拓展三構(gòu)造抽象函數(shù)模型解不等式和比較大小-高二數(shù)學(xué)講義（人教a版2019選擇性必修第二冊(cè)）

拓展三：構(gòu)造抽象函數(shù)模型解不等式和比較大小

善高頻考點(diǎn)

—考點(diǎn)一根據(jù)導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算構(gòu)造輔助函數(shù)

(->曠(x)+/(x)型

考點(diǎn)二構(gòu)造F(x)=1見(jiàn)V)類型的輔助函數(shù)(二)4(x)-/(x)型

(三)^c)+nf(x)tAxf(x)-nf(x)ffl

《一)/(x)+/(x)M

構(gòu)造抽象函數(shù)模型解不

等式和比較大小

《三)/(.v)+wf(x)Af(x)-wf(x)fl

(一)正切型

考點(diǎn)四構(gòu)造F(x)二/(x)sin.M(x)3).尸(幻/(x)cosx.F(x)〃幻臭型的輔助的數(shù)—《：)利用cosx9/仕)構(gòu)造型

sinxcosx

(三)利用加x與/(x)構(gòu)造型

考點(diǎn)五構(gòu)造F(x)=M/(x)類型的輔助函數(shù)

之二知識(shí)梳理

1、構(gòu)造抽象函數(shù)模型主要觀察兩個(gè)結(jié)構(gòu)：

(1)等價(jià)不等式的變形結(jié)構(gòu)(分離變量)

(2)已知條件中關(guān)于導(dǎo)數(shù)/'(x)的關(guān)系式特征；

2、構(gòu)造抽象函數(shù)模型解不等式和比較大小，前提要求學(xué)生熟練應(yīng)用兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)公式，

實(shí)質(zhì)上就是構(gòu)造目標(biāo)導(dǎo)函數(shù)(一元)的原函數(shù)，是一個(gè)積分的過(guò)程，學(xué)生可以通過(guò)專題訓(xùn)練體會(huì)求原函數(shù)

和原函數(shù)的不唯一性，因題而異，構(gòu)造合適的抽象函數(shù)模型；

3、本專題從函數(shù)多項(xiàng)式、具體的指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與/(幻的關(guān)系分類構(gòu)造抽象函數(shù)模型，讀者朋友可

以基于文章，直接根據(jù)函數(shù)的四種運(yùn)算進(jìn)行分類討論和歸納，其中乘法和除法比較常見(jiàn)，現(xiàn)歸納如下：

常見(jiàn)函數(shù)的變形

(1)對(duì)于/'(x)>g'(x),構(gòu)造〃(x)=/(x)—g(x)

(2)對(duì)于尸(x)+g，(x)>0,構(gòu)造Mx)=/(x)+g(x).

(3)對(duì)于r(x)g(x)+/(x)g'(x)>0,構(gòu)造〃(x)=/(x)g(x)

(4)對(duì)于/'(x)g(x)-/(x)g'(x)>0,構(gòu)造〃(龍)=今?

g(x)

(5)對(duì)于不等式f(x)>Z(后70),構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-履+6.

(6)對(duì)于不等式/'(6+/(尤)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=e"(x)

拓展：對(duì)于不等式/'(龍)+〃/(x)〉0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=e""(x)

(7)對(duì)于不等式f(x)—/(x)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=/學(xué)

e

拓展：對(duì)于不等式f(x)-4(x)>0,構(gòu)造函數(shù)8(6=與

e

對(duì)>k,構(gòu)造g(X)=e*[/(x)-打

(8)對(duì)于不等式"(x)+/(x)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=?(x)

拓展：對(duì)于不等式力(%)+歹(%)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)=x"/(x)

(9)對(duì)于不等式對(duì)'(x)-/(x)〉0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=/?(xH0)

X

拓展：對(duì)于不等式"(x)-4(x)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=」乎

(10)對(duì)于黑>0,分類討論：

f(x)

①若/(x)>0,則構(gòu)造/z(x)=ln/(x);②若/(x)<0,則構(gòu)造〃(x)=ln[-/*)]

(11)對(duì)于f'(x)+lnQ(x)>0,構(gòu)造/?(%)=a"(x).

(12)對(duì)于r(x)lnx+四>0,構(gòu)造〃(x)=/(x)lnx.

X

(13)對(duì)于/'(x)>/(x)tanx(§^/'(x)v/(x)tanx),即尸(x)cosx二f(x)sinx>0,構(gòu)造

h(x)=f(x)cosx.

(14)對(duì)于尸(x)cosx+/(x)sinx>0,構(gòu)造/心)=^^.

cosx

(15)對(duì)于f'(x)sinx+f(x)cosx>0,構(gòu)造h(x)=/(x)sinx.

(16)對(duì)于/'(x)sinx—/(x)cosx>0,構(gòu)造力(幻=型?.

sinx

4、構(gòu)造函數(shù)是數(shù)學(xué)的一種重要思想方法，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、類比、化歸、猜想、實(shí)驗(yàn)和歸納等思想.分

析近些年的高考，發(fā)現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)的思想越來(lái)越重要，而且很多都用在壓軸題(無(wú)論是主觀題還是客觀題)的解

答上.

