【專項精練】第05課 函數(shù)的單調(diào)性與最值-2024年新高考數(shù)學(xué)分層專項精練（解析版）

第02課函數(shù)的單調(diào)性與最值（分層專項精練）【一層練基礎(chǔ)】一、單選題1．（2012·天津·高考真題）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（1,2）內(nèi)是增函數(shù)的為A．，xRB．，xR且x≠0C．,xRD．，xR2．（2022秋·浙江杭州·高一?？计谥校┖瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．4．（2020春·山西太原·高二山西大附中?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，則k的取值范圍是A． B． C． D．5．（2022·吉林白城·?？寄M預(yù)測）若函數(shù)存在平行于軸的切線，則實數(shù)取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題6．（2021秋·甘肅蘭州·高一蘭州一中?？计谥校┮阎瘮?shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在上是增函數(shù)B．函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱C．函數(shù)的圖象上存在兩點，，使得直線軸D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱7．（2023春·重慶九龍坡·高一四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．的一個周期為 B．在上單調(diào)遞增C．在上有最大值 D．圖象的一條對稱軸為直線8．（2021秋·福建三明·高三?？计谥校┫铝泻瘮?shù)中是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．的定義域為 B．是偶函數(shù)C．函數(shù)的零點為0 D．當(dāng)時，的最大值為三、填空題10．（2022秋·陜西西安·高一西安市第八十三中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．11．（2023春·安徽亳州·高二亳州二中?？计谀┮阎x域為的減函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為.12．（2016·北京·高考真題）函數(shù)的最大值為.13．（2022秋·天津西青·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校考期中）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是．14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)a，b滿足，則的最小值是.【二層練綜合】一、單選題1．（2022秋·高一單元測試）已知函數(shù)滿足，且對任意的，都有，則滿足不等式的的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2021·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)y＝，x∈(m，n]的最小值為0，則m的取值范圍是（

）A．(1，2) B．(－1，2) C．[1，2) D．[－1，2)3．（2023·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)且在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2022·安徽滁州·高二?？紝W(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的定義域為，滿足：①對任意，都有，②對任意且，都有，則函數(shù)叫“成功函數(shù)”，下列函數(shù)是“成功函數(shù)”的是（

）A． B．C． D．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．若函數(shù)在上的最小值為3，則實數(shù)a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題6．（2022秋·山東濰坊·高三?？计谥校┫铝兴膫€函數(shù)中，以為周期且在上單調(diào)遞增的偶函數(shù)有（

）A． B．C． D．7．（2023春·湖北恩施·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，，則（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)為奇函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為0D．設(shè)，則的解集為8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且，在單調(diào)遞減，則（

）A． B．C． D．9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，.則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間（）上單調(diào)遞增B．若函數(shù)，則的值域為C．若函數(shù)，則的值域為D．，三、填空題10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上的最小值為1，則的值為.11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（x>0），若的最大值為，則正實數(shù)a=.12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，，則實數(shù)的取值范圍為.13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，使成立，則實數(shù)的取值范圍是．14．（2021秋·湖北荊州·高一荊州市沙市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）同學(xué)們，你們是否注意到：自然下垂的鐵鏈；空曠的田野上，兩根電線桿之間的電線；峽谷的上空，橫跨深澗的觀光索道的鋼索．這些現(xiàn)象中都有相似的曲線形態(tài)．事實上，這些曲線在數(shù)學(xué)上常常被稱為懸鏈線．懸鏈線的相關(guān)理論在工程、航海、光學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用．在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類函數(shù)的表達(dá)式可以為（其中，是非零常數(shù)，無理數(shù)…），對于函數(shù)以下結(jié)論正確的是．①如果，那么函數(shù)為奇函數(shù)；②如果，那么為單調(diào)函數(shù)；③如果，那么函數(shù)沒有零點；④如果那么函數(shù)的最小值為2．【三層練能力】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a，b，c滿足，，則（

）A．， B．，C．， D．，2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式有且僅有兩個正整數(shù)解（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2023·全國·校聯(lián)考一模）曲線的曲率就是針對曲線上?個克的切線方向角對弧長的轉(zhuǎn)動率，表明曲線偏離直線的程度，曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大．曲線在點處的曲率，其中是的導(dǎo)函數(shù)．（

