函數(shù)模型的應(yīng)用同步練習(xí) 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

第第頁(yè)4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用一、必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一·2024陜西西安高一期末]如今我國(guó)物流行業(yè)蓬勃發(fā)展,極大地促進(jìn)了社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合.已知某類果蔬的保鮮時(shí)間y(單位:小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關(guān)系y=eax+b(a,b為常數(shù)),若該果蔬在6℃的保鮮時(shí)間為216小時(shí),在24℃的保鮮時(shí)間為8小時(shí),那么在12℃時(shí),該果蔬的保鮮時(shí)間為()A.16小時(shí) B.24小時(shí) C.36小時(shí) D.72小時(shí)2.[探究點(diǎn)三]有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律,其中最接近的一個(gè)是()A.V=log2t B.V=log12t C.V=t2-12 3.[探究點(diǎn)二](多選題)某工廠生產(chǎn)一種溶液,按市場(chǎng)要求雜質(zhì)含量不得超過0.1%,而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為2%,現(xiàn)進(jìn)行過濾,已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少13,則使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求的過濾次數(shù)可以為(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301,lg3≈0.477)(A.6 B.9 C.8 D.74.[探究點(diǎn)二]大西洋鮭魚每年都要逆流而上,洄游到產(chǎn)卵地產(chǎn)卵.科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速v(單位:m/s)與鮭魚的耗氧量的單位數(shù)P的關(guān)系為v=12log3P100,則鮭魚靜止時(shí)耗氧量的單位數(shù)為(A.1 B.100 C.200 D.3005.[探究點(diǎn)一]已知某個(gè)病毒經(jīng)30min可繁殖為原來的2倍,且病毒的繁殖規(guī)律為y=ekt(其中k為常數(shù),t表示時(shí)間,單位:h,y表示病毒個(gè)數(shù)),則k=,經(jīng)過5h,1個(gè)病毒能繁殖個(gè).6.[探究點(diǎn)一]物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述:設(shè)物體的初始溫度是T0,經(jīng)過一定時(shí)間t后的溫度是T,則T-Ta=(T0-Ta)·(12)

t?,其中Ta表示環(huán)境溫度,h稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡,放在24℃的房間中,如果咖啡降溫到40℃需要20min,那么降溫到35℃時(shí),需要多少時(shí)間?(參考數(shù)據(jù):lg11≈1.7.[探究點(diǎn)三]某品牌汽車制造廠引進(jìn)了一條小型家用汽車裝配流水線,本年度第一季度統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:月份1月2月3月小型汽車數(shù)量x/輛306080創(chuàng)造的收益y/元480060004800(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),從下列三個(gè)函數(shù)模型中:①y=ax+b,②y=ax2+bx+c,③y=ax+b(a,b,c為常數(shù),且a≠0)選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型描述這條流水線生產(chǎn)的小型汽車數(shù)量x(單位:輛)與創(chuàng)造的收益y(單位:元)之間的關(guān)系,并寫出這個(gè)函數(shù)關(guān)系式;(2)利用上述你選取的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算,若這家工廠希望在一周內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6020元以上,那么它在一周內(nèi)大約應(yīng)生產(chǎn)多少輛小型汽車?二、關(guān)鍵能力提升練8.為了給地球減負(fù),提高資源利用率,2020年全國(guó)掀起了垃圾分類的熱潮,垃圾分類已經(jīng)成為新時(shí)尚,假設(shè)某市2020年全年用于垃圾分類的資金為5000萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的資金比上一年增長(zhǎng)20%,則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元的年份是()(參考數(shù)據(jù):lg1.2≈0.079,lg2.56≈0.408)A.2024年 B.2025年 C.2026年 D.2027年9.(多選題)中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”,如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案,俗稱陰陽(yáng)魚,太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化、相對(duì)統(tǒng)一的和諧美.