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文檔簡介
上海大學市北附屬中學2025屆下學期期末質(zhì)量檢測試題高三數(shù)學試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,,則為()A. B. C. D.2.甲、乙、丙、丁四位同學高考之后計劃去三個不同社區(qū)進行幫扶活動,每人只能去一個社區(qū),每個社區(qū)至少一人.其中甲必須去社區(qū),乙不去社區(qū),則不同的安排方法種數(shù)為()A.8 B.7 C.6 D.53.已知向量,滿足,在上投影為,則的最小值為()A. B. C. D.4.已知集合,集合,則().A. B.C. D.5.的展開式中有理項有()A.項 B.項 C.項 D.項6.已知向量,,則與共線的單位向量為()A. B.C.或 D.或7.點為的三條中線的交點,且,,則的值為()A. B. C. D.8.計算等于()A. B. C. D.9.命題“”的否定是()A. B.C. D.10.若向量,則()A.30 B.31 C.32 D.3311.已知m,n是兩條不同的直線,,是兩個不同的平面,給出四個命題:①若,,,則;②若,,則;③若,,,則;④若,,,則其中正確的是()A.①② B.③④ C.①④ D.②④12.某人用隨機模擬的方法估計無理數(shù)的值,做法如下:首先在平面直角坐標系中,過點作軸的垂線與曲線相交于點,過作軸的垂線與軸相交于點(如圖),然后向矩形內(nèi)投入粒豆子,并統(tǒng)計出這些豆子在曲線上方的有粒,則無理數(shù)的估計值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.給出下列四個命題,其中正確命題的序號是_____.(寫出所有正確命題的序號)因為所以不是函數(shù)的周期;對于定義在上的函數(shù)若則函數(shù)不是偶函數(shù);“”是“”成立的充分必要條件;若實數(shù)滿足則.14.拋物線上到其焦點的距離為的點的個數(shù)為________.15.若展開式中的常數(shù)項為240,則實數(shù)的值為________.16.的展開式中的常數(shù)項為_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),,(1)討論的單調(diào)性;(2)若在定義域內(nèi)有且僅有一個零點,且此時恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.18.(12分)已知是圓:的直徑,動圓過,兩點,且與直線相切.(1)若直線的方程為,求的方程;(2)在軸上是否存在一個定點,使得以為直徑的圓恰好與軸相切?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.19.(12分)如圖,在平面四邊形中,,,.(1)求;(2)求四邊形面積的最大值.20.(12分)已知函數(shù).(1)若,證明:當時,;(2)若在只有一個零點,求的值.21.(12分)某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參加機會,通過隨機抽樣,得到參與問卷調(diào)查的100人的得分(滿分:100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計結(jié)果如表所示:組別男235151812女051010713(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”,請完成答題卡中的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下,認為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)?(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達人”.視頻率為概率.①在我市所有“環(huán)保達人”中,隨機抽取3人,求抽取的3人中,既有男“環(huán)保達人”又有女“環(huán)保達人”的概率;②為了鼓勵市民關(guān)注環(huán)保,針對此次的調(diào)查制定了如下獎勵方案:“環(huán)保達人”獲得兩次抽獎活動;其他參與的市民獲得一次抽獎活動.每次抽獎獲得紅包的金額和對應的概率.如下表:紅包金額(單位:元)1020概率現(xiàn)某市民要參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加間卷調(diào)查獲得的紅包金額,求的分布列及數(shù)學期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822.(10分)已知,其中.(1)當時,設(shè)函數(shù),求函數(shù)的極值.(2)若函數(shù)在區(qū)間上遞增,求的取值范圍;(3)證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
分別求解出集合的具體范圍,由集合的交集運算即可求得答案.【詳解】因為集合,,所以故選:C本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集運算,考查基本運算能力.2.B【解析】根據(jù)題意滿足條件的安排為:A(甲,乙)B(丙)C(?。籄(甲,乙)B(?。〤(丙);A(甲,丙)B(丁)C(乙);A(甲,?。〣(丙)C(乙);A(甲)B(丙,?。〤(乙);A(甲)B(丁)C(乙,丙);A(甲)B(丙)C(丁,乙);共7種,選B.3.B【解析】
