2025年高考數(shù)學一輪專題復習-空間向量和立體幾何專題八（含解析）

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）空間向量和立體幾何高考復習專題八知識點一證明線面垂直,求線面角,面面垂直證線面垂直,線面角的向量求法典例1、已知，如圖四棱錐中，底面ABCD為菱形，，，平面ABCD，E，M分別是BC，PD中點，點F是棱PC上的動點．（1）證明：平面PAD；（2）請確定F點的位置，使得直線AF與平面PCD所成的角取最大值．隨堂練習：已知正方體和平面，直線平面，直線平面.（1）證明：平面平面；（2）點為線段上的動點，求直線與平面所成角的最大值.典例2、如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，，是底面的內(nèi)接正三角形，且，是線段上一點．（1）若平面，求；（2）當為何值時，直線與平面所成角的正弦值最大？

隨堂練習：如圖，在三棱柱中，底面，D為的中點，點P為棱上的動點（不包括端點），，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值.典例3、在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，為棱上的點，且．（1）求證：平面；（2）若二面角的平面角的正切值為，求的長；（3）在（2）的條件下，若為線段上一點，求與面所成角為，求的最大值．

隨堂練習：如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，，，.（1）證明：平面；（2）若，當四棱錐的體積最大時，求直線與平面所成角的正弦值.知識點一錐體體積的有關計算,證明面面垂直典例4、邊長為1的正方形中，點M，N分別是DC，BC的中點，現(xiàn)將，分別沿AN，AM折起，使得B，D兩點重合于點P，連接PC，得到四棱錐.（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的體積.

隨堂練習：如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，．（1）證明：平面PCD⊥平面PBC；（2）若，求三棱錐的體積．典例5、如圖，在三棱柱中，，，，點D，E，F(xiàn)分別為線段BC，，的中點，且.（1）證明：平面平面ABC；（2）若，求三棱錐的體積.

隨堂練習：如圖，三棱柱中，側面為矩形，是邊長為2的菱形，，．（1）證明：平面平面；（2）若，求三棱柱的體積．典例6、如圖，已知在四棱錐中，，，，，E，F(xiàn)分別為棱PB，PA的中點．（1）求證：平面平面EFDC；（2）若直線PC與平面PAD所成的角為45°，求四棱錐的體積．

