第01講 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（十二大題型）（練習(xí)）（解析版）

第01講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算目錄TOC\o"1-2"\h\z\u模擬基礎(chǔ)練 2題型一：導(dǎo)數(shù)的定義及變化率問題 2題型二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 2題型三：在點(diǎn)P處的切線 6題型四：過點(diǎn)P的切線 7題型五：公切線問題 9題型六：已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)問題 12題型七：切線的條數(shù)問題 14題型八：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題 16題型九：牛頓迭代法 19題型十：切線平行、垂直、重合問題 21題型十一：奇偶函數(shù)圖像的切線斜率問題 26題型十二：切線斜率的取值范圍問題 27重難創(chuàng)新練 29真題實(shí)戰(zhàn)練 39題型一：導(dǎo)數(shù)的定義及變化率問題1．設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若（為常數(shù)），則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C.2．對于函數(shù)，若存在，求：(1)；(2)．【解析】（1）時，（2）又題型二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算3．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)(2)(3)(4)(5)(6)【解析】（1）因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所?（3）因?yàn)?，所?（4）因?yàn)?，所?（5）因?yàn)椋?（6）因?yàn)?，所?4．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；

（2）.

（3）；（4）；

（5）y＝.

（6）；（7）；

（8）；

（9）y＝.（10）

（11）

（12）.【解析】（1）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以y′＝＝＝＝；（10）因?yàn)?，所以；?1）因?yàn)?，所以；?2）因?yàn)?，所?5．已知函數(shù)，則的值為．【答案】【解析】由題意知：，所以，所以，所以，所以.故答案為:.6．（2024·河南·一模）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則的極值點(diǎn)為（

）A．或 B． C．或 D．【答案】D【解析】對進(jìn)行求導(dǎo)，可得，將代入整理，①將代入可得，即，將其代入①，解得：，故得.于是，由可得或，因，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，即是函數(shù)的極小值點(diǎn)，函數(shù)沒有極大值.故選：D.題型三：在點(diǎn)P處的切線7．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即，故選：C．8．（2024·黑龍江·二模）函數(shù)在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，則，當(dāng)時，則，所以，所以切點(diǎn)為，切線的斜率為，所以切線方程為，即.故選：D9．（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，則，又，則所求切線方程為，即．故選：B．10．下列函數(shù)的圖象與直線相切于點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】A．，在的切線斜率為0，不符合；B．在的切線斜率為1，所以切線為，成立；C．D．兩個函數(shù)均不經(jīng)過，不符合.故選:B．題型四：過點(diǎn)P的切線11．過原點(diǎn)的直線與相切，則切點(diǎn)的坐標(biāo)是.【答案】【解析】由題意設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，故直線的斜率為，則直線l的方程為，將代入，得，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：12．已知直線為曲線過點(diǎn)的切線.則直線的方程為.【答案】或【解析】∵，∴.

設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，則直線的斜率為，∴過點(diǎn)的切線方程為，即，又點(diǎn)在切線上，∴，整理得，∴，解得或；∴所求的切線方程為或.故答案為：或.13．已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的切線，則其切線方程為.【答案】【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由，則，則，所以切線方程為，又切線過點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即.故答案為：14．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在曲線上，且該曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)（為自然對數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)的坐標(biāo)是，切線方程為【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，則.又，當(dāng)時，，曲線在點(diǎn)A處的切線方程為，即，代入點(diǎn)，得，即，記，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，當(dāng)時，單調(diào)遞增，注意到，故存在唯一的實(shí)數(shù)根，此時，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，切線方程為，故答案為：，題型五：公切線問題15．經(jīng)過曲線與的公共點(diǎn)，且與曲線和的公切線垂直的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，消去整理得，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以方程組的解為，即曲線與的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)與和分別相切于，，而，，，，，解得，，即公切線的斜率為，故與垂直的直線的斜率為，所以所求直線方程為，整理得．故選：B．16．已知直線是曲線與曲線的公切線，則（

