考研數(shù)學(xué)二歷年真題2

2012年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題:『8小題,每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目

要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

⑴曲線了=專匕的漸近線條數(shù)

X~~1

()

(A)0(B)1(C)2(D)3

⑵設(shè)函數(shù)/(*)=(/—1)儂2，一2)…(e'"—")，其中〃為正整數(shù)，則/(0)=()

(A)(-l)n-'(n-l)!(B)(0(-ifn!(D)

⑶設(shè)>0("=1,2,3…)，￡,=%+%+%+…+a“，則數(shù)列⑸｝有界是數(shù)列｛a,,｝收斂的

()

(A)充分必要條件(B)充分非必要條件

(0必要非充分條件(D)非充分也非必要

(4)設(shè)人=『e，sinxdx,(&=1,2,3),則有

()

(A)/,</2<I3(B)/,</,</,(C)12<13</,(D)/2<Z,</3

(5)設(shè)函數(shù)/(x,y)為可微函數(shù)，且對任意的都有四2>0,適M<0,則使不等式

oxoy

/(占,必)>/(乙,％)成立的一個充分條件是

()

(A)X,>x2,yt<y2(B)&〉》2，/>％(C)x,<x2,yt<y2(D)xt<x2,y[>y2

(6)設(shè)區(qū)域。由曲線卜=$訪.丫”=土工,y=1圍成，則JJ(x5y-l)ckdy=

2D

()

(A)7T(B)2(C)-2(D)-7T

r-r

a4=1，其中G/g4為任意常數(shù)，則下列向量

4

組線性相關(guān)的為)

(A)a,,a2,a,(B)?!，?2,?4(C)叫叫,A(D)a2,a3,a4

'100、

(8)設(shè)A為3階矩陣，尸為3階可逆矩陣，且KAP=010.若尸蟲叫人小)，

、()02,

0=(%+明,012，。3)貝1」。一'40=()

‘100、’100、'200、’200'

(A)020(B)010(0010(D)020

、0。1,<002)<002J、0012

二、填空題：9-14小題,每小題4分，共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.

(9)設(shè)y=y(x)是由方程/-y+i="所確定的隱函數(shù)，則崇k0=.

(10)limn\—7+???+―7

“TOO+〃2+幾〃~+〃~

小、、幾/11]及2&

⑴)設(shè),其中函數(shù)〃“)可微，則“瓦+廠的=

(12)微分方程)心+(X-3/)dy=0滿足條件RI=1的解為y=

(13)曲線y=爐+x(x<0)上曲率為的點的坐標是

(14)設(shè)A為3階矩陣，|川=3,A*為A伴隨矩陣，若交換A的第1行與第2行得矩陣3,則

Kl=------■

三、解答題：15-23小題，共94分.請將解答寫在笞題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明

過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

]+X1

已知函數(shù)/(x)=[-----,記a=

(D求a的值；

(II)若xfO時，/(x)-a與小是同階無窮小，求常數(shù)Z的值.

(16)(本題滿分10分)

求函數(shù)/(x,y)=xe2的極值.

(17)(本題滿分12分)

過(0,1)點作曲線Liy=\nx的切線,切點為A,又L與x軸交于B點，區(qū)域。由L與直線AB

圍成,求區(qū)域。的面枳及。繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

(18)(本題滿分10分)

計算二重積分,其中區(qū)域。為曲線/■=1+cos0(04。4乃)與極軸圍成.

D

(19)(本題滿分10分)

已知函數(shù)/*)滿足方程廣(x)+/'*)-2/(x)=0及f\x)+/(x)=2ex,

(I)求/(x)的表達式；

(H)求曲線y=/(x2)(/(T2)df的拐點.

(20)(本題滿分10分)

1+XX2

證明xln——-+cosx>l+:—,(-1<%<1).

\-x2

(21)(本題滿分10分)

(I)證明方程x"+x'i+…+x=l(〃〉1的整數(shù))，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實根;

(ID記(I)中的實根為x"，證明limx“存在，并求此極限.

(22)(本題滿分11分)

a00、n

1a0

設(shè)4=B=

001ao

a001,oj

(I)計算行列式|山；

(ID當實數(shù)。為何值時，方程組Ax=萬有無窮多解，并求其通解.

