考研數(shù)學一（多元函數(shù)積分學）模擬試卷1（共278題）

考研數(shù)學一（多元函數(shù)積分學）模擬試卷1（共9套）（共278題）考研數(shù)學一（多元函數(shù)積分學）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設函數(shù)P(x，y)，Q(x，y)在單連通區(qū)域D內(nèi)有一階連續(xù)偏導數(shù)，L為D內(nèi)曲線，則曲線積分與路徑無關的充要條件為()A、Pdx+Qdy是某一函數(shù)的全微分B、C、D、標準答案：A知識點解析：在單連通域D中,，在D內(nèi)與路徑無關其中C為D內(nèi)任意閉曲線Pdx+Qdy為某一函數(shù)的全微分．故選A．2、設C為從A(0，0)到B(4，3)的直線段，則[*為()A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：．只有選項B正確．3、設∑是部分錐面：x2+y2=z2，0≤x≤1，則曲面積分等于()A、B、C、D、標準答案：D知識點解析：因0≤z≤1，故4、曲線積分其中曲線為位于第一象限中的圓弧x2+y2=1，A(1，0)，B(0，1)，則I為()A、0B、一1C、一2D、2標準答案：C知識點解析：5、設曲線F為x2+y2+z2=1，z=z0(｜z0｜<1)，由z軸正向看去為逆時針方向，則曲線積分的值為()A、0B、1C、一1D、標準答案：A知識點解析：設P=x2+yz，Q=y2+xz，R=z2+xy．則由斯托克斯公式，其中∑是平面z=z0內(nèi)且以曲線F為邊界的那部分的上側(cè)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、設曲線F：x=acost，y=asint，z=bt(0≤t≤2π)，則=___________.標準答案：知識點解析：由第一型曲線積分公式知：7、曲面積分=__________，其中S為球面x2+y2+z2=1的外側(cè)．標準答案：知識點解析：8、設一個矢量場A(x，y，z)，它在某點的矢量大小與該點到原點的距離平方成正比(比例常數(shù)為忌)，方向指向原點，則divA=__________．標準答案：知識點解析：9、設由平面圖形a≤x≤b，0≤y≤f(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體Ω的密度為1，則該旋轉(zhuǎn)體Ω對x軸的轉(zhuǎn)動慣量為__________．標準答案：知識點解析：10、設L為雙紐線(x2+y2)2=a2(x2一y2)的全弧段，常數(shù)a＞0.則∫Ly｜ds=_________.標準答案：知識點解析：由雙紐線的對稱性及｜y｜為y的偶函數(shù)，記L2為L在第一象限部分，有與二重積分類似的性質(zhì)．在極坐標中，從而其中L1的極坐標方程為經(jīng)化簡之后，三、解答題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)11、設D為xOy平面上由擺線x=a(t-sint)，y=a(1一cost)，0≤t≤2π，與x軸所圍成的區(qū)域，求D的形心的坐標．標準答案：知識點解析：暫無解析12、設，計算三重積分標準答案：知識點解析：暫無解析設φ(y)為連續(xù)函數(shù)．如果在圍繞原點的任意一條逐段光滑的正向簡單封閉曲線l上，曲線積分其值與具體l無關，為同一常數(shù)k．13、證明：對于任意一條逐段光滑的簡單封閉曲線L，它不圍繞原點也不經(jīng)過原點，則必有且其逆亦成立，即若式②成立，則式①亦成立．標準答案：設L是一條不圍繞原點也不經(jīng)過原點的逐段光滑的簡單封閉曲線，如圖1．6—10，使構成兩條簡單封閉曲線弧它們均將原點O包圍在它們的內(nèi)部，由題中式①知，以下證其逆亦成立．即設式②成立，設l1與l2分別為兩條各自圍繞原點O的逐段光滑的簡單封閉曲線，且有相同轉(zhuǎn)向．如圖1．6—11，不妨設l1與l2不相交，作一線段，溝通l1與l2．下述為一條不圍繞原點O的簡單的封閉曲線．由假定而另一方面，所以，即只要l是圍繞原點的簡單封閉曲線，且具有同一轉(zhuǎn)向，則∮1為一常數(shù)．知識點解析：暫無解析14、證明：在任意一個不含原點在其內(nèi)的單連通區(qū)域D0上，曲線積分與具體的c無關而僅與點A，B有關．標準答案：設cAB與cAB’為D0內(nèi)連接點A與點B的任意兩條逐段光滑的曲線，由cABUcBA’構成了一條逐段光滑的封閉曲線．由，所以∫cAB…=－∫c’BA…=∫cAB’…．即積分與路徑無關．知識點解析：暫無解析15、如果φ(y)具有連續(xù)的導數(shù)，求φ(y)的表達式.標準答案：既然在不含原點在其內(nèi)的單連通域D0上積分式③與路徑無關且具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則必有經(jīng)計算，得(2x2+y4)φ’(y)一4y3φ(y)=2y5一4x2y．由于x與y均為自變量，故得到由④得φ’(y)=一2y，解得φ(y)=一y2+C1，代入⑤得C1=0．所以φ(y)=一y2．知識點解析：暫無解析16、設L為圓周x2+y2=4正向一周，求標準答案：記I1=∮Ly3dx，I2=一∮L｜3y一x2｜dy．對于I1直接用格林公式．記D={(x，y)｜x2+y2≤4)，有求I2有兩個方法．知識點解析：暫無解析17、計算三重積分其中Ω由橢球面圍成．標準答案：知識點解析：暫無解析18、計算標準答案：先交換y，z的積分次序．將I理解成由三重積分先對y，z作二重積分，再對x作定積分得到，二重積分的積分區(qū)域為Dyx：0≤y≤x(x視為[0，1]上的某個常數(shù))，0≤z≤y．將Dyz表示為Dyz：0≤z≤xz，z≤y≤x．于是要計算這個二重積分，仍需要交換積分次序，換序后得知識點解析：暫無解析19、將化為先y，再x，后z的三次積分，其中f為連續(xù)函數(shù)．標準答案：y，z的積分區(qū)域為Dyz：0≤y≤1一x，0≤z≤x+y(x視為[0，1]上的一個常數(shù))，換序后Dyz=D1UD2，D1：0≤z≤x，0≤y≤1一x；D2：x≤z≤1，z—x≤y≤1一x，故于是知識點解析：暫無解析20、求函數(shù)f(x，y，z)=x2+y2+z2在區(qū)域x2+y2+z2≤x+y+z內(nèi)的平均值．標準答案：區(qū)域x2+y2+z2≤x+y+z，即其體積知識點解析：暫無解析21、計算曲線積分其中L圓周(x一1)2+y2=2，其方向為逆時針方向．標準答案：由于x=y=0時，被積函數(shù)無意義，故L所包圍的區(qū)域不滿足格林公式的條件，作一小圓挖去原點(0，0)，作逆時針方向的圓周l：x=rcosθ，y=rsinθ，0≤θ≤2π，使l全部被L，所包圍，在L和l為邊界的區(qū)域D內(nèi)，根據(jù)格林公式，有知識點解析：暫無解析設f(x，y)為具有二階連續(xù)偏導數(shù)的二次齊次函數(shù)，即對任何x，y，t下式成立f(tx，ty)=t2f(x，y)．22、證明：標準答案：方程f(tx，ty)=t2f(x，y)兩邊對t求導得xf1’(tx，ty)+yf2’(tx，ty)=2tf(x，y)，再對t求導得，x[xf11’’(tx，ty)+yf23’’(tx，ty)]+y[xf21’’(tx，ty)+yf22’’(tx，ty)]=2f(x，y)．于是tx[txf11’’(tx，ty)+tyf"12(tx，ty)]+ty[txf21’’(tx，ty)+tyf22’’(tx，ty)]=2t2f(x，y)=2f(tx，ty)，由此得x2fxx’’(x，y)+2xyfxy’’(x，y)+y2f’’yy(x，y)=2f(x，y)．即結論成立．知識點解析：暫無解析23、設D是由L：x2+y2=4正向一周所圍成的閉區(qū)域，證明：標準答案：由式xf1’(tx，ty)+yf2’(tx，tu)=2tf(x，y)得txf1’(tx，ty)+tyf2’(tx，ty)=2t2f(x，y)，即xfx’(x，y)+yfy’(x，y)=2f(x，y)，又故知識點解析：暫無解析24、設L為曲線x2+y2=R2(常數(shù)R>0)一周，n為L的外法線方向向量，u(z，y)具有二階連續(xù)偏導數(shù)且標準答案：如圖1．6—13，設τ0=(cosα，sinα)為L沿逆時針方向的單位向量．將它按順時針方向轉(zhuǎn)便得L的外法線方向的單位向量為n0=(sinα，一cosα)．方向?qū)?shù)其中D={(x，y)｜x2+y2≤R2)為L所圍成的有界區(qū)域。知識點解析：暫無解析25、將編號為1，2，3的三本書隨意排列在書架上，求至少有一本書從左到右排列的序號與它的編號相同的概率．標準答案：設Ai＝{第i本書正好在第i個位置}，B＝{至少有一本書從左到右排列的序號與它的編號相同}，則B＝A1＋A2＋A3，且知識點解析：暫無解析26、袋中有a個黑球和b個白球，一個一個地取球，求第k次取到黑球的概率(1≤k≤a＋b)．