構(gòu)造函數(shù)的主要步驟：

(1)分析：分析已知條件，聯(lián)想函數(shù)模型;

(2)構(gòu)造：構(gòu)造輔助函數(shù)，轉(zhuǎn)化問(wèn)題本質(zhì);

(3)回歸：解析所構(gòu)函數(shù)，回歸所求問(wèn)題.

N顆考點(diǎn)精析____________________________________________________

考點(diǎn)一根據(jù)導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算構(gòu)造輔助函數(shù)

1.(2022秋.黑龍江哈爾濱.高二哈爾濱市第一六二中學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/(“滿足

/(1)=1,且“X)的導(dǎo)函數(shù):(X)在R上恒有((x)<1I則不等式y(tǒng)+；1的解集為()

A.(l,+oo)B.(-oo,l)C.(-1,1)D.(TO/)(1,-KO)

【答案】A

【分析】令=根據(jù)題意可得g(x)在R為單調(diào)遞減函數(shù)，進(jìn)而即得.

【詳解】因?yàn)閥+g1可化為V*1

令g(x)=—；，則g'(x)=/(x)—g,

因?yàn)閞a)<g，

所以g'(x)<0,所以g(x)在R上單調(diào)遞減,

因?yàn)?。)=1,所以g(i)=/(i)_g_g=o，

所以g(x)<g⑴，

所以X>1,即不等式f(x)<]+g的解集為(l,xo).

故選：A.

2.(2022秋?江蘇淮安?高二?？奸_(kāi)學(xué)考試)已知廣⑴是函數(shù)/⑴的導(dǎo)數(shù)，且/(-1)=/(幻，當(dāng)時(shí)，

r(x)>3x,則不等式/(劃一/*一1)<3工一|的解集是()

A.(—!,0)B.C.(《,+00)D.(—oo,《)

2222

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(X)=/(X)-|x2,根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再利用奇偶性求出解集.

【詳解】設(shè)g(x)=f(x)-1x2,則g'(x)=/'3—3x,

因?yàn)楫?dāng)xNO時(shí)，r(x)>3x,所以當(dāng)XWO時(shí)，g'(x)>0,

即g(x)在。內(nèi))上單調(diào)遞增，

因?yàn)?(-X)=/(X),所以/(X)為偶函數(shù)，則g(x)也是偶函數(shù)，所以g(x)在(F,0］上單調(diào)遞減.

333

因?yàn)?(x)-f(xT)<3x-5,所以/⑶丁-

即g(x)<g(x-l),

則解得x<g,

故選：D.

3.(2023?青海海東?統(tǒng)考一模)已知定義在R上的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為廣(x),若r(x)<e^',且〃2)=e2+2,

則不等式/(lm)>x+2的解集是()

A.(0,e2)B.(0,2)C.(-oo,e2)D.(-oo,2)

【答案】A

【分析】設(shè)g(x)=/(x)-e，+2,求導(dǎo)可得g(x)在R上單調(diào)遞減,再根據(jù)f(hu)>x+2轉(zhuǎn)化為g(hu)>4,

再結(jié)合g(x)的單調(diào)性求解即可.

【詳解】設(shè)g(x)=/(x)—e'+2,則g，(x)=_f(x)—e'.

因?yàn)閺V(x)<e',所以/'(x)—e，<。，即g'(x)<0,

所以g(x)在R上單調(diào)遞減.

不等式〃隈)>》+2等價(jià)于不等式/(hu)-x+2>4,即g(hu)>4.

因?yàn)閒(2)=e2+2,所以g(2)=〃2)-e2+2=4,所以g(lnx)>g⑵.

因?yàn)間(x)在R上單調(diào)遞減，所以lnx<2,解得0-2

故選：A

4.(2021秋?黑龍江大慶?高二大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/J)滿足：VXGR,/(x)+/(-x)=2cosx,

且r(x)+sinx<0.若角。滿足不等式/S+a)+/(a),,0,則。的取值范圍是()

71\(71~

A.--,+℃>B.-co,--

L2)I2」

乃乃］「八萬(wàn)

C.----D.0,-

122」2」

【答案】A

［分析］構(gòu)造函數(shù)g(x)=/*)-cosx,XeR,并判斷函數(shù)g(x)為R卜.的奇函數(shù),再根據(jù)g'(x)=/'(x)+sinx<0,

可得g(x)在R上單調(diào)遞減，最后進(jìn)行求解得a的取值范圍.

【詳解】解：構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-cosx,xeR,

由/(X)+/(-X)=2cosX化為：/(x)-cosx=4/(-x)-cos(-x)］,

g(x)=-g(-x)，，函數(shù)g(x)為R上的奇函數(shù)，

則g'(x)=/'(X)+sinx<0,g(x)在R上單調(diào)遞減.

若角&滿足不等式/(萬(wàn)+&)+/(￡),,0,則/(乃+￡)-8$(乃+。),，-"3)-<：0$0］,

71

即g0r+a)?—g(a)=g(-e),.?.乃+a..-a,解得：a...--.

