：不等式的幾何意義是：矩形面積＜曲邊梯形面積＜梯形面積，要使上面不等式成立，需過點（a，f（A））且平行于x軸的直線在曲線y=f（x）的下方，連接點（a，f（A））和點（b，f（b））的直線在曲線y=f（x）的上方，如圖1—2—4所示。當曲線y=f（x）在[a，b]是單調(diào)上升且是凹函數(shù)時有此性質(zhì)。于是當f’（x）＞0，f"（x）＞0成立時，上述條件成立，故選C。7、使不等式＞lnx成立的x的范圍是（）A、（0，1）B、C、D、（π，+∞）標準答案：A知識點解析：原問題可化為求f（x）=成立時x的取值范圍，由＞0，t∈（0，1）知，當x∈（0，1）時，f（x）＞0，故應(yīng)選A。8、設(shè)函數(shù)z=f（x，y）的全微分為出=xdx+ydy，則點（0，0）（）A、不是f（x，y）的連續(xù)點B、不是f（x，y）的極值點C、是f（x，y）的極大值點D、是f（x，y）的極小值點標準答案：D知識點解析：根據(jù)又在（0，0）處，=0，AC—B2=1＞0，根據(jù)二元函數(shù)極值點的判斷方法可知，（0，0）為函數(shù)z=f（x，y）的一個極小值點。因此正確選項為D。9、設(shè)f（x，y）為連續(xù)函數(shù)，則f（rcosθ，rsinθ）rdr等于（）A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：由題設(shè)可知，積分區(qū)域D如圖1—4—5所示，則原式=f（x，y）dx，故選C。10、設(shè)0≤an＜（n=1，2，…），則下列級數(shù)中一定收斂的是（）A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由0≤an＜an2收斂，從而（—1）nan2絕對收斂，故選D。11、方程y"—3y’+2y=ex+1+excos2x的特解形式為（）A、y=axex+b+Aexcos2xB、y=aex+b+ex（Acos2x十Bsin2x）C、y=axex+b+xex（Acos2x+Bsin2x）D、y=axex+b+ex（Acos2x+Bsin2x）標準答案：D知識點解析：齊次微分方程y"—3y’+2y=0的特征方程為r2—3r+2=0．特征根為r1=1，r2=2，則方程y"—3y’+2y=ex+1+excos2x的特解為y=axex+b+ex（Acos2x+Bsin2x），故選D。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)12、設(shè)y=（1+sinx）x，則dy|x=π=________。標準答案：—πdx知識點解析：等式轉(zhuǎn)換為：y=（1+sinx）ex=exln（1+sinx），于是y"=exln（1+sinx）．[ln（1+sinx）+x．]dy|x=π=y’（π）dx=—πdx．13、曲線y=的過原點的切線是________。標準答案：x+25y=0與x+y=0知識點解析：顯然原點（0，0）不在曲線上，首先求出切點坐標。設(shè)切點為則切線方程為把（0，0）代入上式得x0=—3或x0=—15。則斜率分別為k1=y’|x=—3=—1；k2=y’|x=—15=所以切線方程為x+25y=0與x+y=0。14、標準答案：知識點解析：15、標準答案：知識點解析：令x=sint，則16、設(shè)函數(shù)f（u）可微，且f’（0）=，則z=分（4x2一y2）在點（1，2）處的全微分dz|（1，2）=________。標準答案：4dx—2dy知識點解析：直接利用微分的形式計算，因為|（1，2）=fx’（4x2一y2）．8x|（1，2）=4，|（1，2）=fy’（4x2一y2）．（一2y）|（1，2）=一2，所以17、設(shè)D為不等式0≤x≤3，0≤y≤1所確定的區(qū)域，則min（x，y）dxdy=________。標準答案：知識點解析：由題干可知，min（x，y）dxdy=∫01dy∫y3ydx+∫01dy∫0yxdx=18、若數(shù)列（an+a2）+（a3+a4）+…+（a2n—1+a2n）+…發(fā)散，則級數(shù)an_________。標準答案：發(fā)散知識點解析：根據(jù)級數(shù)性質(zhì)可知，收斂級數(shù)加括號后仍然收斂。假設(shè)an收斂，則級數(shù)（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n—1一．+a2n）+…收斂，與題設(shè)矛盾，故an發(fā)散。19、微分方程滿足初始條件y=1的特解是________。標準答案：x=y2+y知識點解析：將x看作未知函數(shù)，則上式為x對y的一階線性方程，又因y|x=2=1＞0，則將x=2，y=1代入，得C=1。故x=y2+y。三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)20、標準答案：由已知條件有所以原式極限為1。知識點解析：暫無解析21、求函數(shù)f（x）=的單調(diào)區(qū)間與極值。標準答案：由f’（x）==0，可得，x=0，+1。列表討論如下：因此，f（x）的單調(diào)增加區(qū)間為（—1，0）及（1，+∞），單調(diào)減少區(qū)間為（一∞，—1）及（0，1）；極小值為f（1）=f（一1）=0，極大值為f（0）=∫01知識點解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)具有二階導數(shù)且存在相等的最大值，f（a）=g（A），f（b）=g（b），證明：存在ξ∈（a，b），使得f"（ξ）=g"（ξ）。標準答案：構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=f（x）—g（x），由題設(shè)有F（a）=F（b）=0。又f（x），g（x）在（a，b）內(nèi)具有相等的最大值，不妨設(shè)存在x1≤x2，x1，x2∈（a，b）使得（a，b），使F（c）=0。在區(qū)間[a，c]，[c，b]上分別應(yīng)用羅爾定理知，存在ξ1∈（a，c），ξ2∈（c，b），使得F’（ξ1）=F’（ξ2）=0。再對F’（x）在區(qū)間[ξ1，ξ2]上應(yīng)用羅爾定理知，存在ξ∈（ξ1，ξ2）（a，b），有F"（ξ）=0，即f"（ξ）=g"（ξ）。知識點解析：暫無解析23、設(shè)f（x）=（Ⅰ）證明f（x）是以π為周期的周期函數(shù)；（Ⅱ）求f（x）的值域。標準答案：故f（x）是以π為周期的周期函數(shù)。（Ⅱ）因為|sinx|的周期為π，故只需在[0，π]上討論值域。因為知識點解析：暫無解析24、標準答案：先求而且f（x）是一元函數(shù)f（u）與二元函數(shù)u=xy的復合，u是中間變量；φ（xy）是一元函數(shù)φ（υ）與二元函數(shù)υ=x+y的復合，υ是中間變量。由于方便，由復合函數(shù)求導法則得知識點解析：暫無解析25、求二元函數(shù)z=f（x，y）=x2y（4—x—y）在直線x+y=6，x軸與y軸圍成的閉區(qū)域D上的最大值與最小值。標準答案：先求在D內(nèi)的駐點，即因此在D內(nèi)只有駐點相應(yīng)的函數(shù)值為f（2，1）=4。再求f（x，y）在D邊界上的最值（1）在x軸上y=0，所以f（x，0）=0。