2025年高考數(shù)學(xué)一輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)-數(shù)列專(zhuān)題五（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列專(zhuān)題五知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算,等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算,等比中項(xiàng)的應(yīng)用,數(shù)列不等式能成立（有解）問(wèn)題典例1、已知數(shù)列中，，且滿足．（1）求的值；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．隨堂練習(xí)：已知等差數(shù)列中，公差，，是與的等比中項(xiàng)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.典例2、已知數(shù)列、滿足，，，﹒（1）求證：為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）若，記前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的正自然數(shù)n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍．

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列滿足，（為非零常數(shù)），且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，且；（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）若對(duì)任意正整數(shù)i，，都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.典例3、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足：，，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列滿足：，，，且；等比數(shù)列滿足：，，，且．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列新定義典例4、從一個(gè)無(wú)窮數(shù)列中抽出無(wú)窮多項(xiàng)，依原來(lái)的順序組成一個(gè)新的無(wú)窮數(shù)列，若新數(shù)列是遞增數(shù)列，則稱(chēng)之為的一個(gè)無(wú)窮遞增子列．已知數(shù)列是正實(shí)數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，且滿足．（1）若，，寫(xiě)出數(shù)列前項(xiàng)的所有可能情況；（2）求證：數(shù)列存在無(wú)窮遞增子列；（3）求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都存在，使得．

隨堂練習(xí)：給定正整數(shù)m，數(shù)列，且.對(duì)數(shù)列A進(jìn)行T操作，得到數(shù)列.（1）若，，，，求數(shù)列；（2）若m為偶數(shù)，，且，求數(shù)列各項(xiàng)和的最大值；（3）若m為奇數(shù)，探索“數(shù)列為常數(shù)列”的充要條件，并給出證明.典例5、已知數(shù)列為無(wú)窮遞增數(shù)列，且．定義：數(shù)列：表示滿足的所有i中最大的一個(gè)．?dāng)?shù)列：表示滿足的所有i中最小的一個(gè)（，2，3…）（1）若數(shù)列是斐波那契數(shù)列，即，，（，2，3，…），請(qǐng)直接寫(xiě)出，的值；（2）若數(shù)列是公比為整數(shù)的等比數(shù)列，且滿足且，求公比q，并求出此時(shí)，的值；（3）若數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，求所有可能的d，使得，都是等差數(shù)列．

隨堂練習(xí)：對(duì)于數(shù)列，，…，，定義變換，將數(shù)列變換成數(shù)列，，…，，，記，，．對(duì)于數(shù)列，，…，與，，…，，定義．若數(shù)列，，…，滿足，則稱(chēng)數(shù)列為數(shù)列．（1）若，寫(xiě)出，并求；（2）對(duì)于任意給定的正整數(shù)，是否存在數(shù)列，使得若存在，寫(xiě)出一個(gè)數(shù)列，若不存在，說(shuō)明理由：（3）若數(shù)列滿足，求數(shù)列A的個(gè)數(shù)．典例6、已知數(shù)列為有限數(shù)列，滿足，則稱(chēng)滿足性質(zhì).（1）判斷數(shù)列和是否具有性質(zhì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若，公比為的等比數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為12，具有性質(zhì)，求的取值范圍；（3）若是的一個(gè)排列符合都具有性質(zhì)，求所有滿足條件的數(shù)列.