）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】由題意知直線是曲線與曲線的公切線，設(shè)是圖象上的切點(diǎn)，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即①令，解得，即直線與曲線的切點(diǎn)為，所以，即，解得或，當(dāng)時，①為，不符合題意，舍去，所以，此時①可化為，所以，故選：A17．過原點(diǎn)的直線與曲線都相切，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，由得，設(shè)過原點(diǎn)的直線分別與曲線相切于點(diǎn)，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，且，故，所以直線的斜率為，所以，所以，所以，即，代入得.故選：D18．若曲線與曲線有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，由，得，所以公切線的斜率為，所以公切線方程為，化簡得，設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，由，得，則公切線的斜率為，所以公切線方程為，化簡得，所以，消去，得，由，得，令，則，所以在上遞減，所以，所以由題意得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A19．已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線相同，則（

）A．－1 B．－2 C．1 D．2【答案】B【解析】根據(jù)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知：，，則兩函數(shù)在點(diǎn)和處的切線分別為：，化簡得由題意可得：，化簡得.故選：B20．設(shè)曲線和曲線在它們的公共點(diǎn)處有相同的切線，則的值為（

）A．0 B． C．2 D．3【答案】C【解析】由已知得，解得，又，所以得，所以，所以.故選：C.題型六：已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)問題21．（2024·山東臨沂·二模）若直線與曲線相切，則的取值范圍為.【答案】【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點(diǎn)為，所以，則，即又因?yàn)樵谏?，所以，所以，即，所以，所以，令，，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.當(dāng)趨近正無窮時，趨近正無窮.所以的取值范圍為：.故答案為：.22．（2024·高三·云南楚雄·期末）若直線與曲線相切，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.【答案】【解析】由求導(dǎo)得，直線斜率為，代入導(dǎo)函數(shù)有：，解得.故答案為：23．（2024·湖北·二模）是在處的切線方程，則．【答案】【解析】令，，則，則方程為，將代入方程，得，解得，故答案為：24．（2024·高三·安徽亳州·期末）已知直線的斜率為2，且與曲線相切，則的方程為.【答案】【解析】設(shè)，令，得，則切點(diǎn)為，故所求的方程為.故答案為：.25．（2024·全國·模擬預(yù)測）若直線與函數(shù)的圖象相切，則的最小值為（

）A．e B． C． D．【答案】C【解析】由可得，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，即依題意，，故．設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故的極小值為，也是最小值，即的最小值為．故選：C.26．（2024·四川綿陽·一模）設(shè)函數(shù)，直線是曲線的切線，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令的切點(diǎn)為，因?yàn)椋赃^切點(diǎn)的切線方程為，即，所以，所以，令，則，所以當(dāng)時恒成立，此時單調(diào)遞減，當(dāng)時恒成立，此時單調(diào)遞增，所以，所以，故選：C題型七：切線的條數(shù)問題27．若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由題得：，故切線斜率為，切線方程為：，因切線經(jīng)過點(diǎn)，則，故有兩個不同得實(shí)數(shù)根.不妨設(shè)，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.故，則，即.故選：D.28．（2024·全國·模擬預(yù)測）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】A【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由可得，則過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線的斜率，故，即，解得，故過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線共有1條．故選：A．29．已知函數(shù)，若過可做兩條直線與函數(shù)的圖象相切，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切時的切點(diǎn)為，則，因?yàn)?，所以切線方程為，又在切線上，所以，整理得，則過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切的切線條數(shù)即為直線與曲線的圖象的公共點(diǎn)的個數(shù)，因?yàn)?，令，得，所以，?dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，因?yàn)?，?dāng)時，所以，函數(shù)的圖象大致如圖：所以當(dāng)時，圖像有兩個交點(diǎn)，切線有兩條.故選：B.30．（2024·寧夏銀川·二模）已知點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上，且過點(diǎn)僅有一條直線與的圖象相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上，則，即，設(shè)過點(diǎn)的直線與的圖象相切于，則切線的斜率，整理可得，則問題可轉(zhuǎn)化為只有一個零點(diǎn)，且，令，可得或，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，即當(dāng)時，有極大值，當(dāng)時，有極小值，要使僅有一個零點(diǎn)，或故選：B題型八：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題31．（2024·陜西西安·二模）若，，則的最小值為（