標準答案：基本事件數(shù)n＝(a＋b)!，設Ak＝{第k次取到黑球)，則有利樣本點數(shù)為a(a＋b—1)!，所以知識點解析：暫無解析27、甲、乙兩船駛向不能同時?？績蓷l船的碼頭，它們一天到達時間是等可能的，如果甲?？?，則停靠的時間為1小時，若乙?？?，則?？康臅r間為2小時，求它們不需要等候的概率．標準答案：設甲、乙兩船到達的時刻分別為x，y(0≤x≤24，0≤y≤24)，知識點解析：暫無解析28、某人打電話忘記對方號碼最后一位，因而對最后一位數(shù)隨機撥號，設撥完某地區(qū)規(guī)定的位數(shù)才完成一次撥號，且假設對方不占線，求到第k次才撥通對方電話的概率．標準答案：令Ak＝{第k次撥通對方電話)(k＝1，2，…，10)，知識點解析：暫無解析29、甲、乙兩人從1，2，…，15中各取一個數(shù)，設甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)，求甲數(shù)大于乙數(shù)的概率．標準答案：設A1＝{甲數(shù)為5)，A2＝{甲數(shù)為10}，A3＝{甲數(shù)為15}，B＝{甲數(shù)大于乙數(shù)}，知識點解析：暫無解析30、甲、乙兩人獨立對同一目標進行射擊，命中目標概率分別為60％和50％．標準答案：知識點解析：暫無解析31、計算標準答案：知識點解析：暫無解析32、設X的密度函數(shù)為，求的密度fY(y)．標準答案：知識點解析：暫無解析33、設隨機變量X的概率密度為，求Y＝eX的概率密度fY(y)．標準答案：FY(y)＝P(Y≤y)＝P(eX≤y)，當y≤1時，X≤0，F(xiàn)Y(y)＝0；知識點解析：暫無解析34、設隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，證明：Y＝1一e－2x在區(qū)間(0，1)上服從均勻分布．標準答案：因為X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，所以其分布函數(shù)為，Y的分布函數(shù)為FY(y)＝P(Y≤y)＝P(1一e－2x≤y)，當y≤0時，F(xiàn)Y(y)＝P(X≤0)＝0；當Y≥1時，F(xiàn)Y(y)＝P(一∞＜X＜＋∞)＝1；知識點解析：暫無解析35、設，求矩陣A可對角化的概率．標準答案：知識點解析：暫無解析36、設隨機變量X～E(λ)，令，求P(X＋Y＝0)及FY(y)．標準答案：P(X＋Y＝0)＝P(Y＝一X)＝P(｜X｜＞1)＝P(X＞1)＋P(X＜一1)＝P(X＞1)＝1一P(X≤1)＝1一FX(1)＝e－λFY(y)＝P(Y≤y)＝P(Y≤y，｜X｜≤1)＋P(Y≤y，｜X｜＞1)＝P(X≤y，｜X｜≤1)＋P(一X≤y，X＞1)＋P(一X≤y，X＜－1)＝P(X≤y，0＜X≤1)＋P(X≥一y，X＞1)當y＜一1時，F(xiàn)Y(y)＝P(X＞一y)＝eλy；當一1≤y＜0時，F(xiàn)Y(y)＝P(X＞1)＝e－λ；當0≤y≤1時，F(xiàn)Y(y)＝P(X≤y)＋P(X＞1)＝1一e－λy＋e－λ；當y＞l時，F(xiàn)Y(y)＝P(0＜X≤1)＋P(X＞1)＝1，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（多元函數(shù)積分學）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設m和n為正整數(shù)，a＞0，且為常數(shù)，則下列說法不正確的是()A、當m為偶數(shù)，n為奇數(shù)時，一定為0B、當m為奇數(shù)，n為偶數(shù)時，一定為0C、當m為奇數(shù)，n為奇數(shù)時，一定為0D、當m為偶數(shù)，n為偶數(shù)時，一定為0標準答案：D知識點解析：令則(1)當m和n中有且僅有一個為奇數(shù)時，(-1)m(一1)n=一1，從而積分為零；(2)當m和n均為奇數(shù)時，(-1)m(一1)n=1，從而由于上的奇函數(shù)，故積分為零．總之，當m和n中至少一個為奇數(shù)時，．故答案選擇D．2、其中D={(x，y)｜x2+y2≤1)，則()A、c＞b＞aB、a＞b＞cC、b＞a＞cD、c＞a＞b標準答案：A知識點解析：由于D={(x，y)｜x2+y2≤1)，所以由cosx在上單調(diào)減少可得因此有c＞b＞a．3、化為極坐標系中的累次積分為()A、B、C、D、標準答案：A知識點解析：由所以積分區(qū)域D是圓x2+(y一1)2≤1的右半圓在直線y=x上方的部分，于是，其極坐標形式為4、設三階矩陣A的特征值為一1，1，2，其對應的特征向量為α1，α2，α3，令P＝(3α2，一α3，2α1)，則P－1AP等于()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：顯然3α2，一α3，2α1也是特征值1，2，一1的特征向量，所以，選(C)．5、設A，B為n階矩陣，且A，B的特征值相同，則()．A、A，B相似于同一個對角矩陣B、存在正交陣Q，使得QTAQ＝BC、r(A)＝r(B)D、以上都不對標準答案：D知識點解析：令，顯然A，B有相同的特征值，而r(A)≠r(B)，所以(A)，(B)，(C)都不對，選(D)．6、設A是n階矩陣，下列命題錯誤的是()．A、若A2＝E，則一1一定是矩陣A的特征值B、若r(E＋A)＜n，則一1一定是矩陣A的特征值C、若矩陣A的各行元素之和為一1，則一1一定是矩陣A的特征值D、若A是正交矩陣，且A的特征值之積小于零，則一1一定是A的特征值標準答案：A知識點解析：若r(E＋A)＜n，則｜E＋A｜＝0，于是一1為A的特征值；若A的每行元素之和為一1，則，根據(jù)特征值特征向量的定義，一1為A的特征值；若A是正交矩陣，則ATA＝E，令AX＝λX(其中X≠0)，則XTAT＝λXT，于是XTATAX＝λ2XTX，即(λ2一1)XTX＝0，而XTX＞0，故λ2＝1，再由特征值之積為負得一1為A的特征值，選(A)．7、與矩陣相似的矩陣為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：A的特征值為1，2，0，因為特征值都是單值，所以A可以對角化，又因為給定的四個矩陣中只有選項(D)中的矩陣特征值與A相同且可以對角化，所以選(D)．8、設A為n階矩陣，下列結論正確的是()．A、矩陣A的秩與矩陣A的非零特征值的個數(shù)相等B、若A～B，則矩陣A與矩陣B相似于同一對角陣C、若r(A)＝r＜n，則A經(jīng)過有限次初等行變換可化為D、若矩陣A可對角化，則A的秩與其非零特征值的個數(shù)相等標準答案：D知識點解析：(A)不對，如，A的兩個特征值都是0，但r(A)＝1；(B)不對，因為A～B不一定保證A，B可以對角化；(C)不對，如，A經(jīng)過有限次行變換化為，經(jīng)過行變換不能化為；因為A可以對角化，所以存在可逆矩陣P，使得，于是，故選(D)．9、設A，B為n階可逆矩陣，則()．A、存在可逆矩陣P，使得P－1AP＝BB、存在正交矩陣Q，使得QTAQ＝BC、A，B與同一個對角矩陣相似D、存在可逆矩陣P，Q，使得PAQ＝B標準答案：D知識點解析：因為A，B都是可逆矩陣，所以A，B等價，即存在可逆矩陣P，Q，使得PAQ＝B，選(D)．10、設∑為x+y+z=1在第一卦限部分的下側(cè)，則等于()A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)11、空間曲線x=3t，y=3t2，z=2t3從O(0，0，0)到A(3，3，2)的弧長為__________．標準答案：5知識點解析：12、已知F=x3i+y3j+z2k，則在點(1，0，一1)處的divF為__________．標準答案：6知識點解析：設向量場F=Pi+Qj+Rk，則在點M(x0，y0，z0)處13、設∑是平面在第一卦限部分的下側(cè)，則化成對面積的曲面積分為I=__________．標準答案：知識點解析：∑指定側(cè)法向量，n的方向余弦由兩類曲面積分的聯(lián)系，14、設光滑曲面∑所圍閉域Ω上，P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)有二階連續(xù)偏導數(shù)，且∑為Ω的外側(cè)邊界曲面，由高斯公式可知的值為__________．標準答案：0知識點解析：因P，Q，R在Ω上有二階連續(xù)偏導數(shù)，故Ryx’’=Rxy’’，Qzx’’=Qxz’’，Pzy’’=Pyz’’，從而用高斯公式15、設u=x2+3y+yz，則div(graau)=__________．標準答案：2知識點解析：三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)16、求柱體x2+y2≤2x被x2+y2+z2=4所截得部分的體積．