故選：A.

5.(2022春.湖南邵陽(yáng).高二統(tǒng)考期末)設(shè)〃x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，

r(x)g(x)+/(x)/(x)>0,且〃2)=0,則不等式/(x)g(x)>0的解集是()

A.(—，-2)_(0,2)B.(-2,0)u(0,2)

C.(-<?,-2)U(2,+a?)D.(-2,0)(2,+<?)

【答案】D

【分析】設(shè)6(x)=/(x)g(x),可得奇偶性,求導(dǎo)數(shù)確定力(X)的單調(diào)性，由單調(diào)性解不等式.

【詳解】設(shè)h(x)=f(x)g(x)，則h\x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),

x<0時(shí)，//(x)>0,〃(x)遞增，

又是奇函數(shù),所以/(-2)=-/(2)=0,從而以-2)—(-2)=0,

由h(x)=/(x)g(x)>0得-2<x<0,

人(0)=f(0)g(0)=0,

K-x)=/(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),所以〃(x)是奇函數(shù)，

所以h(x)在x>0時(shí)也是增函數(shù)，〃(2)=/(2)g(2)=0,

所以由h(x)=/(x)g(x)>0得X>2,

綜上，不等式的解為(-2,0凡1(2,內(nèi)).

故選：D.

6.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知函數(shù)火x)的定義域?yàn)镽,/(x)為兀0的導(dǎo)函數(shù)，且式x)+(x—1?'(x)>0,

則()

A..AD=0B.f(x)<0

C.於)>0D.(》一1施)<0

【解析】令g(x)=(x-1求X),

貝Ug'(x)=Ax)+(%-!/(x)>0,

所以g(x)在R上是增函數(shù)，

又因?yàn)間⑴=0,

所以當(dāng)x>l時(shí)，g(x)=(x-l)f(x)>0；當(dāng)x<l時(shí)，g(x)=(x-l)J(x)<0,

所以當(dāng)xWl時(shí)，J(x)X),

又用)+(1—(1)=川)>0,

所以ABD錯(cuò)誤，C正確.故選C

7.(2022春.云南曲靖.高二?？计谥械砹x在(0,+8)上的函數(shù)〃同滿足4'(力-1-》>0,且/(10)=w10610),

則不等式/(e')>e'+x的解集為()

A.(10,-+oo)B.(Inl0,-K)o)

C.(ln5,+oo)D.(-oo,5)

【答案】B

【分析】令g(x)=/(x)-lnx-x,由已知條件可得g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，不等式/(e*)>e*+xuj轉(zhuǎn)化

為g(e')=/(e')—x—e*>0,即g(e，)>g(10),進(jìn)而有ex>10,解不等式即可得答案.

【詳解】解：令g(x)=f(x)-lnx-x,

因?yàn)槎x在(0,y)上的函數(shù)滿足/(x)T-x>0,

所以8，")=尸(刈_1-1=老耳上」>0,

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

因?yàn)閒(10)=ln(10e*>)=10+lnl0,

所以g(10)=0,

所以不等式/(e*)>e，+x可轉(zhuǎn)化為g(e，)=/(e>x-e'>0,即g(e")>g(10),

所以ex>10,

所以x>lnlO,

所以不等式/(e')>e'+x的解集為(In10,”).

故選：B.

考點(diǎn)二構(gòu)造"X)=『/U)類型的輔助函數(shù)

(一)4(x)+/(x)型

8.(2022秋.江西贛州?高二?？茧A段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),若對(duì)任意的實(shí)

數(shù)x,不等式#'(x)+/(x)<()恒成立，且〃1)=3,則不等式/(e-')<3e，的解集為()

A.(一?,0)B.(Y0,T)

C.(In3,-no)D.(l,+<?)

【答案】A

【分析】引入函數(shù)g(x)=^(x),由導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于函數(shù)g(x)的不等式，然后

由單調(diào)性求解.

【詳解】設(shè)g(x)=4(x)，則g'(x)=#'(x)+〃x)<o,所以g(x)在R上單調(diào)遞減；由/(ef)<3e，，得

e-V(eT)<lxf(l),即g(e=')<g(l),所以解得x<0.

故選：A.

9.(2022.全國(guó)?高二專題練習(xí))已知犬x)的定義域?yàn)?0,+8),/(*)為人x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足兀0<一4(x),

則不等式加+1)>(L1次《-1)的解集是()

A.(0,1)B.(2,+8)

C.(1,2)D.(1,+°°)

【解析】構(gòu)造函數(shù)y=q/(x),%e(0,+°°),

則y'=Ax)+xf'(x)<0,

所以函數(shù)y=?(/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

又因?yàn)閒l,x+I)>(%—1求/—1),

所以(x+一l^X2—1),

所以x+142—1,且A2—1>0,x+1>0,

解得x>2或x<—1(舍去)，

所以不等式/(x+l)>(x—1雙P—1)的解集是(2,+8).故選B

10.(2022秋?福建莆田?高二莆田一中?？计谥?定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)記為/(X),若

y=/(x)為奇函數(shù)且/(-1)=0,當(dāng)x>0時(shí)，W)+/U)<0,則不等式/(x)<0的解集是()

