2025高考總復(fù)習(xí)專項復(fù)習(xí)-概率專題十一（含解析）

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學(xué)--概率專題十一知識點一由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量,由頻率分布直方圖估計平均數(shù),指定區(qū)間的概率典例1、為了提高生產(chǎn)效率，某企業(yè)引進一條新的生產(chǎn)線，現(xiàn)要定期對產(chǎn)品進行檢測.每次抽取100件產(chǎn)品作為樣本，檢測新產(chǎn)品中的某項質(zhì)量指標數(shù)，根據(jù)測量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖.（1）指標數(shù)不在和之間的產(chǎn)品為次等品，試估計產(chǎn)品為次等品的概率；（2）技術(shù)評估可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標數(shù)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表），計算值，并計算產(chǎn)品指標數(shù)落在內(nèi)的概率.參考數(shù)據(jù)：，則，.

隨堂練習(xí)：2021年是“十四五”規(guī)劃開局之年，也是建黨100周年．為了傳承紅色基因，某學(xué)校開展了“學(xué)黨史，擔(dān)使命”的知識競賽．現(xiàn)從參賽的所有學(xué)生中，隨機抽取100人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖．（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計該校此次競賽成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表）；（2）在該樣本中，若采用分層抽樣的方法，從成績高于75分的學(xué)生中隨機抽取7人查看他們的答題情況，再從這7人中隨機抽取3人進行調(diào)查分析，求這3人中至少有1人成績在內(nèi)的概率；（3）假設(shè)競賽成績服從正態(tài)分布，已知樣本數(shù)據(jù)的方差為121，用平均分作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值，求該校本次競賽的及格率（60分及以上為及格）．參考數(shù)據(jù)：，，．典例2、2022年北京冬季奧運會將在北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行，北京市延慶區(qū)張山營鎮(zhèn)的2022北京冬奧森林公園于2020年4月22日正式啟動了冬奧賽區(qū)的樹木移植工作．本次移植的樹木來自2022北京冬奧賽區(qū)樹木假植區(qū)，包含暴馬丁香、核桃楸、大葉白蠟等多個品種．現(xiàn)從冬奧賽區(qū)樹木假植區(qū)中抽取300棵暴馬丁香，并對樹木高度（單位：）進行測量，將測量結(jié)果繪制為如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計抽取的300棵暴馬丁香樹木高度的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)可用該區(qū)間的中點值為代表）；（2）北京冬奧賽區(qū)樹木假植區(qū)內(nèi)的暴馬丁香的高度（）服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)．記為假植區(qū)內(nèi)10000棵暴馬丁香中高度位于區(qū)間的數(shù)量，求；（3）在樹木移植完成后，采取施用生根粉、加掛營養(yǎng)液等方式確保了移植樹木的成活率，經(jīng)驗收，單棵移植成活率達到了90%．假設(shè)各棵樹木成活與否相互不影響，求移植五棵暴馬丁香成活四棵及以上的概率．（保留三位小數(shù)）附：若，則，．

隨堂練習(xí)：某科技公司新研制生產(chǎn)一種特殊疫苗，為確保疫苗質(zhì)量，定期進行質(zhì)量檢驗．某次檢驗中，從產(chǎn)品中隨機抽取100件作為樣本，測量產(chǎn)品質(zhì)量體系中某項指標值，根據(jù)測量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖：（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）技術(shù)分析人員認為，本次測量的該產(chǎn)品的質(zhì)量指標值X服從正態(tài)分布，若同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，計算，并計算測量數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率；（3）設(shè)生產(chǎn)成本為y元，質(zhì)量指標值為x，生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標值之間滿足函數(shù)關(guān)系假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，試計算生產(chǎn)疫苗的平均成本．參考數(shù)據(jù)：，則，．