標準答案：，其中D={(x，y)｜x2+y2≤2x且y≥0}，用極坐標計算，在極坐標下于是知識點解析：暫無解析17、設平面薄片所占的區(qū)域D由拋物線y=x2及直線y=x所圍成，它在(x，y)處的面密度ρ(x，y)=x2y，求此薄片的重心．標準答案：設此薄片的重心為，則知識點解析：暫無解析18、設平面區(qū)域σ由σ1與σ2組成，其中，σ1={(x，y)｜0≤y≤a—x，0≤x≤a}，σ2={(x，y)｜a≤x+y≤b，x≥0，y≥0)，如圖1．6—1所示，它的面密度試求(1)該薄片σ的質(zhì)量m；(2)薄片σ1關于y軸的轉(zhuǎn)動慣量I1與σ2關于原點的轉(zhuǎn)動慣量J0．標準答案：(1)根據(jù)重積分的分塊可加性，得薄片σ的質(zhì)量注意到直線y=a一x與y=b一x在極坐標系中的方程為因此，薄片σ的質(zhì)量為(2)薄片σ1關于y軸的轉(zhuǎn)動慣量知識點解析：暫無解析設A為m×n階實矩陣，且r(A)＝n．證明：ATA的特征值全大于零．19、設A為m×n階實矩陣，且r(A)＝n．證明：ATA的特征值全大于零．標準答案：首先ATA為實對稱矩陣，r(ATA)＝n，對任意的X＞0，XT(ATA)X＝(AX)T(AX)，令AX＝α，因為r(A)＝n，所以α≠0，所以(AX)T(AX)＝αTα＝｜α｜2＞0，即二次型XT(ATA)X是正定二次型，ATA為正定矩陣，所以ATA的特征值全大于零．知識點解析：暫無解析20、標準答案：如圖1．6—5，則知識點解析：暫無解析21、標準答案：如圖1．6-6，則知識點解析：暫無解析22、標準答案：如圖1．6—7，D=D1+D2，其中知識點解析：暫無解析23、標準答案：如圖1．6—8，知識點解析：暫無解析24、設二次型f＝2x12＋2x22＋ax32＋2x1x2＋2bx1x3＋2x2x3經(jīng)過正交變換X＝QY化為標準形f＝y(tǒng)12＋y22＋4y32，求參數(shù)a，b及正交矩陣Q．標準答案：二次型f＝2x12＋2x22＋ax32＋2x1x2＋2bx1x3＋2x2x3的矩陣形式為f＝XTAX知識點解析：暫無解析25、標準答案：知識點解析：暫無解析26、設A為實對稱矩陣，且A的特征值都大于零．證明：A為正定矩陣．標準答案：A所對應的二次型為f＝XTAX，因為A是實對稱矩陣，所以存在正交變換X＝QY，使得，其中λi＞0(i＝1，2，…，n)，對任意的X≠0，因為X＝QY，所以Y＝QTX≠0，于是f＝λ1y12＋λ2y22＋…＋λnyn2＞0，即對任意的X≠0有XTAX＞0，所以XTAX為正定二次型，故A為正定矩陣．知識點解析：暫無解析27、設A為m階正定矩陣，B為m×n階實矩陣．證明：BTAB正定的充分必要條件是r(B)＝n．標準答案：因為(BTAB)T＝BTAT(BT)T＝BTAB，所以BTAB為對稱矩陣，設BTAB是正定矩陣，則對任意的X≠0，XTBTABX＝(BX)TA(BX)＞0，所以BX≠0，即對任意的X≠0有BX≠0，或方程組BX＝0只有零解，所以r(B)＝n．反之，設r(B)＝n，則對任意的X≠0，有BX≠0，因為A為正定矩陣，所以XT(BTAB)X＝(BX)TA(BX)＞0，所以BTAB為正定矩陣．知識點解析：暫無解析28、計算標準答案：知識點解析：暫無解析29、設其中D為正方形域0≤x≤1，0≤y≤1．標準答案：知識點解析：暫無解析30、設函數(shù)f(x)，g(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)增，證明：標準答案：知識點解析：暫無解析31、設f(x，y)是{(x，y)｜x2+y2≤1)上的二階連續(xù)可微函數(shù)，滿足，計算積分標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（多元函數(shù)積分學）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、化為極坐標系中的累次積分為()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由y=可得x2+(y-1)2=1(y≥1)，所以積分區(qū)域D是圓x2+(y-1)2≤1的右半圓在直線y=x上方的部分，于是，其極坐標形式為2、設D由直線x=0，y=0，x+y=1圍成，已知=()A、2B、0C、D、1標準答案：B知識點解析：由3、曲線積∮C(x2+y2)ds，其中c是圓心在原點，半徑為a的圓周，則積分值為()A、2πa2B、πa3C、2πa3D、4πa3標準答案：C知識點解析：C：x2+y2=a2，周長lC=2πa，∮C(x2+y2)ds=∮Ca2ds=a2.lC=2πa3．4、設∑：x2+y2+z2=a2(z≥0)，∑1為∑在第一卦限的部分，則有()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：∑關于yOz面，zOx面對稱，當f(x，y，z)關于變量x或變量y成奇函數(shù)時，r(x，y，z)dS=0，但f(x，y，z)=z關于變量x，y都是偶函數(shù)，因此5、設()A、與L的取向無關，與a，b的值有關B、與L的取向無關，與a，b的值無關C、與L的取向有關，與a，b的值有關D、與L的取向有關，與a，b的值無關標準答案：D知識點解析：因，故在以L為邊界的區(qū)域D內(nèi)，有偏導數(shù)不存在的點(0，0)，可取C為包含原點但含于L內(nèi)部并與L同向的曲線，此刻在L與C所圍區(qū)域D1上應用格林公式，當L+C-為D1正向閉曲線時，取“+”號，否則取“-”號．因D1上，此積分與C的方向即L的方向有關，但與a，b無關．6、設∑是yOz平面上的圓域y2+z2≤1，則(x4+y4+z4)dS為()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：因∑：x=0，且x2+y2≤1．故Dyz：y2+z2≤1，，從而二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)7、設C為閉域D的正向邊界閉曲線，則∮C(-y)dx+(xsiny2)dy可通過A(A為D的面積)表示為________標準答案：2A知識點解析：因P=由格林公式，原式=8、向量場A(x，3x，2y)在點M(x，y，z)處的旋度rotA=_______標準答案：(2，1，3)知識點解析：設向量場A=Pi+Qj+Rk，則因P=z，Q=3x，R=2y，則9、空間曲線x=3t，y=3t2，z=2t3從O(0，0，0)到A(3，3，2)的弧長為______標準答案：5知識點解析：10、已知F=x3i+y3j+z3k，則在點(1，0，-1)處的divF為_________標準答案：6知識點解析：設向量場F=Pi+Qj+Rk，則在點M(x0，y0，z0)處三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)11、將化為先y，再x，后z的三次積分，其中f為連續(xù)函數(shù)．標準答案：y，z的積分區(qū)域為Dyz：0≤y≤1x，0≤z≤x+y(x視為[0，1]上的一個常數(shù))，換序后Dyz=D1∪D2，D1：0≤z≤x，0≤y≤1-x；D2：x≤z≤1,z-x≤y≤1-x，故知識點解析：暫無解析12、求函數(shù)f(x，y，z)=x2+y2+z2在區(qū)域x2+y2+z2≤z+y+z內(nèi)的平均值．標準答案：區(qū)域x2+y2+z2≤x+y+z，即，其體積知識點解析：暫無解析13、計算曲線積分其中L圓周(x-1)2+y2=2，其方向為逆時針方向．標準答案：由于z=y=0時，被積函數(shù)無意義，故L所包圍的區(qū)域不滿足格林公式的條件，作一小圓挖去原點(0，0)，作逆時針方向的圓周l：x=rcosθ，y=rsinθ，0≤θ≤2π，使l全部被L所包圍，在L和l為邊界的區(qū)域D內(nèi)，根據(jù)格林公式，有知識點解析：暫無解析設f(x，y)為具有二階連續(xù)偏導數(shù)的二次齊次函數(shù)，即對任何x，y，t下式成立f(tx，ty)=t2f(x，y)．14、證明：標準答案：方程f(tx，ty)=t2f(x，y)兩邊對t求導得xf’1(tx，ty)+yf’2(tx，ty)=2tf(x，y)，再對t求導得，x[sf’’11(tx,ty)+yf’’12(tx，ty)]+y[xf"21(tx，ty)+yf’’22(tx，ty)]=2f(x，y)于是tx[txf’’11(tx,ty)+tyf’’12(tx，ty)]+ty[txf’’21(tx，ty)+tyf’’22(tx，ty)]=2t2f(x，y)=2f(tx，ty)由此得x2f’’xx(x，y)+2xyf’’xy(x，y)+y2f’’yy(x，y)=2f(x，y).即結論成立.