定義:圓O的圓心在原點(diǎn),若函數(shù)的圖象將圓O的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩部分,則這個(gè)函數(shù)稱為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”,則下列說法正確的是()A.對(duì)于圓O,其“太極函數(shù)”有且只有1個(gè)B.函數(shù)f(x)=x2-x(x≥0C.函數(shù)f(x)=x3-3x不是圓O的“太極函數(shù)”D.函數(shù)f(x)=ln(x2+1+x)是圓O的一個(gè)“10.某地下車庫(kù)在排氣扇發(fā)生故障的情況下,測(cè)得空氣中一氧化碳的含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài),經(jīng)搶修后恢復(fù)正常.排氣4分鐘后測(cè)得車庫(kù)內(nèi)一氧化碳濃度為64ppm(ppm為濃度單位,1ppm表示百萬分之一),經(jīng)檢驗(yàn)知,該地下車庫(kù)一氧化碳濃度y(單位:ppm)與排氣時(shí)間t(單位:分鐘)之間存在函數(shù)關(guān)系y=27-mt(m為常數(shù)),則m=;若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常,那么至少需要排氣分鐘才能使這個(gè)地下車庫(kù)中一氧化碳含量達(dá)到正常狀態(tài).11.如圖是某受污染的湖泊在自然凈化過程中,某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時(shí)間t(單位:月)的近似函數(shù)關(guān)系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下敘述:①第4個(gè)月時(shí),剩留量會(huì)低于15;②每月減少的有害物質(zhì)量都相等;③若剩留量為12,14,18所經(jīng)過的時(shí)間分別是t1,t2,t3其中所有正確的敘述是.(填序號(hào))12.為了給廣大市民提供優(yōu)質(zhì)的飲用水,某礦泉水廠特別重視生產(chǎn)過程的除雜質(zhì)工序,過濾前水含有雜質(zhì)a%(其中a為常數(shù)),每經(jīng)過一次過濾均可使水的雜質(zhì)含量減少23,設(shè)水過濾前的量為1,過濾次數(shù)為x(x∈N*)時(shí),水的雜質(zhì)含量為y(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)假設(shè)出廠礦泉水的雜質(zhì)含量不能超過0.002a%,問至少經(jīng)過幾次過濾才能使礦泉水達(dá)到要求?(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301,lg3≈0.477)13.[2024寧夏銀川高一期末]某科研機(jī)構(gòu)對(duì)某變異毒株在特定環(huán)境下進(jìn)行觀測(cè),每隔單位時(shí)間T進(jìn)行一次記錄,用x表示經(jīng)過單位時(shí)間的個(gè)數(shù),用y表示此變異毒株的數(shù)量,單位為萬個(gè),得到如下觀測(cè)數(shù)據(jù):x/T123456…y/萬個(gè)…10…50…250…若該變異毒株的數(shù)量y(單位:萬個(gè))與經(jīng)過x(x∈N*)個(gè)單位時(shí)間T的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型y=px2+q(p>0)與y=kax(k>0,a>1)可供選擇.(1)判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適,并求出該模型的解析式;(2)求至少經(jīng)過多少個(gè)單位時(shí)間,該變異毒株的數(shù)量不少于一億個(gè).(參考數(shù)據(jù):5≈2.236,6≈2.449,lg2≈0.301,lg6≈0.778)三、學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練14.某地區(qū)為響應(yīng)上級(jí)號(hào)召,在2022年初,新建了一批有200萬平方米的廉價(jià)住房,供困難的城市居民居住.由于下半年受物價(jià)的影響,根據(jù)本地區(qū)的實(shí)際情況,估計(jì)今后住房面積的年平均增長(zhǎng)率只能達(dá)到5%.(1)設(shè)經(jīng)過x年后,該地區(qū)的廉價(jià)住房面積為y萬平方米,求y=f(x)的表達(dá)式,并求此函數(shù)的定義域.(2)作出函數(shù)y=f(x)的圖象,并結(jié)合圖象求:經(jīng)過多少年后,該地區(qū)的廉價(jià)住房面積能達(dá)到300萬平方米?答案1.D由題設(shè)216=e6a所以x=12時(shí),ax+b=-2ln3+4ln3+3ln2=ln72,此時(shí)y=eln72=72小時(shí).故選D.2.C當(dāng)t=4時(shí),選項(xiàng)A中的V=log24=2,選項(xiàng)B中的V=log124選項(xiàng)C中的V=42-12選項(xiàng)D中的V=2×4-2=6,故選C.3.BC設(shè)經(jīng)過n次過濾,產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求,則2100×23由nlg23≤-lg20,即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥1+lg2lg3-lg2≈4.B因?yàn)関=12log3P100,所以當(dāng)鮭魚靜止時(shí),v1=0m/s,即12log3P100=0,所以P=100.故選B.5.2ln21024當(dāng)t=0.5時(shí),y=2,∴2=e12k,∴k=2ln2,∴y=e2tln當(dāng)t=5時(shí),y=e10ln2=210=1024.6.解由題意知40-24=(88-24)·(12即14=(12)

