山東省棗莊市滕州市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

高二年級質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題2023.02注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】由題得故選：D2.雙曲線的焦距等于（）A.1 B.2 C.3 D.6【答案】D【解析】【分析】由題意可知，，，解出，即可知焦距.【詳解】由題意可知：，，，解得，即雙曲線的焦距等于，故選：D.3.過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)所求直線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入所求直線方程，求出的值，即可得解.【詳解】設(shè)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，解得，故所求直線方程為，即.故選：A.4.在等比數(shù)列中，，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，且，則.故選：D5.如果圓關(guān)于直線對稱，則有（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】圓心在直線上，代入計(jì)算得到答案.【詳解】由圓的對稱性知，圓心在直線上，故有，即.故選：B6.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為1，且PA與AB，AD的夾角都等于60°.若M是PC的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)空間向量基本定理得到，平方后，利用空間向量數(shù)量積公式計(jì)算出，從而求出模長.【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以因?yàn)榈拈L為1，且與，的夾角都等于60°．所以，所以.故選：D7.已知數(shù)列滿足，且，則的最小值是（）A.15 B.14 C.11 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件得出最小項(xiàng)為，利用迭代的思想即可求得.【詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，顯然的最小值是.又，∴，即的最小值是.故選：A8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對變形得到，進(jìn)而得到以，結(jié)合橢圓定義可求出，，，由余弦定理求解關(guān)系式，求出離心率.【詳解】因?yàn)椋?，如圖，在上取一點(diǎn)M，使得，連接，則，則點(diǎn)I為AM上靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，故點(diǎn)A與上頂點(diǎn)重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故選：A【點(diǎn)睛】對于求解圓錐曲線離心率問題，要結(jié)合題目中的條件，直接求出離心率或求出的齊次方程，解出離心率，本題的難點(diǎn)在于如何將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，需要作出輔助線，結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到三角形三邊關(guān)系，求出離心率.二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法中，正確的有（）A.直線必過定點(diǎn)B.直線在軸上的截距為1C.直線的傾斜角為D.點(diǎn)到直線的距離為1【答案】CD【解析】【分析】令的系數(shù)為0求解判斷A；根據(jù)截距的定義判斷B，求出直線的斜率再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求出傾斜角判斷C，利用點(diǎn)到直線的距離的定義求距離判斷D.【詳解】對A，直線過的定點(diǎn)坐標(biāo)滿足：，，故定點(diǎn)為，故A錯誤；對B，在軸上的截距為，故B錯誤；對C，直線的斜率為，故傾斜角滿足，即，故C正確；對D，因?yàn)橹本€垂直于軸，所以點(diǎn)到直線的距離為，故D正確.故選：CD10.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，公差，則（）A.若，則必有B.若，則必有是中最大的項(xiàng)C.若，則必有D.若，則必有【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析，即可求解.【詳解】對于A中，若，則，可得，所以，所以是正確的；對于B中，若，則，即，又由，公差，所以，所以，所以必有是中最大的項(xiàng)，所以是正確的；對于C中，若，則，即，又由，則必有，可得，所以必有，所以是正確的；對于D中，若，則，而的符號不能確定，所以不一定成立，所以是錯誤的.故選：ABC.11.在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，且．若點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，則A.平面B.直線和直線所成的角為C.當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)，且時(shí)，點(diǎn)的軌跡為一個橢圓D.過點(diǎn)，，的平面與四棱錐表面交線的周長為【答案】ABD【解析】【分析】將該四棱錐補(bǔ)成正方體后可判斷A、B正誤；結(jié)合橢圓的定義可判斷C的正誤；結(jié)合空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可判斷D的正誤．【詳解】解：將該正四棱錐補(bǔ)成正方體，可知位于其體對角線上，則平面，故A正確；設(shè)中點(diǎn)為，則，且，故B正確；，在空間中的軌跡為橢圓繞其長軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球，又平面與其長軸垂直，截面為圓，故C錯誤；設(shè)平面與，交于點(diǎn)，，連接，，，，，，，，，，，，，而，故，同理，而，平面，而平面，則，平面，平面，，，，平面，平面，而平面，則，，同理，，又，，則，而，交線長為，故D正確．故選：ABD.12.已知拋物線：與圓：交于，兩點(diǎn)，且，直線過的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若直線斜率為，則B.的最小值為C.若以為直徑的圓與軸的公共點(diǎn)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為D.若點(diǎn)，則周長的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】首先求出拋物線的解析式，設(shè)出的坐標(biāo)，聯(lián)立進(jìn)行求解，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A錯誤；再根據(jù)韋達(dá)定理和不等式求最小值后進(jìn)行判斷選項(xiàng)B；畫出大致圖象，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，交軸于，結(jié)合拋物線定義判斷選項(xiàng)C；過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，結(jié)合的周長，進(jìn)而判斷選項(xiàng)D即可.【詳解】由題意得點(diǎn)在拋物線上，所以，解得，所以，則，設(shè)直線，與聯(lián)立得，設(shè)，，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，，A項(xiàng)錯誤；，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立，B項(xiàng)正確；如圖，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，交軸于，取的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，則，是梯形的中位線，由拋物線的定義可得，所以，所以以為直徑的圓與軸相切，所以點(diǎn)為圓與軸的切點(diǎn)，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，又為中點(diǎn)，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，又點(diǎn)在拋物線上，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，C項(xiàng)正確；過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，所以的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)取等號，D項(xiàng)正確.