2025高考總復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)-概率專(zhuān)題十一（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）人教A版數(shù)學(xué)--概率專(zhuān)題十一知識(shí)點(diǎn)一由頻率分布直方圖計(jì)算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量,由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù),指定區(qū)間的概率典例1、為了提高生產(chǎn)效率，某企業(yè)引進(jìn)一條新的生產(chǎn)線，現(xiàn)要定期對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè).每次抽取100件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)新產(chǎn)品中的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)數(shù)，根據(jù)測(cè)量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖.（1）指標(biāo)數(shù)不在和之間的產(chǎn)品為次等品，試估計(jì)產(chǎn)品為次等品的概率；（2）技術(shù)評(píng)估可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)數(shù)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），計(jì)算值，并計(jì)算產(chǎn)品指標(biāo)數(shù)落在內(nèi)的概率.參考數(shù)據(jù)：，則，.

隨堂練習(xí)：2021年是“十四五”規(guī)劃開(kāi)局之年，也是建黨100周年．為了傳承紅色基因，某學(xué)校開(kāi)展了“學(xué)黨史，擔(dān)使命”的知識(shí)競(jìng)賽．現(xiàn)從參賽的所有學(xué)生中，隨機(jī)抽取100人的成績(jī)作為樣本，得到成績(jī)的頻率分布直方圖，如圖．（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)該校此次競(jìng)賽成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）；（2）在該樣本中，若采用分層抽樣的方法，從成績(jī)高于75分的學(xué)生中隨機(jī)抽取7人查看他們的答題情況，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查分析，求這3人中至少有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率；（3）假設(shè)競(jìng)賽成績(jī)服從正態(tài)分布，已知樣本數(shù)據(jù)的方差為121，用平均分作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，求該校本次競(jìng)賽的及格率（60分及以上為及格）．參考數(shù)據(jù)：，，．典例2、2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)將在北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行，北京市延慶區(qū)張山營(yíng)鎮(zhèn)的2022北京冬奧森林公園于2020年4月22日正式啟動(dòng)了冬奧賽區(qū)的樹(shù)木移植工作．本次移植的樹(shù)木來(lái)自2022北京冬奧賽區(qū)樹(shù)木假植區(qū)，包含暴馬丁香、核桃楸、大葉白蠟等多個(gè)品種．現(xiàn)從冬奧賽區(qū)樹(shù)木假植區(qū)中抽取300棵暴馬丁香，并對(duì)樹(shù)木高度（單位：）進(jìn)行測(cè)量，將測(cè)量結(jié)果繪制為如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計(jì)抽取的300棵暴馬丁香樹(shù)木高度的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)可用該區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）北京冬奧賽區(qū)樹(shù)木假植區(qū)內(nèi)的暴馬丁香的高度（）服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)．記為假植區(qū)內(nèi)10000棵暴馬丁香中高度位于區(qū)間的數(shù)量，求；（3）在樹(shù)木移植完成后，采取施用生根粉、加掛營(yíng)養(yǎng)液等方式確保了移植樹(shù)木的成活率，經(jīng)驗(yàn)收，單棵移植成活率達(dá)到了90%．假設(shè)各棵樹(shù)木成活與否相互不影響，求移植五棵暴馬丁香成活四棵及以上的概率．（保留三位小數(shù)）附：若，則，．

隨堂練習(xí)：某科技公司新研制生產(chǎn)一種特殊疫苗，為確保疫苗質(zhì)量，定期進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)．某次檢驗(yàn)中，從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件作為樣本，測(cè)量產(chǎn)品質(zhì)量體系中某項(xiàng)指標(biāo)值，根據(jù)測(cè)量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖：（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）技術(shù)分析人員認(rèn)為，本次測(cè)量的該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布，若同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，計(jì)算，并計(jì)算測(cè)量數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率；（3）設(shè)生產(chǎn)成本為y元，質(zhì)量指標(biāo)值為x，生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標(biāo)值之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，試計(jì)算生產(chǎn)疫苗的平均成本．參考數(shù)據(jù)：，則，．

20-5（提升）為落實(shí)體育總局和教育部發(fā)布的《關(guān)于深化體教融合，促進(jìn)青少年健康發(fā)展的意見(jiàn)》，某校組織學(xué)生加強(qiáng)100米短跑訓(xùn)練．在某次短跑測(cè)試中，抽取100名男生作為樣本，統(tǒng)計(jì)他們的成績(jī)（單位：秒），整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（每組區(qū)間包含左端點(diǎn)，不包含右端點(diǎn)）．1、若規(guī)定男生短跑成績(jī)小于13.5秒為優(yōu)秀，求樣本中男生短跑成績(jī)優(yōu)秀的概率．2、估計(jì)樣本中男生短跑成績(jī)的平均數(shù)．（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）3、根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，該校男生的短跑成績(jī)X服從正態(tài)分布，以（2）中所求的樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值．若從該校男生中隨機(jī)抽取10人，記其中短跑成績(jī)?cè)谝酝獾娜藬?shù)為Y，求．附：若，則．．