(23)(本題滿分11分)

011

已知A=二次型/a，X2，X3)=/(A")x的秩為2,

-10a

、0a-L

(I)求實數(shù)。的值;

(1D求正交變換x=Qy將/化為標準形.

2010年考研數(shù)學(xué)二真題

,填空題(8X4=32分)

(1)函數(shù)/(》)=：言小，的無窮間斷點數(shù)為

(A)0.(B)l.(C)2.(D)3.[]

|(2)設(shè)yi,力是一階線性非齊次微分方程y'9(x)y=g(x)的兩個特解.若常數(shù)人，〃使2以+

//V2是該方程的解，九%-〃72是對應(yīng)的齊次方程的解，則

小c11小、c11

(A)2=—.//=—-(B)/I=_；.〃=一；.

2122

(C)2=—.//=—.(D)4=一?〃=—.[]

3333

(3)曲線y=/與曲線y=alnx(aw0)相切，則。=

(A)4e(B)3e(C)2e(D)e

(4)設(shè)犯"是正整數(shù)，則反常積分J-——7=~4的收斂性：

0Mx

(A)僅m與值有關(guān).(B)僅曾與值有關(guān).

(C)與孫〃值都有關(guān).(D)與犯〃值都無關(guān).

V7

(5)設(shè)函數(shù)2=z(x,y)由方程尸(二.一)=0確定，其中產(chǎn)為可微函數(shù)，g券、則

XX

dz8z

X---+V----=

dxdy

(A)x.(B)z.(C)-x.(D)-z.

nn〃

⑹！型W(”+譏/+/)一

(a)(成(1+/可產(chǎn)可。同;訴島產(chǎn)

(C)JM(1+X：1+.產(chǎn)(D)JX\+X)二儼[】

(7)設(shè)向曷組I:ai,s,…，％可由向顯組U:反用，…線性表示，則列命題正確的是

(A)若向電組I線性無關(guān)，則悵s.(B)若向最組I線性相關(guān)，則r>s.

(C)若向曷組H線性無關(guān)，則於s.(D)若向量組n線性相關(guān)，則[]

(8)設(shè)4為4階實對稱矩陣，1L4Z+A=O,若一4的秩為3,則與相似于

二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.

(9)3階常系數(shù)線性齊次微分方程y”一2y"+y'-2y=0的通解為y=.

(10)曲線y=V—的漸近線方程為

X*4-1

(11)函數(shù)丁=11*1一2*)的=0處的〃階導(dǎo)數(shù)/)(0)=

(12)當區(qū)時，對數(shù)螺線r=J的弧長為.

(13)已知一個長方形的長/以2an/s的速率增加，寬w以3cm/s的速率增加，則當/=12cm,

w=5cn時，它的對角線增加的速率為.

(14)設(shè)4B為3階矩陣，且|.4|=3,|B|=2J4T+B1=2,則\.4+B~\=.

三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、

證明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

求函數(shù)〃*)=「,2_",廣力的單調(diào)區(qū)間與極值.

(16)(本題滿分10分)

(I)比較J；|ln川ln(l+f)]"力與。附(為=1,2,…)的大小，說明理由;

(II)-￡??=[11hir|[ln(l+r)]"dt①=1,2,…)，求極限liuiw?.

JO”一＞oo

（17）（本題滿分11分）

X=_1_/,*

{--.（1＞一1）所確定，其中y⑴具有2階導(dǎo)數(shù),

且“（1）=:，"'（1）=6.已知%=---.求函數(shù)w（r）.

2dx-4（1+/）

（18）（本題滿分10分）

一個高為/的柱體形貯油罐，底面是長軸為2a,短軸為2d的橢圓，現(xiàn)將貯油罐平放,

當油罐中油面高度為時（如圖），計算油的質(zhì)軋

（長度單位為ni,質(zhì)量單位為kg,油的密度為常數(shù)pkgM

【分析】先求油的體積，實際只需求橢圓的部分面積.

【詳解】建立如圖所示的直角坐標系.則油罐底面橢圓I

（19）（本題滿分11分）

-2a2柔

設(shè)函數(shù)〃=/（XJ）具有..階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，11滿足等式42=+12蕓+5二:=0,確

crdxdy力.