故選：BCD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.等差數(shù)列中，則數(shù)列的前5項(xiàng)和__________.【答案】25【解析】【分析】利用基本量代換求出首項(xiàng)和公差，套公式求出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得：，解得：，所以.所以.故答案為：2514.若空間向量共面，則實(shí)數(shù)__________.【答案】1【解析】【分析】因?yàn)槿齻€向量共面，由平面向量的基本定理可知，然后計(jì)算即可.【詳解】由題可知，，故，有，解得故答案為：115.寫出與兩圓均相切的一條直線方程為___________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)圓的方程判斷圓的位置關(guān)系，公切線斜率存在，設(shè)為，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求參數(shù)，即可寫出直線方程.【詳解】由，圓心為，半徑為1；由，圓心為，半徑為4；所以圓心距為，故兩圓外切，如下圖，公切線斜率存在，設(shè)為，所以，解得或或，所以，公切線方程有或或.故答案為：（答案不唯一）16.橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是一個圓，這個圓稱為該橢圓的“蒙日圓”，圓心是橢圓的中心．已知長方形的四條邊均與橢圓相切，則的蒙日圓方程為_______________；的面積的最大值為_________________．【答案】①.②.18【解析】【分析】設(shè)兩條互相垂直切線的交點(diǎn)為，分為兩切線存在斜率為0和斜率不為0兩種情況討論，斜率不為0時(shí)，設(shè)切線方程為.聯(lián)立，利用整理成關(guān)于的一元二次方程，利用兩直線垂直斜率之積為，化簡整理即可求解的蒙日圓方程；要使圓的內(nèi)接四邊形面積最大，即四邊形為正方形時(shí)，結(jié)合面積公式即可求解.【詳解】設(shè)兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)為，當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中有斜率不存在或斜率為0時(shí)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)是，或.當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為0時(shí)，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是且，所以可設(shè)曲線的過點(diǎn)的切線方程是.由，得，由其判別式的值為0，得，因?yàn)椋檫^點(diǎn)互相垂直的兩條直線的斜率）是這個關(guān)于的一元二次方程的兩個根，所以，由此，得，即的蒙日圓方程為：；因?yàn)槊扇請A為長方形外接圓，設(shè)，，則矩形面積公式為，顯然，即矩形四條邊都相等，為正方形時(shí)，.故答案為：；.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.設(shè)圓的方程為（1）求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑.（2）若此圓的一條弦AB的中點(diǎn)為，求直線AB的方程.【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】（1）將圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，可得結(jié)果.（2）根據(jù)弦的中垂線過圓心，可得中垂線的斜率，然后根據(jù)垂直關(guān)系，可得直線的斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式可得結(jié)果.【詳解】（1）由圓的方程為則所以可知圓心，半徑（2）由弦的中垂線為,則所以可得，故直線AB的方程為：即【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程以及直線方程，難點(diǎn)在于對圓的幾何性質(zhì)的認(rèn)識，屬基礎(chǔ)題.18.設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義可得，利用與之間關(guān)系可證得數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得；（2）采用分組求和法，分別對奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)求和，結(jié)合等差數(shù)列求和公式和裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.【小問1詳解】由題意得：；當(dāng)時(shí)，，又，；當(dāng)且時(shí)，，整理可得：，，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，.【小問2詳解】由（1）得：，.19.如圖，在三棱柱中，平面，，，為線段上一點(diǎn).（1）求證：；（2）若直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明過程見解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式，結(jié)合空間點(diǎn)到面距離公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，所以，而，因此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，，因?yàn)?，所以，即，【小?詳解】設(shè)平面的法向量為，，所以有，因?yàn)橹本€與平面所成角為，所以，解得，即，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為：.【點(diǎn)睛】20.如圖，在四棱錐中，平面為等邊三角形，分別為棱的中點(diǎn).（1）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）棱上存在點(diǎn)，使得平面，且【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，先證明，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可；（2）設(shè)點(diǎn)滿足，再利用向量法求解即可.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樵谒倪呅沃?，，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，又在等邊中，是的中點(diǎn)，所以，如圖以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，，故，，設(shè)平面的法向量，則即，可取，因?yàn)槠矫?，所以即為平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為；【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)滿足，所以，則，因?yàn)槠矫?，所以，解得，即棱上存在點(diǎn)，使得平面，且.21.已知公比大于1的等比數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個數(shù)，求數(shù)列的前50項(xiàng)和.【答案】（1）（2）193【解析】【分析】（1）設(shè)首項(xiàng)為，公比為，代入條件計(jì)算，可求出通項(xiàng)公式；（2）由條件可知，當(dāng)時(shí)，，且，即可計(jì)算前50項(xiàng)的和.【小問1詳解】由于數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，依題意有，解得：或（舍）.所以.【小問2詳解】由題意，，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，共有個，則.22.如圖，已知橢圓，其左?右焦點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交橢圓于第一象限的點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)且斜率為的動直線交橢圓于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過這個