2025高考總復(fù)習(xí)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題二（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）2024年高考導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題二知識(shí)點(diǎn)一由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）,函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)典例1、已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．隨堂練習(xí)：已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在區(qū)間的最值；（2）若恰有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

典例2、已知函數(shù)在處取得極值.（1）求在上的最小值；（2）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍.隨堂練習(xí)：已知.（1）若在有唯一零點(diǎn)，求值；（2）求在的最小值.

典例3、已知函數(shù)，且，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值；（2）若函數(shù)沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．隨堂練習(xí)：已知函數(shù).（1）當(dāng)，求的最值；（2）若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求的取值范圍.

知識(shí)點(diǎn)二求過一點(diǎn)的切線方程,用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根,利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題典例4、已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，，①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②求證：．

隨堂練習(xí)：已知函數(shù)，（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為、且，求證：.典例5、已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線與曲線的公切線的方程；（2）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，求證：關(guān)于的方程有唯一解．隨堂練習(xí)：已知，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，.（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：（……為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.典例6、已知函數(shù).（1）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的范圍;（2）當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且存在極值點(diǎn)，證明:①;②.隨堂練習(xí)：函數(shù)，．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若直線是函數(shù)圖象的切線，求的最小值；（3）當(dāng)時(shí)，若與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，試比較與的大?。ㄈ?.8，取為0.7，取為1.4）2024年高考導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題二答案典例1、答案：（1）；（2）解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，令，解得或，令，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值為，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；（2）由，所以，當(dāng)時(shí)所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則只有一個(gè)零點(diǎn)，故舍去；所以，令得或，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于的圖象與軸有三個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)的極值點(diǎn)為，，當(dāng)時(shí)，令得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，解得；當(dāng)時(shí)，令得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極小值，所以的圖象與軸不可能有三個(gè)交點(diǎn)；綜上可得，即隨堂練習(xí)：答案：（1）最大值為37，最小值為；（2）.解：（1）若，則，，令，得或，列表如下：x13+0-1+單增5單減單增37在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極大值為，的極小值為，，.故最大值為37，最小值為．（2），當(dāng)時(shí)，恒成立，在R上單調(diào)遞減，此時(shí)至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，則，所以當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以極大值為，的極小值為．因?yàn)榍∮腥齻€(gè)零點(diǎn)，所以，解得，所以；綜上所述，a的取值范圍為．典例2、答案：（1）（2）解：（1）因?yàn)?，所以，在處取得極值，，即解得，，所以，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，在上的最小值為.（2）由（1）知，，若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則方程有唯一解，即有唯一解，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，函數(shù)圖象如下所示：或，得或，即b的取值范圍為.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解:（1）由得，令，，由得；所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故因?yàn)樵谟形ㄒ涣泓c(diǎn)，所以只需與直線有一個(gè)交點(diǎn)，.（2），.當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因此最小值為；當(dāng)時(shí)，由得；由得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因此；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減；因此，最小值為；綜上，.典例3、答案：（1）單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，最小值是，無最大值（2）解：（1）當(dāng)時(shí)，，，令，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增∴單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是∴最小值是，無最大值．（2）由題可知，，其中，當(dāng)時(shí)，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增．令，即，，如圖因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，可知，，必有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)時(shí)，令，則，時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，即，有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意當(dāng)時(shí)，即，沒有零點(diǎn)，符合題意當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)?，∴，，有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)．隨堂練習(xí)：答案：（1）最小值為，無最大值；（2）.解:（1）當(dāng)時(shí)，，，，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，無最大值.（2）.有兩個(gè)極值點(diǎn)有兩個(gè)不等實(shí)根有兩個(gè)不等的實(shí)根.記，則.所以，.則在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，，且當(dāng)時(shí)，，如圖所示：∴即.綜上，的取值范圍是．典例4、答案：（1）1、單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（2）①；②證明見解析解：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得．當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域，由，得，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）由，得，①函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，等價(jià)于方程有兩個(gè)不同的實(shí)根．設(shè)，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)根．設(shè)，，再設(shè)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，注意到，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以在（0，1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，只需，即所求．②注意到，，要證，只需證．由①知，，故有，即．下面證明：．設(shè)，有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，故有．又，，且在上單調(diào)遞減，所以，即得．因此隨堂練習(xí)：答案：（1）答案見解析（2）證明見解析解：（1）由可得，令，其中，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于直線與函數(shù)圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，，令可得，列表如下：減極小值增如下圖所示：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（2）證明：，其中，所以，，由已知可得，上述兩個(gè)等式作差得，要證，即證，因?yàn)?，設(shè)函數(shù)的圖象交軸的正半軸于點(diǎn)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，，，，設(shè)函數(shù)的圖象在處的切線交直線于點(diǎn)，函數(shù)的圖象在處的切線交直線于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，函?shù)的圖象在處的切線方程為，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，對(duì)任意的，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由圖可知，則，所以，，因?yàn)?，可得，函?shù)在處的切線方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，因?yàn)?，所以，，?gòu)造函數(shù)，其中，則，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，所以，對(duì)任意的，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，可得，因此，，故原不等式成立.典例5、答案：（1）（2）見解析解:（1）曲線在切點(diǎn)處的切線方程為：，即，曲線在切點(diǎn)處的切線方程為，即，由曲線與曲線存在公切線，得，得，即．令，則，，解得，∴在上單調(diào)遞增，，解得，∴在上單調(diào)遞減，又，∴，則，故公切線方程為．（2）要證明關(guān)于的方程有唯一解，只要證明，先證明：．∵有兩個(gè)極值點(diǎn)，∴有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，∴單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，則，∴在上單調(diào)遞增，，則，∴在上單調(diào)遞減，又時(shí)，，時(shí)，，∴，得，∴．易知，由，得，，∴．下面再證明：．，令，則只需證，令，則，∴，得．∴有唯一解．隨堂練習(xí)：答案：（1）1、遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值（2）（i）；（ii）證明見解析解：（1）當(dāng)時(shí)，()，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值；（2）(i)因?yàn)?)，令()，問題可轉(zhuǎn)化函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，又，令，故函數(shù)在上遞減，在上遞增，故，故，即，當(dāng)時(shí)，在時(shí)，函數(shù)，不符題意，當(dāng)時(shí)，則，，，即當(dāng)時(shí)，存在，，使得在上遞增，在上遞減，在上遞增，故有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)的a的取值范圍為；（ii）因?yàn)椋?，且，令，則，，又，令，即只要證明，即，令，則，故在上遞增，且，所以，即，從而，又因?yàn)槎魏瘮?shù)的判別式，即，即，所以在上恒成立，故.典例6、答案：（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.解：（1）因?yàn)椋顒t所以在遞減，遞增又有兩個(gè)零點(diǎn)，所以令，則在上單調(diào)遞增又，所以時(shí)故（2）（i）而（ii）由上知而有：即又即又即隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）；（3）.解：（1）：，