A.(-<o,-l)u(l,+oo)B.(-1,1)C.(-oo,T)50,DD.(-1,0)<J(l,+oo)

【答案】D

【分析】設(shè)g(x)=獷(x),x>0,根據(jù)題意求得函數(shù)g(x)在(TO,0)為單調(diào)遞增函數(shù)，然后分x=0,x>0和

x<0三種情況進(jìn)行求解即可

【詳解】設(shè)g(x)=V(x),x>0,則g'(x)=/(x)+V，(x),

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，〃力+礦(刈<0成立，所以g'(x)<0,g(x)為遞減函數(shù)，

乂因?yàn)楹瘮?shù)y=〃x)為奇函數(shù)，可得/(T)=-"X),

則g(-何二一切^一打二步⑴二8門)，所以函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

所以函數(shù)g(x)在(TO,0)為單調(diào)遞增函數(shù)，

因?yàn)镴(T)=O,所以"1)=0,g⑴=0,g(-D=O,

當(dāng)x=0時(shí)，由y=/(x)為奇函數(shù)可得f(x)=o不滿足題意；

當(dāng)x>0時(shí),由f(x)<0可得g(x)=#(x)<O=g⑴,所以>>1；

當(dāng)x<0時(shí),由/(x)<0可得且⑴二雙力對(duì)二8(-1),所以x>-l,此時(shí)-l<x<0,

綜上所述，不等式/。)<0的解集是(-LO)u(L”)

故選：D

11.(2022春.湖北.高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知f(x)是定義在(YO,0)(0,一)上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí),

/(x)+礦(x)>0且/(2)=(，則不等式/(%)>■!■的解集是()

2x

A.(-2,0)(0,2)B.(F-2)(2,包)

C.(9,-2)(0,2)D.(-2,())(2收)

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)="(x)，由己知條件可得函數(shù)g(x)的單調(diào)性和奇偶性，利用函數(shù)的單調(diào)和奇偶性解

不等式即可.

【詳解】令g(x)=mx),“X)是定義在(YO,0)—(0,")上的奇函數(shù)，所以g(-x)=-V(—x)=4(x)=g(x),

所以g(x)是(F,0)一(0,??)上的偶函數(shù)，

當(dāng)x>o時(shí)，g,(x)=/(x)+#,(x)>o,所以g。)在(o,+s)上單調(diào)遞增，所以g(x)在(3,0)/?⑵=g,所以

2/(2)=1,則g(-2)=g⑵=1.

對(duì)于不等式/(x)>4,當(dāng)x>0時(shí)，即g(x)>g(2),解得x>2：

X

當(dāng)xvO時(shí)，xf(x)<1,gpg(x)<g(-2),解得一2Vx<0,

所以不等式/(x)>』的解集是(—2,0)(2,-KO).

x

故選：D.

12.(2022秋?江西贛州?高二校聯(lián)考期中)已知定義在R上的偶函數(shù)產(chǎn)/'(x)的導(dǎo)函數(shù)為//'(X),當(dāng)x>0時(shí)，

(⑴+以立<0,且"2)=3,則不等式/(工一1)<二的解集為()

XX—1

A.卜°,加(|收)B.(-oo,l)u(3,4?))

C.(3,+oo)D.6,1卜(1,3)

【答案】B

【分析】根據(jù)廣(x)+§<0可變形為"‘(X)；"力<o,構(gòu)造函數(shù)尸(力=v(x),判斷其奇偶性、單調(diào)性，

據(jù)此分類解不等式F(x-1)>F(2)或F(x-1)<F(2)即可.

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，4(x)+區(qū)。=礦⑴土￡■(包<0,

XX

所以當(dāng)x>0時(shí)，#z(x)+/(x)<0,

令尸(x)=M'(x),則當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)'(x)=xf'(x)+/(x)<0,

故尸(x)=獷(x)在x>o時(shí)，單調(diào)遞減，

乂因?yàn)楫a(chǎn)六可在R上為偶函數(shù)，所以尸(耳=#(尤)在R上為奇函數(shù)，

故尸(力=切'("在R上單調(diào)遞減，因?yàn)椤?)=3,所以尸(2)=2〃2)=6,

當(dāng)x>l時(shí)，/(x-l)〈二可變形為即尸(x—l)<F(2),

x—1

因?yàn)槭?x)=4(x)在R上單調(diào)遞減，所以x—1>2且x>l,得x>3；

當(dāng)x<l時(shí)，/(xT)〈二可變形為(犬-1)/(》-1)>6,即F(x_l)>F(2),

因?yàn)镋(x)=4(x)在R上單調(diào)遞減，所以x—l<2且x<l,得x<l；

綜上：不等式f(x-l)〈二的解集為

X-I

故選：B.

