電大《工程數(shù)學》期末考試答案小抄-解答題

00-140500000-1138

向量夕不能由向量組%,4，%線性表出,

4.計算下列向量組的秩,并且判斷該向量組是否線性相關?

解:

13

[a,,a2,a?a4]=28

39

413

133-11

0-2112

T01001

00000

00000

5

該向量組是線性相關的;

5.求齊次線性方程組

X,1-3xL,+xJ,-2x4.=0

-5X,+X2-2X3+3X4=0

-X]-llx2+2X3-5X4=0

3巧+5*2+4X4=0

的?個基礎解系.

解：

-31-2

-143-7

000

10J|_0003

1-310

3

01——

T140

000

1

000

0

故一般解為

3

2=—*3一個基礎解系為a=[—5,3,14,0]'.

6.求線性方程組

XI-5X2+2X3-3X4=11

-3Xj+x2-4X3+2X4=-5

-X,-9X2-4X4=17

+3x.+6x,-x=-l

l12.J4A

的全部解.

解：

1-52-3111-52-311■

_-31-4250-142-728

A=

-1-90-4r10-142-728

_536-1-1028-414--56

-

△「

——10—9——11

1-52-31172

0-142-728

->T(1----2

0000072

00000(10000

00000

6

全部解為(占，勺為任意常數(shù))

1.設A,8,C1為三個事件，試用A,8,C的運算分別表示下列事件：

⑴A,8,C中至少有一個發(fā)生；

⑵A,8,。中只有一個發(fā)生；

⑶4,3,C中至多有一個發(fā)生；

(4)A,6,。中至少有兩個發(fā)生；

⑸A,B,C中不多于兩個發(fā)生；

(6)A,8c中只有C發(fā)生；

解：(1)(4+3+C);(2)(4BC+ABC+ABC);(3)(4BC+ABC+ABC+ABC);

(4)(ABC+ABC+ABC+ABC);(5)(A+B+C).(6)CAB

2.袋中有3個紅球，2個白球，現(xiàn)從中隨機抽取2個球，求下列事件的概率：

⑴2球恰好同色；

⑵2球中至少有1紅球.

解：(l)P(A)==[=0.4;=C；=^-=0.9

3.加工某種零件需要兩道工序，第一道工序的次品率是2%,如果第一道工序出次品則此零件為次品；如果第一

道工序出正品，則由第二道工序加工，第二道工序的次品坐是3%,求孫r出來的零件是正品的概率.

解：設A,B分別表示第一，第二道工序出合格品，那么「(九)=0.02,尸(加4)=0.03,故

P(AB)=尸⑷尸(814)=0.98x0.97=0.9506.

4.市場供應的熱水瓶中，甲廠產品占50%,乙廠產品占30%,丙廠產品占20%,甲、乙、丙廠產品的合格率分別

為90%,85%,80%,求買到一個熱水瓶是合格品的概率.

解：設A,B,C分別表示甲廠，乙廠和丙廠生產的產品，D表示買到一個熱水瓶是合格品，那么

P(A)=0.5,P(3)=0.3,P(C)=0.2,又P(DIA)=0.9,P(DIB)=0.85,

P(D\C)=0.8,故由全概率公式得

P(D)=P(A)P(D\A)+P(B)P(DIB)+P(C)P(DIC)

=0.5x0.9+0.3x0.85+0.2x0.8=0.865.

5.某射手每發(fā)命中的概率是0.9,連續(xù)射擊4次，求：(1)恰好命中3次的概率；(2)

至少命中1次的概率。

解：p=0.9,9=1-p=0.1

(1)恰好命中3次的概率為C：pM=40.930.1=0.2916

(2)至少命中1次的概率為1-C：p°r=1-0」4=0.9999

6.設隨機變量X的概率分布為

■0123456'

0.10.150.20.30.120.10.03

試求P(XW4),P(2<X<5),P(XH3).

解:P(X4)=1-P(X=5)-P(X=6)=1-0.1-0.03=0.87;

P(2<X<5)=P(X=2)+P(X=3)+尸(X=4)+P(X=5)=0.72;

P(XH3)=1—尸(X=3)=1-0.3=0.7.

7.設隨機變量X具有概率密度

2x,0<A：<1

=?

0,其它

試求P（XW；）,P（；<X<2）.

7

解:P(X<1)=^f(x)dx=^2xdx=x2；=:；

p2"-,il15

P(—<X<2)=jf(x)dx=J2xdx=x|1=—.

2x,0<x<1

8.設X?f(x)=<,求￡(X),0(X).

0,具匕

2=二?又

解：E(X)=「xf(x)dx-2xdx3'又

o

1.

E(X2)=廣x2f(x)dx=[2xydx=

。一2'

i21

...D(X)=E(X2)-E2(X)=--(-)2=—.

2318

9.設X?N(0.6,O42),計算⑴P(0.2<X<1.8)；⑵P(X>0).

解：令y=*,那么y~N(。」),故

P(0.2<X<1.8)=<口<1^)

(1)

0.40.40.4

=P(-l<y<3)=0(3)-①(-1)=①⑶+0(1)-1

=0.9887+0.8413-1=0.84;

X-0.60-0.6

⑵P(X>0)=P()=p(y>-1.5)

0.4

=1-P(y<-1.5)=1-0(-1.5)=0(1.5)=0.9332.

