有限abel群的結(jié)構(gòu)定理Fundamental Theorem of Finite Abelian

有限Abel群的結(jié)構(gòu)定理（FundamentalTheoremofFiniteAbelianGroups）有限Abel群是群論中已被研究清楚了的重要群類，也是應(yīng)用比較廣泛的群類，本節(jié)的主要結(jié)論是有限Abel群可以分解成階為素?cái)?shù)的方冪的循環(huán)群（循環(huán)p-群）的直積，而且表法是唯一的。我們先看幾個(gè)具體的例子。4階群都是Abel群，它們有兩種互不同構(gòu)的類型，代表分別是。6階群有兩種不同的類型，代表分別是，其中是非Abel群；是Abel群，且。8階Abel群有三種不同的類型，代表分別是。9階群都是Abel群，它們有兩種互不同構(gòu)的類型，代表分別是。這些有限Abel群都同構(gòu)于循環(huán)群或者循環(huán)群的直積，并且每個(gè)循環(huán)群的階都是一個(gè)素?cái)?shù)的方冪，這些循環(huán)群的階組成的有重集合正好是該群階素?cái)?shù)方冪乘積的所有可能組合。例如8階Abel群，有三種情形：，分別對應(yīng)于8寫成素?cái)?shù)方冪乘積所有可能的形式（三種）：。下面我們討論一般有限Abel群的結(jié)構(gòu)。引理1設(shè)a是群G的一個(gè)元素，a的階等于。其中與是兩個(gè)互素的正整數(shù)，那么a可以唯一的表示成，式中的階是；；而且都是a的方冪。證明因?yàn)榕c互素，所以存在整數(shù)使得。于是，令，則，而且都是的方冪。因?yàn)?，所以的階是的因子。由于與互素，從而互素，并且，故的階等于。但是的階是，所以必有。再證表法的唯一性。設(shè)，其中滿足條件。那么，注意到可以交換，所以的階是的因子，同理的階是的因子，又與互素，故必有，從而。引理2設(shè)是群的有限階元素，，是使的最小正整數(shù)，則（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)<>時(shí)，orda。證明（1）令，則，由k的最小性知，。因此，k|s。（2）由條件可知存在。令。設(shè)orda=n，則，由k的最小性知，。假若，則由（1）可知n|s,所以，與矛盾。因此，orda。定理1設(shè)G是一個(gè)n（）階Abel群，，其中是互異的素?cái)?shù)，，那么。其中表示G中階為素?cái)?shù)的方冪的元素的全體（這里因?yàn)榉强?，而且對G的運(yùn)算封閉，所以是G的子群）。證明由引理1，考慮分解成幾個(gè)互素的因子的一般情形，可證結(jié)論。因中元素的階都是素?cái)?shù)的方冪，的階也是素?cái)?shù)的方冪，，所以。定義1如果群G中一個(gè)元素g的階為素?cái)?shù)p的一個(gè)方冪，則稱g為一個(gè)p－元素(p－element)。如果群G的階是素?cái)?shù)p的一個(gè)方冪，則稱G為一個(gè)ｐ－群(ｐ－group)。定義2設(shè)群G的階為是一個(gè)素?cái)?shù)，q與p互素，那么G的階子群稱為G的一個(gè)Sylowp－子群(Sylowp－subgroup)。定理1說明每個(gè)n階Abel群可以表示為它的Sylowp－子群的直積。定理2（有限Abel群的結(jié)構(gòu)定理）任何階大于1的有限Abel群都可以唯一地分解為素冪階循環(huán)群（從而為不可分解群）的直積。也可以描述為：設(shè)G是一個(gè)n（）階Abel群，，其中是互異的素?cái)?shù)，，那么，其中且。稱每個(gè)為群的初等因子(elementarydivisor)，其全體稱為群的初等因子組(groupofelementarydivisor)。證明由定理1我們僅需證明G是素冪階有限Abel群即可。為此，我們可設(shè)是素?cái)?shù)，是正整數(shù)。（1）存在性設(shè)，且是G的使最小的一組n元生成系，即對G的任何一組n元生成系均有。下面證明：。令，僅需證。若不然，不妨設(shè)，，其中。再令是使的最小正整數(shù)且不妨設(shè)，則由引理2，。