公務(wù)員考試-數(shù)量關(guān)系（筆記）6

方法精講-數(shù)量

方法精講-數(shù)量3(筆記)

學(xué)習(xí)任務(wù)：

1.授課內(nèi)容：經(jīng)濟(jì)利潤問題、高頻幾何問題。

2時(shí)長：2.5小時(shí)。

3.對應(yīng)講義：165頁~172頁。

4.重點(diǎn)內(nèi)容：

(1)進(jìn)價(jià)、利潤、折扣相關(guān)的公式,能準(zhǔn)確地計(jì)算分段計(jì)費(fèi)問題。

(2)常用的幾何公式、常用三角函數(shù)以及勾股定理。

(3)?？嫉膸缀谓Y(jié)論,以及相似三角開和最短路徑的解題技巧。

第六節(jié)經(jīng)濟(jì)利潤問題

【知識(shí)點(diǎn)】經(jīng)濟(jì)利潤問題：

1.利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)。利潤在考試中的概念是售價(jià)與進(jìn)價(jià)的差值。

2.利潤率=利潤/進(jìn)價(jià)。

例如：開店賣足球，進(jìn)價(jià)100元，售價(jià)250元，穢閏為150元。利潤中的

分?jǐn)?shù)是利潤率。利潤率=150/100=150%,賣足球相對進(jìn)價(jià)賺了150%。

(1)數(shù)量關(guān)系中，利潤率=利潤/進(jìn)價(jià)。

(2)資料分析中，利潤率=利潤/收入。

(3)相同的詞,公式不同。資料分析研究國家、地區(qū)等宏觀的利潤率,

對于企業(yè)、地區(qū)來說成本難以衡量，但收入是可以衡量的，故而將收入當(dāng)做

一個(gè)整體來計(jì)算,宏觀情況研究收入利潤率。數(shù)學(xué)運(yùn)算的情況比較簡單、清

晰、微觀，利潤、售價(jià)均是在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上思考。

(4)結(jié)論：數(shù)量中以進(jìn)價(jià)為分母,資料中以收入為分母。

3.售價(jià)=進(jìn)價(jià)*(1+利潤率\

(1)證明(過程無需理解,大致了解即可)：售價(jià)=進(jìn)價(jià)+利潤=進(jìn)價(jià)+進(jìn)

價(jià)*利潤率=進(jìn)價(jià)*(1+利潤率I250元的商品，250=100*(1+150%\

(2)前兩個(gè)公式是定義,第三個(gè)公式要理解,并記清楚。

1

(3)拓展：經(jīng)濟(jì)利潤的公式類似資料中的現(xiàn)期、基期,資料分析中的基

期,加上增長量變?yōu)楝F(xiàn)期,經(jīng)濟(jì)利潤問題中，進(jìn)價(jià)是基礎(chǔ),在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上

添加利潤為售價(jià),進(jìn)價(jià)月類似,利潤與增長量類似,售價(jià)與現(xiàn)期類似,

增長率=增長量/期月，利潤率=利潤/進(jìn)價(jià),數(shù)學(xué)中的利潤鍍似增長率。不

止詞匯對應(yīng),公式也與資料分析對應(yīng),對于公式(3),售價(jià)=進(jìn)價(jià)*(1+利潤

率)-現(xiàn)期=基期*(1+r),若覺得公式不好記，可以將兩個(gè)公式糅合起來理

解。

4.折扣=售價(jià)/原價(jià)=折后價(jià)/折前價(jià)。

(1)商品有原價(jià),賣不出去劊丁折，折后的價(jià)格稱為折后價(jià)。如原價(jià)25

0元的商品，現(xiàn)在賣50元，折扣=50/250=20%=2折。若打8折，現(xiàn)價(jià)=250*80,

(2)折上折：100元的商品，先打九折變?yōu)?0元，在此基礎(chǔ)上再打8折(

注意不是在100的基礎(chǔ)上打8折，即并非80),為90*80%=72元。

(3)100元的商品打八/斯，&P100*88%=88元，八五折為85元。

5.總價(jià)=單價(jià)*數(shù)量;總進(jìn)價(jià)=單個(gè)進(jìn)價(jià)*數(shù)量；總^潤=單個(gè)利潤*數(shù)量=總

售價(jià)-總進(jìn)價(jià)。

(1)總價(jià)指總售價(jià)。前面研究的均是單獨(dú)的概念,實(shí)際生活中會(huì)涉及總

價(jià)格、總利潤，與單件價(jià)格、單件^潤、單件進(jìn)價(jià)產(chǎn)生聯(lián)系。如單佛I」?jié)?0

元，賣出10件，總^潤為800元。

2

(2)計(jì)算商品的總利潤時(shí)，有兩種算法，一是用單佛I」?jié)?數(shù)量；二是

用總售價(jià)-總進(jìn)價(jià),一『出差的錢數(shù)便是利潤。

6.共5個(gè)公式，前3個(gè)公式是重中之重；公式4中，要知道100元的商品賣8

0元是打8折而三腎丁2折；公式5蠲知道總、利潤的兩種算法。

例1(2018江西)某品牌的葛粉進(jìn)價(jià)為20元，現(xiàn)降價(jià)20%賣出，結(jié)果還獲

得進(jìn)價(jià)52%的利潤。那么,該葛粉的定價(jià)是多少元?()