（2）在y軸上x=0，所以f（0，y）=0。（3）在x+y=6上，將y=6—x代入f（x，y）中，得f（x，y）=2x2（x—6），因此fx’=6x2—24x=0。得x=0（舍），x=4。所以y=6—x=2。于是得駐點相應(yīng)的函數(shù)值（4，2）=x2y（4—x—y）|（4，2）=—64。綜上所述，最大值為f（2，1）=4，最小值為f（4，2）=—64。知識點解析：暫無解析26、設(shè)D={（x，y）|x2+y2≤xy[1+x2+y2]dxdy。標準答案：令D1={（x，y）|0≤x2+y2＜1，x≥0，y≥0}，D2={（x，y）|1≤x2+y2≤，x≥0，y≥0}。則知識點解析：暫無解析27、設(shè)a1=2，an+1=（n=1，2，…）。證明：標準答案：（Ⅰ）顯然an＞0（n=1，2，…），由初等不等式：對任意的非負數(shù)x，y必有x+y≥易知因此{an}單調(diào)遞減且有下界，故極限an存在。（Ⅱ）由{an}單調(diào)遞減，知≥0，則原級數(shù)是正項級數(shù)。由an≥1，得0≤≤an—an+1。而級數(shù)（an—an+1）的部分和Sn=（ak—ak+1）=a1—an+1，知識點解析：暫無解析28、求級數(shù)的和。標準答案：知識點解析：暫無解析29、設(shè)f（u，υ）具有連續(xù)偏導數(shù)，且fu’（u，υ）+fυ’（u，υ）=sin（u+υ）eu+υ，求y（x）=e—2xf（x，x）所滿足的一階微分方程，并求其通解。標準答案：由y（x）=e—2xf（x，x），有y’（x）=—2e—2xf（x，x）+e—2x[f1’（x，x）+f2’（x，x）]，由fu’（u，υ）+fu’（u，υ）=sin（u+υ）eu+υ可得f1’（x，x）+f2’（x，x）=（sin2x）e2x于是y（x）滿足一階線性微分方程y’（x）+2y（x）=sin2x通解為y（x）=e—2x[sin2x．e2xdx+C]，由分部積分公式，可得知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（微積分）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、=()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：2、若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則積分∫04[x]dx的值為()A、0B、2C、4D、6標準答案：D知識點解析：3、F(x)=∫-1xf(t)dt，則()A、F(x)為f(x)的一個原函數(shù)B、F(x)在(一∞，+∞)上可微，但不是f(x)的原函數(shù)C、F(x)在(一∞，+∞)上不連續(xù)D、F(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，但不是f(x)的原函數(shù)標準答案：D知識點解析：通常的解法：求積分并用連續(xù)性確定積分常數(shù)，可得所以F’(0)≠F’-(0)．根據(jù)原函數(shù)定義，F(xiàn)(x)不是f(x)在(一∞，+∞)上的原函數(shù)．由于f(x)有第一類間斷點，所以F(x)必然不是其原函數(shù)，而變限積分存在就必連續(xù)，所以答案自然選擇(D)．4、以下4個命題，正確的個數(shù)為()①設(shè)f(x)是(一∞，+∞)上連續(xù)的奇函數(shù)，則∫-∞+∞f(x)dx必收斂，且∫-∞+∞f(x)dx=0；②設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，且存在，則∫-∞+∞f(x)dx必收斂，且∫-∞+∞f(x)dx=③若∫-∞+∞f(x)dx與∫-∞+∞g(x)dx都發(fā)散，∫-∞+∞g(x)dx未必發(fā)散；④若∫-∞0f(x)dx與∫0+∞f(x)dx都發(fā)散，則∫-∞+∞f(x)dx未必發(fā)散．A、1個B、2個C、3個D、4個標準答案：A知識點解析：∫-∞+∞f(x)dx收斂存在常數(shù)a，使∫-∞af(x)dx和∫a-∞f(x)dx都收斂，此時∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx．設(shè)f(x)=x，則f(x)是(一∞，+∞)上連續(xù)的奇函數(shù)，且但是∫-∞0f(x)dx=∫-∞0xdx=∞，∫0+∞f(x)dx=∫0+∞xdx=∞，故∫-∞+∞f(x)dx發(fā)散，這表明命題①，②，④都不是真命題．設(shè)f(x)=x，g(x)=一x，由上面討論可知∫-∞+∞f(x)dx與∫-∞+∞g(x)dx都發(fā)散，但∫-∞+∞[f(x)+g(x)]dx收斂，這表明命題③是真命題。故應(yīng)選(A)．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)5、∫(8rcsinx)2dx=________．標準答案：x(arcsinx)2+一2x+C，其中C為任意常數(shù)知識點解析：6、將分解為部分分式的形式為________．標準答案：知識點解析：暫無解析7、若f’(x2)=(x＞0)，則f(x)=________．標準答案：其中C為任意常數(shù)知識點解析：8、設(shè)=1，a為常數(shù)，則=________．標準答案：a知識點解析：f(x)是抽象函數(shù)，不能具體地計算積分，要用積分中值定理，然后再計算極限．∫xx+af(t)dt=f(ξx).a，ξx介于x與x+a之間，9、∫0+∞xe-xdx=________．標準答案：1知識點解析：原積分=-∫0+∞xde-x=-xe-x+∫0+∞e-xdx=∫0+∞e-xdx=一e-x|0+∞=1．10、設(shè)=∫-∞atetdt，則a=________．標準答案：2知識點解析：∫-∞atetdt=∫-∞atdet=tet|-∞a一∫-∞aetdt=aea—et|-∞a=(a一1)ea，所以ea=(a一1)ea，a=2．11、∫0πtsintdt=________．標準答案：π知識點解析：∫0πtsintdt=一∫0πtd(cost)=一tcost|0π+∫0πcostdt=π．12、設(shè)n是正整數(shù)，則=________．標準答案：知識點解析：當f(x)+f(a+b-x)便于積分時可簡化定積分∫abf(x)dx的計算．13、反常積分=________．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)14、設(shè)，求∫f(x)dx．標準答案：當x＞1時，∫f(x)dx=∫2dx=2x+C1；當0≤x≤1時，∫f(x)dx=∫xdx=當x＜0時，∫f(x)dx=∫sinxdx=一cosx+C3．因為f(x)在(一∞，1)內(nèi)連續(xù)，所以∫f(x)dx在(一∞，1)內(nèi)存在，因而∫f(x)dx在x=0處連續(xù)可導，因此，C2=一1+C3，C3=1+C2．