新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)鞏固練習(xí)04 數(shù)列的綜合問題（解析版）

微專題04數(shù)列的性質(zhì)、蛛網(wǎng)圖、最值問題、恒成立問題、插項(xiàng)問題、公共項(xiàng)問題、規(guī)律問題、奇偶問題【秒殺總結(jié)】1、數(shù)列的周期性，此類問題的解法是由定義求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后歸納出周期性.2、函數(shù)與數(shù)列的綜合問題，解決該問題應(yīng)該注意的事項(xiàng)：(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，它的圖象是一群孤立的點(diǎn)；(2)轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時(shí)，應(yīng)該注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是很容易被忽視的問題；(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.3、證明數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)性的方法：根據(jù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系判斷出數(shù)列的單調(diào)性（當(dāng)SKIPIF1<0恒為正或者負(fù)時(shí)，可以考慮利用SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系判斷數(shù)列單調(diào)性）.4、當(dāng)出現(xiàn)與年份有關(guān)的數(shù)列選擇題，題目本身難度比較大的時(shí)候，比如，出現(xiàn)2019、2020、2021類似這樣的數(shù)字，我們完全可以通過逐個(gè)分析選項(xiàng)，通過選項(xiàng)找規(guī)律后判斷是否符合題意，來決定哪個(gè)選項(xiàng)正確.比如求SKIPIF1<0，可以令SKIPIF1<0，將選項(xiàng)中的所有數(shù)字用SKIPIF1<0來表示，然后通過SKIPIF1<0來驗(yàn)證哪個(gè)選項(xiàng)正確.如果題目問的是SKIPIF1<0之類的偶數(shù)年份，最好是通過SKIPIF1<0這樣的偶數(shù)項(xiàng)來驗(yàn)證.【典型例題】例1．（浙江省杭州市第二中學(xué)濱江校區(qū)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且對(duì)任意的SKIPIF1<0都存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，則數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)SKIPIF1<0須滿足（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增.故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)SKIPIF1<0取等號(hào)）.故SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)SKIPIF1<0取等號(hào)）.即SKIPIF1<0.要使對(duì)任意的SKIPIF1<0都存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，顯然SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，一定能滿足題意；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，如圖此時(shí)不滿足題意；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，如圖此時(shí)滿足題意；綜上，SKIPIF1<0.故選：C例2．（2023?新蔡縣月考）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前60項(xiàng)和等于SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．1830 B．1820 C．1810 D．1800【解析】解：由SKIPIF1<0，可得數(shù)列SKIPIF1<0的前60項(xiàng)和為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．例3．（2023?江蘇模擬）若單調(diào)遞增數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是．【解析】解：SKIPIF1<0單調(diào)遞增數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由條件可以得出SKIPIF1<0，也就是隔3項(xiàng)成等差數(shù)列，公差為3．SKIPIF1<0只要保證SKIPIF1<0就可以保證整個(gè)數(shù)列單調(diào)遞增．單調(diào)遞增數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．例4．（廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三考前熱身訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題）已知SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0，平面內(nèi)三個(gè)不共線的向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在同一直線上，則SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是周期為SKIPIF1<0的周期數(shù)列，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.例5．（江蘇省蘇州市吳中區(qū)木瀆高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0對(duì)任意的SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的最大值為__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0為變形為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，等價(jià)于SKIPIF1<0恒成立，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，等價(jià)于SKIPIF1<0恒成立，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，綜上得SKIPIF1<0，所以實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.例6．（江西省臨川二中、臨川二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023屆高三第二次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若對(duì)一切正整數(shù)SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，則滿足條件的最小整數(shù)SKIPIF1<0為______.【答案】2020【解析】解：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，等式兩邊同除SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0對(duì)一切正整數(shù)SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0對(duì)一切正整數(shù)SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最大，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。所以滿足條件的最小整數(shù)SKIPIF1<0為2020.故答案為：2020【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．180 D．240【答案】D【解析】當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：D2．（2023·山東濰坊·高三統(tǒng)考期末）已知定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，對(duì)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】令SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.若對(duì)任意的正整數(shù)SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，則滿足等式SKIPIF1<0的所有正整數(shù)SKIPIF1<0為（