A.36B.37

C.38D.39

【解析】例L"葛粉"塞"種商品，無需知道是什么。20元是進(jìn)價(jià)，即成

本，IWf介;介的畫出上射介20%,屠丁捅瞪去，女100元，IWf介20%

是80元，即扣掉20%,是在定價(jià)的基礎(chǔ)上打8折。在20元的基礎(chǔ)上,額夕傲得

了進(jìn)價(jià)52%白彌鹿],降價(jià)雇的售價(jià)=定價(jià)*(1-20%),進(jìn)價(jià)為20元，利卸320*52%,

實(shí)際售價(jià)=進(jìn)價(jià)+利潤-定價(jià)*(1-20%)=20+20*52%,第話用遨,理解熊

是在定價(jià)的基礎(chǔ)上降價(jià)即可(不是在成本的基礎(chǔ)上降價(jià))，定介=(20+10.4)

/0.8=30.4/0.8=38?！具xC]

C璋’20+20*52%"可以寫為"20元*(1+52%丫。

例2(2018山東)商店購入一批熱中水果，如按定價(jià)銷售,每千克盈利23

元。銷售總量的5/9后,每千克降價(jià)8元賣出剩余部分,銷售這批水果共盈利

2275元。問按原定售價(jià)賣出了多少千克水果？()

A.60B.65

C.75D.80

峰析】例2.80%的經(jīng)濟(jì)利潤問題是簡單題。盈利是利潤，經(jīng)濟(jì)利潤中有很

多近義詞、同義詞,如成本即進(jìn)價(jià)。前面賣出5/9，降價(jià)賣出剩余的4/9，總共

額唧總^閏，總^髓解畸去，總^閏=單個(gè)利潤*數(shù)量①=總售價(jià)-總進(jìn)價(jià)②,

題目中沒有給出進(jìn)價(jià)、售價(jià),有單件^潤，優(yōu)先用公式①,單件利潤=23，問重

量，通過忘利閏2275元建立等量關(guān)系,單仲利潤等公斤的利潤23元,

知，當(dāng)出現(xiàn)總量的幾分之幾時(shí)，通過倍數(shù)特性設(shè)赫口數(shù)，設(shè)總重量為9x,賣出

3

5/9即賣出5x，降價(jià)8元賣出剩余的量，即9x*4/9,成本不變，售價(jià)降8元，

這8元是少賺的錢數(shù)，說明利潤少8元，列方程：2275=23*9x*5/9+（23-8）

*9x*4/9,2275=115x+60x,x=2275/175=13公斤,注意設(shè)的是總、，問的國安

原定售價(jià)賣出的量，即5x=65公斤隨B】

例3（2018］原）某水篇匕版商從果農(nóng)那里以10元/公斤的價(jià)格購買了一批

芒果，運(yùn)送到某地區(qū)售出。在長途運(yùn)輸過程中有5%的芒果磕碰金員和另外5%的

芒菊摭撼,因此無璜出,其余部分以25元/公斤的（介格售出后,如果不計(jì)

磷獻(xiàn)他費(fèi)用,血比芒果賺得^潤12000元貝闕匕儂商從果農(nóng)那里購買了多

少公斤芒果？（）

A.480B.800

C.960D.1000

【解析】例3.過度成熟即熟爛了，兩個(gè)5%賣書卓，其余90%

按照25元/公

斤的價(jià)格售出，搟I」?jié)櫴?2000元,總^鹿］=單個(gè)利潤*數(shù)量=

總售價(jià)-總成本,兩

種思路均可用，此處均講解。

方A:總禾I」?jié)?單個(gè)利潤*婁量,10%=1/10賣不掉，設(shè)

總垂為10x,方卓

10x中的90%,即10x*90%,明=25-10=15元,無去

賣出解盼相當(dāng)于售價(jià)

為0元，每公斤虧10元，注意中間是加號(hào)，列式：12000=

(25-10)*10x*90%+

(0-10)*10x*10%,12000=15*9x+(-10)x,125x=12000,

x=12000/125,^^

位4、8、9、10，首位不同，大致估算即可，首位商9對應(yīng)C項(xiàng)。

類似資料分

析,算式正確，計(jì)算首位區(qū)分選1頁即可。計(jì)算賺的錢后,容易忘

1己虧的錢,這是

易錯(cuò)版磨U"無法賣出"，T要璋賣律的部分要計(jì)算虧了

緲錢

方虹：蹦整為10x,賣出90%，總售價(jià)=單個(gè)售價(jià)*總重

12000=9x*25-100)T

x=9,對應(yīng)C項(xiàng)?！具xC】

例4(2015江蘇)某商品今年的進(jìn)價(jià)比去年減少15%,由

于售價(jià)不變，利潤

率比去年增加了24個(gè)百分點(diǎn)，則該商品去年的利潤率為(

A.24%B.30%

C.36%D.42%

【解析】例4.經(jīng)典考法，2017年及以前考得較多，近兩年考得較少，技巧

性強(qiáng)。售價(jià)不變,利;閏率比去年增加24個(gè)百分點(diǎn)，問去年的利;閏率,有今年、

去年兩?時(shí)間(前面題目僅有間點(diǎn))，價(jià)錢、利潤率有變化，時(shí)間點(diǎn)復(fù)雜

白緘目傾向于使腸靖去，±0寫去年(期月)，下面與今年(珊月)，成根進(jìn)