13.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))函數(shù)/(x)是定義在(0,+8)上的可導(dǎo)函數(shù)，f(x)為其導(dǎo)函數(shù)，若

xf(x)+f(x)=K(x-2)且/(3)=0,則不等式/(x)<0的解集為()

A.(0,2)B.(0,3)C.(2,3)D.(3,+~)

【解析】函數(shù)/(x)是定義在(0,+8)上的可導(dǎo)函數(shù)，f(x)為其導(dǎo)函數(shù)，

令<p(x)=xf(x),則<p'(x)=x*f(x)+f(x)="(x-2),

可知當(dāng)xG(0,2)時(shí)，<p(x)是單調(diào)減函數(shù)，并且0?_f(0)+f(0)=e°(0-2)=-2<0,即/(0)<0

XG(2,+8)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，/(3)=0,

則<p(3)=3f(3)=0,

則不等式/(x)<0的解集就是xf(x)<0的解集，

不等式的解集為：{x|0<x<3}.

故選：B.

14.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,其圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)中心對(duì)稱，其導(dǎo)函數(shù)/《x),

當(dāng)x<-l時(shí)，(x+l)[/(x)+(x+l)/(x)]<0,則不等式獷(x—l)>/(O)的解集為

A.(1,+?)B.(―<?,—1)C.(—1,1)D.l)<J(l,+℃)

【答案】C

【詳解】由題意設(shè)g(x)=(x+l)/(x),則r(x)=/(x)+(x+l)1(x),當(dāng)X<—1時(shí)，

(x+l)[/(x)+(x+l)/'(x)]<0,，當(dāng)xv—l時(shí)，/(x)+(x+l)/'(x)>0,則g(x)在(-00,-1)上遞增，函數(shù)

/(X)的定義域?yàn)镽,其圖象關(guān)丁點(diǎn)(-1,0)中心對(duì)稱，，函數(shù)/(X-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)中心對(duì)稱，則函數(shù)

/(x-l)是奇函數(shù)，令Mx)=g(xT)=4(xT)，，〃(x)是R上的偶函數(shù)，且在(-?，。)遞增，由偶函數(shù)的性

質(zhì)得：函數(shù)〃(力在(0,+?)上遞減，人(1)=〃0),.,.不等式雙化為：/?(%)>/1(1),即|乂<1,

解得二不等式解集是(-1,1),故選C.

(二)4(x)-/(x)型

15.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知函數(shù)兀t)是定義在R上的奇函數(shù),述1)=0,當(dāng)x>0時(shí)，有燈亭"/)>0,

則不等式^)>0的解集是.

【解析】令g(x)=孽(xNO),

nI,zxf(x)—/(x)

則g'(x)=，八I

?.,當(dāng)x>0時(shí)，'4-■■1>0,

即g'(x)>0,

...g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又11)=0,

...在(0,+8)上，g(x)>0的解集為(1,+8),g(x)<0的解集為(0,1).

??7U)為奇函數(shù)，

，g(x)為偶函數(shù),

...在(一8,0)±,g(x)>0的解集為(-8,-1),

g(x)vO的解集為(一1,0).

由不上>0,得,/(x)>O(xWO).

又於)乂)的解集為(-1,O)U(1,+?>),

不等式冏》>0的解集為(一1,O)U(1,+8).

16.(2021春?天津薊州.高二?？计谥?已知函數(shù)〃x)是定義域?yàn)椋鸐x/。｝的奇函數(shù)，/(x)是其導(dǎo)函數(shù),

"2)=2,當(dāng)x>0時(shí)，礦(力-/(力<0,則不等式小1<1的解集是()

X

A.(—2,0)(2,+<?)B.(-2)<J(2,+”)

C.(2,+8)D.(-2,0)50,2)

【答案】B

【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)g(x)=以利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再由奇偶性解不等式即可.

X

【詳解】令8。)=這，則g'(x)="'a)：/(x),

XX

當(dāng)。>0時(shí),xf(x)-f(x)<09故g'(x)v0,

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，又g(2)=與=1,

所以g1<1即g(x)<g(2),

X

因?yàn)楹瘮?shù)“X)是定義域?yàn)槔齒W0｝的奇函數(shù)，

而|、|<\/(-X)-/(X)/、

所以g(-x)=-----=------=g(x),

-x-x

即g(x)為定義域?yàn)槔齒H。｝的偶函數(shù)，

所以由g(x)<g(2)可得g(|x|)<g(2),

所以|x|>2,即x>2或x<-2,

即不等式犯<I的解集是(y,_2)U(2,+8),

X

故選：B

17.(2022.全國(guó)?高二專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)是定義在(3,0)5°，+8)的奇函數(shù)，當(dāng)x?(),+8)時(shí)，

V，(x)</(x),則不等式》(2—x)+(x—2)"5)<0的解集為()

A.(-Go,—3)<J(3,+8)B.(―3,0)u(0,3)

C.(-3,0)0(0,7)D.(9,-3)0(2,7)

【答案】D

【分析】令g(x)=組，由題意可得g(x)=組為定義域上的偶函數(shù)，且在(3,0)上單調(diào)遞增，在(0，+8)

上單調(diào)遞減；分2-x>0與2T<0兩類討論，將不等式T(2-力+(尤-2)/(5)<0等價(jià)轉(zhuǎn)化為g(2-x)<g⑸與

g（2-x）>g（-5）,分別解之即可.

