2025高考總復(fù)習(xí)專項復(fù)習(xí)-圓錐曲線的方程專題十

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學(xué)--高考解析幾何復(fù)習(xí)專題十知識點(diǎn)一根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓中三角形（四邊形）的面積,求橢圓中的最值問題典例1、已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，C上任意一點(diǎn)M到F的距離最大值和最小值之積為3，離心率為.（1）求C的方程；（2）若過點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)落在直線上，求n的值及面積的最大值.隨堂練習(xí)：已知橢圓的離心率為，為其左焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試求面積的最大值以及此時直線的方程.典例2、已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）若的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）過點(diǎn)作斜率的直線交橢圓于不同兩點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，在橢圓上存在點(diǎn)，使，記四邊形的面積為，求的最大值.

隨堂練習(xí)：已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線：與橢圓C有兩個不同的交點(diǎn)A，B，原點(diǎn)到直線的距離為2，求的面積的最大值.典例3、已知點(diǎn)與，動點(diǎn)滿足直線，的斜率之積為，則點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點(diǎn)在直線上，直線，分別與曲線交于點(diǎn)，，求與面積之比的最大值.

隨堂練習(xí)：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，鈍角三角形的面積為，斜率為的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)直線經(jīng)過，A兩點(diǎn)時，點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)直線的縱截距不為零時，試問是否存在實(shí)數(shù)k，使得為定值?若存在，求出此時面積的最大值；若不存在，請說明理由.知識點(diǎn)二雙曲線定義的理解,根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,等軸雙曲線,雙曲線中的定值問題典例4、已知雙曲線的方程為.（1）直線與雙曲線的一支有兩個不同的交點(diǎn)，求的取值范圍；（2）過雙曲線上一點(diǎn)的直線分別交兩條漸近線于兩點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)，求證：為常數(shù).

隨堂練習(xí)：已知雙曲線：與雙曲線有相同的焦點(diǎn)；且的一條漸近線與直線平行.（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線右支相切（切點(diǎn)不為右頂點(diǎn)），且分別交雙曲線的兩條漸近線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷的面積是否為定值，若是，請求出；若不是，請說明理由.典例5、以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心作圓，與的一條漸近線切于點(diǎn)．（1）求雙曲線的離心率及方程；（2）點(diǎn)分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)作一條斜率為的直線，與雙曲線交于點(diǎn)，記直線的斜率分別為，．求的值．

隨堂練習(xí)：已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)，，三個點(diǎn)中有且僅有兩點(diǎn)在雙曲線上．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線交雙曲線于軸右側(cè)兩個不同點(diǎn)的，連接分別交直線于點(diǎn)．若直線與直線的斜率互為相反數(shù)，證明：為定值．典例6、在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到直線的距離的倍，記動點(diǎn)M的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）已知直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，曲線C上恰有兩點(diǎn)P，Q滿足，問是否為定值?若為定值，請求出該值；若不為定值，請說明理由.