價(jià),利明可不寫,謂寫成本、售價(jià)、(利潤\穢閏率,沒有給出具體的哪,

均是百分?jǐn)?shù)、百分點(diǎn),可以考慮賦值法，均是在成本的基礎(chǔ)上研究售價(jià)、利潤,

賦值去年的成本為100元,無論咸少多保阿以直J妾算出價(jià)格(百分?jǐn)?shù)的髏是

100)，今錮冰為85元，不能再給售價(jià)賦值，可以設(shè)林口數(shù)，注意設(shè)售價(jià)為X

可做，但并非最好的設(shè)法,售價(jià)不變,計(jì)算的利潤率蜂量I:瞅麻煩,利潤率=

利潤/成本，設(shè)去年利潤為x,則去年利潤率為x/100,售價(jià)不變，今年售價(jià)=去

年售價(jià)=成本+利潤=100+x,今年禾I」?jié)櫈閤+15,今年禾I」?jié)櫬?(x+15)/85。"利潤

率比去年增加了24個(gè)百分點(diǎn)"-^x/100+24/100=(x+15)/85^(x+24)/100=

(x+15)/85^(x+24)/20=(x+15)/170

20*(x+15)=17*(x+24),3x=17*24-300=108,解得x=36,

問去年的利潤率,加上百分號(hào)即為答案，利潤率=36/100=36%。列表是必須的，

可以讓條件更清晰，讓思維更清楚。

方扛:(x+24)/100=(x+15)/85,分子、澗同日切口減彳器腺份數(shù),分

子、分母同時(shí)做差：(x+24)/100=(x+15)/85=(24-15)/(100-85)=3/5-(x+24)

/100=3/5,100是5的20倍,古碗(x+24)是3的20倍，x+24=60,x=36,計(jì)算

量咸少,添陌分號(hào)即為答案。約分后操作更簡單,(x+24)/100=(x+15)/85

5

-(x+24)/20=(x+15)/17=(24-15)/(20-17)=3-(x+24)/20=3f=36。

【選C】

【注意】小技巧：如果A/B=B/C,那么A/B=C/D=(A士C)/(B士D］例：

10/30=1/3=(10+1)/(30+3)=11/33,10/30=1/3=(10-1)/(30-3)=9/270

【知識(shí)點(diǎn)】分段H費(fèi)：前四題考公式,后兩題考分段計(jì)算經(jīng)濟(jì)利。閏中還有

部分打折題,近兩三年很少考。分段計(jì)費(fèi)是近JW的熱門考法。

L在斷沖,水電費(fèi)翎蟾,每媯費(fèi)笳觴萼,用期便噩官

問：在不同收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)下,一共需要的費(fèi)用？

2.計(jì)算方法：

(1)按標(biāo)準(zhǔn)，分開。

(2)計(jì)算后，匯總。

3.例：某地出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：3公里內(nèi)起步價(jià)8元；超出3公里的部分,

每公里2元。小明打車坐了12公里，共花費(fèi)多少錢?

答：3公里曷遐點(diǎn)，3公里內(nèi)起步價(jià)8元，3公里以上2元/公里，對應(yīng)3~

12■，共12-3=9公里，總價(jià)格=8+2*9=26元：金過3公里的部分是2元，

需要分別計(jì)算前面3公里和后面9公里。

例5(2016河南)賈某在停車場停車，每個(gè)月前幾個(gè)小時(shí)內(nèi)收費(fèi)的基礎(chǔ)(介格

為5元/〃時(shí),之后搠暗的介格的90%收費(fèi),某月霞勺停車時(shí)'用為120小時(shí),

共交了545元，則按照基礎(chǔ)價(jià)格停車的時(shí)間為多少小時(shí)?()

A.8B.10

C.15D.20

嘛析［例5."之后按照基礎(chǔ)價(jià)格的90%收費(fèi)'，即之屆磅5*90%=4.5元

/小時(shí)，給了總時(shí)間120小時(shí)和總錢數(shù)545元，前幾個(gè)小時(shí)未知，假設(shè)基礎(chǔ)時(shí)間

6

為X小時(shí)，則基礎(chǔ)部分的麒為5x,超標(biāo)部分的錢數(shù)為4.5*(120-x)歹氏

5x+4.5*(120-x)=545,整理得:0.5x=545-540,解得x=10小時(shí),對應(yīng)B項(xiàng)。

【選B】

【注意】注意設(shè)的x是什么,本題求誰設(shè)誰,可以直接選。

例6(2018江西)為了節(jié)約水資源,某城市規(guī)定每人每月不超過5噸,則安

2.5元/噸收費(fèi)；超出5噸的,超出部分按4元/噸收費(fèi),每次收費(fèi)時(shí)用水量者的安

蹴計(jì)算，3蜩3OA,竟朦4口人顆月感短時(shí)，癡I媛69.5元,

比熊家多交了15.5元。那么,熊家該月用了多少噸水?()

A.20B.21

C.22D.23

【解析】例6.分段計(jì)費(fèi)問題在近幾年考的都相對簡單。本題跟上一題的區(qū)

別是標(biāo)準(zhǔn)不僅與時(shí)間有關(guān),而且跟A口有關(guān)。假如3個(gè)人標(biāo)準(zhǔn)為15噸，用了18