定。，b的值，使等式在變換g=x+W.〃=x+如下化簡為——=0.

（20X本題滿分10分）

小積分JJr2sin6J1—r2cos28drd8,其中D={(r.J)|0?，Wsece.0464C}.

D4

（21）（本題滿分10分）

設(shè)函顆x）在閉區(qū)間［0,1］上連續(xù)，在開區(qū)間（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，11/0）=0,證明：存在

gG（o.l）.n6（1.1）,使得『⑹f⑺=9+rr-

(22)(本題滿分11分)

已知線性方程組工v=。存在2個不同的解,

(I)求兒,。；

(II)求方程組Wv=b的通解.

(23)(本題滿分11分)

f0-14)

1

設(shè)4=-13o.正交矩陣。使得內(nèi)T0為對角矩陣，若。的第1列為-^=(121)、r求a,

v6

14dol

2009年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).

r_v-3

(1)函數(shù)〃x)=二一二的可去間斷點的個數(shù)，則()

sinnx

(A)l.(6)2.(C)3.(。)無窮多個.

(2)當x—>0時，/(x)=x-sinax與g(x)=ln(l-Z?x)是等價無窮小，則()

(A}a-l,b——.(B}a—l,b——.(C)a——l,b——.(D)a——l,b.

6666

(3)設(shè)函數(shù)z=/(x,y)的全微分為dz=xdx+ydy,則點(0,0)()

(A)不是的連續(xù)點.(B)不是〃x,y)的極值點.

(C)是〃x,y)的極大值點.(0)是〃x,y)的極小值點.

(4)設(shè)函數(shù)連續(xù)，則/dyf''(x,y)dx=()

(A)[dxf(8)fdxf)(x,yXy.

（c）"yf/（內(nèi)協(xié).（。）."yf

（5）若/"（x）不變號，且曲線y=/（x）在點（1,1）上的曲率圓為f+y2=2,則〃x）在區(qū)間

（L2）內(nèi)（）

（A）有極值點，無零點.（6）無極值點，有零點.

（C）有極值點，有零點.（。）無極值點，無零點.

（6）設(shè)函數(shù)y=/（x）在區(qū)間［—1,3］上的圖形為：

則函數(shù)尸（x）=］：/（/）力的圖形為（）

(7)設(shè)A、B均為2階矩陣，A*,B*分別為A、B的伴隨矩陣。若|A|=2,|B|=3,則分塊矩

0A

陣的伴隨矩陣為()

B07

*、

03B02B

2A073A07

03A⑵.02A

2B073B07

00、

(8)設(shè)A,P均為3階矩陣，PT為P的轉(zhuǎn)置矩陣，且P'AP=010,若

,002,

P=(a{,a2,(z3),Q=(%+%，a2,ct3),則Q'AQ為(

10、10、

10⑻.120

02>,002,

"200、T00、

(C).010(0.020

、002>02,

二、填空題：9-14小題,每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.

x=

(9)曲線＜J0在(0,0)處的切線方程為

y=t2ln(2-r)

(10)已知煙dx=1，則k=_______________

J-CO

l

(11)limfe'sinnxdx=_______________

nf8J0

d2VI

(12)設(shè)y=y(x)是由方程xy+e>'=x+l確定的隱函數(shù)，則_______________

dx

(13)函數(shù)y=產(chǎn)在區(qū)間(0,1］上的最小值為

’200、

(14)設(shè)a,￡為3維列向量，。1為0的轉(zhuǎn)置,若矩陣a/?T相似于000,則夕a=_

、000>

三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、

證明過程或演算步驟.