）A． B．6 C．8 D．12【答案】C【解析】由題意，設(shè)函數(shù)，直線，設(shè)直線與函數(shù)的切點(diǎn)為可得，可得，解得，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切點(diǎn)到直線的距離為，又因?yàn)楸硎军c(diǎn)到直線的距離為平方，所以的最小值為.故選：C.32．（2024·廣東·一模）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，得，代入曲線，所以的最小值即為點(diǎn)到直線的距離.故選：B.33．已知點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線上任一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)槿w正實(shí)數(shù)，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，函數(shù)圖象如下圖：過點(diǎn)的曲線的切線與直線平行時，最小，即有，所以，故選：A34．（2024·高三·四川成都·期末）已知為函數(shù)圖象上一動點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解題思路】先觀察出函數(shù)關(guān)于對稱，在根據(jù)所求的式子可以判斷時比的值要大，所以只需研究的情況即可，把所求的式子經(jīng)過換元，適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù)問題，其中一個內(nèi)層函數(shù)又是兩點(diǎn)斜率問題，借助數(shù)形結(jié)合思想和導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出最值.【解析】由函數(shù)解析式可知函數(shù)關(guān)于對稱，設(shè)，不妨設(shè)則，當(dāng)，，即當(dāng)時的值要大于時的值，所以只需研究的情況即可，

當(dāng)時，，設(shè)，則，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：時，遞增，當(dāng)，遞減.，所以的幾何意義是函數(shù)上一點(diǎn)與點(diǎn)的斜率，設(shè)過點(diǎn)的切線與函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)（即切點(diǎn)）為，，所以切線的斜率，切線方程為，把點(diǎn)代入切線方程整理得：，所以或，設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，所以，即不合題意，所以，此時切線的斜率，如圖：

根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想可知的范圍為，所以當(dāng)時，最大，此時.故選：A35．設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】和互為反函數(shù)，問題可以轉(zhuǎn)化為直線到距離的兩倍.令得故切點(diǎn)為由，所以.故選：C.題型九：牛頓迭代法36．英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)．已知二次函數(shù)有兩個不相等的實(shí)根，其中．在函數(shù)圖像上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作曲線的切線，切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；用代替，重復(fù)以上的過程得到；一直下去，得到數(shù)列，記，且，下列說法正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和【答案】D【解析】由，得，則，故A錯誤；因?yàn)槎魏瘮?shù)有兩個不等實(shí)數(shù)根，所以不妨設(shè)，因?yàn)椋?，所以在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線方程為：，令，則，因?yàn)?，所以，即，所以?shù)列是公比為2，首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，所以，且，故BC錯誤；由，所以，故D正確.故選：D37．人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題.牛頓（1643—1727）給出了牛頓法——用“作切線”的方法求方程的近似解.如圖，方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn)r，取初始值處的切線與x軸的交點(diǎn)為，在處的切線與x軸的交點(diǎn)為，一直這樣下去，得到，，，…，，它們越來越接近r.若，，則用牛頓法得到的r的近似值約為（

）A．1.438 B．1.417 C．1.415 D．1.375【答案】B【解析】由題意，得，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令，得.又，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令，解得.故選：B.38．（2024·高三·四川成都·期中）科學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時，給出了“牛頓數(shù)列”，其定義是：對于函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列，若函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列且，，則的值是（