知識點解析：暫無解析15、設D是由L：x2+y2=4正向一周所圍成的閉區(qū)域，證明：∮Lf(x,y)dx=∫∫Ddiv[gradf(x,y)]dσ標準答案：由xf’1(tx，ty)+yf’2(tx，ty)=2tf(x，y)得txf’1(tx，ty)+tyf’2(tx，ty)=2t2f(x，y)，即xf’x(x，y)+yf’x(x，y)=2f(x，y)，又div[gradf(x，y)]=，故知識點解析：暫無解析16、設L為曲線x2+y2=R2(常數(shù)R＞0)一周，n為L的外法線方向向量，u(x，y)具有二階連續(xù)偏導數(shù)且標準答案：如圖1．6-13所示，設τ0=(cosa，sina)為L沿逆時針方向的單位向量．將它按順時針方向轉(zhuǎn)，便得L的法線方向的單位向量為n0=(sina，-cosa)．方向?qū)?shù)其中D={(x，y)｜x2+y2≤R2}為L所圍成的有界區(qū)域．知識點解析：暫無解析17、已知平面區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤1)，L為D的邊界正向一周．證明：標準答案：有兩個方法．方法一(參數(shù)法)方法二(格林公式法)知識點解析：暫無解析18、計算的上半部分的上側(cè)．標準答案：方法一(逐個投影法)先計算I1=為此，應將S投影到y(tǒng)Oz平面．記用極坐標計算．y=brcosθ，z=crsinθ，0≤θ≤π，0≤r≤1，則為此，將S投影到zOx平面，也需將S剖分為左、右兩個：它們在zOx平面上的投影均為方法二(加、減曲面片高斯公式法)添加曲面片知識點解析：暫無解析19、設S為平面x-y+z=1介于三坐標平面間的有限部分，法向量與z軸交角為銳角，f(x，y，z)連續(xù)，計算I=∫∫S(x，y，z)+x]dydz+[2f(x，y，z)+y]dzdx+[f(x，y，z)+z]dxdy．標準答案：將S投影到xOy平面，其投影域(如圖1．6-14)為D={(x，y)｜x-y≤1，x≥0，y≤0}．從S的方程解出z=1-x+y．方法一化成第一型曲面積分，S與z軸交角為銳角的法向量為n=(1，-1，1)，n0=(1，-1，1)，則方法二直接將該積分化為一個二重積分．由知識點解析：暫無解析20、計算I=∮L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz，其中L是平面x+y+z=2與柱面｜x｜+｜y｜=1的交線，從z軸正向看L，L是逆時針方向．標準答案：方法一封閉曲線積分容易想到斯托克斯公式法．用斯托克斯公式，取平面x+y+z=2被L所圍成的有界部分為繃在L上的曲面S，按斯托克斯公式，S的法向量與z軸正向的交角應為銳角．I=∮L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz=∫∫S(-2y-4z)dydz+(-2z-6x)dzdx+(-2x-2y)dxdy．①方法1．1改換成第一型曲面積分，S的單位法向量Dxy既對稱于x軸，又對稱于y軸，所以分別令y≥0，y≤0，2-y-z≥0，2-y-z≤0，可得Dyz的4條邊的方程，從而Dyz可改寫為將第2個積分的S投影到zOx平面上去，其中Dxy={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，所以I3=0．從而I=I1+I2+I3=-24．方法二(用參數(shù)式計算)由于L是由4個直線段構成的四邊形，所以用參數(shù)式計算時，要一段段計算．L：｜x｜+｜y｜=1，z=2-x-y．當x≥0，y≥0時，L1：y=1-x，z=2-x-y=1，x從1到0，方法三(降維法)將L所在的方程z=2-x-y代入曲線積分以降低一維，降為其中L1為L在zOy平面上的投影：｜x｜+｜y｜=1，Dxy={(x，y)｜｜x+｜y｜≤1}．最后得到-24．知識點解析：暫無解析21、在過點O(0，0)和A(π，0)的曲線族y=asinx(a＞0)中，求一條曲線L，使沿該曲線從O到A的積分∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最?。畼藴蚀鸢福毫領’(a)=4(a2-1)=0，得a=1(a=-1舍去)，且a=1是I(a)在(0，+∞)內(nèi)的唯一駐點，又由于I’’(1)=8＞0，所以I(a)在a=1處取到最小值，因此所求曲線是y=sinx(0≤x≤π)．知識點解析：暫無解析22、證明：對于曲線積分的估計式為｜∫LPdx+Qdy｜≤lM，式中l(wèi)為積分曲線段長度，并證明標準答案：因為∫LPdx+Qdy=∫LF.ds，這里F=(P，Q)，ds=(dx，dy)，｜F｜=，｜ds｜=ds所以在曲線x2+y2=R2上，知識點解析：暫無解析在下列區(qū)域D上，是否存在原函數(shù)?若存在，求出原函數(shù)．23、D：x2+y2＞0；標準答案：存在原函數(shù)．記P=D：x2+y2＞0不是單連通的，則((x，y)∈D)不是∫LPdx+Qdy在D內(nèi)積分與路徑無關的充分條件．事實上，若取閉曲線C：x2+y4=r4，逆時針方向，則知識點解析：暫無解析24、D：y＞0；標準答案：D：y＞0是單連通的，在D上與路徑無關，存在原函數(shù)．知識點解析：暫無解析25、D：x＜0．標準答案：同理，存在原函數(shù)，可求得原函數(shù)為，其中C，為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析26、計算∫∫Sx2ds，其中S為圓柱面x2+y2=a2介于z=h和z=h之間的部分．標準答案：由輪換對稱性，，從而知識點解析：暫無解析27、計算曲面積分(x3+az2)dydz+(y3+ax2)dzdx+(z3+ay2)dxdy，其中∑為上半球面的上側(cè)．標準答案：記S為平面z=0(x2+y2≤a2)的下側(cè)，Ω為∑與S所圍成的空間區(qū)域．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（多元函數(shù)積分學）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設I=(x2+y2≠0)，則()A、對于任何不過坐標原點的閉曲線L，恒有I=0．B、對積分在x2+y2＞0上與路徑無關．C、對于任何不過坐標原點的閉曲線L，I≠0．D、當L圍成區(qū)域D不包含坐標原點時，I=0，其中L為分段光滑的簡單閉曲線．標準答案：D知識點解析：當L圍成的區(qū)域D不包含坐標原點時，由格林公式得故選D．2、累次積分f(rcosθ，rsinθ)rdr可以寫成()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由累次積分f(rcosθ，rsinθ)rdr可知，積分區(qū)域D為D={(r，θ)｜0≤r≤cosθ，0≤θ≤}．由r=cosθ為圓心在x軸上，直徑為1的圓．可作出D的圖形如圖6—1所示．該圓的直角坐標方程為可見A、B、C均不正確，故選D．3、設g(x)有連續(xù)的導數(shù)，g(0)=O，g’(0)=a≠0，f(x，y)在點(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，則()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：由積分中值定理知4、設f(x)為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(t)=∫1ldy∫ylf(x)dx，則F’(2)等于()A、2f(2)．B、f(2)．C、一f(2)．D、0．標準答案：B知識點解析：交換累次積分的積分次序，得F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx=∫1tdx∫1tf(x)dy=∫1t(x一1)f(x)dx．于是F’(t)=(t一1)f(t)，從而F’(2)=f(2)．故選B．5、已知由線積分+[f(x)一x2]dy與路徑無關，其中f(x)有連續(xù)一階導數(shù)，f(0)=1，則∫(0,0)(1,1)yf(x)dx+[f(x)一x2]dy等于()A、3e+1．B、3e+5．C、3e+2．D、3e一5．標準答案：D知識點解析：由于曲線積分yf(x)dx+[f(x)一x2]dy與路徑無關，則f(x)=f’(x)一2x，即f’(x)一f(x)=2x．f(x)=e∫dx[∫2xe—∫dxdx+C]=ex∫2xe—xdx+C]=ex[一2e—x一2xe—x+C]，由f(0)=1知，C=3，故f(x)=3ex一2x一2．因此∫(0,0)(1,1)yf(x)dx+[f(x)一x2]dy=∫01[f(1)一1]dy=f(1)一1=3e一5．6、設有平面閉區(qū)域，D={(x，y)}一a≤x≤a，x≤y≤a}，D1={(x，y)}0≤x≤a，x≤y≤a}，則(xy+cosxsiny)dxdy=()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：將閉區(qū)間D={(x，y)｜一a≤x≤a，c≤y≤a}按照直線y=一x將其分成兩部分D2和D3，如圖6—2所示，其中D3關于y軸對稱，D2關于x軸對稱，xy關于x和y均為奇函數(shù)，因此在D，和D2上，均有∫∫xydxdy=0．