20-5（提升）為落實體育總局和教育部發(fā)布的《關(guān)于深化體教融合，促進青少年健康發(fā)展的意見》，某校組織學(xué)生加強100米短跑訓(xùn)練．在某次短跑測試中，抽取100名男生作為樣本，統(tǒng)計他們的成績（單位：秒），整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（每組區(qū)間包含左端點，不包含右端點）．1、若規(guī)定男生短跑成績小于13.5秒為優(yōu)秀，求樣本中男生短跑成績優(yōu)秀的概率．2、估計樣本中男生短跑成績的平均數(shù)．（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）3、根據(jù)統(tǒng)計分析，該校男生的短跑成績X服從正態(tài)分布，以（2）中所求的樣本平均數(shù)作為的估計值．若從該校男生中隨機抽取10人，記其中短跑成績在以外的人數(shù)為Y，求．附：若，則．．

隨堂練習(xí)：《中國制造2025》是經(jīng)國務(wù)院總理李克強簽批，由國務(wù)院于2015年5月印發(fā)的部署全面推進實施制造強國的戰(zhàn)略文件，是中國實施制造強國戰(zhàn)略第一個十年的行動綱領(lǐng).制造業(yè)是國民經(jīng)濟的主體，是立國之本、興國之器、強國之基.發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，堅持把質(zhì)量作為建設(shè)制造強國的生命線某制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結(jié)果，發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)標準的質(zhì)量差都服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品，質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品現(xiàn)分別從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取1000件，測得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)（2）根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值，求該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率.（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）[參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則：，，].（3）假如企業(yè)包裝時要求把3件優(yōu)等品球和6件一等品裝在同一個箱子中，質(zhì)檢員每次從箱子中摸出三件產(chǎn)品進行檢驗，記摸出三件產(chǎn)品中優(yōu)等品球的件數(shù)為，求的分布列以及期望值.

知識點二求回歸直線方程,卡方的計算,獨立性檢驗解決實際問題典例4、近年來，隨著網(wǎng)絡(luò)時代的發(fā)展，線上銷售成為了一種熱門的發(fā)展趨勢.為了了解產(chǎn)品A的線上銷售對象對該產(chǎn)品的滿意程度，研究人員隨機抽取了部分客戶作出調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如下表：表示滿意表示不滿意男性6045女性3045（1）判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為客戶的滿意程度與性別有關(guān)？（2）根據(jù)以往數(shù)據(jù)，產(chǎn)品A的部分銷售年份和線上銷售總額之間呈現(xiàn)線性相關(guān)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示，其中，，求關(guān)于的回歸直線方程.附：，，，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

隨堂練習(xí)：時值金秋十月，正是秋高氣爽，陽光明媚的美好時刻．復(fù)興中學(xué)一年一度的校運會正在密鑼緊鼓地籌備中，同學(xué)們也在熱切地期盼著，都想為校運會出一份力．小智同學(xué)則通過對學(xué)校有關(guān)部門的走訪，隨機地統(tǒng)計了過去許多年中的五個年份的校運會“參與”數(shù)及相關(guān)數(shù)據(jù)，并進行分析，希望能為運動會組織者科學(xué)地安排提供參考．附：①過去許多年來學(xué)校的學(xué)生數(shù)基本上穩(wěn)定在3500人左右；②“參與”人數(shù)是指運動員和志愿者，其余同學(xué)均為“啦啦隊員”，不計入其中；③用數(shù)字表示小智同學(xué)統(tǒng)計的五個年份的年份數(shù)，今年的年份數(shù)是6；統(tǒng)計表（一）年份數(shù)12345“參與”人數(shù)（千人）2.52.8統(tǒng)計表（二）高一（3）（4）班參加羽毛球比賽的情況：男生女生小計參加（人數(shù)）2650不參加（人數(shù)）20小計441001、請你與小智同學(xué)一起根據(jù)統(tǒng)計表（一）所給的數(shù)據(jù)，求出“參與”人數(shù)關(guān)于年份數(shù)的線性回歸方程，并預(yù)估今年的校運會的“參與”人數(shù)；2、根據(jù)統(tǒng)計表（二），請問：你能否有超過的把握認為“羽毛球運動”與“性別”有關(guān)？參考公式和數(shù)據(jù)一：，，，參考公式二：，其中．參考數(shù)據(jù)：典例5、某食品店為了了解氣溫對銷售量的影響，隨機記錄了該店1月份其中5天食品的日銷售量（單位：千克）與該地當日最低氣溫（單位：）的數(shù)據(jù)，如下表：2589111210887（1）求關(guān)于的線性回歸方程；查看當天天氣預(yù)報知道，第二天氣溫可能降至左右，為第二天準備食品多少千克比較恰當？（精確到個位數(shù)）（2）填寫下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為氣溫是否超過對銷售量是否低于9千克具有影響？銷量低于銷量不低于合計氣溫高于氣溫不高于合計附：參考公式與數(shù)據(jù)：①回歸方程中，，.②.50.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

