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第01講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積(模擬精練+真題演練)1.(2023·北京·??寄M預(yù)測(cè))在2023年3月12日馬來(lái)西亞吉隆坡舉行的YongJunKLSpeedcubing比賽半決賽中,來(lái)自中國(guó)的9歲魔方天才王藝衡以4.69秒的成績(jī)打破了“解三階魔方平均用時(shí)最短”吉尼斯世界紀(jì)錄稱號(hào).如圖,一個(gè)三階魔方由27個(gè)單位正方體組成,把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動(dòng)了之后,表面積增加了(
)
A.54 B. C. D.【答案】C【解析】如圖,
轉(zhuǎn)動(dòng)了后,此時(shí)魔方相對(duì)原來(lái)魔方多出了16個(gè)小三角形的面積,顯然小三角形為等腰直角三角形,設(shè)直角邊,則斜邊為,則有,得到,由幾何關(guān)系得:陰影部分的面積為,所以增加的面積為.故選:C.2.(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模)盲盒是一種深受大眾喜愛(ài)的玩具,某盲盒生產(chǎn)廠商要為棱長(zhǎng)6cm的正四面體魔方設(shè)計(jì)一款正方體的包裝盒,需要保證該魔方可以在包裝盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),則包裝盒的棱長(zhǎng)最短為(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】如圖是棱長(zhǎng)為6cm的正四面體,由題意,,設(shè)BC的中點(diǎn)為M,底面的重心為G,O為外接球的球心,則有底面BCD,,
,,R是外接球半徑,在中,,在中,,,解得,即正方體的最短棱長(zhǎng)為.故選:D.3.(2023·云南曲靖·統(tǒng)考二模)如圖,在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為12,底面圓的半徑等于4,一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā),繞圓錐側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)處,則小蟲爬行的最短路程為(
)A. B.16 C.24 D.【答案】A【解析】如圖,設(shè)圓錐側(cè)面展開扇形的圓心角為,則由題可得,則,在中,,則小蟲爬行的最短路程為.故選:A.4.(2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))光岳樓位于山東聊城古城中央,主體結(jié)構(gòu)建于明洪武七年(1374年),它是迄今為止全國(guó)現(xiàn)存古代建筑中最古老、最雄偉的木構(gòu)樓閣之一,享有“雖黃鶴、岳陽(yáng)亦當(dāng)望拜”之譽(yù).光岳樓的墩臺(tái)為磚石砌成的正四棱臺(tái),如圖所示,該墩臺(tái)上底面邊長(zhǎng)約為32m,下底面邊長(zhǎng)約為34.5m,高約為9m,則該墩臺(tái)的斜高約為(參考數(shù)據(jù):)(
)A.9.1m B.10.9m C.11.2m D.12.1m【答案】A【解析】如圖所示,設(shè)該正四棱臺(tái)為,上下底面中心分別為,分別取的中點(diǎn),連接,在平面內(nèi),作交于,則,,,顯然四邊形是矩形,則,,所以,在直角中,,即該墩臺(tái)的斜高約為9.1m.故選:A5.(2023·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))樂(lè)高積木是由丹麥的克里斯琴森發(fā)明的一種塑料積木,由它可以拼插出變化無(wú)窮的造型,組件多為組合體.某樂(lè)高拼插組件為底面邊長(zhǎng)為、高為的正四棱柱,中間挖去以底面正方形中心為底面圓的圓心、直徑為、高為的圓柱,則該組件的體積為(
).(單位:)A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)檎睦庵牡酌孢呴L(zhǎng)為、高為,所以正四棱柱的體積為,又挖去的圓柱的直徑為、高為,所以圓柱的,故所求幾何體的體積為.故選:D.6.(2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知圓臺(tái)上下底面的半徑分別為1和2,母線長(zhǎng)為3,則圓臺(tái)的體積為(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】由圖可得,圓臺(tái)的高為,故圓臺(tái)的體積為.