噸水，則15噸按照2.5元/噸去收費(fèi)，超標(biāo)的18-15=3噸按照4元/噸去收費(fèi)。

問題問熊家,則胡家的情況不用考慮,熊家交了69.5-15.5=54元水費(fèi),熊家有

4口人，貝(］標(biāo)準(zhǔn)為4*5=20噸。設(shè)超標(biāo)x噸，可歹I」式20*2.5+x*4=54,整理得：

50+4x=54,x=l,則熊家用了20+1=21噸水,對應(yīng)B項(xiàng)。［選B］

【注意】分段計(jì)費(fèi)問題T殿分段標(biāo)準(zhǔn)為x,如夥口道分段標(biāo)準(zhǔn)，則一般設(shè)

超標(biāo)的為X。

【答案匯總】1-5:CBCCB;6:B

利潤=告價(jià)一進(jìn)價(jià)

利潤率=利潤+進(jìn)價(jià)

折扣=折后價(jià)+折前價(jià)

基礎(chǔ)總價(jià)=單價(jià)x個(gè)數(shù)

經(jīng)濟(jì)

方法公式法、賦值法

經(jīng)濟(jì)

利潤問題

水電費(fèi)、出租車費(fèi)、稅費(fèi)等

分段

-分段計(jì)算、匯總求和

計(jì)費(fèi)

【小結(jié)】經(jīng)濟(jì)利潤:

7

L基礎(chǔ)經(jīng)濟(jì)：

(1)公式：

①利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià),售價(jià)=進(jìn)價(jià)*(i+n

②利潤率=利潤/進(jìn)價(jià)。

③折扣=折后價(jià)/折前價(jià)，降價(jià)20%對應(yīng)打8折。

④總價(jià)=單價(jià)*個(gè)數(shù)。

(2)方法:

①公式法。

②賦值法,不知道麒,也不求具體的麒時(shí)。

2.分段計(jì)費(fèi)：

(1)水電費(fèi)、出租車費(fèi)、稅費(fèi)等。

(2)分段計(jì)算、；口可和。

第七節(jié)高頻幾何問題

［知識(shí)點(diǎn)］高頻幾何問題：幾何問題太多太雜,中學(xué)學(xué)了多年的幾何問題,

幾何出題方式有彳照種,經(jīng)常出現(xiàn)中考的原題,通過總信題,只講考的上俄多

的、高頻的幾何問題,即使學(xué)完方法精講課,夠U不會(huì)做的幾何問題也很正常。

L公式類：有公式就能做。

(1)規(guī)則圖形。直接可用公式,正方形、長方形、圓形……

(2)不規(guī)則圖形：轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的和或者差,再去求解。

①下圖，可湄作：正方形i/4m邸匕，不規(guī)則酬舞專化為規(guī)^圖形的

和或差來計(jì)算。

8

N二口P

②"L形"圖形可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)長方形去解題。

2.結(jié)論類：側(cè)重于中學(xué)所學(xué)到的小結(jié)論、小技巧。

3.技巧類：相似三角形、直角三角形勾股定理、版路徑等。

一、公式類

例1(2017聯(lián)考)某單位準(zhǔn)置fWT可宛圃，若將矩形花圃的長和寬S?增

加4米，貝慚矩開洸圃的面積比原來的面積增加了40平方米。月陷,府邸花

圃的周長是多少？()

A.12米B.24米

C.32米D.40米

解析]例1方A：矢哪包括正方形，但是本題不能當(dāng)做正方形去解題。

已知矩形的長寬各加4米,長寬具體值并不知道,無論求面積還是周長,者屣

原來的長和寬，設(shè)長為a,寬為b。貝！]新的矩形:^=a+4,寬=6+4。貝!](a+4)*

(b+4)-a*b=40，螯幽導(dǎo)a*b+4b+4a+4*4-a*b=40,a+b=(4044)/4=6。

周長=2*(長+寬)=2*(a+b)=6*2=12。

方法二：畫圖法。原來長寬各增加4米，增加了40平方米,增加的面積是

右下角L形師循盼，延I旅邊,形成4b和4*(a+4)幅威貝(]4a+4b+16=40,

同樣可以求出a+b=6,再求周氏熱A】

9

【注意】長方形包括正方形，正方形是長寬相等的長方形。

例2(2018四11)如圖所示長方形恰好分成六個(gè)正方形，其中最小的防形

面積是1cm2,則這個(gè)長方形的畫只是(\

2

A.l43cm2B.132cm

C.110cm2D.90c2

m

購用用例2.已知］最小的正方形A的面積為1cm②，貝(M密為1cm，設(shè)E的

邊長為a,E和F有一條邊緊緊貼著，貝！JF的邊長也為a,觀察D的邊長，左側(cè)

豎著的邊長為a+1,則大長方形下邊長已知，觀察C的邊長，為a+1+1,B的邊

長為a+2+l,此時(shí)上下邊長已知，圖形為長方形則上下邊長相等，可列式：

a+3+a+2=3a+l,得a=4,S=(3a+l)*(a+l+a+2),代入a，可得菰：=13*11=143,

對應(yīng)A項(xiàng)?！具xA】

10

【注意】易錯(cuò)點(diǎn)：標(biāo)數(shù)的時(shí)彳既要把長方形上下邊長的a的個(gè)數(shù)標(biāo)成相等,

否則會(huì)得到一個(gè)叵等式0=0,求不出a的具體值。

例3(2018北京)本題圖中，左邊的圖形每個(gè)小圓的面積為n,那么右邊

圖形中陰影部分面積為()

