第02講 單調(diào)性問(wèn)題（練習(xí)）（解析版）

第02講單調(diào)性問(wèn)題（模擬精練+真題演練）1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)，若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)為奇函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】B【解析】依題意，則，設(shè)單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,知該方程有唯一解，故，易知該函數(shù)為偶函數(shù).故選：B．2．（2023·江西鷹潭·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋裕?，即，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：D3．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象的對(duì)稱軸為，且開口向上所以的最小值為1，所以.故選：B.4．（2023·甘肅蘭州·?？家荒＃┮阎桥己瘮?shù)，在(－∞，0)上滿足恒成立，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】時(shí)，即，∴在上單調(diào)遞減，又為偶函數(shù)，∴在上單調(diào)遞增．∴，∴.故選：A．5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，，，令，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即，令，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)榍?，所以，故選：A6．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，滿足，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，，即，也即，由可得，所以，即，構(gòu)造函數(shù)，在恒成立，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以，解得，故選:B.7．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知，，對(duì)，且，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，對(duì)，且，恒有，即，在上單調(diào)遞增，故恒成立，即，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；故，即，即.故選：A8．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)使（為常數(shù)）成立，則常數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋诙x域上單調(diào)遞增，又使（為常數(shù)）成立，顯然，所以不妨設(shè)，則，即，令，，則，即函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，又，則在上有解，則在上有解，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即常數(shù)的取值范圍為.故選：C9．（多選題）（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】對(duì)于A,,故為奇函數(shù)，，故為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，故A正確，對(duì)于B，，故為非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，在定義域內(nèi)不是單調(diào)增函數(shù)，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，，所以定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，故D正確，故選：AD10．（多選題）（2023·安徽淮北·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則（

）A．在單調(diào)遞增B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．曲線在點(diǎn)處切線的斜率為D．是奇函數(shù)【答案】AC【解析】對(duì)A：，定義域?yàn)?，則，由都在單調(diào)遞增，故也在單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故A正確；對(duì)B：由A知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，故只有一個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)C：，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，C正確；對(duì)D：定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故是非奇非偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：AC.11．（多選題）（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈里奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】設(shè)，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，A正確；由得，即，又因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，B正確；由得，即，所以，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，D正確．故選：ABD.12．（多選題）（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)且時(shí)，不等式恒成立，則自然數(shù)可能為（

）A．0 B．2 C．8 D．12【答案】BC【解析】由于且，所以，所以，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)，且時(shí)，故當(dāng)當(dāng)，因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，不妨取，則而，不滿足，故A錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，，顯然，故滿足題意，B正確，要使恒成立，則需要，即恒成立即可由于，因此當(dāng)時(shí)，，C正確，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，錯(cuò)誤，故選：BC13．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為______.【答案】【解析】由題得的定義域?yàn)?，由可得，令，，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：14．（2023·四川雅安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）給出兩個(gè)條件：①，；②當(dāng)時(shí)，（其中為的導(dǎo)函數(shù)）．請(qǐng)寫出同時(shí)滿足以上兩個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)______．（寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)即可）【答案】（答案不唯一）【解析】由，知，函數(shù)可以為指數(shù)函數(shù)，因當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)可以為.故答案為：15．（2023·四川·石室中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則不等式的解集為______________．【答案】【解析】令，定義域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，變形為，即，其，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以在R上單調(diào)遞增，所以，解得：，所以解集為.故答案為：16．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考三模）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】由可知，其定義域?yàn)?，則，易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則需滿足，解得；所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：17．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).若函數(shù)為增函數(shù)，求的取值范圍；【解析】∵，則，若是增函數(shù)，則，且，可得，故原題意等價(jià)于對(duì)恒成立，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；則在上遞增，在遞減，故，∴的取值范圍為.18．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)若單調(diào)遞增，求a的值；【解析】由可得，，由于函數(shù)單調(diào)遞增，則恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，可知時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又因?yàn)?，即，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，由可得，，令，則，可知時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，則，由于恒成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，實(shí)數(shù)的值為.19．（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）實(shí)數(shù)，，．(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)討論的單調(diào)性并寫出過(guò)程．【解析】（1）由題意得，令，的定義域?yàn)?，由得：．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）令，的定義域?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，時(shí)，，在上是增函數(shù)；時(shí)，，在上是減函數(shù)；時(shí)，，在上是增函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，，時(shí)，在上是減函數(shù)；時(shí)，在上是增函數(shù)；③當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；④當(dāng)時(shí)，時(shí)，，在上是增函數(shù)，時(shí)，，在上是減函數(shù)，時(shí)，，是增函數(shù)．20．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．求的單調(diào)區(qū)間；【解析】由已知可得，定義域?yàn)椋?令，則.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增．所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間．21．（2023·湖南·鉛山縣第一中學(xué)校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，令解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.22．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，定義域?yàn)?，易知，令，得，令，得，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由題意知，則，令，，則．①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，不符合題意．②當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，不符合題意．③當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．易知，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，則當(dāng)時(shí)，，即．所以當(dāng)x＞0時(shí)，．取，則，且．又，所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，符合題意．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；【解析】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；【解析】（1）因?yàn)椋?，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，∴切線斜率∴切線方程為：（2）因?yàn)椋?/p>

所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)．求的單調(diào)區(qū)間；【解析】，當(dāng)，；當(dāng)，，故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.4．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【解析】由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；5．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，此時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）因?yàn)椋瑒t，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，，.6．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】，①若，則，所以在上單調(diào)遞增；②若，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.綜上可得，時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間