）A．9 B． C． D．7【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，故選:C.題型十：切線平行、垂直、重合問題39．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)，且的圖象在處的切線互相垂直，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，則，構(gòu)建，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)趨近于時，趨近于，可知的值域?yàn)?，由題意可知：存在，使得，則，即，解得，所以的取值范圍是.故選：D.40．已知函數(shù)的圖象在兩個不同點(diǎn)處的切線相互平行，則的取值可以為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【解析】由，則，則，，依題意可得且、、，所以，所以，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)、分別取、時滿足題意.故選：D41．（2024·云南曲靖·一模）已知，若點(diǎn)為曲線與曲線的交點(diǎn)，且兩條曲線在點(diǎn)處的切線重合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則由可得，又可得，且兩條曲線在點(diǎn)處的切線重合，所以切線的斜率，解得或（舍去），即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由點(diǎn)為曲線與曲線的交點(diǎn)，所以，即，令，則，令可得，由知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.42．已知函數(shù)的圖象在兩個不同點(diǎn)處的切線相互平行，則的取值可以為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【解析】由，得，則，依題意可得，且，整理得，所以，所以，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)分別取2，時，滿足題意.故選：D.43．已知函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線重合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解題思路】解法一：設(shè)，，根據(jù)題意分析可知，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求在兩點(diǎn)處的切線，由題意可得，化簡可得，換元結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析求解；解法二：根據(jù)題意結(jié)合圖象分析可知，運(yùn)算求解即可.【解析】解法一：當(dāng)時，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞減；設(shè)，為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且，若曲線在兩點(diǎn)處的切線重合，則，結(jié)合的單調(diào)性可知，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為：，即；函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為：，即；兩直線重合的充要條件是，消去可得，且令，則，可得在為增函數(shù)，所以，結(jié)合選項(xiàng)可知A正確；解法二：由題意可知：在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)公切線導(dǎo)數(shù)值相等的原理，可知公切線只會出現(xiàn)在單調(diào)性一致的區(qū)間，故只能出現(xiàn)在區(qū)間，由于函數(shù)在這兩個區(qū)間屬于凹函數(shù)，故可類比兩圓相離的外公切線，且當(dāng)趨近于，趨近于0，由圖象可知：，解得，結(jié)合選項(xiàng)可知A正確；故選：A.44．（2024·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)若對任意，曲線在點(diǎn)和處的切線互相平行或重合，則實(shí)數(shù)（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由函數(shù)，可得，因?yàn)榍€在點(diǎn)和處的切線互相平行或重合，可得為偶函數(shù)，所以，解得.故選：C.題型十一：奇偶函數(shù)圖像的切線斜率問題45．已知奇函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若恒成立，則．【答案】1【解析】奇函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，變形為，令，則，又為奇函數(shù)，故，故為奇函數(shù)，故，即，所以，又，故，所以的一個周期為4，則，且，其中，故，即，由于為R上的奇函數(shù)，故，兩邊求導(dǎo)得，令得，解得，故.故答案為：146．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，若是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，奇函數(shù)滿足是偶函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為．【答案】【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即①，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即②，聯(lián)立①②，得，所以（為常數(shù)）．因?yàn)槠婧瘮?shù)滿足是偶函數(shù)，所以，，即，所以在上是減函數(shù)．又，所以，即，所以不等式的解集為．故答案為：.47．已知函數(shù)與偶函數(shù)在交點(diǎn)處的切線相同，則函數(shù)在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)，可得，所以且，因?yàn)楹瘮?shù)與偶函數(shù)在交點(diǎn)處的切線相同，所以函數(shù)與相切于，且，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，且，所以函數(shù)在處的切線方程為，即．故選：D.題型十二：切線斜率的取值范圍問題48．以正弦曲線上一點(diǎn)P為切點(diǎn)得切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是（

）A．∪ B．C． D．∪【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，∴切線的斜率范圍是，∴傾斜角的范圍是∪，故選：A.49．點(diǎn)在曲線上移動，設(shè)點(diǎn)處切線的傾斜角為，則角的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以點(diǎn)處切線的斜率的取值范圍為，即，又，所以角的范圍是.故選：C.50．點(diǎn)P在曲線上移動，設(shè)點(diǎn)P處切線的傾斜角為，則角的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，.，故選：.1．（2024·浙江紹興·二模）函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，則，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，所以，解得，故選：A．2．（2024·高三·江西贛州·期中）已知函數(shù)（）在點(diǎn)處的切線為直線，若直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【解析】易知，，且，所以直線，它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，可得，又，解得.故選：C3．（2024·河南·模擬預(yù)測）函數(shù)與直線相切于點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【解析】設(shè)函數(shù)與直線相切于點(diǎn)，直線的斜率為，，所以，所以．故選：B．4．若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線恰為直線，則（