(1-cosx)[x-ln(l+tanx)]

(15)(本題滿分9分)求極限lim?4

A->0sinx

(16)(本題滿分10分)計算不定積分

(17)(本題滿分10分)設(shè)2=/(,丫+了,工一〉,孫)，其中/具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求應(yīng)與二■

oxoy

(18)(本題滿分10分)

設(shè)非負函數(shù)y=y(x)(x?0)滿足微分方程砂〃一y'+2=0,當曲線y=y(x)過原點時，其與

直線x=1及>=0圍成平面區(qū)域D的面積為2,求。繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。

(19)(本題滿分10分)求二重積分。(x-y^dxdy,

D

其中O=—+(y-l)2<2,y>x^

(20)(本題滿分12分)

設(shè)y=y(X)是區(qū)間(一處萬)內(nèi)過(一T金T，金TT)的光滑曲線，當-萬<*<0時，曲線上任一點處的

法線都過原點，當0＜尤＜乃時，函數(shù)y（x）滿足y〃+y+x=O。求y（x）的表達式

（21）（本題滿分11分）

（I）證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)“X）在,力］上連續(xù)，在力）可導(dǎo)，則存在4€（4捫），

使得J⑻一/?）=：4）僅一a）（II）證明:若函數(shù)/（X）在x=0處連續(xù)，在（03）伍＞0）

內(nèi)可導(dǎo)，且liq/'（x）=A,則九'（0）存在，且九'（0）=4。

-1-nr-p

（22）（本題滿分11分）設(shè)4=-1ii，*i

-4-2）1-2,

,0

（I）求滿足A3=A2g3=4的所有向量芻

（II）對（I）中的任一向量證明：芻42/3線性無關(guān)。

（23）（本題滿分11分）設(shè)二次型/（/,%2，X3）=以；+0^+（0-1）￥+2玉％3-2々x3

（I）求二次型/的矩陣的所有特征值；

（II）若二次型f的規(guī)范形為犬+代，求a的值。

2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).

（1）設(shè)/（x）=x2（尤—l）（x—2）,則f（x）的零點個數(shù)為（）

（A）0（8）1.（C）2（0）3

（2）曲線方程為y=/（x）函數(shù)在區(qū)間［0,a］上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分工qf"心（）

（A）曲邊梯形ABOD面積.

⑻梯形ABOD面積.

（C）曲邊三角形ACO面積.

（。）三角形ACO面積.

（3）在下列微分方程中，以＞=。1，+。2cos2x+C3sin2x（。|，。2，03為任意常數(shù)）為通解

的是（）

（A）y+y-4y-4y=0（B）y'+y+4y+4y=0

（C）y-y-Ay+4y=0（D）y-y+4y-4y=0

（5）設(shè)函數(shù)/（x）在（-8,+8）內(nèi)單調(diào)有界，｛x.｝為數(shù)列，下列命題正確的是（）

（A）若｛x,｝收斂，則｛/（.）｝收斂.⑻若上｝單調(diào)，貝|」｛/（乙）｝收斂.

（C）若｛/（%）｝收斂，則｛怎｝收斂.（。）若｛/（七）｝單調(diào)，則｛當｝收斂.

（6）設(shè)函數(shù)/連續(xù)，若f（w,v）=^f（f-H）dxdy,其中區(qū)域?！睘閳D中陰影部分，則（，=

⑷叭儲）⑻*）[

⑹"?⑼*

（7）設(shè)A為〃階非零矩陣，E為〃階單位矩陣.若*=（）,則（）幽

（A）E-A不可逆，E+A不可逆.（B）E-A不可逆，E+A可逆.

（C）E-A可逆，E+A可逆.（O）E-A可逆，E+A不可逆.

（12）

（8）設(shè)4=,則在實數(shù)域上與A合同的矩陣為（）

121J

二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.

(9)已知函數(shù)/(x)連續(xù)，且)n?U9sH⑴]=],則/(())=

1°(e'-l)/(x)

(10)微分方程(y+/ef)dx—xdy=0的通解是y=

(11)曲線sin(xy)+ln(y-x)=x在點(0,1)處的切線方程為

2

(12)曲線y=(x-5)X5的拐點坐標為.

(13)設(shè)2=(1.2)

(14)設(shè)3階矩陣A的特征值為2,3,2.若行列式12Al=-48,則A

三、解答題：15—23題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明

過程或演算步驟.

[sinx-sin(sinx)]sinx

(15)(本題滿分9分)求極限lim

x->0x4

(16)(本題滿分10分)

X=x(t)

—~2te-x=0

設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程■2確定，其中X”)是初值問題,dt

y=]\n(l+u)du

xI-O=

的解?求行.

dx2

(17)(本題滿分9分)求積分(X^CSinXdx.