隨堂練習(xí)：為推動實施健康中國戰(zhàn)略，樹立大衛(wèi)生、大健康理念，某單位組織職工參加“萬步有約”健走激勵大賽活動，且每月評比一次，對該月內(nèi)每日運動都達到一萬步及以上的職工授予該月“健走先鋒”稱號，其余參與的職工均獲得“健走之星”稱號，下表是該單位職工2021年1月至5月獲得“健走先鋒”稱號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：月份12345“健走先鋒”職工數(shù)1201051009580（1）請利用所給數(shù)據(jù)求“健走先鋒”職工數(shù)y與月份x之間的回歸直線方程，并預(yù)測該單位10月份的“健走先鋒”職工人數(shù)；（2）為進一步了解該單位職工的運動情況，現(xiàn)從該單位參加活動的職工中隨機抽查70人，調(diào)查獲得“健走先鋒”稱號與性別的關(guān)系，統(tǒng)計結(jié)果如下：健走先鋒健走之星男員工2416女員工1614能否據(jù)此判斷有90%的把握認為獲得“健走先鋒”稱號與性別有關(guān)？參考公式：，．（其中）50.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635典例6、棉花是我國主要經(jīng)濟作物?紡織工業(yè)原料?重要戰(zhàn)略物資.量化我國棉花生產(chǎn)碳足跡，解析其時空變化規(guī)律，闡明其主要構(gòu)成因素與影響要素，對于“碳達峰，碳中和”愿景下我國棉花綠色可持續(xù)生產(chǎn)具有重要意義.某地因地制宜發(fā)展特色棉花種植，隨著人們種植意識的提升和科技人員的大力指導(dǎo)，越來越多的農(nóng)田開始種植棉花，近4年該地區(qū)棉花種植面積如下表：（單位：百畝）年度2018201920202021年度代碼x1234種植面積y306347390420（1）請利用所給數(shù)據(jù)求棉花種植面積y與年度代碼x之間的回歸直線方程，并估計該地區(qū)2022年棉花的種植面積；（2）針對近幾年來棉花出現(xiàn)的生理性蕾鈴脫落，及棉花枯?黃萎病等問題，某科研小組隨機抽查了100畝棉花，對是否按時足量施用硼肥和棉花產(chǎn)量進行統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：畝產(chǎn)畝產(chǎn)未按時足量施用硼肥2010按時足量施用硼肥5812問：是否有90%的把握認為棉花產(chǎn)量與是否按時足量施用硼肥有關(guān)？參考公試：線性回歸方程：，其中，，其中.臨界值表：50.012.0722.7063.8416.635