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列，給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于任意的，存在，當(dāng)時(shí)，都有成立；②對(duì)于任意的，存在，當(dāng)時(shí)，都有成立．（1）已知數(shù)列滿足性質(zhì)①，且，，試寫(xiě)出的值；（2）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，證明：數(shù)列滿足性質(zhì)①；（3）若數(shù)列滿足性質(zhì)①②，且當(dāng)時(shí)，同時(shí)滿足性質(zhì)①②的存在且唯一.證明：數(shù)列是等差數(shù)列．人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列專(zhuān)題五答案典例1、答案：（1）（2）證明見(jiàn)解析；（3）解：（1）由題意得：（2）為常數(shù)數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列（3）令，當(dāng)時(shí)，，遞增當(dāng)時(shí)，，遞減當(dāng)或n=3時(shí)，有最大值隨堂練習(xí)：答案：（1），（2）解：（1）∵則，解得或（舍去）∴.又∵，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，即，則數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，∴.（2），，兩式相減得：∴∵對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，任意的'恒成立∴對(duì)任意的恒成立②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，對(duì)任意的恒成立∴對(duì)任意的恒成立令，對(duì)任意的恒成立∴為遞增數(shù)列①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，則，即②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，則∴.典例2、答案：（1）證明見(jiàn)解析；.（2）.解：（1）∵，，兩邊同除以得：，從而，，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，，∴；（2）由，，∴，∴，∴，∴，，兩式相減得，，∴＝，中每一項(xiàng)，為遞增數(shù)列，∴，∵，∴，，.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）（i）；（ii）解：（1）由可得即，因此是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）（i）因?yàn)樗杂煽傻靡虼思矗╥i）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，得；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，得；因?yàn)?，所以，因此的最大值為，最小值為，因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)i，，都成立，所以，即解得.典例3、答案：（1），；（2）.詳解:（1）當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，由得：，即，∴數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，∵，∴.由條件得，，∴，即數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，∴.（2），設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，∴，∴，，∴，由得，累加得，即，∴，∴，令，則，∴，∴，∴.隨堂練習(xí)：答案：（1）（），（），（2）解：（1）由兩邊同除得：，兩邊同除得：，則，所以，（）所以，又符合，故（），（2）由得：，解得：，所以（）.∵，∴①∴②由①-②得：，∴.則，由得：，因?yàn)樗援?dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.故所以，即，故的取值范圍是.典例4、答案：（1）、、、或、、、或、、、（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析解：（1）由已知，即，可得或.當(dāng)時(shí)，由，即，因?yàn)?，可得；?dāng)時(shí)，由，即，因?yàn)?，可得?因此，若，，寫(xiě)出數(shù)列前項(xiàng)的所有可能情況為：、、、或、、、或、、、.（2）證明：對(duì)于數(shù)列中的任意一項(xiàng)，由已知得，或，即或．若，則由可得；若，則，此時(shí)，即．設(shè)集合，、，且，，，，，，，則數(shù)列是數(shù)列一個(gè)無(wú)窮遞增子列．（3）證明：考察數(shù)列和．①當(dāng)或時(shí)，顯然成立；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，由（2）可知．如果，那么，或，于是總有，此時(shí)；如果，那么，或，于是總有，此時(shí)．