【詳解】令晨同=卓，

「當(dāng)X€（0,+8）時(shí)，J/，（X）</（X）,

.?.當(dāng)XG（0,+8）時(shí)，g'o"（a）,/⑴<0,

??.8（”）在（0，+8）匕單調(diào)遞減；

又“X）為（-卜,0）（0，+?）的奇函數(shù)，

.??8（_刈=正0=二"立=叢。=g（x）,即g（x）為偶函數(shù)，

—X—XX

.?透口）在（口,0）上單調(diào)遞增；

又由不等式3（2-x）+（x-2）〃5）<0得3（2-x）v（2—x）〃5）,

當(dāng)2—x>0,即x<2時(shí)，不等式可化為一"〈工包,即g（2-x）<g（5）,

2-x5

由g（x）在（0，+8）上單調(diào)遞減得2-x>5,解得x<-3,故x<-3；

當(dāng)2-x<0,即x>2時(shí)，不等式可化為，1*）>〃￡）,即g（2-x）>g（5）=g（-5）,

2-x5

由g（x）在（Y,o）上單調(diào)遞增得2-x>-5,解得x<7,故2Vx<7；

綜上所述，不等式T（2—x）+（x—2）〃5）<0的解集為：（y,—3）u（2,7）.

故選：D.

18.（2022秋.安徽六安.高二六安二中校考階段練習(xí)）定義在R上的奇函數(shù)滿足％￡（0,內(nèi)）時(shí)，都有不

等式“同一#'（力>0成立，^a=log32/（log23）,6=應(yīng)/［曰］，c=lnj/"n書），則。，h,c的大小

關(guān)系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b>a>cD.a>b>c

【答案】A

【分析】根據(jù)〃x）-#'（x）>0構(gòu)造函數(shù)g（x）=?,可得函數(shù)為減函數(shù)，又由/（x）為奇函數(shù)可知g（x）為偶

X

函數(shù)，據(jù)此可比較a。，。大小.

【詳解】當(dāng)xe(O,+?)時(shí)不等式〃力-4'(力>0成立,

"(x)[=r(x)x-〃x)<0,

、一X2

g(X)=以皂在(0,+00)上是減函數(shù).

X

#,近、

Lf(--)

貝|Ja=log,2/(log23)=/y?=goog?①，％=血/(乎)=2_=

log232V2

T

乂??函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù),

；.g(x)=△。是定義在R上的偶函數(shù)，則

X

1%3>1>也/，g(x)在(0,+功上是減函數(shù),

222

g(log23)<g*)<g(；)，貝lja<h<c,

故選：A.

「1-

19.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知函數(shù)兀i)=jdnx+Mx-a)2meR).若存在入￡后，2」，使得#幻>4(x)

成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A￡,+8)B.(|,+8)

C.(啦，+8)D.(3,+8)

【解析】由火x)H'(x)成立，可得圖］'=史二號(hào)二幽<0.

設(shè)g(x)=?雪=lnx+(x—aA，則存在xG1,2,使得g'(x)=：+2(x—a)<0成立，

即心，+義)疝>.又X(=小,當(dāng)且僅當(dāng)X=(,即*=當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以4>讓.故選C

(三)以(x)+或X)或#'(x)-成X)型

20.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/'(X),且2/(x)+礦(x)>0.則下列不

等式在R上恒成立的是()

A./(%)>0B.f(x)<0C./(x)>xD.f(x)<x

【答案】A

【分析】

根據(jù)給定不等式構(gòu)造函數(shù)g(x)=/f(x),利用導(dǎo)數(shù)探討g(x)的性質(zhì)即可判斷作答.

【詳解】

依題意,令函數(shù)g(x)=x2/(x),則短。)=20'(8)+廣/(X)=乂2/a)+切'，(刈，

因2/(幻+礦(x)>0,于是得x<0時(shí)g'(x)<0,x>0時(shí)g'(x)>0,

從而有g(shù)(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因此得：VxeR,x2f(x)=g(x)>g(0)=0,而.f(())>0,即/(x)不恒為0,

所以f(x)20恒成立.故選：A

21.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))函數(shù)/(x)在定義域(0,鈣)內(nèi)恒滿足:①,/(x)>0,②2/(x)<礦(x)<3/(x),

其中為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則

A1"1)J1<&)/1<〃1)J

R。-⑴/D.