故選:B7.(2023·海南??凇ば?寄M預(yù)測(cè))攢尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式.宋代稱為撮尖,清代稱攢尖.依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等,也有單檐和重檐之分,多見(jiàn)于亭閣式建筑.如圖所示,某園林建筑為六角攢尖,它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正六棱錐,若此正六棱錐的側(cè)面等腰三角形的底角為,則側(cè)棱與底面外接圓半徑的比為(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】正六棱錐的底面為正六邊形,設(shè)其外接圓半徑為,則底面正六邊形的邊長(zhǎng)為,因?yàn)檎忮F的側(cè)面等腰三角形的底角為,所以側(cè)棱長(zhǎng)為,所以側(cè)棱與底面外接圓半徑的比為.故選:D8.(2023·河北張家口·統(tǒng)考三模)風(fēng)箏又稱為“紙鳶”,由中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明于距今2000多年的東周春秋時(shí)期,相傳墨翟以木頭制成木鳥,研制三年而成,是人類最早的風(fēng)箏起源.如圖,是某高一年上級(jí)學(xué)生制作的一個(gè)風(fēng)箏模型的多面體為的中點(diǎn),四邊形為矩形,且,當(dāng)時(shí),多面體的體積為(
)
A. B. C. D.【答案】B【解析】在中,因?yàn)榍覟榈闹悬c(diǎn),所以,又因?yàn)?,且,平面,所以平面,在中,因?yàn)榍遥?,所以,且,因?yàn)樗倪呅螢榫匦危傻?,又因?yàn)椋移矫?,所以平面,因?yàn)椋云矫?,又因?yàn)槠矫?,所以,設(shè),在直角中,可得,在直角中,可得,因?yàn)椋?,即,解得,所以多面體的體積為:.故選:B.
9.(多選題)(2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)??级#┤鐖D,一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等,下列結(jié)論正確的是(
)
A.圓柱的側(cè)面積為B.圓錐的側(cè)面積為C.圓柱的側(cè)面積與球面面積相等D.圓柱、圓錐、球的體積之比為【答案】CD【解析】因?yàn)閳A柱和圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等,則圓柱的側(cè)面積為,A錯(cuò)誤;圓錐的母線長(zhǎng),側(cè)面積為,B錯(cuò)誤;球的表面積為,所以圓柱的側(cè)面積與球面面積相等,C正確;,,,D正確.故選:CD.10.(多選題)(2023·河北保定·統(tǒng)考一模)沙漏,據(jù)《隋志》記載:“漏刻之制,蓋始于黃帝”.它是古代的一種計(jì)時(shí)裝置,由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成,開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中,細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖,某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成,圓錐的底面直徑和高均為6cm,細(xì)沙全部在上部時(shí),其高度為圓錐高度的(細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)).假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下的沙,且細(xì)沙全部漏入下部后,恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.以下結(jié)論正確的是(
)A.沙漏的側(cè)面積是B.沙漏中的細(xì)沙體積為C.細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cmD.該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是837秒【答案】BD【解析】A選項(xiàng),設(shè)下面圓錐的母線長(zhǎng)為,則cm,故下面圓錐的側(cè)面積為,故沙漏的側(cè)面積為,故A錯(cuò)誤;B選項(xiàng),因?yàn)榧?xì)沙全部在上部時(shí),高度為圓錐高度的,所以細(xì)沙形成的圓錐底面半徑為cm,高為cm,故底面積為,所以沙漏中的細(xì)沙體積為,B正確;C選項(xiàng),由B選項(xiàng)可知,細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的體積為,其中此錐體的底面積為,故高度為cm,C錯(cuò)誤;D選項(xiàng),秒,故該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是837秒,D正確.故選:BD11.(多選題)(2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模)已知正方體的棱長(zhǎng)為2,為四邊形的中心,為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),為線段上一點(diǎn),若三棱錐的體積為定值,則(