根據(jù)在上投影為,以及,可得;再對所求模長進行平方運算,可將問題轉(zhuǎn)化為模長和夾角運算,代入即可求得.【詳解】在上投影為,即又本題正確選項:本題考查向量模長的運算,對于含加減法運算的向量模長的求解,通常先求解模長的平方,再開平方求得結(jié)果;解題關(guān)鍵是需要通過夾角取值范圍的分析,得到的最小值.4.A【解析】
算出集合A、B及,再求補集即可.【詳解】由,得,所以,又,所以,故或.故選:A.本題考查集合的交集、補集運算,考查學生的基本運算能力,是一道基礎(chǔ)題.5.B【解析】
由二項展開式定理求出通項,求出的指數(shù)為整數(shù)時的個數(shù),即可求解.【詳解】,,當,,,時,為有理項,共項.故選:B.本題考查二項展開式項的特征,熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6.D【解析】
根據(jù)題意得,設(shè)與共線的單位向量為,利用向量共線和單位向量模為1,列式求出即可得出答案.【詳解】因為,,則,所以,設(shè)與共線的單位向量為,則,解得或所以與共線的單位向量為或.故選:D.本題考查向量的坐標運算以及共線定理和單位向量的定義.7.B【解析】
可畫出圖形,根據(jù)條件可得,從而可解出,然后根據(jù),進行數(shù)量積的運算即可求出.【詳解】如圖:點為的三條中線的交點,由可得:,又因,,.故選:B本題考查三角形重心的定義及性質(zhì),向量加法的平行四邊形法則,向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義,向量的數(shù)乘運算及向量的數(shù)量積的運算,考查運算求解能力,屬于中檔題.8.A【解析】
利用誘導公式、特殊角的三角函數(shù)值,結(jié)合對數(shù)運算,求得所求表達式的值.【詳解】原式.故選:A本小題主要考查誘導公式,考查對數(shù)運算,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】
根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題,對命題進行改寫即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題,所以命題“,”的否定是:,.故選D.本題考查全稱命題的否定,難度容易.10.C【解析】
先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因為,所以.故選:C.本題考查了平面向量的坐標運算,考查了學生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題.11.D【解析】
根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷①;根據(jù)空間面面平行的判定定理可判斷②;根據(jù)線面平行的判定定理可判斷③;根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷④.【詳解】對于①,若,,,,兩平面相交,但不一定垂直,故①錯誤;對于②,若,,則,故②正確;對于③,若,,,當,則與不平行,故③錯誤;對于④,若,,,則,故④正確;故選:D本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】
利用定積分計算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積,進而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于的等式,解出的表達式即可.【詳解】在函數(shù)的解析式中,令,可得,則點,直線的方程為,矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為,矩形的面積為,由幾何概型的概率公式得,所以,.故選:D.本題考查利用隨機模擬的思想估算的值,考查了幾何概型概率公式的應用,同時也考查了利用定積分計算平面區(qū)域的面積,考查計算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
對①,根據(jù)周期的定義判定即可.對②,根據(jù)偶函數(shù)滿足的性質(zhì)判定即可.對③,舉出反例判定即可.對④,求解不等式再判定即可.【詳解】解:因為當時,所以由周期函數(shù)的定義知不是函數(shù)的周期,故正確;對于定義在上的函數(shù),若,由偶函數(shù)的定義知函數(shù)不是偶函數(shù),故正確;當時不滿足則“”不是“”成立的充分不必要條件,故錯誤;若實數(shù)滿足則所以成立,故正確.正確命題的序號是.故答案為:.本題主要考查了命題真假的判定,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
設(shè)拋物線上任意一點的坐標為,根據(jù)拋物線的定義求得,并求出對應的,即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)拋物線上任意一點的坐標為,拋物線的準線方程為,由拋物線的定義得,解得,此時.因此,拋物線上到其焦點的距離為的點的個數(shù)為.故答案為:.本題考查利用拋物線的定義求點的坐標,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.15.-3【解析】
依題意可得二項式展開式的常數(shù)項為即可得到方程,解得即可;【詳解】解:∵二項式的展開式中的常數(shù)項為,∴解得.故答案為:本題考查二項式展開式中常數(shù)項的計算,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
寫出展開式的通項公式,考慮當?shù)闹笖?shù)為零時,對應的值即為常數(shù)項.【詳解】的展開式通項公式為:,令,所以,所以常數(shù)項為.