）A．3 B． C．1 D．【答案】D【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由題意可得，圖像在點(diǎn)處的切線恰為直線，所以，，解得，，即．故選：D．5．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）過且傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn)，分別過作曲線的兩條切線，若交于，若直線的傾斜角為.則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)，，由于曲線，則，所以在A點(diǎn)的切線方程為，同理在B點(diǎn)的切線方程為，由于N點(diǎn)是兩切線的交點(diǎn)，所以，則為，且過，且，設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時“”成立，故選：C.6．（2024·江西南昌·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線在第一象限部分上一點(diǎn)，若，則拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，由，得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程，由拋物線的定義可得，得代入，得，又A是拋物線在第一象限部分上一點(diǎn)，所以由，得，所以，所以拋物線在點(diǎn)A處的切線方程斜率為，所以拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為，即，故選：A7．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若直線是曲線的一條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切點(diǎn)在直線上，也在曲線上，所以又切線斜率且，所以，代入可得，故選：.8．若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，因此切線方程為，又切線過點(diǎn)，則，，設(shè)，函數(shù)定義域是，則直線與曲線有兩個不同的交點(diǎn)，，當(dāng)時，恒成立，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以，結(jié)合圖象可知，即.故選：A.9．（多選題）（2024·湖南·二模）下列函數(shù)的圖象與直線相切的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】選項(xiàng)A中，若與相切，設(shè)切點(diǎn)為，易知，則，解得，即切點(diǎn)為，切線為，A正確；選項(xiàng)B中，若與相切，設(shè)切點(diǎn)為，易知，則，解得，切點(diǎn)為，切線方程為，即B錯誤；選項(xiàng)C中，若與相切，設(shè)切點(diǎn)為，易知，則，解得，當(dāng)時，切點(diǎn)為，切線方程為，C正確；選項(xiàng)D中，易知與有三個交點(diǎn)，，又，顯然在三個交點(diǎn)處的斜率均不是1，所以不是切線，D錯誤.故選：AC10．（多選題）（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）過點(diǎn)作直線l與函數(shù)的圖象相切，則（

）A．若P與原點(diǎn)重合，則l方程為B．若l與直線垂直，則C．若點(diǎn)P在的圖象上，則符合條件的l只有1條D．若符合條件的l有3條，則【答案】AD【解析】設(shè)l與的圖象切于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時，切線斜率，整理得：，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，切線斜率，對于A，若P與原點(diǎn)重合，點(diǎn)在函數(shù)圖象上，則，此時，，l即x軸，方程為，A正確；對于B，若l與直線垂直，則，，當(dāng)點(diǎn)為切點(diǎn)時，或，當(dāng)點(diǎn)不為切點(diǎn)時，滿足，整理得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，B錯誤；對于C，當(dāng)點(diǎn)P在的圖象上時，，，則，即，所以或，故有兩解，符合條件的直線有兩條，C錯誤；對于D，若符合條件的l有3條，則點(diǎn)不在圖象上，設(shè)l與的圖象切于點(diǎn)，則有，設(shè)，，由得或，符合條件的l有3條，有3個零點(diǎn)，則，所以，，，D正確.故選：AD．11．（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．若過原點(diǎn)可作函數(shù)的三條切線，則（

）A．恰有2個異號極值點(diǎn) B．若，則C．恰有2個異號零點(diǎn) D．若，則【答案】BD【解析】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，故AC錯誤；設(shè)過原點(diǎn)的函數(shù)的切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率，所以切線方程為，即，因?yàn)檫^原點(diǎn)，所以，化簡得，即方程有3個不等實(shí)數(shù)根，令，則，當(dāng)時，或時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以極大值，極小值為，如圖，所以與相交有三個交點(diǎn)需滿足，故B正確；同理，當(dāng)時，可知極大值，極小值為，如圖，可得時，與相交有三個交點(diǎn)，故D正確.故選：BD12．（多選題）（2024·湖南·一模）英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn).如圖，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作的切線，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；用代替重復(fù)上面的過程得到；一直下去，得到數(shù)列，叫作牛頓數(shù)列.若函數(shù)且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（