又因x=1為f(x)的第一類間斷點，所以在包含x=1的區(qū)間內(nèi)f(x)的原函數(shù)不存在，故此處的C1和C2是兩個相互獨立的任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析15、求標準答案：知識點解析：暫無解析16、求標準答案：知識點解析：暫無解析17、設(shè)函數(shù)x=x(y)由方程x(y—x)2=y所確定，試求不定積分標準答案：令y—x=t，則(y—t)t2=y，故得t3一3t=A(t3+t2一t一1)+B(t2+2t+1)+C(t3—t2一t+1)+D(t2—2t+1)=(A+C)t3+(A+B—C+D)t2+(一A+2B—C一2D)t—A+B+C+D．比較t的同次冪的系數(shù)得知識點解析：暫無解析18、計算標準答案：由分部積分法可知知識點解析：暫無解析19、計算(k為常數(shù))．標準答案：因k值不同，故分情況討論：知識點解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上具有連續(xù)的二階導數(shù)，且f(A)=f(b)=0，當x∈(a，b)時，f(x)≠0．證明：標準答案：取x0∈(a，b)如分析中所說，有在區(qū)間[a，x0]與[x0，b]上對f(x)分別用拉格朗日中值公式，有知識點解析：由題設(shè)f(A)=f(b)=0，所以可能是個反常積分。若此反常積分發(fā)散，則必有此時可視為要證明的不等式成立．以下設(shè)該反常積分收斂或可視為一個一般定積分．由于|f(x)|＞0(當a＜x＜b)，故存在x0∈(a，b)，使max{|f(x)|)}=f(x0)|＞0且f’(x0)=0．從而縮小來證明之．設(shè)f(x)是在區(qū)間[1，+∞)上單調(diào)減少且非負的連續(xù)函數(shù)，an=一1nf(x)dx(n=1，2，…)．證明：21、證存在；標準答案：(1)由f(x)單調(diào)減少，故當k≤x≤k+1時，f(k+1)≤f(x)≤f(k)．兩邊從k到k+1積分，得∫kk+1f(k+1)dx≤∫kk+1f(x)dx≤∫kk+1f(k)dx，即f(k+1)≤∫kk+1f(x)dx≤f(k)．即{an}有下界．又an+1一an=f(n+1)一∫nn+1f(x)dx≤0，知識點解析：暫無解析22、反常積分∫1+∞f(x)dx與無窮級數(shù)同斂散．標準答案：由于f(x)非負，所以∫1xf(t)dt為x的單調(diào)增加函數(shù)．當n≤x≤n+1時，∫1nf(t)dt≤∫1xf(t)dt≤∫1n+1f(t)dt，所以從而推知知識點解析：由f(x)單調(diào)減少，當k≤x≤k+1時，可以寫出關(guān)于f(x)的一個不等式，兩邊從k到k+1積分，便可得到關(guān)于an的一個表達式．23、如圖1．3—1，設(shè)曲線方程為y=x2+，梯形OABC的面積為D，曲邊梯形OABC的面積為D1，點A的坐標為(a，0)，a＞0．證明：標準答案：知識點解析：暫無解析24、已知標準答案：知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)，g(x)在a，b]上連續(xù)．證明：至少存在一點ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．標準答案：記G(x)=f(x)∫xbg(t)dt-g(x)∫axf(t)dt，則G(x)的原函數(shù)為F(x)=∫axf(t)dt∫xbg(t)dt+C，其中C為任意常數(shù)，因為f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，所以F(x)：(1)在[a，b]上連續(xù)；(2)在(a，b)內(nèi)可導；(3)F(A)=F(b)=C，即F(x)在[a，b]上滿足羅爾定理，所以，至少存在一個ξ∈(a，6)，使得F’(ξ)=0，即f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．知識點解析：暫無解析26、設(shè)f(x)，g(x)在[0，1]上的導數(shù)連續(xù)，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0．證明：對任意a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(A)g(1)．標準答案：令F(A)=∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx一f(A)g(1)，a∈[0，1]，則F’(a)=g(a)f’(a)一f’(a)g(1)=f’(a)[g(a)一g(1)]．因為x∈[0，1]時，f’(x)≥0，g’(x)≥0，即函數(shù)f(x)，g(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，又a≤1，所以F’(a)=f’(a)[g(a)一g(1)]≤0，即函數(shù)F(a)在[0，1]上單調(diào)遞減，又F(1)=∫01g(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx一f(1)g(1)=∫01[g(x)f(x)]’dx一f(1)g(1)=g(1)f(1)一g(0)f(0)一f(1)g(1)=一f(0)g(0)=0，所以，F(xiàn)(a)≥F(1)=0，即∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx一f(a)g(1)≥0，即∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)．知識點解析：暫無解析27、設(shè)a＜b，證明：[∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx．標準答案：構(gòu)造輔助函數(shù)F(t)=[∫atf(x)g(x)dx]2—∫atf2(x)dx∫atg2(x)dx，則F(a)=0，且F’(t)=2∫atf(x)g(x)dx.f(t)g(t)一f2(t)∫atg2(x)dx一g2(t)∫atf2(x)dx=∫at[2f(x)g(x)f(t)g(t)一f2(t)g2(x)一g2(t)f2(x)]dx=一∫at[f(t)g(x)一g(t)f(x)]2dx≤0，所以F(b)≤0，即[∫abf(x)g(x)dx]2—∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx≤0，即[∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（微積分）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)可導，且曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線與直線y=2一x垂直，則當△x→0時，該函數(shù)在x—x0處的微分dy是()A、與△x同階但非等價的無窮小B、與△x等價的無窮小C、比△x高階的無窮小D、比位低階的無窮小標準答案：B知識點解析：由題設(shè)可知f’(x0)=1，而dy|x=x0=f’(x0)△x=△x，因而=1，即dy與△x是等價無窮小，故選(B)．2、函數(shù)y=f(x)滿足條件f(0)=1，f’(0)=0，當x≠0時，f’(x)＞0，則它的圖形是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：因函數(shù)單調(diào)增加，且在x=0處有水平切線，選(B)．