故答案為:.本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解,難度較易.解答問題的關(guān)鍵是,能通過展開式通項公式分析常數(shù)項對應的取值.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)時,在上單調(diào)遞增,時,在上遞減,在上遞增.(2).【解析】
(1)求出導函數(shù),分類討論,由確定增區(qū)間,由確定減區(qū)間;(2)由,利用(1)首先得或,求出的最小值即可得結(jié)論.【詳解】(1)函數(shù)定義域是,,當時,,單調(diào)遞增;時,令得,時,,遞減,時,,遞增,綜上所述,時,在上單調(diào)遞增,時,在上遞減,在上遞增.(2)易知,由函數(shù)單調(diào)性,若有唯一零點,則或.當時,,,從而只需時,恒成立,即,令,,在上遞減,在上遞增,∴,從而.時,,,令,由,知在遞減,在上遞增,,∴.綜上所述,的取值范圍是.本題考查用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)零點個數(shù)與不等式恒成立問題,解題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化,不等式恒成立問題通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.這又可通過導數(shù)求解.18.(1)或.(2)存在,;【解析】
(1)根據(jù)動圓過,兩點,可得圓心在的垂直平分線上,由直線的方程為,可知在直線上;設(shè),由動圓與直線相切可得動圓的半徑為;又由,及垂徑定理即可確定的值,進而確定圓的方程.(2)方法一:設(shè),可得圓的半徑為,根據(jù),可得方程為并化簡可得的軌跡方程為.設(shè),,可得的中點,進而由兩點間距離公式表示出半徑,表示出到軸的距離,代入化簡即可求得的值,進而確定所過定點的坐標;方法二:同上可得的軌跡方程為,由拋物線定義可求得,表示出線段的中點的坐標,根據(jù)到軸的距離可得等量關(guān)系,進而確定所過定點的坐標.【詳解】(1)因為過點,,所以圓心在的垂直平分線上.由已知的方程為,且,關(guān)于于坐標原點對稱,所以在直線上,故可設(shè).因為與直線相切,所以的半徑為.由已知得,,又,故可得,解得或.故的半徑或,所以的方程為或.(2)法一:設(shè),由已知得的半徑為,.由于,故可得,化簡得的軌跡方程為.設(shè),,則得,的中點,則以為直徑的圓的半徑為:,到軸的距離為,令,①化簡得,即,故當時,①式恒成立.所以存在定點,使得以為直徑的圓與軸相切.法二:設(shè),由已知得的半徑為,.由于,故可得,化簡得的軌跡方程為.設(shè),因為拋物線的焦點坐標為,點在拋物線上,所以,線段的中點的坐標為,則到軸的距離為,而,故以為徑的圓與軸切,所以當點與重合時,符合題意,所以存在定點,使得以為直徑的圓與軸相切.本題考查了圓的標準方程求法,動點軌跡方程的求法,拋物線定義及定點問題的解法綜合應用,屬于難題.19.(1);(2)【解析】
(1)根據(jù)同角三角函數(shù)式可求得,結(jié)合正弦和角公式求得,即可求得,進而由三角函數(shù)(2)設(shè)根據(jù)余弦定理及基本不等式,可求得的最大值,結(jié)合三角形面積公式可求得的最大值,即可求得四邊形面積的最大值.【詳解】(1),則由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得,則,則,所以.(2)設(shè)在中由余弦定理可得,代入可得,由基本不等式可知,即,當且僅當時取等號,由三角形面積公式可得,所以四邊形面積的最大值為.本題考查了正弦和角公式化簡三角函數(shù)式的應用,余弦定理及不等式式求最值的綜合應用,屬于中檔題.20.(1)見解析;(2)【解析】
分析:(1)先構(gòu)造函數(shù),再求導函數(shù),根據(jù)導函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減,最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式;(2)研究零點,等價研究的零點,先求導數(shù):,這里產(chǎn)生兩個討論點,一個是a與零,一個是x與2,當時,,沒有零點;當時,先減后增,從而確定只有一個零點的必要條件,再利用零點存在定理確定條件的充分性,即得a的值.詳解:(1)當時,等價于.設(shè)函數(shù),則.當時,,所以在單調(diào)遞減.而,故當時,,即.(2)設(shè)函數(shù).在只有一個零點當且僅當在只有一個零點.(i)當時,,沒有零點;(ii)當時,.當時,;當時,.所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.故是在的最小值.①若,即,在沒有零點;②若,即,在只有一個零點;③若,即,由于,所以在有一個零點,由(1)知,當時,,所以.故在有一個零點,因此在有兩個零點.綜上,在只有一個零點時,.點睛:利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題,從而構(gòu)建不等式求解.21.(1)不能;(2)①;②分布列見解析,.【解析】
(1)根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)可求2×2列聯(lián)表即可;計算K的觀測值K2,對照題目中的表格,得出統(tǒng)計結(jié)論.(2)由相互獨立事件的概率可得男“環(huán)保達人”又有女“環(huán)保達人”的概率:P=1﹣()3﹣()3,解出X的
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