而cosxsiny是關于x的偶函數(shù)，關于y的奇函數(shù)，在D3積分不為零，在D2積分值為零．因此7、累次積分∫01dx∫x1f(x，y)dy+∫12dy∫02—yf(x，y)dx可寫成()A、∫02dx∫x2—xf(x，y)dy．B、∫01dy∫02—yf(x，y)dxC、∫01dx∫x2—xf(x，y)dy．D、∫01dy∫y2—yf(x，y)dx．標準答案：C知識點解析：原積分域為直線y=x，x+y=2，與y軸圍成的三角形區(qū)域，故選C．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)8、設L為正向圓周x2+y2=2在第一象限中的部分，則曲線積分∫Lxdy一2ydx的值為_________．標準答案：知識點解析：正向圓周x2+y2=2在第一象限中的部分，可表示為9、設曲線C為圓x2+y2=R2，則曲線積分∮C(x2+y2+2xy)ds=_________．標準答案：2πR2知識點解析：利用奇偶性和對稱性可得，∮2xyds=0．則有∮C(x2+y2+2xy)ds=∮C(x2+y2)ds=∮CR2ds=R2.2πR=2πR310、已知曲線L：y=x2(0≤x≤)，則∫Lxds=_________．標準答案：知識點解析：11、已知曲線L為圓x2+y2=a2在第一象限的部分，則∫Lxyds=_________．標準答案：知識點解析：12、設L為橢圓等=1，其周長記為a，則∮L(2xy+3x2+4y2)ds=_________。標準答案：12a知識點解析：將橢圓方程=1化簡為3x2+4y2=12，則有則有∮L(2xy+3x2+4y2)ds=∮L(2xy+12)ds=2∮Lxyds+12a，由于L關于x軸對稱，且xy關于y是奇函數(shù)，所以第一個積分∮Lxyds=0．因此，原式=12a．13、已知曲線L為曲面z=與x2+y2=1的交線，則∮Lx2y2z2ds=_________．標準答案：知識點解析：14、已知曲線L的方程為y=1一｜x｜，x∈[一1，1]，起點是(一1，0)，終點是(1，0)，則曲線積分∫Lxydx+x2dy=_________．標準答案：0知識點解析：令15、設L是正向圓周x2+y2=9，則曲線積分∮L(2xy一2y)dx+(x2—4x)dy=_________。標準答案：一18π知識點解析：由格林公式知，16、設c為橢圓=_________．標準答案：2π知識點解析：17、設C為曲線y=的曲線段，則∫Ccosy2dx一2xysiny2dy=_________．標準答案：一1知識點解析：因為(一2xysiny2)=一2ysiny2，則該曲線積分與路徑無關．又cosy2dx一2xysiny2dy=d(xcosy2)，則∫Ccosy2dx—2xysiny2dy=xcosy2=一1．18、設L是柱面方程x2+y2=1與平面z=x+y的交線，從z軸正向往z軸負向看去為逆時針方向，則曲線積分∮Lxzdx+xdy+=_________．標準答案：π知識點解析：19、設從z軸正向往z軸負向看去為順時針方向，則I=(z—y)dx+(x—z)dy+(z一y)dz=_________．標準答案：一2π知識點解析：原曲線參數(shù)方程為：x=cost，y=sint，z=2一cost+sint．故I=∫2π0[(2一cost)(一sint)+(2cost一2一sint)cost+cost一sint)Sint+cost)]dt=一2π．三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)20、設函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy．標準答案：交換積分次序可得知識點解析：暫無解析21、計算曲面積分在柱體x2+y2≤2x內(nèi)的部分．標準答案：知識點解析：暫無解析22、設函數(shù)Q(x，y)在平面xOy上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，曲線積分∫L2xydx+Q(x，y)dy與路徑無關，并且對任意t恒有∫(0,0)(t,1)2xyydx+Q(x，y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)．標準答案：根據(jù)曲線積分和路徑無關的條件，可知因此有Q(x,y)=x2+C(y)成立，其中C(y)為待定函數(shù)又因為∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy=∫01[t2+C(y)]dy=t2+∫01C(y)dy，∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x,y)dy=∫0t[t2+C(y)]dy=t2+∫0tC(y)dy，由已知可知t2+∫01C(y)dy=t+∫0tC(y)dy，兩邊對t求導可得2t=1+C(t)，即C(y)=2y一1，因此有Q(x，y)=x2+2y一1．知識點解析：暫無解析23、計算曲面積分(2x+z)dydz+zdxdy，其中S為有向曲面z=x2+y2(0≤z≤1)，其法向量與z軸正向的夾角為銳角．標準答案：用高斯公式，以S1表示法向量指向z軸負向的有向平面z=1(x2+y2≤1)，D為S1在xOy平面上的投影區(qū)域，則知識點解析：暫無解析24、計算二重積分(y+1)dσ，其中積分區(qū)域D由Y軸與曲線y=圍成．標準答案：引入極坐標(r，θ)滿足x=rcosθ，y=rsinθ，在極坐標(r，θ)中積分區(qū)域D可表示為知識點解析：暫無解析25、(1)計算I=繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面與平面z=8所圍成的區(qū)域．(2)計算曲線積分∮C(z—y)dx+(x一z)dy+(x一y)dz，其中C是曲線從z軸正向往z軸負向看，C的方向是順時針的．(3)在某一人群中推廣新技術是通過其中掌握新技術的人進行的，設該人群的總?cè)藬?shù)為N，在t=0時刻已掌握新技術的人數(shù)為x0，在任意時刻t已掌握新技術的人數(shù)為x(t)將x(t)視為連續(xù)可微變量)，其變化率與已掌握新技術人數(shù)和未掌握新技術人數(shù)之積成正比，比例常數(shù)k＞0，求x(t)．標準答案：(1)利用柱面坐標，積分區(qū)域可以表示為(2)令x=cosθ，y=sinθ，則有z=2一x+y=2一cosθ+sinθ．由于曲線C是順時針方向的，其起點和終點所對應的θ值分別為θ=2π和θ=0．因此∮C(x—y)dx+(x一z)dy+(x一y)dz=∫2π0一[2(sinθ+cosθ)一2cos2θ一1]dθ=一[2(一cosθ+sinθ)一sin2θ—θ]｜2π0=一2π．知識點解析：暫無解析26、計算的上側(cè)。為大于零的常數(shù)．標準答案：令知識點解析：暫無解析27、求I=∫L[exsiny一b(x+y)]dx+(excosy一ax)dy，其中a，b為正的常數(shù)，L為從點A(2a，0)沿曲線y=到點O(0，0)的弧．標準答案：添加從點D(0，0)沿y=0到點A(2a，0)的有向直線L1，則其中D為L+L1所圍成的半圓域．后一積分選擇x為參數(shù)，得L1：y=0(0≤x≤2a)，可直接積分I2=∫02a(一bx)dx=一2a2b．因此I=I1一I2=．知識點解析：暫無解析28、設S為橢球面+z2=1的上半部分，點P(x，y，z)∈S，∏為S在點P處的切平面，ρ(x，y，z)為點O(0，0，0)到平面∏的距離，求．標準答案：令F(x，y，z)=+z2一1，設(X，Y，Z)為∏上任意一點，則∏的方程為F’x(X一x)+F’y(Y—y)+F’z(Z—z)=0，即知識點解析：暫無解析29、計算曲線積分I=，其中L是以點(1，0)為中心，R為半徑的圓周(R＞1)，取逆時針方向．標準答案：知識點解析：暫無解析30、設對于半空間x＞0內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面s，都有xf(x)dydz—xyf(x)dzdx—e2xzdxdy=0，其中函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)具有連續(xù)的一階導數(shù)，且=1，求f(x)．標準答案：由題設和高斯公式得知識點解析：暫無解析31、設有一半徑為R的球體，P0是此球的表面上的一個定點，球體上任一點的密度與該點到P0距離的平方成正比(比例常數(shù)k＞0)，求球體的重心位置．標準答案：如圖6—7所示，以Ω表示球體，以Ω的球心表示原點O，射線OP0為正x軸建立直角坐標系，則點P0的坐標為(R，0，0)，球面方程為x2+y2+z2=R2．知識點解析：暫無解析32、計算積分．標準答案：設二重積分區(qū)域為D，D1是D的第一象限部分，由對稱性，得知識點解析：暫無解析33、計算I=∮L(y2一z2)dx+(2z2一x2)dy+(3x2一y2)dz，其中L是平面x+y+z=2與柱面｜x｜+｜y｜=1的交線，從z軸正向看去，L為逆時針方向．