3、設(shè)f(x)在點x=a處可導，則等于()A、f’(A)B、2f’(A)C、0D、f’(2a)標準答案：B知識點解析：湊導數(shù)定義，4、設(shè)周期函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)可導，周期為4，又=-1，則曲線y=f(x)在點(5，f(5))處的切線斜率為()A、B、0C、一1D、一2標準答案：D知識點解析：因為函數(shù)f(x)周期為4，曲線在點(5，f(5))處的切線斜率與曲線在點(1，f(1))處的切線斜率相等，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，曲線在點(1，f(1))處的切線斜率即為函數(shù)f(x)在點x=1處的導數(shù)．即f’(1)=-2．5、關(guān)于函數(shù)y=f(x)在點x0的以下結(jié)論正確的是()A、若f(x0)=0，則f(x0)必是一極值B、若f"(x0)=0，則點(x0，f(x0))必是曲線y=f(x)的拐點C、若極限存在(n為正整數(shù))，則f(x)在x0點可導，且有D、若f(x)在x0處可微，則f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有界標準答案：D知識點解析：(A)不一定，反例：f(x)=x3，f(0)=0，x=0非極值點；(B)不一定，需加條件：f"(x)在x0點兩側(cè)異號；(C)項所給的只是必要條件，即僅在子列上收斂，這是不夠的．6、設(shè)f(x)=f(-x)，且在(0，+∞)內(nèi)二階可導，又f’(x)＞0，f"(x)＜0，則f(x)在(一∞，0)內(nèi)的單調(diào)性和圖形的凹凸性是()A、單調(diào)增，凸B、單調(diào)減，凸C、單調(diào)增，凹D、單調(diào)減，凹標準答案：B知識點解析：當x＞0時，f’(x)＞0f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)增；f"(x)＜0f(x)在(0，+∞)內(nèi)為凸曲線。由f(x)=f(一x)f(x)關(guān)于y軸對稱f(x)在(一∞，0)內(nèi)單調(diào)減，為凸曲線，選(B)．7、曲線()A、沒有漸近線B、僅有水平漸近線C、僅有鉛直漸近線D、既有水平漸近線，也有鉛直漸近線標準答案：D知識點解析：由漸近線的求法可知應(yīng)選(D)．8、若f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，且x1，x2是(a，b)內(nèi)任意兩點，則至少存在一點ξ，使下列諸式中成立的是()A、f(x2)一f(x1)=(x1一x2)f’(ξ)，ξ∈(a，b)B、f(x1)一f(x2)=(x1一x2)f’(ξ)，ξ在x1，x2之間C、f(x1)一f(x2)=(x2一x1)f’(ξ)，x1＜ξ＜x2D、f(x2)一f(x1)=(x2—x1)f’(ξ)，x1＜ξ＜x2標準答案：B知識點解析：由拉格朗日中值定理易知(A)，(C)錯，(B)正確，又因未知x1與x2的大小關(guān)系，知(D)不正確．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)9、曲線的凹區(qū)間是________．標準答案：(0，+∞)知識點解析：當x＞0時，y"＞0，曲線是凹的；當x＜0時，y"＜0，曲線是凸的．10、曲線的全部漸近線為________．標準答案：x=0，和y=1知識點解析：因為11、設(shè)y=ln(1-3-x)，則dy=________．標準答案：知識點解析：12、設(shè)，則y’|x=0________．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)13、設(shè)函數(shù)f(y)的反函數(shù)f-1(x)及f’[f-1(x)]與f"[f’(x)]都存在，且f-1[f-1(x)]≠0．證明：標準答案：設(shè)x=f(y)。則其反函數(shù)為y=f-1(x)，對x=f(y)兩邊關(guān)于x求導，得知識點解析：暫無解析14、設(shè)函數(shù)f(x)在x=2的某鄰域內(nèi)可導，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，計算f(n)(2)．標準答案：由f’(x)=ef(x)兩邊求導數(shù)得f"(x)=ef(x)2.f’(x)=e2f(x)，兩邊再求導數(shù)得f"’(x)=e2f(x)2f’(x)=2e3f(x)，兩邊再求導數(shù)得f(4)(x)=2e3f(x)3f’(x)=3!e4f(x)，由以上規(guī)律可得n階導數(shù)f(n)(x)=(n—1)!enf(x)，所以f(n)(2)=(n—1)!en．知識點解析：暫無解析15、討論方程2x2一9x2+12x—a=0實根的情況．標準答案：令f(x)=2x3一9x2+12x一a，討論方程2x3一9x2+12x一a=0實根的情況，即是討論函數(shù)f(x)零點的情況．顯然，所以，應(yīng)求函數(shù)f(x)=2x3一9x2+12x一a的極值，并討論極值的符號．由f’(x)=6x2一18x+12=6(x一1)(x一2)得駐點為x1=1，x2=2，又f"(x)=12x一18，f"(1)＜0，f"(2)＞0，得x1=1為極大值點，極大值為f(1)=5一a；x2=2為極小值點，極小值為f(2)=4一a．(1)當極大值f(1)=5一a＞0，極小值f(2)=4一a＜0，即4＜a＜5時，f(x)=2x3—9x2+12x—a有三個不同的零點，即方程2x3—9x2+12x—a=0有三個不同的實根．(2)當極大值f(1)=5一a=0或極小值f(2)=4一a=0，即a=5或a=4時，f(x)=2x3—9x2+12x—a有兩個不同的零點，即方程2x3一9x2+12x一a=0有兩個不同的實根．(3)當極大值f(1)=5一a＜0或極小值f(2)=4一a＞0，即a＞5或a＜4時，f(x)=2x3—9x2+12x一a有一個零點，即方程2x3一9x2+12x一a=0有一個實根．知識點解析：暫無解析16、證明：方程xα=lnx(α＜0)在(0，+∞)上有且僅有一個實根．標準答案：令f(x)=lnx—xα，則f(x)在(0，+∞)上連續(xù)，且f(1)=-1＜0，=+∞，故＞1，當x＞X時，有f(x)＞M＞0，任取x0＞X，則f(1)f(x0)＜0，根據(jù)零點定理，至少∈(1，x0)，使得f(ξ)=0，即方程x2=lnx在(0，+∞)上至少有一實根。又lnx在(0，+∞)上單調(diào)增加，α＜0，一xα也單調(diào)增加，從而f(x)在(0，+∞)上單調(diào)增加，因此方程f(x)=0在(0，+∞)上只有一個實根，即方程xα=lnx在(0，+∞)上只有一個實根．知識點解析：暫無解析17、計算標準答案：此題為用導數(shù)定義去求極限，關(guān)鍵在于把此極限構(gòu)造為廣義化的導數(shù)的定義式．知識點解析：暫無解析18、y=y(x)由方程cos(x2+y2)+ex—x2y=0所確定，求標準答案：方程兩端對x求導知識點解析：暫無解析19、設(shè)y=sin4x一cos4x，求y(n)．