）A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4【答案】A【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，相減可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0．對(duì)任意正整數(shù)n，都有SKIPIF1<0成立，得SKIPIF1<0①，又SKIPIF1<0②，②－①×3得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，進(jìn)而SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，以下證明SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，綜上可得，滿足等式SKIPIF1<0的所有正整數(shù)SKIPIF1<0的取值為1或3．故選：A．4．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0為不大于x的最大整數(shù).若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有且僅有4個(gè)不同的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則m一共有（

）個(gè)不同的取值.A．120 B．126 C．210 D．252【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0不全為0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以若SKIPIF1<0則，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，同理可以證明SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)橛星覂H有4個(gè)不同的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0中有且僅有4個(gè)變量取值為1，其余變量取值為0，又從SKIPIF1<0中任選4個(gè)變量有SKIPIF1<0種取法，故滿足條件的SKIPIF1<0的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，即210個(gè)，故選：C.5．（2023·北京朝陽·高三統(tǒng)考期末）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若存在常數(shù)c，對(duì)任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，則正數(shù)k的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0滿足上式，故SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0趨近于SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0趨近于SKIPIF1<0此時(shí)SKIPIF1<0沒有最大值，故不滿足題意，舍去；所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可證對(duì)任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，由題知，若存在常數(shù)c，對(duì)任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0，以下進(jìn)行證明：存在常數(shù)SKIPIF1<0，對(duì)任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，結(jié)論成立假設(shè)SKIPIF1<0時(shí)結(jié)論成立，即SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，則存在常數(shù)SKIPIF1<0，對(duì)任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立故正數(shù)k的最大值為SKIPIF1<0.故選：B.6．（2023·湖南長沙·統(tǒng)考一模）裴波那契數(shù)列SKIPIF1<0，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·裴波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，該數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．盧卡斯數(shù)列SKIPIF1<0是以數(shù)學(xué)家愛德華·盧卡斯命名，與裴波那契數(shù)列聯(lián)系緊密，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0不是等比數(shù)列，A錯(cuò)誤；則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0不為等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，以上20個(gè)式子相加得：SKIPIF1<0，C錯(cuò)誤；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，以上式子相加得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0也符和該式，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，以上式子相加得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0也符號(hào)該式，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，綜上：SKIPIF1<0，D正確.故選：D8．（2023·山西太原·高三統(tǒng)考期末）如表所示的數(shù)陣稱為“森德拉姆素?cái)?shù)篩”，表中每行每列的數(shù)都成等差數(shù)列，設(shè)SKIPIF1<0表示該數(shù)陣中第m行、第n列的數(shù)，則下列說法正確的是（

）234567…35791112…4710131619…5913172125…6111212631…71319253137……A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示第3行第18個(gè)數(shù)字，由數(shù)陣可知：第3行是以4為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，則第18個(gè)數(shù)字為SKIPIF1<0，故選項(xiàng)SKIPIF1<0錯(cuò)誤；對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示第6行第8個(gè)數(shù)字，由數(shù)陣可知：第6行是以7為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，則第8個(gè)數(shù)字為SKIPIF1<0，故選項(xiàng)SKIPIF1<0錯(cuò)誤；對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示第7行第7個(gè)數(shù)字，由數(shù)陣可知：第7行是以8為首項(xiàng)，以7為公差的等差數(shù)列，則第7個(gè)數(shù)字為SKIPIF1<0，故選項(xiàng)SKIPIF1<0錯(cuò)誤；對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示第12行第4個(gè)數(shù)字，由數(shù)陣可知：第12行是以13為首項(xiàng)，以12為公差的等差數(shù)列，則第4個(gè)數(shù)字為SKIPIF1<0，故選項(xiàng)SKIPIF1<0正確，故選：SKIPIF1<0.9．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中校考期末）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，設(shè)其公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：B.