）

A． B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．【答案】ACD【解析】，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，令0，得，故A正確.，故，即，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故B錯誤，C正確，所以，D正確.故選；ACD13．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知直線是曲線和的公切線，則實(shí)數(shù)a=．【答案】3【解析】設(shè)直線l與曲線相切于點(diǎn)，由，得，因?yàn)閘與曲線相切，所以消去，得，解得．設(shè)l與曲線相切于點(diǎn)，由，得，即，因?yàn)槭莑與曲線的公共點(diǎn)，所以消去，得，即，解得．故答案為：3.14．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）若過點(diǎn)僅可作曲線的兩條切線，則的取值范圍是.【答案】【解析】設(shè)切點(diǎn)為：，，所以切線方程為，又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，即，令，則，令，得或，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，則，且；當(dāng)時，則，所以的圖象如圖所示：因?yàn)檫^點(diǎn)僅可作曲線的兩條切線，所以與的圖象有兩個交點(diǎn)，則或.故答案為：.15．（2024·安徽·三模）已知曲線與曲線在第一象限交于點(diǎn)A，記兩條曲線在點(diǎn)A處的切線的傾斜角分別為，則．【答案】/【解析】，解得，，故，設(shè)曲線在點(diǎn)A處的切線為，即，曲線在點(diǎn)A處的切線為，由可得其圓心為，半徑為，則有，即，解得，對，有，則，則，即，，則.故答案為：.16．（2024·福建寧德·三模）已知曲線和圓有2個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】當(dāng)時，由圖象的變換可得，與一定有兩個交點(diǎn)，當(dāng)，過點(diǎn)，求導(dǎo)可得，，所以在處的切線方程為，此時的圓心到直線的距離，所以直線與圓只有一個公共點(diǎn)，此時與只有一個交點(diǎn)，當(dāng)向左移動時，即時，與一定沒有交點(diǎn)，當(dāng)時，與一定有兩個交點(diǎn)，故曲線與有兩個交點(diǎn)時的取值范圍為.故答案為：.17．（2024·河南·二模）若兩個函數(shù)和存在過點(diǎn)的公切線，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則.【答案】9【解析】，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，切線方程為，將代入得，即.，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，切線方程為，將代入得，即，又因?yàn)椋傻?，即，，所?故答案為：91．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則.【答案】【解析】由得，，故曲線在處的切線方程為；由得，設(shè)切線與曲線相切的切點(diǎn)為，由兩曲線有公切線得，解得，則切點(diǎn)為，切線方程為，根據(jù)兩切線重合,所以，解得.故答案為：2．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點(diǎn)處的切線．(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間.(2)求證：不經(jīng)過點(diǎn).(3)當(dāng)時，設(shè)點(diǎn)，，，為與軸的交點(diǎn)，與分別表示與的面積．是否存在點(diǎn)使得成立？若存在，這樣的點(diǎn)有幾個？（參考數(shù)據(jù)：，，）【解析】（1），當(dāng)時，；當(dāng)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），切線的斜率為，則切線方程為，將代入則，即，則，，令，假設(shè)過，則在存在零點(diǎn).，在上單調(diào)遞增，，在無零點(diǎn)，與假設(shè)矛盾，故直線不過.（3）時，.，設(shè)與軸交點(diǎn)為，時，若，則此時與必有交點(diǎn)，與切線定義矛盾.由（2）知.所以，則切線的方程為，令，則.，則，，記，滿足條件的有幾個即有幾個零點(diǎn).，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；因?yàn)?，，所以由零點(diǎn)存在性定理及的單調(diào)性，在上必有一個零點(diǎn)，在上必有一個零點(diǎn)，綜上所述，有兩個零點(diǎn)，即滿足的有兩個.3．（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在曲線上任取一點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令，則.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點(diǎn)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，直線與曲線的圖象有兩個交點(diǎn).故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.故選：D.4．（2016年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（山東卷精編版））若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱具有性質(zhì)．下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)y＝f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)上存在兩點(diǎn)，使這點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值乘積為﹣1，當(dāng)y＝sinx時，y′＝cosx，滿足條件；當(dāng)y＝lnx時，y′0恒成立，不滿足條件；當(dāng)y＝ex時，y′＝ex＞0恒成立，不滿足條件；當(dāng)y＝x3時，y′＝3x2＞0恒成立，不滿足條件；故選A．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì).5．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)I卷））設(shè)函數(shù)．若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為()A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：利用奇函數(shù)偶次項(xiàng)系數(shù)為零求得，進(jìn)而得到的解析式，再對求導(dǎo)得出切線的斜率，進(jìn)而求得切線方程.因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，解得，所以，，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，化簡可得，故選D.6．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅲ））已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則A． B． C． D．【答案】D【解析】通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，求得．，將代入得，故選D．7．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ））若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【解析】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切