隨堂練習：如圖，四棱錐中，側面為等邊三角形且垂直于底面，，，是的中點.（1）求證：平面平面；（2）點在棱上，滿足且三棱錐的體積為，求的值.空間向量和立體幾何高考復習專題八答案典例1、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）證明：在正方形中有，，，，又因為，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）連接MN,由題意可得，，，由，所以為直角三角形，即，，設點到平面的距離為，由得，，即，得，即四棱錐的體積為隨堂練習：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）連接，因為，所以,又因為，，所以，即,又因為底面ABCD，底面ABCD，所以BC，又因為平面PCD，，所以平面PCD,又因為平面PBC，所以平面PCD⊥平面PBC.（2）在直角三角形中，在直角三角形中，所以，所以，所以.典例2、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）如圖，取AC的中點O，連接OD，，因為，，所以為等邊三角形，所以.又因為，點O，D分別為線段AC，BC的中點，所以，所以，因為，，平面，所以平面，∵平面，則，又因為，平面ABC，所以平面ABC，又因為平面，所以平面平面ABC.（2）如圖，過B作于點G，由（1）得平面平面ABC，且平面平面，平面，所以平面，在直角ABC中，，，，所以，由，又因為點D為線段BC的中點，所以點D到平面的距離h為點B到平面的距離BG的一半，即.因為點E，F(xiàn)分別為線段，的中點，所以，又因為，所以的面積為，，所以三棱錐的體積為.隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）.解：（1）因為側面是矩形，則，又因為，，，即有，則，又，平面，因此平面，而平面，所以平面平面．（2）由（1）知，平面，而平面，則，因為，于是得，而是邊長為2的菱形，因此是正三角形，，所以三棱柱的體積.典例3、答案：（1）見解析；（2）解：（1）因為在平面中，，故，因為，故，而，，平面，故平面.因為平面，故，因為，，故，因為，平面，故平面.因為分別為棱的中點，故，而，故，故四點共面，而平面，故平面平面.（2）取的中點為，連接，由（1）可得，，故，而平面，故平面，故為直線與平面所成的角，故，因為平面，平面，故，故為等腰直角三角形，而，故，故，故直角梯形的面積.又平面，故平面平面，而為等邊三角形，故，且.因為平面，平面平面，故平面，故四棱錐的體積為.隨堂練習：答案：（1）證明見解析.（2）.解：（1）由題意底面，,，則底面為直角梯形，連接，則,故四邊形為矩形，則，所以四邊形為正方形，所以，因為側面為等邊三角形，O是的中點，所以，平面，因為平面平面，平面平面，所以平面，因為平面，所以，因為平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）因為底面中，,，側面為等邊三角形，O是的中點，所以,,,，因為平面，平面，所以，所以，因為，所以,所以,設點到平面的距離分別為，因為，所以,即，故，因為三棱錐的體積為，所以所以，解得，所以，即因為，所以.典例4、答案：（1）證明見解析（2）F為PC的中點解：（1）連接AC，∵底面ABCD為菱形，，∴△ABC為正三角形，∵E是BC的中點，∴，又，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵，PA、平面PAD，∴平面PAD，（2）由（1）知，AE、AD、AP兩兩垂直，故以AE、AD、AP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，∴，，．設，．設平面PCD的法向量為，則令，則，，∴．設直線AF與平面PCD所成的角為，則當時，最大，此時F為PC的中點．隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）最大值為.解:（1）證明：連接，則，因為平面，平面，所以；又因為，所以平面；因為平面，所以；同理；因為，所以平面；因為平面，過直線作平面與平面相交于直線，則；所以平面；又平面，所以平面平面；（2）設正方體的棱長為，以為坐標原點，，，分別為，，軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，，所以，.設平面的法向量為，則，即，取，則；設，則，因為，所以；設直線與平面所成的角為，則，所以當時，取到最大值為，此時的最大值為.典例5、答案：（1）（2）當時，直線與平面所成角的正弦值最大.解：（1），所以，解得，由于三角形是等邊三角形，圓是其外接圓，是圓的直徑，所以垂直平分，，在三角形中，由正弦定理得，則，由于平面，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以,所以.（2）由（1）得，設，，結合圓錐的幾何性質(zhì)，建立如圖所示空間直角坐標系，，設，則，設平面的法向量為，則，故可設，設直線與平面所成角為，則，由于，當且僅當時等號成立，所以，即當時，直線與平面所成角的正弦值最大.隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）.解:（1）因為，，所以.因為底面，平面，所以.又因為，所以.因為，，，，平面，所以平面.（2）如圖，取的中點E，連接.由，可得平面，又由，可得，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系.由，，可得，所以，，，，.設點P的坐標為，平面的法向量為.由，，有，取，則，，可得平面的法向量.又由，設直線與平面所成的角為.由，，，有.令，，有，故當時，，的最大值為，故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.典例6、答案：（1）證明見解析（2）（3）解：（1）因為平面，面，所以，，因為，所以兩兩垂直，如圖以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，設，則，，，，，所以，，，因為，，所以，，即，，因為，所以平面（2）由（1）知：平面，取平面的法向量，因為，，設平面的一個法向量為，由，取，則，，所以，設二面角的平面角為，且為銳角，則，所以所以，整理可得：，解得：，所以的長為.（3）由（2）知的長為，即，因為為線段上一點，所以，設，所以，平面的一個法向量，則，當時，最小為，所以最大值為，綜上所述：的最大值為.隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）.解:（1）取，中點，，連接，，.由，得，，又，所以平面.由，知四邊形是平行四邊形，則，平面，平面，所以平面，同理平面，且，所以平面平面，所以平面.（2）由，知四邊形是以