標準答案：記s為平面x+y+z=2上L所圍部分．由L的定向，按右手法則知S取上側(cè)，S的單位法向量其中D為S在xy平面上的投影區(qū)域｜x｜+｜y｜≤1(如圖6—8所示)．由D關于x，y軸的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性得知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（多元函數(shù)積分學）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設∑是曲面被z=1割下的有限部分，則曲面積分的值為()A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：設∑1為∑在第一卦限部分的曲面Dxy：x2+y2≤1，x≥0，y≥0，用極坐標表示,因為∑關于yOz面，zOx面對稱，函數(shù)｜yz｜關于變量x或y都為偶函數(shù)，故2、下列命題中不正確的是()A、設f(u)有連續(xù)導數(shù)，則在全平面內(nèi)與路徑無關B、設f(u)連續(xù)，則在全平面內(nèi)與路徑無關C、設P(x，y)，Q(x，y)在區(qū)域D內(nèi)有連續(xù)的一階偏導數(shù)，又在區(qū)域D內(nèi)與路徑無關D、在區(qū)域D={(x，y)｜(x，y)≠(0，0)}上與路徑有關標準答案：C知識點解析：對于A，令P(x，y)=xf(x2+y2)，Q(x，y)=yf(x2+y2)，則全平面是單連通區(qū)域，故∫LPdx－Qdy在全平面內(nèi)與路徑無關．A正確．對于B，可求得被積函數(shù)的原函數(shù)為因而，∫L(x2+y2)(xdx+ydy)與路徑無關．B正確．對于C，因區(qū)域D不一定是單連通區(qū)域，故C中積分不一定與路徑無關．C不正確．對于D，取L為單位圓x2+y2=1，并取逆時針方向，則因而，積分與路徑有關．D正確．僅C入選．3、設曲線L是區(qū)域D的正向邊界，那么D的面積為()A、B、C、D、標準答案：A知識點解析：本題考查用第二型曲線積分求平面面積，是一種比較新穎的提法，但是內(nèi)容是經(jīng)典的，主要看考生能否抓住數(shù)學知識之間的聯(lián)系．(1)令P=一y，Q=x，則由格林公式得因而，D的面可表示為(2)令P=一y，Q=0，則由格林公式得(3)令P=0，Q=x，由格林公式得由上述三個面積的表達式知，答案選擇A．4、設力f=2i一j+2k作用在一質(zhì)點上，該質(zhì)點從點M1(1，1，1)沿直線移動到點M2(2，2，2)，則此力所做的功為()A、2B、一1C、3D、4標準答案：C知識點解析：因為W=｜f｜.｜s｜.cosθ，故5、設曲線積分與路徑無關，其中，f(x)具有一階連續(xù)導數(shù)，且f(0)=0，則f(x)等于()A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：P=[f(x)一ex]siny，Q=一f(x)cosy．積分與路徑無關，則即[f(x)一ex]cosy=一f’(x)cosy．又由f(0)=0解得6、設∑為球面x2+y2+z2=1的外側(cè)，下面4個結論：其中正確的個數(shù)為()A、1個B、2個C、3個D、4個標準答案：C知識點解析：由對稱性得于是由高斯公式得(由積分區(qū)域的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性)．7、設∑為球面(x一1)2+y2+(z+1)2=1，則第一型曲面積分()A、4πB、2πC、πD、0標準答案：A知識點解析：是球面(x一1)2+y2+(z+1)2=1的形心坐標公式，而球面的形心在球心(1，0，一1)處，故8、設L是擺線上從t=0到t=2π的一段，則()A、一πB、πC、2πD、一2π標準答案：A知識點解析：設故曲線積分與路徑無關．使用路徑無關選路法，令，則二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)9、設f(u)具有連續(xù)的一階導數(shù)，LAB為以為直徑的左上半個圓弧，從A到B，其中點A(1，1)，點B(3，3)．則第二型曲線積分=_____________.標準答案：3π+4知識點解析：添直線段(即半圓的直徑從B到A)，有10、設S為橢球面，已知S的面積為A，則第一型曲面積分=__________．標準答案：37A知識點解析：(2z+3y)2+(6z一1)2=4x2+9y2+36z2+12xy一12z+l，南于S分別對稱于三個坐標平面，所以又在S上4x2+9y2+36z2=36，所以11、設封閉曲面S：x2+y2+z2=R2＞0)，法向量向外，則__________.標準答案：知識點解析：以S的方程代入被積函數(shù)，得令Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤R2}，由高斯公式，三、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)12、在下列區(qū)域D上，是否與路徑無關是否存在原函數(shù)?若存在，求出原函數(shù)．(1)D：x2+y2＞0；(2)D：y＞0；(3)D：x＜0．標準答案：(1)D：x2+y2＞0不是單連通的，則在D內(nèi)積分與路徑無關的充分條件．事實上，若取閉C線C：x2+y2=r2，逆時針方向，則(2)D：y＞0是單連通的在D上與路徑無關，存在原函數(shù)．知識點解析：暫無解析13、計算其中S為圓柱面x2+y2=a2介于z=0和z=h之間的部分．標準答案：由輪換對稱性從而知識點解析：暫無解析14、設事件A，B獨立．證明：事件是獨立的事件組．標準答案：由A，B獨立，得P(AB)一P(A)P(B)，由＝P(A—B)＝P(A)一P(AB)＝P(A)一P(A)P(B)＝P(A)[1一P(B)]＝，知識點解析：暫無解析15、設A，B同時發(fā)生，則C發(fā)生．證明：P(C)≥P(A)＋P(B)－1．標準答案：因為A，B同時發(fā)生，則C發(fā)生，所以，于是P(C)≥P(AB)，而P(A＋B)＝P(A)＋P(B)一P(AB)≤1，所以有P(AB)≥P(A)＋P(B)一1，于是P(C)≥P(A)＋P(B)－1．知識點解析：暫無解析16、設有來自三個地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報名表，其中女生的報名表分別為3份、7份和5份．隨機取出一個地區(qū)，再從中抽取兩份報名表．(1)求先抽到的一份報名表是女生表的概率p；(2)設后抽到的一份報名表為男生的報名表，求先抽到的報名表為女生報名表的概率q．標準答案：(1)設Ai＝{所抽取的報名表為第i個地區(qū)的)(i＝1，2，3)，Bj＝{第j次取的報名表為男生報名表)(j＝1，2)，則知識點解析：暫無解析17、已知∑：z=z(x，y)，(x，y)∈D，求證：標準答案：因曲面z=z(x，y)在任一點(x，y，z)的法線向量為(一zx’，一zy’，1)，故又，利用兩類曲面積分之間的關系，則得到知識點解析：暫無解析18、計算其中∑：x2+y2+z2=1．標準答案：利用高斯公式，設∑的外法線向量n=(cosα，cosβ，cosγ)，則對知識點解析：暫無解析19、計算其方向是從y軸正向看去為逆時針方向．標準答案：設x+y+z=1上圓的內(nèi)部區(qū)域為S，法向量取向上．由斯托克斯公式：易知S指定側(cè)的單位法向量為其中α，β，γ為n的方向角．由第一、二型曲面積分的聯(lián)系，得其中｜S｜為圓S的面積．易知S的半徑知識點解析：暫無解析20、設P(x，y)，Q(x，y)在全平面有連續(xù)偏導數(shù)，且對以任意點(x0，y0)為中心，以任意正數(shù)7．為半徑的上半圓L：x=x0+rcosθ，y=y0+rsinθ(0≤θ≤π)，恒有求證：標準答案：設以任意點(x0，y0)為中心，以任意正數(shù)r為半徑的上半圓的直徑為AB，上半圓域為D，則知識點解析：暫無解析21、設球體x2+y2+z2≤2az(如圖1．6—2)中任一點的密度與該點到坐標原點的距離成正比，求此球體的重心．標準答案：由于所給球體的質(zhì)量分布關于z軸對稱，所以它的重心位于z軸上，而密度是其中k是比例常數(shù)，因此可得采用球坐標計算這兩個三重積分，將x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ代入球體的不等式，得0≤r≤2acosθ，且0≤φ≤2π，．則故所給球體的重心坐標為知識點解析：暫無解析22、設半徑為R的球之球心位于以原點為中心、a為半徑的定球面上(2a＞R＞0，a為常數(shù))．試確定R為何值時前者夾在定球面內(nèi)部的表面積為最大，并求出此最大值．