高三數(shù)學(xué)重點解析幾何題型與分析

解析幾何

—.復(fù)習(xí)目標：

1.能正確導(dǎo)出由一點和斜率確定的直線的點斜式方程;從直線的點斜式方程出發(fā)推導(dǎo)

出直線方程的其他形式，斜截式、兩點式、截距式：能根據(jù)已知條件，熟練地選擇恰當(dāng)?shù)姆?/p>

程形式寫出直線的方程，熟練地進行直線方程的不同形式之間的轉(zhuǎn)化，能利用直線的方程來

研究與直線有關(guān)的問題了.

2.能正確畫出二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域，知道線性規(guī)劃的意義，知道線性

約束條件、線性目標函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念，能正確地利用圖解法解決

線性規(guī)劃問題，并用之解決簡單的實際問題，了解線性規(guī)劃方法在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用；會用線

性規(guī)劃方法解決一些實際問題.

3.理解“曲線的方程”、"方程的曲線”的意義，了解解析幾何的基本思想，掌握求曲線

的方程的方法.

4.掌握圓的標準方程：（x—a）2+（y—6產(chǎn)=尸（r>0）,明確方程中各字母的幾何意

義，能根據(jù)圓心坐標、半徑熟練地寫出圓的標準方程，能從圓的標準方程中熟練地求出圓心

坐標和半徑，掌握圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F知道該方程表示圓的充要

條件并正確地進行一般方程和標準方程的互化，能根據(jù)條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程，

理解圓的參數(shù)方程/八（。為參數(shù)），明確各字母的意義，掌握直線與圓的位置關(guān)系

[y=rsint/

的判定方法.

5.正確理解橢圓、雙曲線和拋物線的定義，明確焦點、焦距的概念；能根據(jù)橢圓、雙

曲線和拋物線的定義推導(dǎo)它們的標準方程；記住橢圓、雙曲線和拋物線的各種標準方程；能

根據(jù)條件，求出橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程；掌握橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì):

范圍、對稱性、頂點、離心率、準線（雙曲線的漸近線）等，從而能迅速、正確地畫出橢圓、

雙曲線和拋物線；掌握a、b、c、p、e之間的關(guān)系及相應(yīng)的幾何意義；利用橢圓、雙曲線和

拋物線的幾何性質(zhì)，確定橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程，并解決簡單問題；理解橢圓、

雙曲線和拋物線的參數(shù)方程，并掌握它的應(yīng)用；掌握直線與橢圓、雙曲線和拋物線位置關(guān)系

的判定方法.

二.考試要求：

（一）直線和圓的方程

1.理解直線的斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的點斜式、兩

點式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程。

2.掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式，能夠根

據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系。

3.了解二元一次不等式表示平面區(qū)域。

4.了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用。

5.了解解析幾何的基本思想，了解坐標法。

6.掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程。

（二）圓錐曲線方程

I.掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)。

2.掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)。

3.掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)。

4.了解圓錐.曲線的初步應(yīng)用。

三.教學(xué)過程：

（I；基就知孤祥祈

高考解析幾何試題一般30分左右，考查的知識點約為20個左右。其命題一般緊扣課

本，突出重點，全面考查。選擇題利填空題考查直線、圓、圓錐曲線、參數(shù)方程和極坐標系

中的基礎(chǔ)知識。解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點，通過知識的重組與鏈接，使知識

形成網(wǎng)絡(luò)，著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求解有時還要用到平幾的基本知識和向量

的基本方法，這一點值得強化。

（一）直線的方程

1.點斜式：y-必=Z（x-X1）：2.截距式：y=kx+b；

3.兩點式：之二21=土衛(wèi)；4.截距式：2+1=1；

乃一乃％2一》|ab

5.一■般式：Ax+By+C=0,其中A、B不同時為0.

（二）兩條直線的位置關(guān)系

兩條直線6，4有三種位置關(guān)系：平行（沒有公共點）；相交（有且只有一個公共點）；

重合（有無數(shù)個公共點）.在這三種位置關(guān)系中，我們重點研究平行與相交.