隨堂練習(xí)：《中國(guó)制造2025》是經(jīng)國(guó)務(wù)院總理李克強(qiáng)簽批，由國(guó)務(wù)院于2015年5月印發(fā)的部署全面推進(jìn)實(shí)施制造強(qiáng)國(guó)的戰(zhàn)略文件，是中國(guó)實(shí)施制造強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略第一個(gè)十年的行動(dòng)綱領(lǐng).制造業(yè)是國(guó)民經(jīng)濟(jì)的主體，是立國(guó)之本、興國(guó)之器、強(qiáng)國(guó)之基.發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，堅(jiān)持把質(zhì)量作為建設(shè)制造強(qiáng)國(guó)的生命線某制造企業(yè)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量差都服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品，質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱(chēng)為正品現(xiàn)分別從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件，測(cè)得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)（2）根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測(cè)數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，求該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率.（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）[參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則：，，].（3）假如企業(yè)包裝時(shí)要求把3件優(yōu)等品球和6件一等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員每次從箱子中摸出三件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，記摸出三件產(chǎn)品中優(yōu)等品球的件數(shù)為，求的分布列以及期望值.

知識(shí)點(diǎn)二求回歸直線方程,卡方的計(jì)算,獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題典例4、近年來(lái)，隨著網(wǎng)絡(luò)時(shí)代的發(fā)展，線上銷(xiāo)售成為了一種熱門(mén)的發(fā)展趨勢(shì).為了了解產(chǎn)品A的線上銷(xiāo)售對(duì)象對(duì)該產(chǎn)品的滿(mǎn)意程度，研究人員隨機(jī)抽取了部分客戶(hù)作出調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如下表：表示滿(mǎn)意表示不滿(mǎn)意男性6045女性3045（1）判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為客戶(hù)的滿(mǎn)意程度與性別有關(guān)？（2）根據(jù)以往數(shù)據(jù)，產(chǎn)品A的部分銷(xiāo)售年份和線上銷(xiāo)售總額之間呈現(xiàn)線性相關(guān)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示，其中，，求關(guān)于的回歸直線方程.附：，，，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

隨堂練習(xí)：時(shí)值金秋十月，正是秋高氣爽，陽(yáng)光明媚的美好時(shí)刻．復(fù)興中學(xué)一年一度的校運(yùn)會(huì)正在密鑼緊鼓地籌備中，同學(xué)們也在熱切地期盼著，都想為校運(yùn)會(huì)出一份力．小智同學(xué)則通過(guò)對(duì)學(xué)校有關(guān)部門(mén)的走訪，隨機(jī)地統(tǒng)計(jì)了過(guò)去許多年中的五個(gè)年份的校運(yùn)會(huì)“參與”數(shù)及相關(guān)數(shù)據(jù)，并進(jìn)行分析，希望能為運(yùn)動(dòng)會(huì)組織者科學(xué)地安排提供參考．附：①過(guò)去許多年來(lái)學(xué)校的學(xué)生數(shù)基本上穩(wěn)定在3500人左右；②“參與”人數(shù)是指運(yùn)動(dòng)員和志愿者，其余同學(xué)均為“啦啦隊(duì)員”，不計(jì)入其中；③用數(shù)字表示小智同學(xué)統(tǒng)計(jì)的五個(gè)年份的年份數(shù)，今年的年份數(shù)是6；統(tǒng)計(jì)表（一）年份數(shù)12345“參與”人數(shù)（千人）2.52.8統(tǒng)計(jì)表（二）高一（3）（4）班參加羽毛球比賽的情況：男生女生小計(jì)參加（人數(shù)）2650不參加（人數(shù)）20小計(jì)441001、請(qǐng)你與小智同學(xué)一起根據(jù)統(tǒng)計(jì)表（一）所給的數(shù)據(jù)，求出“參與”人數(shù)關(guān)于年份數(shù)的線性回歸方程，并預(yù)估今年的校運(yùn)會(huì)的“參與”人數(shù)；2、根據(jù)統(tǒng)計(jì)表（二），請(qǐng)問(wèn)：你能否有超過(guò)的把握認(rèn)為“羽毛球運(yùn)動(dòng)”與“性別”有關(guān)？參考公式和數(shù)據(jù)一：，，，參考公式二：，其中．參考數(shù)據(jù)：典例5、某食品店為了了解氣溫對(duì)銷(xiāo)售量的影響，隨機(jī)記錄了該店1月份其中5天食品的日銷(xiāo)售量（單位：千克）與該地當(dāng)日最低氣溫（單位：）的數(shù)據(jù)，如下表：2589111210887（1）求關(guān)于的線性回歸方程；查看當(dāng)天天氣預(yù)報(bào)知道，第二天氣溫可能降至左右，為第二天準(zhǔn)備食品多少千克比較恰當(dāng)？（精確到個(gè)位數(shù)）（2）填寫(xiě)下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為氣溫是否超過(guò)對(duì)銷(xiāo)售量是否低于9千克具有影響？銷(xiāo)量低于銷(xiāo)量不低于合計(jì)氣溫高于氣溫不高于合計(jì)附：參考公式與數(shù)據(jù)：①回歸方程中，，.②.50.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