A.8TT

C.4TT+8D.20

解析】例3?方;A:通過觀察圖形可知，S陰=S正-S大圓。正方形-娜,正

方形翻環(huán)帶T,圓形畫只帶IT,則答案=不帶TT-帶IT,只有B項(xiàng)符合。這個(gè)方

法叫做選項(xiàng)的形狀,在幾何題中可以根據(jù)選項(xiàng)特征去遢圣。

方法二:S小圓=TTT小2=TI,貝!!r小=1。S陰=5也-S大圓。大正方形邊長與左側(cè)四

他照勁昭相同，4解鈣1,貝吠防開信/vm空，邊長為8,S正=8*8。

大圓半徑是正方形邊長的一半，則r大=4,S大圓=m大2。貝[]S陰=8*8-m大2=64-

11

16TT,對應(yīng)B項(xiàng)。[選B]

例4(2018廣州)如圖所示,市政部門否■塊周長為260米的長方形草地旁

邊鋪設(shè)寬為10米的L形道路。已知鋪好道路后,道路和草地解R之和為草地面

積的1.5倍,則草地的畫只為()平方米

道

草地

路

道路

A.4200B.4000

C.3000D.2800

嘛析】例4.方法一："L形'幾(曜至常會(huì)考到。把草地的面積看為S，則

道路+草地的面積為1.5S,道路的面積則為0.5So道路寬為10m,草地畫只為2

(a+b)=260Ta+b=130米把道路切分開，如圖所示。上面部分解脫10b,下

面部分的面積為10a,而中間的/J映為10*10,止忸寸S道=10*a+10*b+10*：L0,圈里

得S道=10(a+b)+100=1400m2,S草=2*S道=2800m2,對應(yīng)D項(xiàng)。

方法二：純代數(shù)方法解^,S^=(a+10)(b+10)=1.5ab^ab+10b+10a+100

=1.5ab,a+b=130，貝(J10a+：L0b=：L300,隹出,里嘀肋

2800,對應(yīng)D項(xiàng)。

方法E(猜裝):整個(gè)畫只與草地翻粕比根聯(lián)系為3:2,觀察選項(xiàng),A

項(xiàng)：D項(xiàng)=3:2,A項(xiàng)為坑,弓I那些沒有看清問題的同學(xué)入坑,而符錚髏關(guān)系的

D項(xiàng)為1璇答案熱D】

12

【答案匯總】1-4:AABD

正方形：4a長方膨：2(aLb)

，田長|圓形：2nR弧長：2nRxrr/36O0

正方修：aA2長方形：ab

-1-------\I一.II一的形：ah/2向形：TTRA2由形：nRA2*nV3600

,,1\-而枳科-----------------

幾何1'梯形：(a+bV2?h變形：對角找乘積+2

公式

正力體：3Az長方體*2(ab*bc*4Kj

表面積[']IHI柱體；2n22+2nRh*球體：4nR*2

_______正方體：aA3K方南abc

-體枳1-：＞住體】Sh惟體：1/3*Sh?球體，4/3xnRA3

【知識(shí)點(diǎn)】幾何公式：

L周長：

(1)正方形：4a。

(2)長方形：2*(a+b)

(3)圓形：2n*R。

(4)弧長：2nR*n7360。。如：求弧長AB，用n。(弧長所對圓心角)

/360。作為比重,求出n。在360。中所占的比例，圓周長*占圓的比重=弧長。

2.面積：

2

(1)正方形:a0

13

(2)長方形：a*b。

(3)三角形：a*h/2。

(4)圓形：HR，

(5)扇形：nR2*n7360。。和弧長求法相同,用圓的解辣以扇形所占

的比例。

(6)梯形：(a+b)*h/2。梯形上、下兩條搏行，a是h底，b是下底，高

是ho找一個(gè)與這個(gè)梯形一樣的梯形，倒過來拼在-置,變成底邊為(a+b),高

為h的書犧邊形,平行四邊f(xié)f湎只(a+b)*h0所以一N新湎只(a+b)*h/20

(7)菱形：對角僦積/2。菱形是四條邊彼此平行且相等,對角線垂直的

m將豎著的對角線平襟II兩邊,橫著的用多到兩邊,得到長方形,長方形面

積=2*菱形面積,長方形畫只=a*b,則菱形面積=對角僦積/2。

3.表解只(考量用彈交少)：

2

(1)正方體：6*ao

(2)長方體：2*(ab+bc+ac1悔耦去：福妨體(流水也)，刷防水

漆,地面與側(cè)面需要刷，但是蓋子不會(huì)刷，相當(dāng)于少T長*寬的面。

(3)圓柱體：2n*R2+2n*R*h。圓柱體表解只分為上下兩個(gè)圓的面積(2*

赤)不喃的貝廊只(2n*R*hl

(4)球體(考得0少)：411*口2。記不住的可以不記。

4體積：

3

(1)正方體:a0

(2)長方體：a*b*c。

(3)柱體：S*h。不強(qiáng)調(diào)圓柱體,所有的柱體都可以這樣計(jì)算。

(4)錐體：l/3*S*h。不強(qiáng)調(diào)圓錐體,所有的椎體都是這樣計(jì)算。

(5)球體：4/3*n*R3。

5.公式推導(dǎo)過程能夠看慢再好不過,考場上沒有時(shí)間推導(dǎo)。

二、結(jié)論類

【知識(shí)點(diǎn)］結(jié)論類：見招拆招，逐步積累，遇到結(jié)論時(shí)可以直接運(yùn)甩

14

例1（2016d加）小王通月正在裝修新房，他計(jì)劃將長8米寬6米的客廳

按呻標(biāo)分別在各邊中點(diǎn)裁形成的四邊形內(nèi)鋪設(shè)不同花色的瓷磚，則需要為

最里側(cè)的四邊形鋪設(shè)多少平方米的瓷磚？（）

A.3B.6

C.12D.24

喻］例1.維塞:條形、四邊形不斷倒整邊中點(diǎn)，問斟間的面

積是多少。本題i叱勺是最里側(cè)的四邊形鋪設(shè)多少平方米,與瓷磚沒有關(guān)系,只需

要求出窗即阿已知最外層面積=8*6=48平方米窗候型題都是有固磔論:

各邊中點(diǎn)鏤,女□^是三角形,哂1/4;如果是四邊形,畫片1/2。不會(huì)記反,

股陳方形中點(diǎn)域得到中間的圖形,很明顯與長方形差勺不是很S,所以是面

積*1/2。因此本題答案就是不斷減半,最夕M則面積為6*8=48平方米，總共連了

3次中點(diǎn),則48*（1/2）3=48/8=6平方米,對應(yīng)B點(diǎn)［選B］

。境】■侖：各邊中,如觸,畫只1/4;如

邊形,面積*1/2。

2.通■題目不需要證明，中學(xué)考查過。特定結(jié)論有固跡巧,考場直接

使用。

例2（2016吉林）用直線切害！有限平面,后此前每條直線都

費(fèi)嗡用狡點(diǎn),第1條直線將平面分成2塊，第2條直線將平面分成4塊，第

3條直線將平面分成7塊，按此規(guī)律將平面分為46塊需要（1

A.7條直線B.8條直線

C.9條直線D.10條直線

喻】例2/魏霞,第1條線將平面分成2塊，第2條線將平面分成4

塊，第3條線將平面分成7塊，已知“后喻每條直編陵唯新的

交點(diǎn)'，因此E會(huì)不能交叉在同一點(diǎn)。問的是將平面分成46塊需要多少條直

15

線。如果劃線上俄費(fèi)時(shí)，考試時(shí)如果已知第L2、3……()個(gè)，都屬于枚舉

性內(nèi)，'按雌見律"不是真正的去擲見律，歸納捌見律。眼口已知L3、5、7,

可以推出后面的數(shù)是;或者、、、,可以隹出后面白矍娓榴:廉目已

91248160

知2、4、7這三個(gè)數(shù)無法歸納出規(guī)律,數(shù)太少,不是等差,也不是等比,再找第

4條線將平面分成U塊，2、4、7.11,發(fā)現(xiàn)相鄰兩個(gè)數(shù)之間分別相差2、3、4,

木里殿普磬攵列,則第4條直線與第5條相差5塊，第5條直線將平面分成

16塊,搠醐律依次得到：22、29、37、46,再將分成的塊數(shù)與第幾條線對應(yīng),

由于11塊對應(yīng)第4條，則16塊對應(yīng)第5條，22塊對應(yīng)第6條，29塊對應(yīng)第7

條，37塊對應(yīng)第8條，46塊對應(yīng)第9條。對應(yīng)C項(xiàng)。[選C]

[)^1第L2、3……:利用蜂屋內(nèi),^^深\耐,

相當(dāng)于找數(shù)字規(guī)律的題目。

2.2017年聯(lián)考,考查過同峰型題目，給出10條線,每條線上標(biāo)記白圓圈

以及黑圓圈,不斷地往下延伸，最后會(huì)像顆圣誕樹，問第10條線上有多少白圓

圈？解法就是看第L2、3條如朝痛幾個(gè)白圓圈，找規(guī)律,可能是等差、等

比或者求和。T是簡單的加減算法。因止展似題目考慮枚舉歸納法。

例3(2017聯(lián)考)如圖所示,甲和乙在面積為54n平方米的半圓形游泳池

內(nèi)游泳，他們分別從位置A和B同時(shí)出發(fā),沿直線同時(shí)游到位置C。若甲的速度

為乙的2倍，則原來甲、乙兩人相距(1

A.92米B.15米

C93米D.18米

【解析】例3.根據(jù)題意，甲由A到C,乙由B到C,已知甲和乙分別從A和

B同時(shí)出發(fā)，沿直線同時(shí)澹UC,說明時(shí)間相同，甲的速度是乙的2倍，貝！JV甲/

16

VZ=S甲/S乙=2/1,AC=S甲，BC=S乙,因此AC=2*BC。已知半圓的面積為54n,半

圓面積=（1/2）*n*R2=54n,R=7TO8,先不需要計(jì)算。求的是原來甲、乙相距

多少米？相當(dāng)于求AB的長度。在3BC中,AC是直徑,AC=2*BC=2*R^108,

對于直角三角形才能使用勾股定理，但沒有告訴NABC是直角，但吉貴是直角

三角形,原因有兩點(diǎn)：（1）zABC對著直徑AC,圓內(nèi)接三角形直徑所對一定是直

角。（2）幾乎沒有反例，可以測量zABC=90°,本題不是填空題或者解^題,不

獻(xiàn)S程,出題A一定是根?規(guī)則畫圖,當(dāng)做90。用，行則情查‘如圖所示"

對應(yīng)的圖T娓精確畫出的。AC=2R,BC=R，則ABM/3*GM茅7108,有些同學(xué)會(huì)