二、多選題10．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列SKIPIF1<0各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．SKIPIF1<0為等比數(shù)列 B．SKIPIF1<0為遞減數(shù)列C．SKIPIF1<0中存在大于3的項(xiàng) D．SKIPIF1<0中存在小于SKIPIF1<0的項(xiàng)【答案】BD【解析】對(duì)于A：假設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不合乎題意，故數(shù)列SKIPIF1<0不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)；對(duì)于B：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為遞減數(shù)列，故B對(duì)；對(duì)于C：由題意可知，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；由B知數(shù)列SKIPIF1<0為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)；對(duì)于D：因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，所以隨著n的增大，SKIPIF1<0遞增.而SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0遞減，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中必存在小于SKIPIF1<0的項(xiàng)故選：BD.11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則稱數(shù)列SKIPIF1<0為“差半遞增”數(shù)列，則（

）A．正項(xiàng)遞增數(shù)列均為“差半遞增”數(shù)列B．若數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0為“差半遞增”數(shù)列C．若數(shù)列SKIPIF1<0為公差大于0的等差數(shù)列，則數(shù)列SKIPIF1<0為“差半遞增”數(shù)列D．若數(shù)列SKIPIF1<0為“差半遞增”數(shù)列，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】對(duì)于A，假設(shè)一個(gè)正項(xiàng)遞增數(shù)列為：1,4,5，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不滿足“差半遞增”數(shù)列，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，所以數(shù)列SKIPIF1<0為“差半遞增”數(shù)列，B正確；對(duì)于C，設(shè)公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0為“差半遞增”數(shù)列，C正確；對(duì)于D，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，公差為1，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0,所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0有最大值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，D正確；故選:BCD.12．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谀┮韵聻樽匀粩?shù)從小到大依次排成的數(shù)陣：123456789101112131415SKIPIF1<0第n行有SKIPIF1<0個(gè)數(shù)，則（

）A．該數(shù)陣第n行第一個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0B．該數(shù)陣第n行最后一個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0C．該數(shù)陣前n行共有SKIPIF1<0個(gè)數(shù)D．該數(shù)陣前n行所有數(shù)的和為SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】對(duì)于A，該數(shù)陣每行第一個(gè)數(shù)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0…，歸納可得數(shù)陣第SKIPIF1<0行第一個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，故A正確；對(duì)于B，由A知，第SKIPIF1<0行的第一個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，故第SKIPIF1<0行的最后一個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，故B正確；對(duì)于C，數(shù)陣前SKIPIF1<0行共有SKIPIF1<0個(gè)數(shù)，故C正確；對(duì)于D，數(shù)列前SKIPIF1<0行總和為SKIPIF1<0，故D不正確故選：ABC13．（2023·山東德州·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列 D．SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，SKIPIF1<0，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，對(duì)任意的SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，上述兩個(gè)等式作差可得SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0中的奇數(shù)項(xiàng)成以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0中的偶數(shù)項(xiàng)成以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0不是等差數(shù)列，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，D對(duì).故選：ABD.14．（2023·湖南株洲·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則下列敘述正確的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，歸納可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選項(xiàng)A正確；SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.故選項(xiàng)D正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選項(xiàng)B正確；故選：ABD.15．（2023春·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【解析】對(duì)于A:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減,SKIPIF1<0,當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0若SKIPIF1<0,又因?yàn)镾KIPIF1<0則SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,又因?yàn)镾KIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0單調(diào)遞增.所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0由SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,同理得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞減.則SKIPIF1<0,所以選項(xiàng)A正確.對(duì)于B：由前面得SKIPIF1<0．下面證明SKIPIF1<0．只需證明SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0成立．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．