20故T-24=(88-24)·(12當(dāng)T=35時(shí),代入上式,得35-24=(88-24)·(12)

t10兩邊取對(duì)數(shù),求得t≈25.因此,降溫到35℃約需要25min.7.解(1)選?、趛=ax2+bx+c,由題表可知,隨著x的增大,y的值先增大后減小,而函數(shù)y=ax+b及y=ax+b均為單調(diào)函數(shù),故不符合題意,所以選?、趛=ax2+bx+c,將(30,4800),(60,6000),(80,4800)三點(diǎn)分別代入函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2+bx+c中,可得二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=30+802=55,故可將函數(shù)解析式設(shè)為y=a(x-55)2+h即得到52a所以y=-2(x-55)2+6050=-2x2+220x=ax2+bx+c,所以a=-2,b=220,c=0.(2)設(shè)在一周內(nèi)大約應(yīng)生產(chǎn)x輛小型汽車,根據(jù)題意,可得-2x2+220x>6020,即-2x2+220x-6020>0,即x2-110x+3010<0,因?yàn)棣?1102-4×3010=60>0,所以方程x2-110x+3010=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1=55-15,x2=55+15,由二次函數(shù)y=x2-110x+3010的圖象可知不等式的解為55-15<x<55+15.因?yàn)閤只能取整數(shù)值,所以當(dāng)這條流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的小型汽車數(shù)量滿足53≤x≤58且x∈N時(shí),這家工廠能夠獲得6020元以上的收益.8.C設(shè)2020年后第x年該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元,則5000(1+20%)x>12800,即1.2x>2.56,解得x>log1.22.56=lg2.56lg1.則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元的年份是2026.故選C.9.BD對(duì)于選項(xiàng)A,圓O的“太極函數(shù)”不止一個(gè),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,由于函數(shù)f(x)=x2-x(x≥0),-x2-x(x<0),當(dāng)x≥0時(shí),f(-x)=-x2+x=-f(x);當(dāng)x<0時(shí),f(-x所以根據(jù)對(duì)稱性可知函數(shù)f(x)=x2-x(x≥0),-x2-對(duì)于選項(xiàng)C,函數(shù)f(x)=x3-3x的定義域?yàn)镽,f(-x)=-x3+3x=-f(x),f(x)=x3-3x也是奇函數(shù),故函數(shù)f(x)=x3-3x是圓O的“太極函數(shù)”,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,函數(shù)f(x)=ln(x2+1+x)的定義域?yàn)镽,f(-x)=ln(x2+1-x)=ln-ln(x2+1+x)=-f(x),f(x)=ln(x2+1+x)也是奇函數(shù),故函數(shù)f(x)=ln(x2+1+x)是圓O的“太極函數(shù)”,故選項(xiàng)10.1432∵函數(shù)y=27-mt(m為常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)∴64=27-4m,解得m=14.故y=2由27-14t≤故至少排氣32分鐘,這個(gè)地下車庫(kù)中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài).11.①③由圖象可得,當(dāng)t=2時(shí),y=49,即a2=4解得a=23.故y=2所以當(dāng)t=4時(shí),有害物質(zhì)的剩余量為y=234=1681第一個(gè)月的減少量為1-23第二個(gè)月的減少量為23?232=2③由已知23所以23t1+t2=23t1×2312.解(1)因?yàn)槊拷?jīng)過一次過濾均可使水的雜質(zhì)含量減少23所以每次過濾后所含的雜質(zhì)是前一次的13,故y=a%×13x,x∈(2)設(shè)至少經(jīng)過x次過濾才能使礦泉水達(dá)到要求,則a%×13x≤0.002所以13所以lg(13)x≤lg21000,即xlg1所以x≥3-lg2lg3≈3-0.3010.477≈5.故至少經(jīng)過6次過濾才能使礦泉水達(dá)到要求.13.解(1)若選y=px2+q(p>0),將x=2,y=10和x=4,y=50代入可得4解得p所以y=103x2-103.將x=6代入,得y=350若選y=kax(k>0,a>1),將x=2,y=10和x=4,y=50代入可得ka2=10,ka4=50,解得k=2,a=5所以選擇y=kax(k>0,a>1)更合適,解析式為y=2(5(2)設(shè)至少需要x個(gè)單位時(shí)間,則令2(5)x≥10000,即(5兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)可得xlg5≥lg5+3,則x≥lg5+3lg5=lg5+312lg5=2+312因?yàn)閤∈N*,所以x的最小值為11.故至少經(jīng)過11個(gè)單位時(shí)間該變異毒株的數(shù)量不少于一億個(gè).14.解(1)經(jīng)過1