A./南<5B.而<祠<京C.寸再8/(2)4

【答案】D

【詳解】令g(x)=4*,x?0,x),g'(x)=")j2〃x),

0Vxe(O,+oo),2/(x)<xf\x)<3/(x),0/(x)>0,>0,

回函數(shù)g(x)在x?0,一)上單調(diào)遞增，回g(l)<g(2),即4/(l)<〃2),雋<；，

J4

令心)=與，xw(o收)，〃，⑺="'("))37(力,

0Vxe(O,+oo),2/(x)<^f\x)<3/(x),”(x)<0,

即川)>『‘卜捐,故選a

團(tuán)函數(shù)M%)在xe(。??)上單調(diào)遞減,田〃⑴〉力⑵,

a

22.(2022秋?天津南開(kāi)?高二?？计谀?己知定義在(0,抬)上的函數(shù)/(可滿足力(力+^7'(力<0,〃2)=j,

3

則關(guān)于X的不等式/(X)>3的解集為()

A.(0,4)B.(2,-H?)C.(4,-KO)D.(0,2)

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)Mx)=x2"x)，得到函數(shù)〃(%)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】令4(x)=x2〃x),則〃(x)=w(x)+f尸(x)<0,所以〃(x)在(0,”)單調(diào)遞減，

不等式可以轉(zhuǎn)化為x"(x)>4x[=22f(2),EP/Z(X)>/7(2),所以0<x<2.

故選：D.

23.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))/*)是定義在區(qū)間(0,+8)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為/(X),且滿足

xf'(x)+2fM>0,則不等式(X+2022)?X+2022)<3舄的解集為()

3x+2022

A.{x|x>-2019}B.{x|x<-2019)

C.{x|-2022<x<0}D.{x|-2022<x<-2019)

【答案】D

【分析】構(gòu)造g。)：//1),利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)g(X)=//(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，最后根據(jù)單調(diào)性解不

等式即可.

【詳解】構(gòu)造g(x)=//(x),貝IJg'(x)=2xf(x)+x2f\x)=42/U)+xfXx)],

因?yàn)槎x域?yàn)?0,+8)，且礦(x)+2/(x)>0,

所以g'M=2jf(x)+x2f'(x)=A12/(x)+xf'(x)\>0

所以函數(shù)g(x)=x2f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

不等式(x+2)22"x+2°22)<3嚷可化為：。+2()22)2/(%+2022)<32/(3),

3x+2022

即g(x+2022)<g(3),所以有0<x+2022<3,

解得：一2022cx<-2019.

即不等式的解集為："I-2022Vx<-2019}.

故選：D

24.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))己知奇函數(shù)“X)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為尸(x),當(dāng)x>0時(shí)，

有2/(x)+V'(x)>。，則不等式(x+202iy/(x+2021)+”(-2)<0的解集為()

A.(2019,田)B.(-2021,-2019)

C.(TO,—2019)D.(-2019,0)

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)g(x)=//(x),可得g(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，且g(x)為奇函數(shù)，然后將

(x+2021『f(x+2021)+4/(—2)<0可轉(zhuǎn)化為g(x+2021)<g(2),從而可求出不等式的解集.

【詳解】令g(x)=x2f(x),則g'M=2xf(x)+"(x)=42/(%)+xf\x)],

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，有2〃x)+礦(力>0,

所以當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，所以/(-x)=-/3,

所以g(—X)=(一x)2f(-力=-x2f(x)=-g(x),

所以g(x)為R上的奇函數(shù),

所以g(X)在R上為增函數(shù)，

由(x+2021)24X+2021)+4/(-2)<0,得

(X+2021)2/(X+2021)<^/(-2),

(X+2021)2/(X+2021)<-(-2)2/(-2).

所以g(x+2021)<-g(-2),

因?yàn)間(x)為奇函數(shù)，所以g(x+2021)<g(2),

所以x+2021<2,得x<-2019,

所以不等式的解集為(一?,-2019),

故選：C

25.(2022秋?江蘇連云港.高二江蘇省海頭高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)是定義在(0,田)上的可導(dǎo)函

數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為/(X),且有刈''(x)>2/(x),則不等式4/(x-2022)-(x-2022)z/(2)<0的解集為()

A.(0,2023)B.(2022,2024)C.(2022,+oo)D.(7,2023)

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=華，根據(jù)4'(x)>2/(x)得到g(x)=1苧的單調(diào)性，在變形不等式由單調(diào)性求解

x-X-

即可.

【詳解】由題知，函數(shù)“X)是定義在(0,+8)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為了'(X),且有￥'(x)>2/(x),即

xf'(x)-2f(x)>0,

設(shè)g(x)=冬，

X

所以g，(x)=r/'(x)[2V(x)=曠'(x)12/(x)>0,

所以g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增,

因?yàn)?/(x-2022)-(x-2022)2/(2)<0,

/(A-2022)/⑵

所以

(x-2022>

x-2022>0

所以,解得2022Vx<2024,

x-2022<2

所以不等式4/(x-2022)-(x-2022>/(2)<。的解集為(2022,2024),

故選：B

考點(diǎn)三構(gòu)造尸(x)=e"貝x)類型的輔助函數(shù)

(一)/(幻+/(幻型

26.(2022.全國(guó)?高二專題練習(xí))己知火x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為/(x),且對(duì)于任意的xGR,均

有九0+/'(x)>0,貝心)

A.e-2021X-2021)</(0),e202lX2021)>/(0)

B.屋2021K—2021)勺(0),e202';(2021)</(0)

C.e-202，X-2021)>/(0),e2021/(2021)5^0)

D.e-2(,21X-2021)>y(0),e202lX2021)</(0)

【解析】構(gòu)造函數(shù)/?(x)=e'fix),

則h'(x)=ey&)+e7‘(x)=e'L/U)+/(x)]>0,

所以函數(shù)/J(X)在R上單調(diào)遞增，

故h(-2021)</?(0),即屋2。2次—2021)<e°/(0),即e202lJ(-2021)</(0).