隨堂練習(xí)：為推動(dòng)實(shí)施健康中國(guó)戰(zhàn)略，樹(shù)立大衛(wèi)生、大健康理念，某單位組織職工參加“萬(wàn)步有約”健走激勵(lì)大賽活動(dòng)，且每月評(píng)比一次，對(duì)該月內(nèi)每日運(yùn)動(dòng)都達(dá)到一萬(wàn)步及以上的職工授予該月“健走先鋒”稱(chēng)號(hào)，其余參與的職工均獲得“健走之星”稱(chēng)號(hào)，下表是該單位職工2021年1月至5月獲得“健走先鋒”稱(chēng)號(hào)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：月份12345“健走先鋒”職工數(shù)1201051009580（1）請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求“健走先鋒”職工數(shù)y與月份x之間的回歸直線方程，并預(yù)測(cè)該單位10月份的“健走先鋒”職工人數(shù)；（2）為進(jìn)一步了解該單位職工的運(yùn)動(dòng)情況，現(xiàn)從該單位參加活動(dòng)的職工中隨機(jī)抽查70人，調(diào)查獲得“健走先鋒”稱(chēng)號(hào)與性別的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：健走先鋒健走之星男員工2416女員工1614能否據(jù)此判斷有90%的把握認(rèn)為獲得“健走先鋒”稱(chēng)號(hào)與性別有關(guān)？參考公式：，．（其中）50.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635典例6、棉花是我國(guó)主要經(jīng)濟(jì)作物?紡織工業(yè)原料?重要戰(zhàn)略物資.量化我國(guó)棉花生產(chǎn)碳足跡，解析其時(shí)空變化規(guī)律，闡明其主要構(gòu)成因素與影響要素，對(duì)于“碳達(dá)峰，碳中和”愿景下我國(guó)棉花綠色可持續(xù)生產(chǎn)具有重要意義.某地因地制宜發(fā)展特色棉花種植，隨著人們種植意識(shí)的提升和科技人員的大力指導(dǎo)，越來(lái)越多的農(nóng)田開(kāi)始種植棉花，近4年該地區(qū)棉花種植面積如下表：（單位：百畝）年度2018201920202021年度代碼x1234種植面積y306347390420（1）請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求棉花種植面積y與年度代碼x之間的回歸直線方程，并估計(jì)該地區(qū)2022年棉花的種植面積；（2）針對(duì)近幾年來(lái)棉花出現(xiàn)的生理性蕾鈴脫落，及棉花枯?黃萎病等問(wèn)題，某科研小組隨機(jī)抽查了100畝棉花，對(duì)是否按時(shí)足量施用硼肥和棉花產(chǎn)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：畝產(chǎn)畝產(chǎn)未按時(shí)足量施用硼肥2010按時(shí)足量施用硼肥5812問(wèn)：是否有90%的把握認(rèn)為棉花產(chǎn)量與是否按時(shí)足量施用硼肥有關(guān)？參考公試：線性回歸方程：，其中，，其中.臨界值表：50.012.0722.7063.8416.635