標準答案：因y=(sin2x+cos2x)(sin2x—cos2x)=-cos2x，y(n)=知識點解析：暫無解析20、頂角為65°，底圓半徑為a的正圓錐形漏斗內(nèi)盛滿水，下接底圓半徑為b(b＜a)的圓柱形水桶(假設(shè)水桶的體積大于漏斗的體積)，水由漏斗注入水桶，問當漏斗水平面下降速度與水桶水平面上升速度相等時，漏斗中水平面高度是多少?標準答案：設(shè)在時刻t，漏斗中水平面的高度為h，水量為p，水桶中水平面的高度為H，水量為q(如圖1．2—1)，則因為這兩部分水量的總和應(yīng)為開始漏斗盛滿水時的水量，所以因為下降的速度與上升的速度方向相反，所以時漏斗水平面下降速度與水桶水平面上升速度相等．知識點解析：暫無解析21、若函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)滿足關(guān)系式f’(x)=f(x)，且f(0)=1，證明：f(x)=ex．標準答案：知識點解析：欲證f(x)=ex，一種思路是移項一邊作輔助函數(shù)ψ(x)=f(x)一ex，如能證明ψ’(x)≡0，從而ψ(x)≡C．由條件ψ(0)=f(0)一1=0，得C=0，即f(x)-ex≡0，于是f(x)=ex．但ψ’(x)一ex(x)一ex，利用已知條件ψ’(x)=f(x)得ψ’(x)一f(x)一ex，要證ψ’(x)≡0，即要證f(x)=ex，而這就是我們要證明的結(jié)論，故這種思路行不通．另一種思路是由f(x)=ex兩邊同除以ex得輔助函數(shù)ψ(x)=若能證明ψ’(x)=0，從而ψ(x)=C，由條件ψ(0)==1得C=1，即因此本題利用第二種思路．設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且f(A)=f(b)=0．求證：22、存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+ξf’(ξ)=0；標準答案：設(shè)φ(x)=xf(x)，則φ(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且φ(A)=φ(b)=0，由羅爾定理得，存在ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)=0，即f(ξ)+ξf’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析23、存在η∈(a，b)，使ηf(η)+f’(η)=0．標準答案：設(shè)F(x)=，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且F(A)=F(b)=0，由羅爾定理得，存在η∈(a，b)，使F’(η=，即ηf(η)+f’(η)=0．知識點解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上二階可導，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求證：存在ξ∈(0，1)，使|f"(ξ)|≥4．標準答案：把函數(shù)f(x)在x=0展開成帶拉格朗日型余項的一階泰勒公式，得從而，在ξ1和ξ2中至少有一個點，使得在該點的二階導數(shù)絕對值不小于4，把該點取為ξ，就有ξ∈(0，1)，使|f"(ξ)|≥4．知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在x0處n階可導，且f(m)(x0)=0(m=1，2，…，n一1)，f(n)(x0)≠0(n＞2)．證明：當n為奇數(shù)時，(x，f(x0))為拐點．標準答案：n為奇數(shù)，令n=2k+1，構(gòu)造極限當f(2k+1)(x0)＞0時，但x→x0+時，f"(x)＞0；x→x0-時，f"(x)＜0，故(x0，f(x0))為拐點．知識點解析：暫無解析26、f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且f’(x)≠0．證明：，η∈(a，b)，使得標準答案：因為知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(x)在[a，b]上有定義，在(a，b)內(nèi)可導，b—a≥4．求證：∈(a，b)，使得f’(ξ)＜1+f2(ξ)．標準答案：根據(jù)條件b一a≥4，可以取得x1，x2∈(a，b)，使得π＜x2一x1＜4．又因為arctanf(x2)一arctanf(x1)≤|arctanf(x2)|+|arctanf(x1)|≤π，所以對函數(shù)arctanf(x)在區(qū)間[x1，x2]上用拉格朗日中值定理，便知∈(x1，x2)，使得知識點解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)存在二階導數(shù)，且f"(x)＜0．試證：28、若x0∈(a，b)，則對于(a，b)內(nèi)的任何x，有f(x0)≥f(x)-f’(x0)(x-x0)，當且僅當x=x0時等號成立；標準答案：將f(x)在x0點泰勒展開，即f(x)=f(x0)+f’(x0)(x—x0)+(x—x0)2，ξ在x0與x之間．由已知f"(x)＜0，x∈(a，b)得(x—x0)2≤0，當且僅當x=x0時等號成立，于是f(x)≤f(x0)+f’(x0)(x—x0)，即f(x0)≥f(x)一f’(x0)(x-x0)，當且僅當x=x0時等號成立．知識點解析：暫無解析29、若x1，x2，…xn∈(a，b)，且xi＜xi+1(i=1，2，…，n一1)，則其中常數(shù)ki＞0(i=1，2，…，n)且標準答案：f(x0)≥f(xi)一f’(x0)(xi一x0)，i=1，2，…，n，當且僅當xi=x0時等號成立．而x0≠x1且x0≠xn，將上面各式分別乘以ki(i=1，2，…，n)后再求和，有知識點解析：暫無解析30、求證：當x＞0時，不等式成立．標準答案：設(shè)f(x)=arctanx+，則f(+∞)==0．因為f’(x)=＜0，所以f(x)單調(diào)遞減，且當0＜x＜+∞時，f(x)＞f(+∞)=0．即知識點解析：暫無解析31、證明：標準答案：知識點解析：暫無解析32、證明：當x＞0時，有標準答案：用拉格朗日中值定理．，且函數(shù)f(t)=lnt在[x，1+x]上滿足拉格朗日中值定理，所以存在ξ∈(x，1+x)，使得知識點解析：暫無解析33、設(shè)需求函數(shù)為p=a一bQ，總成本函數(shù)為C=一7Q2+100Q+50，其中a，b＞0為待定的常數(shù)，已知當邊際收益MR=67，且需求價格彈性時，總利潤是最大的，求總利潤最大時的產(chǎn)量，并確定a，b的值．標準答案：總收益：R=Qp=aQ一bQ2，Q=L(Q)=R—C=+(7—6)Q2+(a一100)Q一50．于是有：L’(Q)=-Q2+2(7—6)Q+(a一100)．由題設(shè)a，b，Q應(yīng)滿足解①②③得：a=111，，Q=3或a=111，b=2，Q=11．(1)若a=111，b=，Q=3，此時L’(3)=0，L"(3)＜0，但L(3)＜0不符合題意；(2)若a=111，b=2，Q=11，此時L’(11)=0，L"(11)＜0，且L(11)＞0．因此a=111，b=2為所求常數(shù)，此時對應(yīng)最大利潤的產(chǎn)量為Q=11．