發(fā)現(xiàn)結(jié)果出現(xiàn)M3，選C項(xiàng)，不正確,因?yàn)镸ICE"不是整數(shù),所以C項(xiàng)不正確。VT

,幅頡，B項(xiàng):152尾數(shù)是5,D項(xiàng):盤=324,對應(yīng)D嘰【選D】

。境】本題黯論趣型,已知AC是半圓的直徑可雌出NABC,直角所

對角是直徑，直徑所對角是直角,可以國隹。

【答案匯總】1-3:BCD

三角形則而枳成少為1/4

連接各邊中點(diǎn)

四邊形則而枳減少為1/2

|2知第1、2、3個(gè)?推笫〃個(gè)枚舉M納找規(guī)律

結(jié)論類一

五位所對加是自用

圓內(nèi)接三角形

H角所對弦是內(nèi)徑

【小結(jié)】結(jié)論類：

L連接各邊中點(diǎn)：

17

(1)三角形則面積減少為1/4。

(2)四邊形則面積減少為1/2。

2.已知第1、2、3個(gè)……推第n個(gè)：枚舉歸納找規(guī)律(等差、等比、菊口，

規(guī)律免證，直接使用)

3.圓內(nèi)接三角形：

(1)直徑所對角是直角。

(2)直角所對弦是直徑。

三、技巧類

【知識(shí)點(diǎn)】技巧類:

L直角三角形：

勾股定理：已知直角邊、,斜邊為則222勾股數(shù)：剛

(1)abc,a+b=c0

好滿足且是髏。?？嫉挠校?、、、、也可以將勾

a2+b2=c2,345;512130

股數(shù)放大/縮小同樣的倍數(shù)，仍然符合勾股定理。

(2)三角函數(shù)：?？?0°、60°:斜邊為2時(shí)，30。對應(yīng)邊長為1,另一

條邊為V3；45。、45°:斜邊為2時(shí)，直角邊為M2：考試的時(shí)候，可以利用

三角板。

2.相似三角形：

(1)判定：兩個(gè)角對應(yīng)相等,考試一般不需要嚴(yán)榴故，考場上最常見的

考法：騰平行駢1間有交叉,對應(yīng)角相等,可以判定三角形相似。或者任意

三角形中間平行線,則小三角形與大三角形相似。

海-忘A

(2)性貢(用去):

18

(W邊長之比等于相似比，各組對應(yīng)邊/高之比/目恥匕。兩個(gè)三角開沸目

似，邊長分別為5和10,邊的比例即為相似比=5/10，則各組對應(yīng)邊/高之比=

相似比，只要搟II一組邊的比例即可。

②面積比=相似比的平方。上面三角形和下面三角形的邊長比為5/10,如

果上面三角形畫只為20,1/4=(5/10)2則下面三角形畫只為22*20=80。

3.最短路徑：

(1)從A點(diǎn)到B點(diǎn)最短就是直線，考法：從A點(diǎn)到B點(diǎn)不走直線，要求

先到達(dá)一條線再到達(dá)B點(diǎn)，必須有折返點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)。將A點(diǎn)對稱到A點(diǎn),對

稱點(diǎn)A'與B連線交于直線于。點(diǎn)，實(shí)際路徑是A-OTB,計(jì)算時(shí)A'-O-E

計(jì)算的路程是直線，相當(dāng)于最短路徑。二者相等。考試中當(dāng)題目已知A點(diǎn)到B

點(diǎn),要求去地面反彈下,再到達(dá)B點(diǎn),去直線上跳一下,再到達(dá)B。

(2)方法：①e竟面對稱；②對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)轆。

例1(2016聯(lián)考)老王圍著邊長為50米的正六邊形的草地蜘，他從某個(gè)

角點(diǎn)出發(fā),跑了500米之后,與出發(fā)點(diǎn)相距有多遠(yuǎn)？()

A.50(C-l)米B.50c米

C.50(72-1)D.5OV2米

19

【解析】例1.正六邊形邊長是50米，從某個(gè)角點(diǎn)出發(fā)隨畫點(diǎn)A點(diǎn)，

跑了500米,沒有說方向，假設(shè)向右出發(fā),相當(dāng)于跑了10條邊,正六邊形跑6

條邊回到原點(diǎn)，再跑4條邊，到達(dá)B點(diǎn)。求AB的長度即可。注意距離不是跑道

±0面離,而是1線距離。道妾AB,3BC不是蜀三角形,是翱七角形,要

記住凡是考試考查等腰三角形,第/就是作高,因?yàn)榈妊切问侨€合一：

高、中線和角平分線。

方A：作AB的高CD,根g謬*，則AB=2*AD,3CD為直角三角形，

如果已知NACD就可以求出AD的長度,zACD=l/2*zACB0正六邊形每個(gè)角都是

120°,SltbzACB=120°ozACD=l/2*zACB=120/2=60°o60°廁寸的遮斜邊

的心/2倍，貝!]AD=50q3/2=25M3,AB=2*AD二5043,對應(yīng)B項(xiàng)。

￡L

方虹（3題啕聿）：考場上120?；?0。角所對的邊長，通常含有43的系’

數(shù)。這種方法正確率在80%以上，目前為止只有一個(gè)反例。60。對應(yīng)的邊長含有

V3/2的系數(shù)，而120°=60°+60°,相力除出現(xiàn)M3這個(gè)系數(shù),因此選項(xiàng)可以排

除C、DU對于A、B項(xiàng)，50,50（73-1）〈邊長50（大角對大邊），

四-UO.X,A項(xiàng)＜50,排除A項(xiàng)。【選B]