）A．若函數(shù)f（x）=．則曲線y=f（x）在點（-，-）與點（，）處的彎曲程度相同B．若是二次函數(shù)．則曲線的曲率在頂點處取得最小值C．若函數(shù)，則函數(shù)的值域為D．若函數(shù)，則曲線上任意一點的曲率的最大值為5．（2023春·重慶江北·高二字水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義：在區(qū)間上，若函數(shù)是減函數(shù)，且是增函數(shù)，則稱在區(qū)間上是“弱減函數(shù)”.根據(jù)定義可得（

）A．在上是“弱減函數(shù)”B．在上是“弱減函數(shù)”C．若在上是“弱減函數(shù)”，則D．若在上是“弱減函數(shù)”，則6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．是函數(shù)的一個周期B．是函數(shù)的一條對稱軸C．函數(shù)的最大值為，最小值為D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【一層練基礎(chǔ)】參考答案1．B【詳解】首先判斷奇偶性：A,B為偶函數(shù)，C為奇函數(shù)，D既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),所以排除C、D，對于先減后增，排除A，故選B.考點：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.2．B【分析】由分段函數(shù)單調(diào)性列不等式組求解【詳解】，故在上單調(diào)遞減，由題意得解得，故選：B3．D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量法即可求解.【詳解】因為，所以，因為，所以，又因為，所以，所以，故選：.4．D【分析】用分離參數(shù)法得出不等式k＞﹣x在x∈[1，2]上成立，根據(jù)函數(shù)f（x）=﹣x在x∈[1，2]上的單調(diào)性，即可求出k的取值范圍．【詳解】關(guān)于x的不等式x2+kx﹣1＞0在區(qū)間[1，2]上有解，∴kx＞1﹣x2在x∈[1，2]上有解，即k＞﹣x在x∈[1，2]上成立；設(shè)函數(shù)f（x）=﹣x，x∈[1，2]，∴f′（x）=﹣﹣1＜0恒成立，∴f（x）在x∈[1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，且f（x）的值域為[﹣，0]，要k＞﹣x在x∈[1，2]上有解，則k＞﹣，即實數(shù)k的取值范圍為（﹣，+∞）．故答案為：D【點睛】（1）本題主要考查了不等式的有解問題，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)處理參數(shù)的問題常用的有分離參數(shù)法和分類討論法，本題利用的是分離參數(shù)法，解題效率比分類討論法解題效率高.5．C【分析】由題意，在上有解，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為值域問題即可求解.【詳解】解：因為函數(shù)存在平行于軸的切線，所以在上有解，即在上有解，因為，所以，故選：C.6．AC【分析】，然后畫出其圖象可得答案.【詳解】，其大致圖象如下，結(jié)合函數(shù)圖象可得AC正確，BD錯誤.故選：AC7．BD【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡可得，可判斷選項A；利用換元法和函數(shù)的單調(diào)性，可判斷選項B和C；利用誘導(dǎo)公式化簡可得，可判斷選項D．【詳解】對A：，故不是的周期，A錯誤；對B：令，則，則，∵，則，∴在上單調(diào)遞增，且，又∵在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，B正確；對C：∵，則，∴，則，又∵在上單調(diào)遞增，且，∴在上最大值為，即在上有最大值，C錯誤；對D：，故圖象的一條對稱軸為直線，D正確.故選：BD.【點睛】結(jié)論點睛：若，則關(guān)于直線對稱，特別地，則關(guān)于直線對稱；若，則關(guān)于點對稱，特別地，則關(guān)于點對稱.8．AD【解析】利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷奇偶性，根據(jù)函數(shù)解析式判斷單調(diào)性.【詳解】A，因為，是偶函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，符合題意；B，因為，是奇函數(shù)，且在區(qū)間上為減函數(shù)，不符合題意；C，因為，是偶函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞減，不符合題意；D，因為，是偶函數(shù)，且在區(qū)間上為增函數(shù)，符合題意.故選：AD9．AD【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，分別從定義域、奇偶性、零點、最值考察即可求解.【詳解】對A，由解析式可知的定義域為，故A正確；對B，因為，可知是奇函數(shù)，故B不正確；對C,，得，故C不正確；對D,當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D正確.故選：AD10．【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即得.【詳解】函數(shù)的定義域是，在定義域內(nèi)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，而函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間就是在定義域內(nèi)函數(shù)的增區(qū)間，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：.11．【分析】根據(jù)題意可得，，進(jìn)而將原不等式轉(zhuǎn)換為不等式組，解之即可.【詳解】由題意知，，，故答案為：.12．2【分析】分離常量，由函數(shù)可得函數(shù)單調(diào)遞減，然后求解函數(shù)的最大值即可.【詳解】[方法一]：分離常量法由函數(shù)，得在單調(diào)遞減，即.故答案為：2.[方法二]：換元法由函數(shù)，令，，得，可知在是單調(diào)遞減的，即.故答案為：2.[方法三]：反函數(shù)法由函數(shù)，得，由，得，從而有，即.故答案為：2.[方法四]：函數(shù)圖像法由函數(shù)，由在單調(diào)遞增，得在單調(diào)遞減，即.