所以函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以隨著SKIPIF1<0減小，從而SKIPIF1<0增大．所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D：一般地，證明：SKIPIF1<0．只需證明SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0成立．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以D正確．故選：SKIPIF1<0.三、填空題16．（2023·山西太原·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，以其名字命名的成果有110個(gè).設(shè)SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù)，則SKIPIF1<0稱為高斯函數(shù)，若用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的非負(fù)純小數(shù)，如SKIPIF1<0，已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由此可得到規(guī)律：當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.17．（2023春·江蘇南通·高三?？奸_學(xué)考試）“0，1數(shù)列”是每一項(xiàng)均為0或1的數(shù)列，在通信技術(shù)中應(yīng)用廣泛.設(shè)SKIPIF1<0是一個(gè)“0，1數(shù)列”，定義數(shù)列SKIPIF1<0：數(shù)列SKIPIF1<0中每個(gè)0都變?yōu)椤?，0，1”，SKIPIF1<0中每個(gè)1都變?yōu)椤?，1，0”，所得到的新數(shù)列.例如數(shù)列SKIPIF1<0：1，0，則數(shù)列SKIPIF1<0：0，1，0，1，0，1.已知數(shù)列SKIPIF1<0：1，0，1，0，1，記數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，3，…，則數(shù)列SKIPIF1<0的所有項(xiàng)之和為______.【答案】SKIPIF1<0【解析】依題意，可知經(jīng)過一次變換SKIPIF1<0，每個(gè)1變成3項(xiàng)，其中2個(gè)0，1個(gè)1；每個(gè)0變成3項(xiàng)，其中2個(gè)1，1個(gè)0，因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0：1，0，1，0，1，共有5項(xiàng)，3個(gè)1，2個(gè)0，所以SKIPIF1<0有SKIPIF1<0項(xiàng)，3個(gè)1變?yōu)?個(gè)0，3個(gè)1；2個(gè)0變?yōu)?個(gè)1，2個(gè)0；故數(shù)列SKIPIF1<0中有7個(gè)1，8個(gè)0；SKIPIF1<0有SKIPIF1<0項(xiàng)，7個(gè)1變?yōu)?4個(gè)0，7個(gè)1；8個(gè)0變?yōu)?6個(gè)1，8個(gè)0；故數(shù)列SKIPIF1<0中有23個(gè)1，22個(gè)0；SKIPIF1<0有SKIPIF1<0項(xiàng)，23個(gè)1變?yōu)?6個(gè)0，23個(gè)1；22個(gè)0變?yōu)?4個(gè)1，22個(gè)0；故數(shù)列SKIPIF1<0中有67個(gè)1，68個(gè)0；所以數(shù)列SKIPIF1<0的所有項(xiàng)之和為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其首項(xiàng)SKIPIF1<0，若數(shù)列SKIPIF1<0是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是______.【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等式無解；又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0；又因?yàn)镾KIPIF1<0，易得SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0利用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上滿足SKIPIF1<0恒成立，所以實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<019．（2023·全國·高三對(duì)口高考）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為SKIPIF1<0的長方形紙，對(duì)折1次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和SKIPIF1<0，對(duì)折2次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和SKIPIF1<0，以此類推，對(duì)折SKIPIF1<0次，那么SKIPIF1<0________SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】由對(duì)折2次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三種規(guī)格的圖形，所以對(duì)著三次的結(jié)果有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，共4種不同規(guī)格（單位SKIPIF1<0）；故對(duì)折4次可得到如下規(guī)格：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共5種不同規(guī)格；由于每次對(duì)折后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對(duì)折后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，首項(xiàng)為SKIPIF1<0，第SKIPIF1<0次對(duì)折共有SKIPIF1<0種規(guī)格，其面積均為SKIPIF1<0，則對(duì)于第SKIPIF1<0次對(duì)折后的圖形的面積之和SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式作差得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．20．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是SKIPIF1<0，接下來的兩項(xiàng)是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再接下來的三項(xiàng)是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)N：SKIPIF1<0且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是______．【答案】440【解析】由題意可知：第一項(xiàng)SKIPIF1<0，第二項(xiàng)SKIPIF1<0，第三項(xiàng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第SKIPIF1<0項(xiàng)SKIPIF1<0，根據(jù)等比數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式，求得每項(xiàng)和分別為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，每項(xiàng)含有的項(xiàng)數(shù)為：1，2，3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，總共的項(xiàng)數(shù)為SKIPIF1<0，所有項(xiàng)數(shù)的和為SKIPIF1<0，由題意可知：SKIPIF1<0為2的整數(shù)冪，只需將SKIPIF1<0消去即可，則①SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，總共有SKIPIF1<0，不滿足SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，總共有SKIPIF1<0，不滿足SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，總共有SKIPIF1<0，不滿足SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，總共有SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0該款軟件的激活碼440．故答案為：440.21．（202