)A. B.C. D.【答案】BC【解析】連接,交于點(diǎn),連接,
因?yàn)闉樗倪呅蔚闹行?,所以,又平面,平面,所以平面,因?yàn)槿忮F的體積等于三棱錐的體積,且為定值,所以平面,所以平面與平面為同一平面,所以為與的交點(diǎn),所以,故A錯(cuò)誤,B正確;因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,所以.故C正確,D錯(cuò)誤.故選:BC.12.(多選題)(2023·海南·海南中學(xué)??既#┤鐖D所示,一個(gè)平面圖形的直觀圖為,其中,則下列說(shuō)法中正確的是(
)
A.該平面圖形是一個(gè)平行四邊形但不是正方形B.該平面圖形的面積是8C.該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周形成的幾何體的體積是D.以該平面圖形為底,高為3的直棱柱的外接球直徑為【答案】BC【解析】如圖所示:將直觀圖還原為平面圖形,
由題意可得,,故該平面圖形為正方形,即A錯(cuò)誤;面積,即B正確;將平面圖形繞直線AC旋轉(zhuǎn)半周得幾何體為兩個(gè)圓錐,底面半徑和高均為2,故體積,即C正確;以該平面圖形為底,高為3的直棱柱其實(shí)為長(zhǎng)方體,且長(zhǎng)寬高分別為,所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為,即D錯(cuò)誤.故選:BC13.(2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知正四棱臺(tái)中,,,則其體積為.【答案】【解析】如圖正四棱臺(tái)中,則,,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),則,又,所以,即正四棱臺(tái)的高,所以棱臺(tái)的體積.故答案為:14.(2023·寧夏銀川·??寄M預(yù)測(cè))如圖(1)為陀螺實(shí)物體,圖(2)為陀螺的直觀圖,已知,分別為圓柱兩個(gè)底面圓心,設(shè)一個(gè)陀螺的外接球(圓柱上、下底面圓周與圓錐頂點(diǎn)均在球面上)的半徑為2,球心為,點(diǎn)為圓錐頂點(diǎn),若圓錐與圓柱的體積比為1:6,則圓柱的體積為.
【答案】【解析】如圖,過(guò),,作幾何體的截面,截面為五邊形,其中四邊形為矩形,為等腰三角形,.設(shè)圓柱底面半徑為,圓錐與圓柱的高分別為,.由題意知球心為矩形的中心,即為線段的中點(diǎn),因?yàn)閳A錐與圓柱的體積比為,所以,整理得.因?yàn)橥勇莸耐饨忧虻陌霃綖?,所以,整理得,所以,,在中,,所以圓柱的體積為.故答案為:.15.(2023·河北·校聯(lián)考三模)已知四面體中,,則該四面體體積的最大值為.【答案】/【解析】取的中點(diǎn),連接,因?yàn)?,所以,,?dāng)平面時(shí),該四面體體積取得最大值,最大值為.故答案為:.
16.(2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖,一個(gè)棱長(zhǎng)6分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水(沒(méi)有盛滿),若將該容器任意放置均不能使容器內(nèi)水平面呈三角形,寫出的一個(gè)可能取值:.
【答案】37(答案不唯一)【解析】如圖,在正方體中,若要使液面形狀不可能為三角形,則平面EHD平行于水平面放置時(shí),液面必須高于平面EHD,且低于平面AFC,若滿足上述條件,則任意轉(zhuǎn)動(dòng)正方體,液面形狀都不可能為三角形,設(shè)正方體內(nèi)水的體積為V,而,而(升),(升)所以V的取值范圍是.故答案為:17.(2023·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))已知用斜二測(cè)畫法畫梯形OABC的直觀圖如圖所示,,,,軸,,為的三等分點(diǎn),則四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體的體積為.
【答案】【解析】在直觀圖中,,所以在還原圖中,,如圖,
在直觀圖中,,為的三等分點(diǎn),所以在還原圖中,,D為OA的三等分點(diǎn),又在直觀圖中,軸,所以在還原圖中,軸,則,所以,則,故,,所以四邊形OABC是等腰梯形,所以四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間幾何體的體積等于一個(gè)圓臺(tái)的體積減去一個(gè)圓錐的體積,即.故答案為:.18.(2023·山東·山東師范大學(xué)附中??寄M預(yù)測(cè))無(wú)人偵察機(jī)在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中扮演著非常重要的角色,它能在萬(wàn)米高空觀察敵方的地面設(shè)施和軍事力量部署.我國(guó)無(wú)偵—8(如圖1)是一款以偵察為主的無(wú)人機(jī),它動(dòng)力強(qiáng)勁,比大多數(shù)防空導(dǎo)彈都要快.已知空間中同時(shí)出現(xiàn)了A,B,C,D四個(gè)目標(biāo)(目標(biāo)與無(wú)人機(jī)的大小忽略不計(jì)),如圖2,其中,,,且目標(biāo)A,B,D所在平面與目標(biāo)B,C,D所在平面恰好垂直,若無(wú)人機(jī)可以同時(shí)觀察到這四個(gè)目標(biāo),則其最小偵測(cè)半徑為.