但是，，故每個(gè)都是p的方冪，從而都是p的方冪而且，再由引理2可得（1）再由于，故可令，（2）從而由此可知，故。于是由（2）知，（3）由此等式又可知，從而由引理2，。進(jìn)而。令，（4）并且令，（5）則由此可知。從而即也是群G的一組n元生成系。然而由（5）以及（3），（4）可知，于是由（1）知，ord().從而，這與的最小性矛盾。因此，結(jié)論成立。2）唯一性設(shè)(6)是G的兩種這樣的分解，且其初等因子組分別為。由于，故每個(gè)和每個(gè)，都是p的方冪。不妨假定。（1）若且不妨設(shè)r<s，又。則由（5）知，G的階按第一種分解為,而按第二種分解又為,這顯然是不可能的。（2）若，但。則令,并由此易知且由（6）有因?yàn)?，?但因都是p的方冪，故。從而H的階按第一種分解為正整數(shù)之積。同理，H的階按第二種分解又為正整數(shù)之積。這顯然也是不可能的。因此，有（1）與（2）可知：r=s且。從而。亦即G的兩種分解的初等因子組相同。由定理2可知，一個(gè)有限Abel群完全由其初等因子組所決定。定理3兩個(gè)階大于1的有限Abel群同構(gòu)的充要條件是，二者有相同的初等因子組。證明（1）充分性。設(shè)階大于1的有限Abel群G與有相同的初等因子組：則由定理2知，G與有相應(yīng)的分解：，，其中。于是據(jù)此易知（其中為任意整數(shù)）是群G與的一個(gè)同構(gòu)映射，因此，。（2）必要性。設(shè)，且仍用表示群G到的一個(gè)同構(gòu)映射。如果G的初等因子組為，則由定理2知，G有分解，其中，在之下仍設(shè)，由于是同構(gòu)映射，故，從而由此以及可知即與G有相同的初等因子組。定理2和定理3把有限Abel群的結(jié)構(gòu)完全搞清楚了。例1給出所有45階Abel群的互不同構(gòu)的類型。解因?yàn)?5＝，故相應(yīng)45階Abel群的初等因子組共有二種：因此，在同構(gòu)意義下45階Abel群共有二個(gè)，其代表是：，例2給出Klein四元群的分解和其初等因子組。解令e=(1),a=(12),b=(34),c=(12)(34)，則Klein四元群為,且易知,從而其初等因子組為。例3決定200階Abel群的互不同構(gòu)的類型。解200=。由于3的分拆有：3=3，3=2+1，3=1+1+1；2的分拆有：2=2，2=1+1，因此200階Abel群的初等因子有下述6種可能情形：從而200階Abel群有6種互不同構(gòu)的類型它們的代表分別是其中，這是循環(huán)群。例4設(shè)，求G的初等因子組。解因此G的初等因子組是初等因子為的Abelp-群稱為初等Abelp-群（elementaryabelianp-group）。Klein四元群是一個(gè)初等Abel群。45階Abel群都不是初等Abel群。實(shí)際上，更一般的，凡階有兩個(gè)或兩個(gè)以上互異素因子的Abel群都不是初等Abel群.習(xí)題1－101.決定12階Abel群的互不同構(gòu)的類型.2.決定36階Abel群的互不同構(gòu)的類型3.決定108階Abel群的互不同構(gòu)的類型4.決定360階Abel群的互不同構(gòu)的類型5.決定144階Abel群的互不同構(gòu)的類型6.決定216階Abel群的互不同構(gòu)的類型7.求下列群的初等因子組:(1)；(2)；(3)。8.設(shè)G是100階Abel群。(1)證明G必含有10階元;(2)G的初等因子組應(yīng)當(dāng)怎樣才能使G不含階大于10的元素?9.證明:對任意素?cái)?shù)和任意正整數(shù)總存在有限Abel群G,其初等因子組為。10.設(shè)p是素?cái)?shù).試給出同構(gòu)意義下的所有階Abel群.11.設(shè)G是階大于1的有限群.證明:若除e外其余元素的階均相同,則G為素冪階群.12.用表示k階循環(huán)群.證明:當(dāng)且僅當(dāng)正整數(shù)兩兩互素.13.設(shè)是個(gè)素?cái)?shù)分解,證明：。14.設(shè)m,n是兩個(gè)自然數(shù),記,證明：.15.設(shè)G是個(gè)有限Abel群,.證明