(18)(本題滿分11分)

求二重積分jjmax(xy,l)dxdy,其中。={(x,y)|0WxW2,0MyW2}

D

(19)(本題滿分11分)

設(shè)”x)是區(qū)間[0,”o)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且/(0)=1.對任意的

fe[0,+8),直線x=O,x=f,曲線y=/(x)以及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周生成

一旋轉(zhuǎn)體.若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)/(x)的表達式.

(20)(本題滿分11分)

(1)證明積分中值定理：若函數(shù)/(x)在閉區(qū)間出,可上連續(xù)，則至少存在一點77e3,可，

使得f/(外公=/(7)3-。)⑵若函數(shù)夕⑴具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足

夕(2)〉夕(1),夕(2)〉證明至少存在?點46(1,3),使得夕“(4)<0

(21)(本題滿分11分)

求函數(shù)"=V+y2+在約束條件Z=/+/和x+y+Z=4下的最大值與最小值.

(22)(本題滿分12分)

"2a1、

2

ala,.7-

設(shè)矩陣A=]，現(xiàn)矩陣A滿足方程AX=B,其中X=(x「…,x,J,

、a2a,“x”

B=(l,0,…,0),

(1)求證⑶=(〃+l)a"；

(2)a為何值，方程組有唯一解，并求王；

(3)a為何值，方程組有無窮多解，并求通解.

Q3)(本題滿分10分)

設(shè)A為3階矩陣，at,a2為A的分別屬于特征值一1,1特征向量,向量％滿足Aa3=a2+a3,

(1)證明%,。2，。3線性無關(guān);

(2)令尸=(0],&2，03)，求尸TAP.

2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1?10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題

目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).

(1)當x-?0+時?，與五等價的無窮小量是

(A)l-e"(B)In—(C)Jl+4-1(D)1-cosVx[]

1-y/x

(2)函數(shù)/(幻=號詈呼在[―肛句上的第一類間斷點是工=[]

xex-e

\7

7C7C

(A)0(B)1(C)——(D)—

22

(3)如圖,連續(xù)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[-3,-2],[2,3]上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，

在區(qū)間[-2,0],[0,2]的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)/(x)=,則下列結(jié)

論正確的是：

(4)設(shè)函數(shù)/(x)在x=0處連續(xù)，下列命題錯誤的是：

(A)若lim上?存在，則/(0)=0(B)若lim/(")+/(—“)存在,則/(0)=0.

XT°XX

(C)若存在，則r(0)=0(D)若二八一口存在,則/'(0)=0.

x->0JQXTOJQ

[]

(5)曲線>=4+111(1+6')的漸近線的條數(shù)為

(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.[]

(6)設(shè)函數(shù)/(x)在(0,+oo)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且/'"(x)>0,令/=/(〃)，則下列結(jié)論正確的

是：

（A）若對>出，則｛/｝必收斂.（B）若%>4,則｛〃“｝必發(fā)散

（C）若％<〃2，則｛叫必收斂.（D）若"]<〃2’則｛〃”｝必發(fā)散.

（7）二元函數(shù)/（x,y）在點（0,0）處可微的一個充要條件是[]

（A）（激/（內(nèi)）"（。，。）]=。?

（B）=0,.o.

ioxy

/—(0,0)

(C)lim=0.

(A,,y)^(O.O)

(D)lim(x,0)-f；(0,0)]=0,且四，'(0,y)-f；(0,0)]=0.

(8)設(shè)函數(shù)/(x,y)連續(xù)，則二次積分/(x,y)dy等于

J—上inx

2

(A)fdyT/(x,y)dr(B)fdyf/(x,y)dx

?I)/r+arcsiny5)"-arcsiny

fl"+arcsinvri?r-arcsinv

(C)[d)工f(x,y)dx(D)/(x,y)dx

22

（9）設(shè)向量組風(fēng),。2，。3線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是

線性相關(guān)，則

(A)%-a、,a,一%，%—%(B)%+%%+%，%+%

(C)%—2a2,a1—2a3,%-2al.(D)%+2a2，々2+2。3，。3+2’?