同理,A(2021)>/i(0),即e202/2021)次0),故選A.

27.(2022春?天津和平?高二天津一中?？计谥?設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足/<-/(%),

對(duì)于任意的正數(shù)。，下面不等式恒成立的是()

A./(a)<eV(O)B./(?)>eV(O)

C./(小型D./(小型

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)e1利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)g(x)的單調(diào)性可得出合適

的選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的可導(dǎo)函數(shù)，令g(x)=/(x)e',g，(x)=[r(x)+〃x)[e，，

因?yàn)?'(X)〈一/(X),e*>o,所以,g'(x)<0,故g(x)為R上的減函數(shù),

因?yàn)椤?gt;。所以,g(a)<g(O),即/(a)e"<〃0),因此，〃為<型.

e

故選：C.

28.(2022秋?湖南長(zhǎng)沙?高二湘府中學(xué)校考階段練習(xí))已知f'(x)是函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)，

r(x)+f(x)>0,八2)=(2，則不等式f(lnx)<±2的解集是()

ex

A.(2,+oo)B.(e2,+oo)C.(0,e2)D.(0,2)

【答案】C

【分析】設(shè)g(x)=e"(x),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到g(x)在R上單調(diào)遞增，問(wèn)題/打。<2等價(jià)于g(f)<g(2),

即可解決.

【詳解】令f=lnx,則x=e1

2

因?yàn)閒(nr”？

所以〃。<看，即〃》'<2,

設(shè)g(x)=e"(x),

所以g'(x)=e*(〃x)+/"(x)),

因?yàn)?(x)+/'(x)>0，

所以g，(x)>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增,

因?yàn)椤?)=/,

所以g(2)=e2〃2)=2,

所以等價(jià)于g(f)<g⑵,

則/<2,RPlar<2,解得Oce].

所以不等式的解集是(O，e)

故選：C

29.(2022秋.江西南昌.高二南昌二中?？茧A段練習(xí))已知定義在R上的偶函數(shù)〃x)滿足

/(x+2)-/(2-x)=0,42022)△，若〃x)<r(T),則不等式“x+l)>C的解集為()

ee

A.(y,0)B.(-00,1)

C.(l,+<?)D.(3,+oo)

【答案】B

【分析】由偶函數(shù)〃X)性質(zhì)可按定義證得r(x)為奇函數(shù)，再結(jié)合f(x)〈尸(-X)得〃功+尸(力<0,構(gòu)造

g(x)=e*〃x),由導(dǎo)數(shù)法可證g(x)單調(diào)遞減,由。(*+2)-/(2-x)=0結(jié)合偶函數(shù)得f(x)的周期為4,即

可得e2/(2022)=g(2)=e,則f(x+1)>!等價(jià)為g(x+1)>g⑵，最后結(jié)合單調(diào)性求解即可.

【詳解】."(%)是定義在R上的偶函數(shù)，.?j(x)=4-x),則r(x)=-r(-x),即/(可是奇函數(shù)，

由fM<f'(-x)=,可得f(x)+/'(x)<0,

構(gòu)造g(x)=e"(x),則g'(x)=eI〃x)+r(x)]<0,所以函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

/(x-2)=/(2-x),.-./(x)=/(-x+4)=/(-%),即/(x)的周期為4,

則/(2)=/(2022)=L即e?(2022)=e?/(2)=e=g(2)；

e

不等式f(x+1)>"可化簡(jiǎn)為e*+力x+1)>e,即g(x+1)>g(2),

所以x+l<2,解得xvl.

故選：B

30.(2022春?吉林?高二吉林省實(shí)驗(yàn)校考階段練習(xí))定義在R上的函數(shù)滿足+⑴=4,

則關(guān)于不等式e"(x)>e，+3e的解集為()

A.(-w,0)B.(-oo,l)C.(0,+與D.(1,+8)

【答案】D

[分析]構(gòu)造函數(shù)g(x)=e'/(x)-e'(xeR),由f(x)+f'(x)>1得g(x)的單調(diào)性，再將不等式e"(x)>e'+3e

轉(zhuǎn)化為e"(x)-e'>3e,由構(gòu)造函數(shù)g(x)的單調(diào)性與g⑴=3e即可求解.

【詳解】設(shè)g(x)=e"(x)-e*(xwR),則g'(x)=e"(x)+e"'(x)-e"=e*[f(x)+r(x)-l],

Q/(x)+r(x)>l,..J(x)+/'(x)—1>0.又e*>0，

所以g'(x)>0.y=g(x)在定義域上單調(diào)遞增，

對(duì)于不等式e"(x)>e'+3e轉(zhuǎn)化為e'/(x)-er>3e,

X