故答案為：2.13．【分析】不等式恒成立，即為不大于xy的最小值，運用基本不等式，計算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范圍．【詳解】∵正實數(shù)x，y滿足，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由恒成立，可得，解得故答案為：14．【分析】先判斷出，且.令，利用判別式法求出的最小值.【詳解】因為實數(shù)a，b滿足，所以，且.令，則，所以，代入，則有，所以關(guān)于b的一元二次方程有正根，只需，解得：.此時，關(guān)于b的一元二次方程的兩根，所以兩根同號，只需，解得.綜上所述：.即的最小值是（此時，解得：）.故答案為：.【二層練綜合】參考答案1．A【分析】可化為，構(gòu)造函數(shù)，再結(jié)合奇偶性可知該函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又將所求不等式變形，即可由單調(diào)性解該抽象不等式.【詳解】根據(jù)題意可知，可轉(zhuǎn)化為，所以在[0，+∞)上是增函數(shù)，又，所以為奇函數(shù)，所以在R上為增函數(shù)，因為，，所以，所以，解得，即x的取值范圍是.故選：A.【關(guān)鍵點點睛】本題的關(guān)鍵是將不等式化為，從而構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)奇偶性和單調(diào)性解抽象不等式.2．D【分析】先將函數(shù)化簡轉(zhuǎn)化，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)條件求出的值，即可求出的取值范圍.【詳解】函數(shù)，可以判斷函數(shù)在區(qū)間(－1，＋∞)上是減函數(shù)，且f（2）＝0，所以n＝2，根據(jù)題意，x∈(m，n]時，ymin＝0，∴m的取值范圍是[－1，2).故選：D.【點睛】本題考查已知給定函數(shù)在未知區(qū)間的最值，求區(qū)間內(nèi)參數(shù)范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的關(guān)鍵.3．A【分析】先判斷的單調(diào)性，然后對進(jìn)行分類討論，由此求得的取值范圍.【詳解】由于函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)．當(dāng)時，函數(shù)在定義域上不單調(diào)，不符合題意；當(dāng)時，函數(shù)圖象的對稱軸為，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合題意，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，要使函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則需，解得．故實數(shù)t的取值范圍為．故選：A4．B【解析】根據(jù)已知可得判斷“成功函數(shù)”為定義域上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，逐項判斷，即可得出結(jié)論.【詳解】由任意，都有知是奇函數(shù)，由任意且，都有，知是增函數(shù)，因為在定義域上是奇函數(shù)，但在定義域上不是單增函數(shù)，故A錯；因為是奇函數(shù)，，所以在定義域上是增函數(shù)，故B正確；因為在定義域是減函數(shù)，故C錯；因為在上單調(diào)遞減，故D錯.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，熟練掌握初等函數(shù)單調(diào)性，以及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.5．D【分析】由已知結(jié)合奇函數(shù)定義先求出當(dāng)時的函數(shù)解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)對進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可求．【詳解】因為是定義域為的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．當(dāng)時，，則，所以當(dāng)時，，此時當(dāng)時，在，上恒成立，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，解得（舍，當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞減；，，函數(shù)單調(diào)遞增，時，函數(shù)取得最小值，解得，綜上，．故選：D．6．BD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的圖象性質(zhì)以及圖象的變換，一一判斷即可.【詳解】對于選項A，因為在上單調(diào)遞減，所以上單調(diào)遞減，故A錯；對于選項B，結(jié)合的圖象性質(zhì)，易知是以為周期且在上單調(diào)遞增的偶函數(shù)，故B正確；對于選項C，結(jié)合的圖象性質(zhì)，易知沒有周期性，故C錯；對于選項D，令，易知是以為周期且在上單調(diào)遞增的偶函數(shù)，因也是單調(diào)遞增的，所以是以為周期且在上單調(diào)遞增的偶函數(shù)，故D正確.故選：BD.7．BCD【分析】根據(jù)題意，利用奇偶性，單調(diào)性，依次分析選項是否正確，即可得到答案【詳解】對于A：，定義域為，，則為奇函數(shù)，故A錯誤；對于B：，定義域為，，則為奇函數(shù)，故B正確；對于C：，，都為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，在區(qū)間上的最大值與最小值互為相反數(shù)，必有在區(qū)間上的最大值與最小值之和為0，故C正確；對于D：，則在上為減函數(shù)，，則在上為減函數(shù)，則在上為減函數(shù)，若即，則必有，解得，即的解集為，故D正確；故選：BCD8．BD【分析】由奇偶函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系確定兩函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合，逐項判斷即可.