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（微積分）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)f(x)在x=a處可導，且f(a)≠0，則｜f(x)｜在x=a處()．A、可導B、不可導C、不一定可導D、不連續(xù)標準答案：A知識點解析：不妨設(shè)f(a)＞0，因為f(x)在x=a處可導，所以f(x)在x=a處連續(xù)，于是存在δ＞0，當｜x一a｜＜δ時，有f(x)＞0，于是=f’(a)，即｜f(x)｜在x=a處可導，同理當f(a)＜0時，｜f(x)｜在x=a處也可導，選A．2、設(shè)ξ為f(x)=arctanx在[0，a]上使用微分中值定理的中值，則為()．A、1B、C、D、標準答案：C知識點解析：3、設(shè)f(x)在x=a處二階可導，則等于()．A、一f"(a)B、f"(a)C、2f(a)D、f"(a)標準答案：D知識點解析：4、設(shè)f(x)在x=0處二階可導，f(0)=0且，則()．A、f(0)是f(c)的極大值B、f(0)是f(c)的極小值C、(0，f(0)是曲線y=f(x)的拐點D、f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點標準答案：B知識點解析：5、設(shè)f(x)連續(xù)可導，g(x)連續(xù)，且，又f’(x)=一2x2+∫0xg(x—t)dt，則()．A、x=0為f(x)的極大點B、x=0為f(x)的極小點C、(0，0)為y=f(x)的拐點D、x=0既不是f(x)極值點，(0，0)也不是y=f(x)的拐點標準答案：C知識點解析：由∫0xg(x-t)dt=∫0xg(t)dt得f’(x)=一2x2+∫0xg(t)dt，f"(x)=一4x+g(x)，即當x∈(一δ，0)時，f"(x)＞0；當x∈(0，δ)時，f"(x)＜0，故(0，0)為y=f(x)的拐點，應(yīng)選C．6、設(shè)f(x)在x=a處的左右導數(shù)都存在，則f(x)在x=a處()．A、一定可導B、一定不可導C、不一定連續(xù)D、連續(xù)標準答案：D知識點解析：因為f(x)在x=a處右可導，所以，即f(x)在x=a處右連續(xù)，同理由f(x)在x=a處左可導，得f(x)在x=a處左連續(xù)，故f(x)在x=a處連續(xù)，由于左右導數(shù)不一定相等，選D．7、f(x)g(x)在x0處可導，則下列說法正確的是()．A、f(x)，g(x)在x0處都可導B、f(x)在x0處可導，g(x)在x0處不可導C、f(x)在x0處不可導，g(x)在x0處可導D、f(x)，g(x)在x0處都可能不可導標準答案：D知識點解析：令f(x)=，顯然f(x)，g(x)在每點都不連續(xù)，當然也不可導，但f(x)g(x)≡一1在任何一點都可導，選D．8、f(x)在x0處可導，則｜f(x)｜在x0處()．A、可導B、不可導C、連續(xù)但不一定可導D、不連續(xù)標準答案：C知識點解析：由f(x)在x0處可導得｜f(x)｜在x0處連續(xù)，但｜f(x)｜在x0處不一定可導，如f(x)=x在x=0處可導，但｜f(x)｜=｜x｜在x=0處不可導，選C．9、設(shè)f(x)為二階可導的奇函數(shù)，且x＜0時有f"(x)＞0，f’(x)＜0，則當x＞0時有()．A、f"(x)＜0，f(x)＜0B、f"(x)＞0，f’(x)＞0C、f"(x)＞0，f’(x)＜0D、f"(x)＜0，f’(x)＞0標準答案：A知識點解析：因為f(x)為二階可導的奇函數(shù)，所以f(-x)=一f(x)，f’(一x)=f’(x)，f"(一x)=一f"(x)，即f’(x)為偶函數(shù)，f"(x)為奇函數(shù)，故由x＜0時有f"(x)＞0，f’(x)＜0，得當x＞0時有f"(x)＜0，f’(x)＜0，選A．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)10、設(shè)f(x)=，則f’(x)=________．標準答案：2x(1+4x)e8x知識點解析：得f’(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x．11、設(shè)兩曲線y=x2+ax+b與一2y=一1+xy3在點(一1，1)處相切，則a=________，b=________．標準答案：3；3知識點解析：因為兩曲線過點(一1，1)，所以b一a=0，又由y=x2+ax+b得=a一2，再由一2y=一1+xy3得，且兩曲線在點(一1，1)處相切，則a一2=1，解得a=b=3．12、設(shè)函數(shù)=________．標準答案：知識點解析：13、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導，且=________．標準答案：e2知識點解析：14、設(shè)f(x)在x=1處一階連續(xù)可導，且f’(1)=一2，則=________．標準答案：1知識點解析：三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)15、設(shè)x=x(t)由標準答案：知識點解析：暫無解析16、設(shè)x3一3xy+y3=3確定y為x的函數(shù)，求函數(shù)y=y(x)的極值點．標準答案：x3一3xy+y3=3兩邊對x求導得知識點解析：暫無解析17、x=φ(y)是y=f(x)的反函數(shù)，f(x)可導，且f’(x)=，f(0)=3，求φ"(3)．標準答案：知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)連續(xù)，φ(x)=∫01f(xt)dt，且．求φ’(x)，并討論φ’(x)在x=0處的連續(xù)性．標準答案：知識點解析：暫無解析19、設(shè)函數(shù)f(x)在x=1的某鄰域內(nèi)有定義，且滿足｜f(x)-2ex｜≤(x一1)2，研究函數(shù)f(x)在x=1處的可導性．標準答案：把x=1代入不等式中，得f(1)=2e．當x≠1時，不等式兩邊同除以｜x一1｜，得知識點解析：暫無解析20、設(shè)，求y’．標準答案：知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)=且f"(0)存在，求a，b，c．標準答案：知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導，f(0)=0，f()=1，f(1)=0．證明：(1)存在η∈(，1)，使得f(η)=η；(2)對任意的k∈(一∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)一k[f(ξ)一ξ]=1．標準答案：(1)令φ(x)=f(x)一x，φ(x)在[0，1]上連續(xù)，，φ(1)=一1＜0，由零點定理，存在η∈(，1)，使得φ(η)=0，則f(η)=η．(2)設(shè)F(z)=e-kxφ(x)，顯然F(x)在[0，η]上連續(xù)，在(0，η)內(nèi)可導，且F(0)=F(η)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，η)，使得F’(ξ)=0，整理得f’(ξ)一k[f(ξ)一ξ]=1．