【答案】【解析】如圖所示,三棱錐的外接球的球心在平面上的射影就是正三角形的外接圓圓心,記為,連接,,則.設(shè),連接,則①.過(guò)點(diǎn)作于,過(guò)點(diǎn)作于,連接,,因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?,平面,所以平?又平面,所以四邊形為矩形,故,.在中,,,,所以,故,所以,.取的中點(diǎn),則,連接,則,,故,故在中,,即②.由①②解得所以最小偵測(cè)半徑為.故答案為:.
1.(2023?甲卷(文))在三棱錐中,是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,,,則該棱錐的體積為A.1 B. C.2 D.3【答案】【解析】如圖,,,取的中點(diǎn),連接,,可得,,又,、平面,平面,在與中,求得,在中,由,,得,則,,.故選:.2.(2023?天津)在三棱錐中,線段上的點(diǎn)滿足,線段上的點(diǎn)滿足,則三棱錐和三棱錐的體積之比為A. B. C. D.【答案】【解析】在三棱錐中,線段上的點(diǎn)滿足,線段上的點(diǎn)滿足,所以,設(shè)到平面的距離,到平面的距離,則,則三棱錐的體積為.故三棱錐和三棱錐的體積之比為.故選:.3.(2023?甲卷(理))在四棱錐中,底面為正方形,,,,則的面積為A. B. C. D.【答案】【解析】解法一:四棱錐中,底面為正方形,又,,根據(jù)對(duì)稱性易知,又底面正方形得邊長(zhǎng)為4,,在中,根據(jù)余弦定理可得:,又,,在中,由余弦定理可得:,,的面積為.解法二:如圖,設(shè)在底面的射影為,連接,設(shè),,且,則,或,易知,又,則根據(jù)最小角定理(三余弦定理)可得:,或,或,或,或,又,,,,,,再根據(jù)最小角定理可得:,,又,,的面積為.故選:.4.(2022?北京)已知正三棱錐的六條棱長(zhǎng)均為6,是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合,則表示的區(qū)域的面積為A. B. C. D.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)在面內(nèi)的投影為點(diǎn),連接,則,所以,由,知表示的區(qū)域是以為圓心,1為半徑的圓,所以其面積.故選:.5.(2022?甲卷(文))甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等,側(cè)面展開圖的圓心角之和為,側(cè)面積分別為和,體積分別為和.若,則A. B. C. D.【答案】【解析】如圖,甲,乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖剛好拼成一個(gè)圓,設(shè)圓的半徑(即圓錐母線)為3,甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為,,高分別為,,則,,解得,,由勾股定理可得,.故選:.6.(2022?新高考Ⅱ)已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為和,其頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為A. B. C. D.【答案】【解析】當(dāng)球心在臺(tái)體外時(shí),由題意得,上底面所在平面截球所得圓的半徑為,下底面所在平面截球所得圓的半徑為,如圖,設(shè)球的半徑為,則軸截面中由幾何知識(shí)可得,解得,該球的表面積為.當(dāng)球心在臺(tái)體內(nèi)時(shí),如圖,此時(shí),無(wú)解.綜上,該球的表面積為.故選:.7.(2022?天津)如圖,“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象,重疊后的底面為正方形,直三棱柱的底面是頂角為,腰為3的等腰三角形,則該幾何體的體積為A.23 B.24 C.26 D.27【答案】【解析】如圖,該組合體由直三棱柱和直三棱柱組成,且為正方形,設(shè)重疊后的與交點(diǎn)為,作于,因?yàn)椋?,所以,,,方法①:四個(gè)形狀相同的三棱錐、,、的體積之和,加上正四棱錐的體積:在直三棱柱中,平面,則,由可得平面,正四棱錐的高等于的長(zhǎng),,,該組合體的體積;方法②:兩個(gè)直三棱柱體積相加,再減去重疊部分(正四棱錐的體積:在直三棱柱中,平面,則,由可得平面,正四棱錐的高等于的長(zhǎng),,,該組合體的體積.故選:.8.(多選題)(2023?新高考Ⅰ)下列物體中,能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1(單位:的正方體容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)的有A.直徑為的球體 B.所有棱長(zhǎng)均為的四
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