「200、

（10）設(shè)矩陣4=-110,則A與8

、T00,

（A）合同且相似（B）合同，但不相似.

（C）不合同，但相似.（D）既不合同也不相似

二、填空題：11?16小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.

,、arctanx-sinx

（11）hm----------7--------=__________.

10x

(12)曲線IX=cosf+COSF上對應(yīng)于t=￡的點處的法線斜率為_________.

[y=l+sin/4

(13)設(shè)函數(shù)y=」一，則y(")(0)=.

2x+3

(14)二階常系數(shù)非齊次微分方程y"-4y'+3y=2e2t的通解為y=.

(15)設(shè)是二元可微函數(shù)，z=f，則x在一丁生=__________.

(xyjdxdy

’0100、

0010

(16)設(shè)矩陣A=,則A3的秩為

0001

、0000;

三、解答題：17?24小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

7T

(17)(本題滿分10分)設(shè)/(x)是區(qū)間0,-上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且滿足

_4_

/“廣()由=S/^?-dr,其中廣是一的反函數(shù)，求/(x).

*力sin￡+cost

(18)(本題滿分11分)

X

設(shè)。是位于曲線y=?屋五(。＞1,04》＜+00)下方、x軸上方的無界區(qū)域.(I)求區(qū)

域。繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積V(a)；(II)當。為何值時，V(a)最??？并求此最小值.

(19)(本題滿分10分)求微分方程y"(X+y'2)=y，滿足初始條件y(l)=y，(l)=l的特解.

(20)(本題滿分11分)已知函數(shù)/(〃)具有二階導(dǎo)數(shù)，且廣(0)=1,函數(shù)y=y(x)由方程

dz

y-xe'T=l所確定，設(shè)z=/(lny—sinx),求

cLvx=0,

(21)(本題滿分11分)設(shè)函數(shù)/(x),g(x)在可上連續(xù)，在(?；貎?nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等

的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),證明:存在欠(a,b),使得/〃C)=g〃C).

x2,lxl+lyl<l

(22)(本題滿分11分)設(shè)二元函數(shù)/(x,y)=<1IIIIuc，計算二重積分

——7^l<\x\+\y\<2

W+y

jj/(x,y)db,其中。={(x,y)|lxl+lyK2}.

D

(23)(本題滿分11分)

%1+x2+x3=0

設(shè)線性方程組?玉+2看+必=0與方程芯+2々+苫3=。-1有公共解，求a的值及所有

2

x,+4X2+ax3=0

公共解.

(24)(本題滿分11分)

設(shè)三階對稱矩陣A的特征向量值4=1,4=2自=一2,a,=(1,-1,1)T是A的屬于4的

一個特征向量，記3=45—4A'+E,其中E為3階單位矩陣.

(I)驗證名是矩陣8的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；

(II)求矩陣5.

2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、填空題：1一6小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.

X4-4sinx

(1)曲線y=尢十的水平漸近線方程為________

5x-2cosx

1「.2.仆

(2)設(shè)函數(shù)/(x)=<d1)‘in在x=0處連續(xù)，則〃=.

a,x=0

(3)廣義積分r-嗎、=____________.

Jo(1+X2)2

(4)微分方程>'=四二。的通解是

X

(5)設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程y=l-xe，確定，則t=0=

(2

(6)設(shè)矩陣A=,E為2階單位矩陣，矩陣8滿足8A=B+2E,則

1-12)

忸|=---------

二、選擇題：7—14小題，每小題4分，共32分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題

目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).

(7)設(shè)函數(shù)y=/(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f'(x)>Q,f(x)>0,Ac為自變量x在點與處的增量,

△y與小，分別為/(外在點/處對應(yīng)的增量與微分，若—>0,則[]

(A)0<dy<Ay.(B)0<Ay<dy.

(C)Ay<dy<0.(D)dy<Ay<0.

(8)設(shè)/(x)是奇函數(shù)，除x=0外處處連續(xù)，x=0是其第一類間斷點，則「/(f)山是

J0

(A)連續(xù)的奇函數(shù).(B)連續(xù)的偶函數(shù)

(C)在x=0間斷的奇函數(shù)(D)在x=0間斷的偶函數(shù).[]

(9)設(shè)函數(shù)g(x)可微，//(%)=el+sW,/?,(l)=l,g,(1)=2,則g⑴等于

(A)In3—1.(B)-In3—1.