【注意】1.遇到等腰三角形,高、角平分線、中線三線

2.正六邊形邊長120%三角形內(nèi)角和為180°,四邊形內(nèi)角和為360。。

維侖:n邊形的內(nèi)角和二（n-2）*180°。正大峰（6-2）*180°/6個(gè)角=120°。

例2（2018國考）途非法漁蒯乍業(yè)時(shí)發(fā)現(xiàn)其正右方有海上執(zhí)法船，于是沿

下圖所示方向左轉(zhuǎn)30。后,立即以15節(jié)（1節(jié)=1海里/小時(shí)）的速度逃跑,同

時(shí)執(zhí)海韶某一直線方向勻速追趕,并正好在某一點(diǎn)追上,已知漁船在被追上前

20

避知距離剛好分發(fā)珊丸法船時(shí)與執(zhí)法船的距離相同，問執(zhí)法船的速度為多少

節(jié)？

A.20B.30

C.10V3D.15V3

【解析】例2.根據(jù)題意,15節(jié)相當(dāng)于速度,如圖所示,前面的距離是逃跑

的距離,被追上前逃跑的距離相當(dāng)于AC,發(fā)現(xiàn)執(zhí)法船相當(dāng)于AB。根據(jù)題目要求

AC=AB,且"CB是等腰三角形。

方法一：作垂線AD交于BC于D點(diǎn)，漁船是AC方向，執(zhí)法船是BC方向，

"同曲防娜某一直線方向勻速能,并正好在某一點(diǎn)回t"說明兩者時(shí)間一

樣，速度與路程成正比，則BC/V執(zhí)法=AC/V;fiK=BC/V執(zhí)法=AC/15,只要求出BC與AC

的比例關(guān)系即可。假設(shè)AC=x，貝UAB=x，止的號(hào)四角形,求BC的長度，魅

=120°,對應(yīng)的邸核每/31NCAB=30°+90°=120。。所UBC=M3）C于是43x77

執(zhí)法=x/15,1*V執(zhí)法=15句3,V執(zhí)法=I5M3,對應(yīng)D項(xiàng)。

方扛：猜蹴巧：只需要畫出圖，求的是執(zhí)法船的路程，則執(zhí)法船的速度

與路程BC有關(guān)系，BC對應(yīng)的角度是120°,則BC一定含有口的系數(shù)，排除A、

B項(xiàng)。對于C、D項(xiàng)，題目中只有f速度15節(jié)，要推出未知，而且未知數(shù)帶有

右，只有D項(xiàng)腌旗D】

例3.（2017國考）一塊種植花卉的矩形土地如圖所示,AD邊長是AB的2

倍，E是CD的中點(diǎn)，甲乙丙丁戊區(qū)域分別種植白花，紅花，黃花，紫花，白花，

則種植白花的畫只占矩形土地面積的：

A.3/4B.2/3

C.7/12D.1/2

21

嘛析]例3.方:A:榴懿目要求才塔阻戊倒只與整？矩膝勺翻腳

可，戊t徽好求，底邊是長方形半個(gè)底，高度是長方形整個(gè)高,相當(dāng)于1/4長方

形面積。對于甲：理解成三角形,底邊好找，但是高比長方形高少,h甲+h丙=長

方形高,只需要找出甲與丙的關(guān)系即可，甲與丙是平行^之間有交叉,所以可以

知道甲與丙相似，找高的關(guān)系,h甲/h丙=相似比，條件沒有給出,已知底邊比例

則用則甲相當(dāng)于份

AB/DE=2,h/hS=AB/DE=2/1,h=2/[(1+2)*AD],AD3，

h甲

相當(dāng)于2份,計(jì)算畫只即可，出題人給的是比例，沒有具體數(shù)值,利用賦值，由

于要平分,賦值A(chǔ)B=2,AD=4,得SI:S甲=l/2*AB*h甲=1/2*2*(2/3)*4=8/3。貝

S戊=1/2*1*4=2,矩形面積=(S甲+S戊)/8=7/12。對應(yīng)C項(xiàng)。

方法二：已知根據(jù)蝴蝶定理,甲面積乙畫只丙面

DE=1,AB=20=22;=1*2;

積；丁聃=1*2,不是觥噫義上的畫只，是比(歹皮系貝幃相當(dāng)于22=4份,

乙相當(dāng)于1*2=2份，丁相當(dāng)于1*2=2份，丙相當(dāng)于r=1份。由于eDE與WCE

等底同高,所以SBDE=SBCE，戊=(2+1)份，則箭只比()=(4+3)/12份=7/12。

【注意】蝴蝶定理：已知梯形對角線相連，上底是a,下底是b,則四個(gè)三

角形面積有必然關(guān)系,上面的畫只是a之,左邊面積是a*b,下面面枳是b,,右邊

面積是a*b。

22

a

例4（2017吉林）悟空與二良阱申在離地面1米的空中決斗，兩人相距2米,

悟領(lǐng)用分身直接偷襲二弱申，為了不引起對方的警覺,分身必須在地面反彈一

次再進(jìn)行攻擊，則分身到達(dá)二郎神的位置所走的黜距離為（）

A.20米B”？米

CV2米D.2V3米

解析】例4.根據(jù)題意畫圖，悟空是A