隨堂練習(xí)：某校高一（1）班總共50人，現(xiàn)隨機抽取7位學(xué)生作為一個樣本，得到該7位學(xué)生在期中考試前一周參與政治學(xué)科這一科目的時間（單位：h）及他們的政治原始成績（單位：分）如下表：復(fù)習(xí)時間235681216考試分數(shù)60697881859092甲同學(xué)通過畫出散點圖，發(fā)現(xiàn)考試分數(shù)與復(fù)習(xí)時間大致分布在一條直線附近，似乎可以用一元線性回歸方程模型建立經(jīng)驗回歸方程，但是當他以經(jīng)驗回歸直線為參照，發(fā)現(xiàn)這個經(jīng)驗回歸方程不足之處，這些散點并不是隨機分布在經(jīng)驗回歸直線的周圍，成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)特征，根據(jù)散點圖可以發(fā)現(xiàn)更趨向于落在中間上凸且遞增的某條曲線附近，甲同學(xué)回顧已有函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有類似特征中，因此，甲同學(xué)作變換，得到新的數(shù)據(jù)，重新畫出散點圖，發(fā)現(xiàn)與之間有很強的線性相關(guān)，并根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立與之間的線性經(jīng)驗回歸方程.考前一周復(fù)習(xí)投入時間（單位：h）政治成績合計優(yōu)秀不優(yōu)秀≥6h<6h合計50（1）預(yù)測當時該班學(xué)生政治學(xué)科成績（精確到小數(shù)點后1位）；（2）經(jīng)統(tǒng)計，該班共有25人政治成績不低于85分，評定為優(yōu)秀，而且在考前一周投入政治學(xué)可復(fù)習(xí)時間不低于6h共有30人，除去抽走的7位學(xué)生，剩下學(xué)生中考前一周復(fù)習(xí)政治的時間不少于6h政治不優(yōu)秀共有6人，請?zhí)顚懴旅娴牧新?lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為政治成績與考前一周復(fù)習(xí)時間有關(guān).附：，，，，，，.0.010.0050.0016.6357.87910.828人教A版數(shù)學(xué)--概率專題十一答案典例1、答案：（1）（2），0.9544解：（1）由，解得，樣本中指標數(shù)不在和之間的頻率為，所以產(chǎn)品為次等品的概率估計值為.（2）依題意.所以，所以.隨堂練習(xí)：答案：（1）；平均分為71分；（2）；（3）．解：（1）由頻率分布直方圖可得，，解得．這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：．所以估計該校此次競賽成績的平均分為71分；（2）自頻率分布直方圖可知，成績在，內(nèi)的頻率分別為0.25，0.1．所以采用分層抽樣的方法從樣本中抽取的7人，成績在內(nèi)的有5人，成績在內(nèi)的有2人．記事件這3人至少有1人成績在內(nèi)則；（3）由題意知，樣本方差，故，所以競賽成績該校競賽的及格率．典例2、答案：（1）；（2）；（3）．解:（1）抽取樹木高度為的頻率為，所以樣本均值：．（2）由第一問估計，，一棵樹的高度位于區(qū)間的概率為0.1359，依題意知，所以．（3）記移植五棵樹中成活了棵．．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）；；（3）元．解：（1）由解得．（2）依題意，故所以故測量數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率約為（3）根據(jù)題意得故生產(chǎn)該疫苗的平均成本為．典例3、答案：（1）（2）（3）解：（1）由頻率分布直方圖可得，解得，所以樣本中男生短跑成績優(yōu)秀的概率為．（2）估計樣本中男生短跑成績的平均數(shù)為：．（3）由（2）知，所以，所以該校男生短跑成績在以外的概率為：根據(jù)題意，所以．隨堂練習(xí)：答案：（1）70（2）0.8186（3）分布列見解析解：（1）由頻率分布直方圖可知，.（2）由題意可知，樣本方差，故，所以，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率：.（3）X所有可能值為0，1，2，3.，，，.所以的分布列為數(shù)學(xué)期望.典例4、答案：（1）能；（2）.解：（1）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表如下表：表示滿意表示不滿意總計男性6045105女性304575總計9090180則，故能夠在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為客戶的滿意程度與性別有關(guān).（2）由題意得，，，則，，∴關(guān)于的回歸直線方程為.隨堂練習(xí)：答案：（1）；2.9千人.（2）沒有超過的把握認為“羽毛球運動”與“性別”有關(guān).解：（1）由題意得，，所以，∴∴線性回歸方程為，∴預(yù)計今年的“參與“人數(shù)為：（千人）．由題意可確定列聯(lián)表如下：男生女生小計參加（人數(shù)）262450不參加（人數(shù)）302050小計5644100（2）則，所以沒有超過的把握認為“羽毛球運動”與“性別”有關(guān).典例5、答案：（1），；（2）表格見解析，有．解:（1），，，，，，所以，所求回歸方程是，將代入回歸方程得千克，所以依據(jù)第二天氣溫可能降至天氣預(yù)報，為第二天準備該商品左右較合適；（2）根據(jù)已知條件構(gòu)造分類變量列聯(lián)表：銷量低于銷量不低于合計氣溫高于303氣溫不高于022合計325計算隨機變量的觀測值：，