知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)二階可導，且證明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)+f"(ξ)=0．標準答案：而φ(x)=ex[f’(x)+f"(x)]且ex≠0，所以f’(ξ)+f"(ξ)=0．知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在[0，1]上可導，f(0)=0，｜f’(x)｜≤｜f(x)｜．證明：f(x)≡0，x∈[0，1]．標準答案：因為f(x)在[0，1]上可導，所以f(x)在[0，1]上連續(xù)，從而｜f(x)｜在[0，1]上連續(xù)，故｜f(x)｜在[0，1]上取到最大值M，即存在x0∈[0，1]，使得｜f(x0)｜=M．當x0=0時，則M=0，所以f(x)≡0，x∈[0，1]；當x0≠0時，M=｜f(x0)｜=｜f(x0)一f(0)｜=｜f’(ξ)｜x0≤｜f’(ξ)≤，其中ξ∈(0，x0)，故M=0，于是f(x)≡0，x∈[0，1]．知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)∈C[a，b]，在(a，b)內(nèi)可導，f(a)=f(b)=1．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ-η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．標準答案：令φ(x)=exf(x)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得即2e2ξ=(ea+eb)eη[f’(η)+f(η)]，或2e2ξ-η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．知識點解析：暫無解析26、設(shè)f(x)二階可導，f(0)=f(1)=0且．證明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．標準答案：因為f(x)在[0，1]上二階可導，所以f(x)在[0，1]上連續(xù)且f(0)=f(1)=0，=一1，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值定理知，f(x)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)內(nèi)達到，即存在c∈(0，1)，使得f(c)=一1，再由費馬定理知f’(c)=0，根據(jù)泰勒公式所以存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．知識點解析：暫無解析27、一質(zhì)點從時間t=0開始直線運動，移動了單位距離使用了單位時間，且初速度和末速度都為零．證明：在運動過程中存在某個時刻點，其加速度絕對值不小于4．標準答案：設(shè)運動規(guī)律為S=S(t)，顯然S(0)=0，S’(0)=0，S(1)=1，S’(1)=0．由泰勒公式兩式相減，得S"(ξ2)一S"(ξ1)=一8→｜S"(ξ1)｜+｜S"(ξ2)｜≥8．當｜S"(ξ1)｜≥｜S"(ξ2)｜時，｜S"(ξ1)｜≥4；當｜S"(ξ1)｜＜｜S"(ξ2)｜時，｜S"(ξ2)｜≥4．知識點解析：暫無解析28、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導，且｜f"(x)｜≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，證明：｜f’(x)｜≤(x∈[0，1])．標準答案：由泰勒公式得知識點解析：暫無解析29、設(shè)f(x)在(一1，1)內(nèi)二階連續(xù)可導，且f"(x)≠0．證明：(1)對(一1，1)內(nèi)任一點x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]；(2)．標準答案：(1)對任意x∈(一1，1)，根據(jù)微分中值定理，得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1．因為f"(x)∈C(一1，1)且f"(x)≠0，所以f"(x)在(一1，1)內(nèi)保號，不妨設(shè)f"(x)＞0，則f’(x)在(一1，1)內(nèi)單調(diào)增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．(2)由泰勒公式，得知識點解析：暫無解析30、設(shè)f(x)在[a，b]是二階可導，且f’(a)=f’(b)=0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得｜f(ξ)≥｜f(a)一f(b)｜．標準答案：由泰勒公式得知識點解析：暫無解析31、f(x)在[-1，1]上三階連續(xù)可導，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0．證明：存在ξ∈(一1，1)，使得f"(ξ)=3．標準答案：由泰勒公式得兩式相減得f"’(ξ1)+f"’(ξ2)=6．因為f(x)在[一1，1]上三階連續(xù)可導，所以f"’(x)在[ξ1，ξ2]上連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)最值定理，f"’(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f"(ξ1)+f"’(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](一1，1)，使得f"’(ξ)=3．知識點解析：暫無解析32、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階連續(xù)可導．證明：存在ξ∈(a，b)，使得標準答案：因為f(x)在(a，b)內(nèi)二階可導，所以有知識點解析：暫無解析33、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導，且｜f(x)｜≤a，｜f"(x)｜≤b，其中a，b都是非負常數(shù)，c為(0，1)內(nèi)任意一點．(1)寫出f(x)在x=c處帶拉格朗日型余項的一階泰勒公式；(2)證明：｜f’(c)｜≤2a+．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（微積分）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、當x→1時，f(x)=的極限為()．A、2B、0C、∞D(zhuǎn)、不存在但不是∞標準答案：D知識點解析：2、設(shè)f(x)連續(xù)且F(x)=為()．A、a2B、a2f(a)C、0D、不存在標準答案：B知識點解析：3、設(shè)f(x)一階連續(xù)可導，且f(0)=0，f’(0)=1，則=()．A、e—1B、eC、e2D、e3標準答案：B知識點解析：4、設(shè)f(x)=，則x=0是f(x)的()．