2025年高考數(shù)學一輪專題復(fù)習-數(shù)列專題二（含解析）

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學--數(shù)列專題二知識點一等差數(shù)列通項公式的基本量計算,等比數(shù)列通項公式的基本量計算,錯位相減法求和,分組（并項）法求和典例1、已知等差數(shù)列各項均不為零，為其前項和，點在函數(shù)的圖像上.（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項和；（3）若數(shù)列滿足，求的前項和的最大值、最小值.隨堂練習：已知數(shù)列{}的前n項和滿足：．（1）求數(shù)列{}的前3項；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的前n項和．典例2、已知數(shù)列中，．（1）證明：數(shù)列和數(shù)列都為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）求數(shù)列的前n項和．

隨堂練習：在數(shù)列中，，（1）設(shè)，求證：；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）求數(shù)列的前項和.典例3、已知等差數(shù)列的公差，它的前項和為，若=70，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）中的第2項，第4項，第8項，…，第項，按原來的順序排成一個新數(shù)列，求的前n項和.（3）已知數(shù)列，，若數(shù)列的前項和為，求證：.

隨堂練習：已知數(shù)列的前項和，其中．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項和；（3）若存在，使得成立，求實數(shù)的最小值．知識點二等差數(shù)列通項公式的基本量計算,裂項相消法求和,累乘法求數(shù)列通項典例4、已知數(shù)列的前項和為，且滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）-若數(shù)列的前項和為，求證：

隨堂練習：已知為等差數(shù)列，.（1）求的通項公式；（2）若為的前項和，求.典例5、已知數(shù)列的前項和為，，且．數(shù)列為等比數(shù)列，．（1）求和的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求的最小值．

隨堂練習：已知正項數(shù)列滿足，且，設(shè).（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列并求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求數(shù)列的前項和.典例6、已知數(shù)列的前項和滿足，，．（1）求的通項公式；（2）數(shù)列，，滿足，，且，求數(shù)列的前項和．

隨堂練習：已知數(shù)列，前n項和為，對任意的正整數(shù)n，都有恒成立．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知關(guān)于n的不等式…對一切恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）已知，數(shù)列的前n項和為，試比較與的大小并證明．人教A版數(shù)學--數(shù)列專題二答案典例1、答案：（）（2）（3）最大值為，最小值為解：（1）因為點在函數(shù)的圖像上，所以，又數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即所以，；（2）解法1：，==，解法2：，①，②①-②得，；（3）記的前n項和為，則=，當n為奇數(shù)時隨著n的增大而減小，可得，當n為偶數(shù)時隨著n的增大而增大，可得，所以的最大值為，最小值為.隨堂練習：答案：（1）；（2）證明見解析；（3）.解：（1）當時，有：；當時，有：；當時，有：；綜上可知；（2）由已知得：時，，化簡得：上式可化為：故數(shù)列{}是以為首項，公比為2的等比數(shù)列.（3）由（2）知，∴，∴當n為偶數(shù)時，=令，①②則①②得，∴，=，所以.當n為奇數(shù)時，，，所以.綜上，.典例2、答案：（1）證明見解析.（2）（3）.解：（1）由得，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.由得，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）得，則，所以，也符合上式，所以.（3），令，，兩式相減得，所以.所以.隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）；（3）.解：（1）由條件可知：，，，，；（2）由第（1）問可知，，當時，，當時，，當時，，當時，，以上各式相加，得，，，，即；（3）由第（1）、（2）問知，，，則，設(shè)數(shù)列的通項公式，前項和為，，兩式相減，得，，數(shù)列的前項和.典例3、答案：（）1（）（2）（3）證明見解析.解：（1）解：因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，．依題意，有，即解得，．所以數(shù)列的通項公式為（）．（2）由題意：，∴（3）證明：由（1）可得．所以，．因為，所以．因為，所以數(shù)列是遞增數(shù)列．所以．所以．隨堂練習：答案：（1）（2）（3）解：（1）當時，，當時，，兩式相減并化簡得（），當時，上式也符合，所以.（2）數(shù)列滿足，，則，，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，設(shè)數(shù)列滿足，且前項和為，,,兩式相減得，所以.設(shè)數(shù)列滿足，則的前項和，所以.（3）依題意，存在，使得成立，，則只需求的最小值.，當或時，取得最小值為.所以的最小值為.典例4、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）由已知，時，，與已知條件作差得：所以，所以,n=1成立（2）證明：因為，所.得證.隨堂練習：答案：（1）；（2）.解：（1）∵.∴，∴，∴；當時，滿足上式，所以；（2）由（1）可得，∴.典例5、答案：（1）；，；（2）.解:（1）即有，上式對也成立，則；為公比設(shè)為的等比數(shù)列，，．可得，，則，即，，；（2），前項和為，，即，可得遞增，則的最小值為．隨堂練習：答案：（1）（2）解：（1）因為，所以，因為，所以，所以，且，所以數(shù)列是以為公比，為首項的等比數(shù)列，即，即，可得，，所以時，，即，而此時時，，所以；（2）由（1），所以，所以所以.典例6、答案：（1）；（2）解：（1）由題意知，，兩式相減得，，故，，兩式相減得，即，可知數(shù)列為等差數(shù)列，又，則，解得，又因為，所以，等差數(shù)列的公差，故．（2）由題易知，又因為，所以，由累乘法可得：，，，，所以，，因為，所以，，當時，也符合，所以，，則，．隨堂練習：答案：（1）；（2）；（3），證明見解析．解:（1）由題意，因為2Sn=（n+1）an，當n≥2時，2Sn-1=nan-1，兩式相減2an=（n+1）an-nan-1，可得（n-1）an=nan-1（n≥