隨堂練習(xí)：某校高一（1）班總共50人，現(xiàn)隨機(jī)抽取7位學(xué)生作為一個(gè)樣本，得到該7位學(xué)生在期中考試前一周參與政治學(xué)科這一科目的時(shí)間（單位：h）及他們的政治原始成績(jī)（單位：分）如下表：復(fù)習(xí)時(shí)間235681216考試分?jǐn)?shù)60697881859092甲同學(xué)通過(guò)畫(huà)出散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)考試分?jǐn)?shù)與復(fù)習(xí)時(shí)間大致分布在一條直線附近，似乎可以用一元線性回歸方程模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程，但是當(dāng)他以經(jīng)驗(yàn)回歸直線為參照，發(fā)現(xiàn)這個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程不足之處，這些散點(diǎn)并不是隨機(jī)分布在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的周?chē)?，成?duì)樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)特征，根據(jù)散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)更趨向于落在中間上凸且遞增的某條曲線附近，甲同學(xué)回顧已有函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有類(lèi)似特征中，因此，甲同學(xué)作變換，得到新的數(shù)據(jù)，重新畫(huà)出散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)與之間有很強(qiáng)的線性相關(guān)，并根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立與之間的線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程.考前一周復(fù)習(xí)投入時(shí)間（單位：h）政治成績(jī)合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀≥6h<6h合計(jì)50（1）預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)該班學(xué)生政治學(xué)科成績(jī)（精確到小數(shù)點(diǎn)后1位）；（2）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，該班共有25人政治成績(jī)不低于85分，評(píng)定為優(yōu)秀，而且在考前一周投入政治學(xué)可復(fù)習(xí)時(shí)間不低于6h共有30人，除去抽走的7位學(xué)生，剩下學(xué)生中考前一周復(fù)習(xí)政治的時(shí)間不少于6h政治不優(yōu)秀共有6人，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下面的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為政治成績(jī)與考前一周復(fù)習(xí)時(shí)間有關(guān).附：，，，，，，.0.010.0050.0016.6357.87910.828人教A版數(shù)學(xué)--概率專(zhuān)題十一答案典例1、答案：（1）（2），0.9544解：（1）由，解得，樣本中指標(biāo)數(shù)不在和之間的頻率為，所以產(chǎn)品為次等品的概率估計(jì)值為.（2）依題意.所以，所以.隨堂練習(xí)：答案：（1）；平均分為71分；（2）；（3）．解：（1）由頻率分布直方圖可得，，解得．這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：．所以估計(jì)該校此次競(jìng)賽成績(jī)的平均分為71分；（2）自頻率分布直方圖可知，成績(jī)?cè)?，?nèi)的頻率分別為0.25，0.1．所以采用分層抽樣的方法從樣本中抽取的7人，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有5人，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有2人．記事件這3人至少有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)則；（3）由題意知，樣本方差，故，所以競(jìng)賽成績(jī)?cè)撔８?jìng)賽的及格率．典例2、答案：（1）；（2）；（3）．解:（1）抽取樹(shù)木高度為的頻率為，所以樣本均值：．（2）由第一問(wèn)估計(jì)，，一棵樹(shù)的高度位于區(qū)間的概率為0.1359，依題意知，所以．（3）記移植五棵樹(shù)中成活了棵．．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）；；（3）元．解：（1）由解得．（2）依題意，故所以故測(cè)量數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率約為（3）根據(jù)題意得故生產(chǎn)該疫苗的平均成本為．典例3、答案：（1）（2）（3）解：（1）由頻率分布直方圖可得，解得，所以樣本中男生短跑成績(jī)優(yōu)秀的概率為．（2）估計(jì)樣本中男生短跑成績(jī)的平均數(shù)為：．（3）由（2）知，所以，所以該校男生短跑成績(jī)?cè)谝酝獾母怕蕿椋焊鶕?jù)題意，所以．隨堂練習(xí)：答案：（1）70（2）0.8186（3）分布列見(jiàn)解析解：（1）由頻率分布直方圖可知，.（2）由題意可知，樣本方差，故，所以，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率：.（3）X所有可能值為0，1，2，3.，，，.所以的分布列為數(shù)學(xué)期望.典例4、答案：（1）能；（2）.解：（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表如下表：表示滿(mǎn)意表示不滿(mǎn)意總計(jì)男性6045105女性304575總計(jì)9090180則，故能夠在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為客戶(hù)的滿(mǎn)意程度與性別有關(guān).（2）由題意得，，，則，，∴關(guān)于的回歸直線方程為.隨堂練習(xí)：答案：（1）；2.9千人.（2）沒(méi)有超過(guò)的把握認(rèn)為“羽毛球運(yùn)動(dòng)”與“性別”有關(guān).解：（1）由題意得，，所以，∴∴線性回歸方程為，∴預(yù)計(jì)今年的“參與“人數(shù)為：（千人）．由題意可確定列聯(lián)表如下：男生女生小計(jì)參加（人數(shù)）262450不參加（人數(shù)）302050小計(jì)5644100（2）則，所以沒(méi)有超過(guò)的把握認(rèn)為“羽毛球運(yùn)動(dòng)”與“性別”有關(guān).典例5、答案：（1），；（2）表格見(jiàn)解析，有．解:（1），，，，，，所以，所求回歸方程是，將代入回歸方程得千克，所以依據(jù)第二天氣溫可能降至天氣預(yù)報(bào)，為第二天準(zhǔn)備該商品左右較合適；（2）根據(jù)已知條件構(gòu)造分類(lèi)變量列聯(lián)表：銷(xiāo)量低于銷(xiāo)量不低于合計(jì)氣溫高于303氣溫不高于022合計(jì)325計(jì)算隨機(jī)變量的觀測(cè)值：，