隨堂練習(xí)：已知雙曲線的離心率為，左?右頂點(diǎn)分別為M，N，點(diǎn)滿足（1）求雙曲線C的方程；（2）過點(diǎn)P的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，直線OP與直線AN交于點(diǎn)D.設(shè)直線MB，MD的斜率分別為，求證：為定值.人教A版數(shù)學(xué)--高考解析幾何復(fù)習(xí)專題十答案典例1、答案：（1）；（2），面積的最大值為.解：（1）由題意可得，，，.又因為，，，由已知可得，即，又橢圓C的離心率，所以，則，解得，所以，所以橢圓C的方程為.（2）設(shè)，，又，因為，所以，所以，化簡整理得①.設(shè)直線，聯(lián)立直線與橢圓方程化簡整理可得，，可得②，由韋達(dá)定理，可得，③，將，代入①，可得④，再將③代入④，可得，解得，所以直線l的方程為，且由②可得，，即，由點(diǎn)到直線l的距離，，.令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，等號成立，所以面積S最大值為.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）最大值為，此時直線的方程.解：（1）依題意，橢圓的半焦距，而離心率，則，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)其方程為：，設(shè)，由消去x得：，則，，因此的面積，令，有，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)，即時，取得最小值4，取得最大值，此時直線，所以面積的最大值為，此時直線的方程.典例2、答案：（1）（2）解：（1），∴，，，又，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2），∴，橢圓，令，直線l的方程為：，聯(lián)立方程組：，消去y得，由韋達(dá)定理得，，有，因為：，所以，，將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入橢圓方程化簡得：，而此時：.，而，O點(diǎn)到直線l的距離，所以：，因為點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，所以，得，又，所以，當(dāng)，即時等號成立.所以的最大值是.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）4解：（1）由題意可得：，又離心率為，所以，可得，那么，代入可得：，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知，原點(diǎn)到直線的距離為2，那么，即：，設(shè)，，聯(lián)立可得：，其判別式，可知由韋達(dá)定理可得：，，那么，所以的面積當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，所以△的面積的最大值.典例3、答案：（1）（2）解：（1），，化簡得，（2）當(dāng)位于軸上時，此時直線，的斜率均不存在，不合題意，舍去故曲線的方程為；設(shè)，則直線的方程為，聯(lián)立得：，，直線的方程為，聯(lián)立，得，.故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.最大值為.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）存在，1解：（1）設(shè)，，則.當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)，A時，由的面積為，到的距離為，得①，同時得，即②.聯(lián)立①②，結(jié)合，解得，，或，，.因為為鈍角三角形，所以，所以，，.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消元得.當(dāng)，即時滿足題意.設(shè)，，則，.，若為定值，則上式與無關(guān)，故，得，此時.又點(diǎn)到直線的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.經(jīng)檢驗，此時成立，所以面積的最大值為1.典例4、答案：（1）；（2），證明見解析.解：（1）直線與雙曲線即聯(lián)立得即由題意得有兩個同號根，則滿足即，即解得：雙曲線的方程為，所以雙曲線的漸近線為則，所以的中點(diǎn)又因為點(diǎn)在雙曲線上，即即，即.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）是，2解：（1）設(shè)雙曲線的焦距為，由題意可得：，則，則雙曲線的方程為.（2）由于直線與雙曲線右支相切（切點(diǎn)不為右頂點(diǎn)），則直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則，消得：，則，可得：①設(shè)與軸交點(diǎn)為，則，∵雙曲線兩條漸近線方程為：，聯(lián)立，解得，即，同理可得：，則（定值）.典例5答案：（1）離心率為，方程為；（2）．解：（1）雙曲線的漸近線為，所以圓與切于點(diǎn)，．①設(shè)，則，即，②又，③由①②③解得，，，所以雙曲線的離心率為，方程為．（2）因為，，，設(shè)的方程為，，，由，消去整理得，所以且解得，所以，，，，．故的值為．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）證明見解析.解：（1）由題意知：不可能同時在雙曲線上；若在雙曲線上，則雙曲線焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)為，，解得：，雙曲線方程為；若在雙曲線上，則雙曲線焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)為，，方程組無解；綜上所述：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意知：直線，即直線斜率存在，可設(shè)，，，由得：，且，即且；，，直線與直線的斜率互為相反數(shù)，，即，化簡得：，整理可得：，即；當(dāng)時，，則，恒過點(diǎn)，與已知矛盾，舍去；當(dāng)，即時，直線直線，即，，，即；要證為定值，即證為定值，即證為定值，，，即為定值.典例6、答案：（1）（2）是定值，解:（1）設(shè)，由題意得，化簡得（2）存在.設(shè)，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，有由韋達(dá)定理，有，法一：注意到上式當(dāng)時，上式恒成立，即過定點(diǎn)和經(jīng)檢驗兩點(diǎn)恰在雙曲線C上，且不與A，B重合，故為定值，該定值為法二：聯(lián)立直線與雙曲線方程，有……（1）（1）式兩邊平方，有，即……（2）注意到，是此方程的兩個增根，故含有因式，記為代入（2），有即即即解得，代回（1）有或經(jīng)檢驗直線不過這兩點(diǎn)，故上述兩點(diǎn)為P