標準答案：以定球球心為原點，兩球心之連線為z軸建立坐標系，則兩球面方程為定球：x2+y2+z2=a2；動球：x2+y2+(z-a)2=R2．知識點解析：暫無解析23、在密度為1的半球體的底面接上一個相同材料的柱體：一h≤z<0,x2+y2≤R2(h＞0)，試確定h值，使整個球柱體的重心恰好落在球心上．標準答案：Ω之重心為知識點解析：暫無解析24、有甲、乙兩個口袋，兩袋中都有3個白球2個黑球，現(xiàn)從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋中任取4個球，設4個球中的黑球數(shù)用X表示，求X的分布律．標準答案：設A＝{從甲袋中取出黑球}，X的可能取值為0，1，2，3，令{X＝i}＝Bi(i＝0，1，2，3)，則知識點解析：暫無解析25、設一設備在時間長度為t的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)～P(λt)．標準答案：知識點解析：暫無解析26、求，其中曲線為自點A(1，0，0)至點C(0，0，1)的長弧段．標準答案：知識點解析：暫無解析27、計算標準答案：知識點解析：暫無解析28、設一電路由三個電子元件串聯(lián)而成，且三個元件工作狀態(tài)相互獨立，每個元件的無故障工作時間服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，設電路正常工作的時間為T，求T的分布函數(shù)．標準答案：設三個元件正常工作的時間為Ti(i＝1，2，3)，T1，T2，T3相互獨立且其分布函數(shù)都是當t＞0時，令A＝{T1≤t)，B＝{T2≤t)，C＝{T3≤t)，且A，B，C獨立，則FT(t)＝P(T≤t)＝P(A＋B＋C)．P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)－P(AB)一P(AC)一P(BC)＋P(ABC)，P(A)＝P(B)＝P(C)＝1－e－λt，F(xiàn)T(t)＝3(1－e－λt)一3(1一e－λt)2＋(1－e－λt)3，于是知識點解析：暫無解析29、設隨機變量X滿足｜X｜≤1，且，在{一1＜X＜1)發(fā)生的情況下，X在(一1，1)內(nèi)任一子區(qū)間上的條件概率與該子區(qū)間長度成正比．標準答案：知識點解析：暫無解析30、設f(x)在[0，1]上連續(xù)，試證：標準答案：因為f(x)在[0，1]上連續(xù)，所以在[0，1]上存在原函數(shù)．設F’(t)=f(t)(t∈[0，1])，則知識點解析：暫無解析31、設f(x，y)在全平面有連續(xù)偏導數(shù)，曲線積分在全平面與路徑無關，且求f(x，y)．標準答案：(1)∫L(x，y)dx+xcosdy在全平面與路徑無關積分得f(x，y)=siny+C(x)．(2)求f(x，y)轉(zhuǎn)化為求C(x)．知識點解析：暫無解析32、設曲線C：x2+y2+x+y=0，取逆時針方向，證明：標準答案：關于第二型曲線積分的估值問題，一般是先考慮用格林公式將其轉(zhuǎn)化為二重積分，然后就二重積分進行估值．由格林公式，有知識點解析：暫無解析33、設L是平面單連通有界區(qū)域σ的正向邊界線，n0是L上任一點(x，y)處的單位外法向量．設平面封閉曲線L上點(x，y)的矢徑r=xi+yj，r=｜r｜，θ是n0與y的夾角，試求標準答案：本題考查第一型和第二型曲線積分之間的轉(zhuǎn)化關系．注意到第二型曲線積分要考慮曲線L在其上點(x，y)處的單位切向量，設其為τ0=cosαi+cosβj．因為曲線L在其上點(x，y)處的法向量n0與切線向量τ0互相垂直，并使閉曲線L取正向，故取n0=cosβi—cosαj．根據(jù)兩向量內(nèi)積的定義及dx=cosαds，dy=cosβds，得知識點解析：暫無解析34、求矢量穿過曲面∑的通量，其中三為曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所形成旋轉(zhuǎn)曲面的外側(cè)在1≤z≤2間部分．標準答案：添加輔助曲面∑1：z=2(x2+y2≤4)取上側(cè)，∑2：z=1(x2+y2≤1)取下側(cè)．∑+∑1+∑2形成封閉曲面，所圍區(qū)域記為Ω，則由高斯公式知識點解析：暫無解析35、設函數(shù)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，若對任意的t∈(0，+∞)恒有其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)是Ω(t)在xOy平面上的投影區(qū)域，∑(t)是球域Ω(t)的表面，L(t)是D(t)的邊界曲線．證明：f(x)滿足且f(0)=0．標準答案：D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2)，∑(t)(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2=t2)，L(t)={(x，y)｜x2+y2=t2}，且知識點解析：暫無解析36、設(1)通過將f(r，t)化為對θ的定積分，其中0≤θ≤2π；(2)求極限標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（多元函數(shù)積分學）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設∑為x+y+z=1在第一卦限部分的下側(cè)，則(x2+z)dxdy等于()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：∑：z=1-x-y，Dxy：0≤y≤1-x，0≤x≤1．則2、設函數(shù)P(x，y)，Q(x，y)在單連通區(qū)域D內(nèi)有一階連續(xù)偏導數(shù)，L為D內(nèi)曲線，則曲線積分∫LPdx+Qdy與路徑無關的充要條件為()A、Pdx+Qdy是某一函數(shù)的全微分B、∮CPdx+Qdy=0，其中C．x2+y2=1在D內(nèi)C、D、標準答案：A知識點解析：在單連通域D中，Pdx+Qdy在D內(nèi)與路徑無關∮CPdx+Qdy=0，其中C為D內(nèi)任意閉曲線Pdx+Qdy為某一函數(shù)的全微分．故選(A)．3、設C為從A(0，0)到B(4，3)的直線段，則∫C(x-y)ds為()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：．只有選項(B)正確．4、設∑是部分錐面：x2+y2=z2，0≤z≤1，則曲面積分(x2+y2)dS等于()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：因0≤x≤1，故∑：5、曲線積分(2xcosy+ysinx)dx-(x2sinynacosx)dy，其中曲線為位于第一象限中的圓弧x2+y2=1，A(1，0)，B(0，1)，則I為()A、0B、-1C、-2D、2標準答案：C知識點解析：P=2xcosy+ysinx，=-2xsiny+sinx，Q=-(x2siny+cosx)，=-2xsiny+sinx．因．故該曲線積分與路徑無關．取O(0，0)，則：x=0，0≤y≤1．故6、設曲線T為x2+y2+z2=1，z=z0(｜z0｜＜1)，由z軸正向看去為逆時針方向，則曲線積分∫T(x2+yz)dx+(y2+xz)dy+(z2+xy)dz的值為()A、0B、1C、-1D、12標準答案：A知識點解析：設P=x2+yz，Q=y2+xz，R=z2+xy．則由斯托克斯公式，其中∑是平面z=z0內(nèi)且以曲線Г為邊界的那部分的上側(cè)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)7、設∑是平面3x+2y+=6在第一卦限部分的下側(cè)，則化成對面積的曲面積分為I=________標準答案：知識點解析：∑指定側(cè)法向量n=(-3，-2，)，n的方向余弦由兩類曲面積分的聯(lián)系，8、設光滑曲面∑所圍閉域Ω上，P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)有二階連續(xù)偏導數(shù)，且∑為Ω的外側(cè)邊界曲面，由高斯公式可知的值為________標準答案：0知識點解析：因P，Q，R在Ω上有二階連續(xù)偏導數(shù)，故R’’yx=R’’xy，Q’’zx=Q’’xz，P’’zy=P’’yz，從而用高斯公式原式=9、設u=x2+3y+yz，則div(gradu)=______標準答案：2知識點解析：10、設曲線г：x=acost，y=asint，z=bt(0≤t≤2π)，則∫г(x2+y2)ds=_______標準答案：知識點解析：由第一型曲線積分公式知：三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)11、計算，繞z軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面與平面z=8所圍成的區(qū)域．