【詳解】因為是定義在R上的偶函數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，且兩函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，，所以，，，所以BD正確，C錯誤；若，則，A錯誤.故選：BD9．AC【分析】求出函數(shù)式確定單調(diào)性判斷A；舉特例說明判斷B，D；變形函數(shù)式，分析計算判斷C作答.【詳解】對于A，，，有，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，A正確；對于B，，則，B不正確；對于C，，當(dāng)時，，，有，當(dāng)時，，，有，的值域為，C正確；對于D，當(dāng)時，，有，D不正確.故選：AC10．1【分析】分，討論，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值即得.【詳解】由題意得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，∴的最小值為，，所以不成立；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最小值為，符合題意.故.故答案為：1.11．1【分析】依據(jù)題意列出關(guān)于a的方程即可求得正實數(shù)a的值.【詳解】令，則，則令當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則，即的最大值為則，解之得.當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）則，即的最大值為則，解之得（舍）綜上，所求正實數(shù)故答案為：112．【分析】利用基本不等式的最小值，由此可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】，，則，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以，因此實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13．【分析】利用不等式的基本性質(zhì)分離參數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求相應(yīng)最值即可得到結(jié)論.【詳解】由可得，，因為，所以，根據(jù)題意，即可，設(shè)，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以，故答案為：14．②③【分析】利用函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，零點和基本不等式等性質(zhì)對①②③④逐一分析即可得到結(jié)論.【詳解】對①：當(dāng)時，函數(shù)，此時為偶函數(shù)，故①錯誤.對②：當(dāng)時，令，函數(shù)在其定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)在其定義域上也為單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在其定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)，函數(shù)在其定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，函數(shù)在其定義域上也為單調(diào)遞減函數(shù)，故函數(shù)在其定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)；綜上：如果，那么為單調(diào)函數(shù)；故②正確.對③：當(dāng)時，函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)；綜上：如果，那么函數(shù)沒有零點；故③正確.對④：由，則，當(dāng)時，函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)；故時，函數(shù)沒有最小值；故④錯誤.故答案為：②③【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和最值的應(yīng)用，考查基本不等式，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.【三層練能力】參考答案1．B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性，分，，討論即可.【詳解】由題意得，即，則，則，令，根據(jù)減函數(shù)加減函數(shù)為減函數(shù)的結(jié)論知：在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，可得，，兩邊同取以5為底的對數(shù)得，對通過移項得，兩邊同取以3為底的對數(shù)得，所以，所以，所以，且，故此時，，故C,D選項錯誤，時，，，且，故A錯誤,下面嚴(yán)格證明當(dāng)時，，，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時，有，，，下面證明：，要證：，即證：，等價于證明，即證：，此式開頭已證明，對，左邊同除分子分母同除，右邊分子分母同除得，則故當(dāng)時，，則當(dāng)時，可得，，兩邊同取以5為底的對數(shù)得，對通過移項得，兩邊同取以3為底的對數(shù)得，所以，所以，所以，且，故，故此時，，下面嚴(yán)格證明當(dāng)時，，當(dāng)時，根據(jù)函數(shù)，且其在上單調(diào)遞減，可知，則，則，根據(jù)函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時，，下面證明：，要證：即證：，等價于證，即證：，此式已證明，對，左邊同除分子分母同除，右邊分子分母同除得，則，故時，，則當(dāng)時，，則，，綜上，，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性及，從而得到之間的大小關(guān)系，同時需要先求出的范圍，然后再對進(jìn)行分類討論.2．D【分析】由，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，可得在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得，，從而即可得答案.【詳解】解：因為，所以；令，，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，所以，所以；同理，所以，即，也即，所以，所以.綜上，，故選：D.3．D【分析