A、連續(xù)點B、第一類間斷點C、第二類間斷點D、不能判斷連續(xù)性的點標準答案：B知識點解析：當x＞0時，f(x)=；當x＜0時，f(x)=x．因為f(0+0)=1，f(0)=，f(0一0)=0，所以x=0為f(x)的第一類間斷點，選B．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)5、=__________標準答案：知識點解析：6、=__________標準答案：知識點解析：7、=__________標準答案：知識點解析：8、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(x)＞0，則標準答案：知識點解析：9、若，則a=__________，b=__________．標準答案：1；—4知識點解析：10、設(shè)當x→0時，ksin2x～，則k=__________．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)11、求(其中ai＞0(i=1，2，…n))標準答案：所以原式=a1a2…an．知識點解析：暫無解析12、求標準答案：知識點解析：暫無解析13、求標準答案：知識點解析：暫無解析14、求標準答案：知識點解析：暫無解析15、求標準答案：知識點解析：暫無解析16、求標準答案：知識點解析：暫無解析17、求標準答案：知識點解析：暫無解析18、求標準答案：令f(t)=et，由微分中值定理，知識點解析：暫無解析19、求標準答案：令f(x)=arctanx，由微分中值定理得知識點解析：暫無解析20、設(shè)曲線y=xn在點(1，1)處的切線交x軸于點(ξn，0)，求．標準答案：y=xn在點(1，1)處的切線方程為y一1=n(x一1)，令y=0得ξn=知識點解析：暫無解析21、確定常數(shù)a，b，c的值，使得當x→0時，ex(1+bx+cx2)=1+ax+o(x3)．標準答案：知識點解析：暫無解析22、確定常數(shù)a，c，使得，其中c為非零常數(shù)．標準答案：由洛必達法則，知識點解析：暫無解析23、設(shè)，求a，b．標準答案：知識點解析：暫無解析24、設(shè)，求a，b的值．標準答案：知識點解析：暫無解析25、設(shè)，求a，b．標準答案：則a=2，b+1=2，即a=2，b=1．知識點解析：暫無解析26、設(shè)，求a，b，c，d．標準答案：所以a，b，c，d滿足的條件是a=一2d，c=一1，b取任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（微積分）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、下列說法正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：2、下列結(jié)論正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：3、設(shè)級數(shù)都發(fā)散，則()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：選D．4、下列命題正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：選D．5、設(shè)a為任意常數(shù)，則級數(shù)()．A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性與常數(shù)口有關(guān)標準答案：B知識點解析：選B．6、下列敘述正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：7、級數(shù)()．A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性不確定標準答案：B知識點解析：8、設(shè)k＞0，且級數(shù)()．A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性與k的取值有關(guān)標準答案：C知識點解析：9、設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為R0，則有()．A、R0=R2B、R0=R1C、R0＜R2D、R0＞R2標準答案：B知識點解析：選B．10、設(shè)的收斂半徑為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：11、設(shè)在x=一1處收斂，則此級數(shù)在x=2處()．A、條件收斂B、絕對收斂C、發(fā)散D、斂散性不確定標準答案：B知識點解析：二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)12、級數(shù)在—1＜x＜1內(nèi)的和函數(shù)為__________．標準答案：xln(1—x2)+x3—x3ln(1—x2)知識點解析：13、冪級數(shù)的收斂半徑為__________．標準答案：知識點解析：14、冪級數(shù)的收斂域為__________．標準答案：(0，4)知識點解析：令x一2=t，對級數(shù)，所以收斂半徑為R=2，當t=±2時，的收斂域為(—2,2)，于是原級數(shù)的收斂域為(0，4)．15、標準答案：2知識點解析：三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)16、標準答案：(1)取εn=1，由=0，根據(jù)極限的定義，存在N＞0，當n＞N時，收斂(收斂級數(shù)去掉有限項不改變斂散性)，由比較審斂法得收斂(收斂級數(shù)添加有限項不改變斂散性)．(2)根據(jù)(1)，當n＞N時，有0≤an＜bn，因為發(fā)散，由比較審斂法，發(fā)散．知識點解析：暫無解析17、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間．標準答案：知識點解析：暫無解析18、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間．標準答案：知識點解析：暫無解析19、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間．標準答案：知識點解析：暫無解析20、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間．標準答案：知識點解析：暫無解析21、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析22、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析23、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析24、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析25、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析26、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標準答案