標準答案：旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：．因此知識點解析：暫無解析12、計算，其中∑為球面x2+y2+z2=1的外側(cè)．標準答案：方法一(利用對稱性并直接計算)由球面∑的對稱性，知方法二(第二型化第一型)球面∑：x2+y2+z2=1的外側(cè)單位法向量為n0=(x，y，z)，將第二型曲面積分化為第一型曲面積分，得由對稱性知知識點解析：暫無解析13、已知∑：z=z(x，y)，(x，y)∈D，求證：標準答案：因曲面z=z(x，y)在任一點(x，y，z)的法線向量為(-z’x，-z’y，1)，故知識點解析：暫無解析14、計算(ax2+by2+cz2)dS，其中∑：x2+y2+z2=1．標準答案：方法一利用高斯公式，設∑的外法線向量n=(cosα，cosβ，cosγ)，則對(x，y，z)∈∑，cosα=x，cosβy，cosγ=z，因此利用高斯公式，有知識點解析：暫無解析15、計算I=∫L+ydx+zdy+xdz，其中L+為曲線其方向是從y軸正向看去為逆時針方向．標準答案：設x+y+z=1上圓的內(nèi)部區(qū)域為S，法向量取向上．由斯托克斯公式：易知S指定側(cè)的單位法向量為n=其中α，β，γ為n的方向角．由第一、二型曲面積分的聯(lián)系，得其中｜S｜為圓S的面積．易知S的半徑R=知識點解析：暫無解析16、設P(x，y)，Q(x，y)在全平面有連續(xù)偏導數(shù)，且對以任意點(x0，y0)為中心，以任意正數(shù)r為半徑的上半圓L：x=x0+rcosθ，y=y0+rsinθ(0≤θ≤π)，恒有∫LP(x，y)dx+Q(x，y)dy=0．求證：標準答案：設以任意點(x0，y0)為中心，以任意正數(shù)r為半徑的上半圓的直徑為AB，上半圓域為D，則其中M1∈D為某一點．又知識點解析：暫無解析17、設球體x2+y2+z2≤2az(如圖1．6-2)中任一點的密度與該點到坐標原點的距離成正比，求此球體的重心．標準答案：由于所給球體的質(zhì)量分布關于z軸對稱，所以它的重心位于z軸上，而密度是其中k是比例常數(shù)，因此可得xG=yG=0，米用球坐標計算這兩個三重積分，將x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ代入球體的不等式，得0≤r≤2acosθ，且0≤φ≤2π,0≤θ≤．則故所給球體的重心坐標為知識點解析：暫無解析18、設半徑為R的球之球心位于以原點為中心、a為半徑的定球面上(2a＞R＞0，a為常數(shù))．試確定R為何值時前者夾在定球面內(nèi)部的表面積為最大，并求出此最大值．標準答案：以定球球心為原點，兩球心之連線為z軸建立坐標系，則兩球面方程為定球：x2+y2+z2=a；動球：x2+y2+(z-a)2=R2．兩球交線為該交線在xOy平面上的投影圓：x2+y2=(4a2-R2)．設動球夾在定球內(nèi)部的表面積為S．對于動球故當R=時，動球夾在定球內(nèi)部的表面積S最大，最大值為知識點解析：暫無解析19、在密度為1的半球體的底面接上一個相同材料的柱體：-h≤z＜0，x2+y2≤R2(h＞0)，試確定h值，使整個球柱體的重心恰好落在球心上．標準答案：Ω之重心為．而知識點解析：暫無解析20、設，計算(1)gradu；(2)div(gradu)；(3)rot(gradu)．標準答案：知識點解析：暫無解析21、如果向量場A(x，y，z)=是有勢場，求常數(shù)a，b的值A的勢函數(shù)u．標準答案：有勢場是旋度恒為零的向量場，由rotA=0即可求得有關量．由得a=1，b=0．由于知識點解析：暫無解析22、求，自點A(1，0，0)至點C(O，0，1)的長弧段．標準答案：方法一(加、減弧段斯托克斯公式法)添直線段(如圖1．6-15)，由斯托克斯公式，記S為平面x+y+z=1上由L∪所圍成的曲面，法向量與z軸交角為銳角，于是換成第一型曲面積分，n0=(cosα，cosβ，cosγ)=(1，1，1)，于是方法二(參數(shù)法)L的參數(shù)式可寫成知識點解析：暫無解析23、計算標準答案：知識點解析：本題考查三重積分的精確定義，類比于定積分和二重積分，我們首先給出三重積分的精確定義：這里的Ω不是一般的空間有界閉區(qū)域，而是一個“長方體區(qū)域”．于是，給出“湊三重積分定義”的步驟如下：24、設Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤1)，求標準答案：由輪換對稱性可知，知識點解析：暫無解析25、計算三重積分｜x2+y2+z2-1｜dv，其中Ω=((x，y，z)｜x2+y2+z2≤2}．標準答案：將Ω分解成Ω1：x2+y2+z2≤1和Ω2：1≤x2+y2+z2≤2，使被積函數(shù)在每個子區(qū)域內(nèi)不變號，故知識點解析：暫無解析26、設f(x)在[0，1]上連續(xù)，試證：標準答案：因為f(x)在[0，1]上連續(xù)，所以在[0，1]上存在原函數(shù)．設F’(t)=f(t)(t∈[0，1])，則知識點解析：暫無解析27、計算∫г(x2+y2+z2)ds，其中標準答案：先寫出參數(shù)式，0≤t≤2π，于是，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（多元函數(shù)積分學）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設平面區(qū)域D由曲線()A、2B、-2C、πD、-π標準答案：D知識點解析：如圖1．6-1所示，用曲線y=-sinx將區(qū)域D劃分為D1和D2兩部分，則D1關于x軸對稱，D2關于y軸對稱，于是有由于區(qū)域D的面積與直線y=0，y=1，所圍成矩形的面積相等，故SD=π，故應選(D)．2、已知，則I=()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：積分區(qū)域由兩部分組成(如圖1．6-2)．設將D=D1∪D2視為Y型區(qū)域，則故應選(A)．3、Ω由x=0，y=0，z=0，x+2y+z=1所圍成，則三重積分等于()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：由被積函數(shù)與積分區(qū)域的特點，選擇在直角坐標下先單積分后二重積分，最終化為三次單積分．Ω在xOy面上的投影域Dxy：，0≤x≤1．Ω的上下邊界曲面方程分別為z=1-x-2y，z=0．故4、Ω是由x2+y2=z2與z=a(a＞0)所圍成的區(qū)域，則三重積分在柱面坐標系下累次積分的形式為()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：被積函數(shù)中出現(xiàn)x2+y2．積分區(qū)域的邊界曲面方程中含有x2+y2．一般說來利用柱面坐標系計算三重積分較為簡便，這是因為x2+y2=r2．Ω在xOy面上的投影域Dxy：x2+y2≤a2用極坐標可表示為Dr0：0≤r≤a，0≤θ≤2π．Ω的上、下邊界曲面方程為：z=a，z=r，故5、設平面區(qū)域D由x=0，y=0，x+y=，則I1，I2，I2的大小順序為()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I1＜I2標準答案：C知識點解析：在D內(nèi)，所以ln(x+y)＜06、球面x2+y2+z2=4a2與柱面x2+y2=2ax所圍成立體體積等于()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：因為立體關于zOy面以及zOx面對稱，故V=4V1，其中V1為立體在第一卦限部分的體積．V1在xOy面上的投影域為Dxy：x2+y2≤2ax且y≥0．此刻V1可看作以Dxy為底，以球面x2+y2+z2=4a2為曲頂?shù)那斨w體積，由二重積分的幾何背景可知二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)7、若f(x，y)為關于x的奇函數(shù)，且積分區(qū)域D關于y軸對稱，則當f(x，y)在D上連續(xù)時，必有=_______標準答案：0知識點解析：設連續(xù)函數(shù)z=f(x，y)關于x為奇函數(shù)(f(x，y)-=f(x，y))或關于x為偶函數(shù)(f(-x，y)=f(x，y))，積分區(qū)域D關于y軸對稱，D1表示D的位于y軸右方的部分．則有同理當z=f(x，y)關于y為奇函數(shù)或偶函數(shù)，積分區(qū)域D關于x軸對稱也有類似的結論．8、設f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，則=_____，其中D：x2+y2≤t2標準答案：f(0，0)知識點解析：因被積函數(shù)f(x，y)在閉區(qū)