_1〃

1o.設X1,X2,…，X”是獨立同分布的隨機變量，已知E(XJ=〃，O(X1)=cr2,設xi,求

E(X),D(X).

解：E(N)=Ej￡Xj)」E(￡xj,￡E(X,?)=;/,;

n1=1〃1=1ni=l

_11?1n1n1

2

D(X)=D(-Yxi)=—D(YXi)=—YD(Xi)=-a.

〃普〃普n

1.設對總體X得到一個容量為10的樣本值

4.5,2.0,1.0,1.5,3.5,4.5,6.5,5.0,3.5,4.0

試分別計算樣本均值x和樣本方差?.

x=A(4.5+2.0+1.0+1.5+3.5+4.5+6.5+5.0+3.5+4.0)=3.7;

222

s?=-^—[(4.5-3.7/+(2.0一§7)2+(10-37)+(1.5-3.7)+(3.5-3.7)

10-1

2222

+(4.5-3.7)+(6.5-3.7K+(50_3j)+(3.5-3.7)+(4.0-3.7)]=2.33.

2.設總體X的概率密度函數(shù)為

(e+i)d,o<x<i

f(x；e)=<

o,其它

試分別用矩估計法和最大似然估計法估計參數(shù)e.

解：(1)矩估計法.

E(X)=匚0)dx=￡(e+l)x"x=^|x/：=e+i

O十/6+2'

e+i一—2x—1

因為E(X)=x,所以=x,故e=」L=_

0+21-X

⑵似然函數(shù)為

8

ns

L(6?,x1,x2,---xn)=(6?+l)(x1x2---xn)

取對數(shù)得

lnL=nln(^+l)+6(ln/+Inx?+…InxM)

31nLn

=不廠？7?+n.+lnW+Tnx?)=0

人n

=f----------1-

S,nx.

1=1

3.測兩點之間的直線距離5次，測得距離的值為(單位：m)：

108.5109.0110.0110.5112.0

測量值服從正態(tài)分布N(4，b2),在⑴。2=2.5；⑵CT?未知的情況下，分別求4的置信度為095的置信區(qū)間.

解：⑴〃=2.5時：選統(tǒng)計量U=x一*N(0,l),因為1一1=0.95,所以

4/1〃

a=0.05,(D(za)=1-a/2=0.975,查正態(tài)分布表①(1.96)=0.975,故a=1.96,于是

22

［一〃％=110—1.96X=109.02

gVio

1+Za==110+1.96x^=110.98

3y/nV10

即4的置信度為0.95的置信區(qū)間為［109.02,110.98］.

⑵CT2未知的情況下，選統(tǒng)計量T=土半t(t-l),查找9,0.05)分布表求出使P(lf1>m=0.05成立的A=2.62,

于是

=H0-2.62x^^^=108.885

4nVlO

x+/l4==H0+2.62x^^^=111.115

4nV10

即〃的置信度為0.95的置信區(qū)間為[108.885,111.115].

4.設某產品的性能指標服從正態(tài)分布N(〃，(T2),從歷史資料已知cr=4,抽查10個樣品，求得均值為17,

取顯著性水平a=0.05，問原假設=20是否成立.

解：作假設“o：〃=2O；

樣本均值x=17,cr0=4，選統(tǒng)計量U=與*N(0,I),計算檢驗量值

Ool'n

17—20

U=:l=-2.3717,

4710

取顯著性水平a=0.05，查正態(tài)分布表得臨界值A=1.96.因為IU1>1.96.

應拒絕"0:4=20,即原假設“0：4=20不成立.

5.某零件長度服從正態(tài)分布，過去的均值為20?，F(xiàn)換了新材料，從產品中隨機抽取8個樣品，測得的長度為

(單位：cm)：

20.0,20.2,20,1,20.0,20.2,20.3,19.8,19.5

問用新材料做的零件平均長度是否起了變化(a=0.05).

解：作假設“。：4=20;

樣本均值x=20.0125,CT未知，選統(tǒng)計量T=上半t(n-1),計算檢驗量值

s/yjn

20.0125-20

?0.5284,

0.0669/我

9

取顯著性水平，查分布表得臨界值因為應接受：〃=,即用新材料

a=0.05”7,0.05）ta=2.365IT1<2.365

做的零件平均長度沒有起變化.

-114

-121103

2.設A=,B=,C=3-2，求AC+8C.

0-122

002

TI4

0246-410

解：AC+BC=(A+B)C=-21

201-2210

002

4.寫出4階行列式

1020

-1436

023

3110

中元素明|，“42的代數(shù)余子式，并求其值.

02012（）

4+，4+2

答案：?4,=(-1)436=0a42=(-1)-136=45

2-530-53

1.用消元法解線性方程組

X]-3X2-2X3-x4=6

3/-8X+/+5X=0

<24

—2%]+%2—4鼻+X4=-12

-X]+4x2一/_3X4=2

解

-1-3-2-16'1-3-2-16101923—48

；3ri+<z3〃+“

__5r2+為

3-8150（十々、0178-180178-18

cA-—

-21-41-120-5-8-10002739-90

[。1

-14-1-32-3-4800-10-1226

-101923-48一-I01923-48-'I0042-124-

一1％+“

11-18-7口+，21015

078-180178f+為、0-46

*2

003-312001-14001-14

_0056-13_0056-13_00011-33_

10042-12410002

―42口+八x,=2

-\5r+r

01015-46420100-1

方程組解為x2=-1