(C)-In2—1.(D)In2—1.[]

2Xv

(10)函數(shù)y=C.e+C2Q+xe滿足的一個微分方程是

(A)yn-yr-2y=3xex,(B)y,r-yr-2y=3ev.

(C)y"+y'-2y=3xe*.(D)y"+y'-2y=3e'.[]

7C

(11)設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則jd。j)/(rcose,rsine?dr等于

(A)f(x,y)dy.(B)f(x,y)dy.

(C)『dy『'f(x,y)dx.(D)/dyf'f(x,y)(h.[]

(12)設(shè)/(x,y)與°(x,y)均為可微函數(shù)，且*：(x,y)x0,已知(%,為)是/(x,y)在約束條

件夕(x,>)=0下的一個極值點，下列選項正確的是[]

(A)若，'(%,%)=0,則/;(%,%)=0.

(B)若力'(%，為)=0，則》,'(/，為)*°。

(C)若人'(%,〉0)A。,則九'(/，%)=0.

(D)若力'(%,%)*0，則―'(％,%)『0.

(13)設(shè)。],。2,…,4均為〃維列向量，A為〃?x〃矩陣，下列選項正確的是[]

(A)若%,%，…，見線性相關(guān)，貝|14,,4二2，一.，4。,線性相關(guān)?

(B)若囚,。2，《線性相關(guān)，則Actj,Aa2,---,Aas線性無關(guān).

(C)若%,%，…,見線性無關(guān),則Aai,Aa2,---,Aas線性相關(guān).

(D)若…線性無關(guān)，則AavA%,…，Aas線性無關(guān).

(14)設(shè)A為3階矩陣，將A的第2行加到第1行得B,再將B的第1列的-1倍加到第2列得

H10、

C,記尸=010,貝IJ

、00L

(A)C=P-'AP.(B)C=PAP-'.

(C)C=P^AP.(D)C=PAP7.L]

三、解答題：15—23小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

試確定A,3,C的值，使得e'(l+Bx+Cx2)=l+Ax+o(x3),其中。(丁)是當苫-0時比/

高階的無窮小.

(16)(本題滿分10分)求[arCSinedx.

Jev

(17)(本題滿分10分)設(shè)區(qū)域O={(x,)，)k2+y2?i,x2o},計算二重積分

Ti+xy

dxdy.

(18)(本題滿分12分)設(shè)數(shù)歹ij{x〃}滿足0＜為＜乃,七川=sinx〃(〃=1,2,???)

1

(I)證明limx“存在，并求該極限；(H)計算lim.'.

n—xx)n—KoV

\人〃7

(19)(本題滿分10分)

證明：當0＜。＜力＜〃時，

/?sin/?+2cosb+7rZ?＞asina+2cosa+.

(20)(本題滿分12分)

設(shè)函數(shù)/(〃)在(0,+OO)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，月.Z=f(Jf+y2)滿足等式票=0.

(I)驗證/"(〃)+"")=()；

U

(II)若/(1)=0,/'(1)=1,求函數(shù)/(“)的表達式.

(21)(本題滿分12分)

已知曲線乙的方程《,'。20)⑴討論L的凹凸性；(H)過點(一1,0)引L的切

y=4f—產(chǎn)

線，求切點(X。，%)，并寫出切線的方程；(山)求此切線與L(對應(yīng)于xWx0的部分)及x軸所

圍成的平面圖形的面枳.

(22)(本題滿分9分)

已知非齊次線性方程組

%+X,+七+4=—1

■4占+3々+5匕-％=-1有一3個線性無關(guān)的解.(I)證明方程組系數(shù)矩陣A的秩

axt+x2+3X3+bx4=1

r(A)=2；(II)求。力的值及方程組的通解.

(23)(本題滿分9分)

設(shè)3階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量％=(—1,2,-1)\%=(0,—1,1),是線性方

程組Ar=0的兩個解.

(I)求A的特征值與特征向量；

(II)