綜上，當(dāng)且時(shí)總有．所以，所以，，，，疊加得，．令，解得，即存在，（其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)），使得．又因?yàn)槭堑淖恿?，令，則．由①②可知，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都存在，使得．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）（3），證明見(jiàn)解析解：（1）由題意時(shí)，，，，由，知，所以，，，，故.（2）記數(shù)列的所有項(xiàng)和為S，因?yàn)椋?，所以，則，故.當(dāng)，或，時(shí)取到等號(hào)，所以當(dāng)，或，時(shí)，S取到最大值，為.“數(shù)列為常數(shù)列”的充要條件是（）證明如下：先證充分性：當(dāng)（）時(shí)，，所以為常數(shù)列；再證必要性：當(dāng)為常數(shù)列時(shí)，記，設(shè)中有x個(gè)，則必有個(gè)，將數(shù)列的所有項(xiàng)相加得：，由，且m為奇數(shù)，所以，所以，由得：，所以，所以.典例5、答案：（1）,（2）,,（3）解：（1）數(shù)列是斐波那契數(shù)列,則的項(xiàng)分別是當(dāng)時(shí),則;當(dāng)時(shí),則,當(dāng)時(shí),則;當(dāng)時(shí),則以此類(lèi)推,可知當(dāng)時(shí),表示滿足的所有i中最大的一個(gè),所以,表示滿足的所有i中最小的一個(gè),所以（2）因?yàn)閿?shù)列是公比為整數(shù)的等比數(shù)列,故公比當(dāng)時(shí),的項(xiàng)為,表示滿足的所有i中最大的一個(gè),所以,同理;表示滿足的所有i中最小的一個(gè),所以,同理,符合題意.當(dāng)時(shí),的項(xiàng)為,表示滿足的所有i中最大的一個(gè)，不符合,當(dāng)時(shí),的項(xiàng)增長(zhǎng)的更快速,此時(shí),故不符合題意.綜上,,,（3）由數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列,且單調(diào)遞增,所以,又因?yàn)?設(shè)數(shù)列,的公差分別為,則則,當(dāng)時(shí),滿足由于是任意正整數(shù),故可知同理可知當(dāng)時(shí),滿足由于是任意正整數(shù),故可知,綜上可知,又因?yàn)?所以可以是任意一個(gè)正整數(shù).故隨堂練習(xí)：答案：（）1；；（2）不存在適合題意的數(shù)列；（3）.解：（1）由，可得，，∴；（2）∵，由數(shù)列A為數(shù)列，所以，對(duì)于數(shù)列，，…，中相鄰的兩項(xiàng)，令，若，則，若，則，記中有個(gè)，有個(gè)，則，因?yàn)榕c的奇偶性相同，而與的奇偶性不同，故不存在適合題意的數(shù)列；（3）首先證明，對(duì)于數(shù)列，，…，，有，，…，，，，，…，，，，，…，，，，，…，，，，，…，，，∵，，∴，故，其次，由數(shù)列為數(shù)列可知，，解得，這說(shuō)明數(shù)列中任意相鄰兩項(xiàng)不同的情況有2次，若數(shù)列中的個(gè)數(shù)為個(gè)，此時(shí)數(shù)列有個(gè)，所以數(shù)列的個(gè)數(shù)為個(gè).典例6、答案：（）1滿足，不滿足（2）（3）共4個(gè)滿足，分別是：和和和解：（1）對(duì)于第一個(gè)數(shù)列有，滿足題意，該數(shù)列滿足性質(zhì)對(duì)于第二個(gè)數(shù)列有不滿足題意，該數(shù)列不滿足性質(zhì).（2）由題意可得，兩邊平方得：整理得：當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)關(guān)于恒成立，所以等價(jià)于時(shí)，所以，所以或者，所以取.當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)關(guān)于恒成立，所以等價(jià)于時(shí)，所以，所以，所以取.當(dāng)時(shí)，得.當(dāng)為奇數(shù)的時(shí)候，得，因?yàn)?，故顯然成立當(dāng)為偶數(shù)的時(shí)候，得，因?yàn)?，故顯然不成立，故當(dāng)時(shí)，矛盾，舍去.當(dāng)時(shí)，得.當(dāng)為奇數(shù)的時(shí)候，得，顯然成立，當(dāng)為偶數(shù)的時(shí)候，要使恒成立，所以等價(jià)于時(shí)，所以，所以或者，所以取.綜上可得，.（3）設(shè)，，因?yàn)?，故，所以可以取或者，若，，則，故或（舍，因?yàn)椋?，所以（舍，因?yàn)椋?若，，則，故（舍，因?yàn)椋?，或所以（舍，因?yàn)椋?所以均不能同時(shí)使，都具有性質(zhì).當(dāng)時(shí)，即有，故，故，故有數(shù)列：滿足題意.當(dāng)時(shí)，則且，故，故有數(shù)列：滿足題意.當(dāng)時(shí)，，故，故，故有數(shù)列：滿足題意.當(dāng)時(shí)，則且，故，故有數(shù)列：滿足題意.故滿足題意的數(shù)列只有上面四種.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析解：（1）因?yàn)閿?shù)列滿足性質(zhì)①，且，所以，所以，又因?yàn)椋?，?/p>