設(shè)直線4：y=kix+bi,直線4：y=k2x+b2,則

人〃4的充要條件是占=七，且仇=%；4,4的充要條件是占怎=」?

（三）線性城劃問題

1.線性規(guī)劃問題涉及如下概念：

⑴存在一定的限制條件，這些約束條件如果由x、y的一次不等式（或方程）組成的不等

式組來表示，稱為線性約束條件.

⑵都有一個目標要求，就是要求依賴于x、y的某個函數(shù)（稱為目標函數(shù)）達到最大值或

最小值.特殊地，若此函數(shù)是x、y的一次解析式，就稱為線性目標函數(shù).

⑶求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.

⑷滿足線性約束條件的解（x,y）叫做可行解.

⑸所有可行解組成的集合，叫做可行域.

⑹使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解，叫做這個問題的最優(yōu)解.

2.線性規(guī)劃問題有以下基本定理：

⑴一個線性規(guī)劃問題，若有可行解，則可行域一定是一個凸多邊形.

⑵凸多邊形的頂點個數(shù)是有限的.

⑶對于不是求最優(yōu)整數(shù)解的線性規(guī)劃問題，最優(yōu)解一定在凸多邊形的頂點中找到.

3.線性規(guī)劃問題一般用圖解法.

（四）圓的有關(guān)問題

1.圓的標準方程

（X—。）2+（>-⑥2=/（>0）,稱為圓的標準方程，其圓心坐標為（a,b）,半徑為r.

特別地，當(dāng)圓心在原點（0,0）,半徑為r時，圓的方程為/+:/=/

2.圓的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0（￡）2+E2-4F>0）稱為圓的一般方程，

其圓心坐標為（-2,半徑為r=-VD2+E2-4F.

222

nF

當(dāng)￡>2+￡2—4￡=o時，方程表示一個點（——，——）.

22

當(dāng)。2+￡2—4夕時，方程不表示任何圖形.

3.圓的參數(shù)方程

圓的普通方程與參數(shù)方程之間有如下關(guān)系：

9?x=rcos^

+y=r<=><,（0為參數(shù)）

y=rsind

x=a+rcos0

（X—4）2+（y-b）2=〃o（0為參數(shù)）

y-b+rsin0

（五）橢圓及其標準方程

（1）橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動點與兩定點4、B的距離的和大于

IF,Bl這個條件不可忽視.若這個距離之和小于I月產(chǎn)21，則這樣的點不存在；若距離之和等

于IF,F21,則動點的軌跡是線段F,F2.

2222

YVvv

2.橢圓的標準方程：——H——=1(.a>b>0),—r-4—r-=1(.a>b>0).

/導(dǎo)a2b2

3.橢圓的標準方程判別方法：判別焦點在哪個軸只要看分母的大?。喝绻豁椀姆帜复?/p>

于V項的分母，則橢圓的焦點在x軸上，反之，焦點在y軸上.

4.求橢圓的標準方程的方法：⑴正確判斷焦點的位置；⑵設(shè)出標準方程后，運用待定

系數(shù)法求解.

(六)橢圓的簡單幾何性質(zhì)

22

(1)橢圓的幾何性質(zhì)：設(shè)橢圓方程為二+二=1(。>匕>0).

a2b-

(1)范圍：-a<x<a,-b<x<b,所以橢圓位于直線*=±。和丫=±8所圍成的矩形里.

⑵對稱性：分別關(guān)于x軸、y軸成軸對稱，關(guān)于原點中心對稱.橢圓的對稱中心叫做橢

圓的中心.

(3)頂點：有四個A1(-a,0)、A2(a,0)Bt(0,-b),B2(0,b).

線段AA2、B1之分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等于2a和2b,a和b分

別叫做橢圓的工半軸長和短半軸長.所以橢圓和它的對稱軸有四個交點，稱為橢圓的頂點.

(4)離心率：橢圓的焦距與長軸長的比e=￡叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平

a

程度.0<e<l.e越接近于1時，橢圓越扁；反之，e越接近于0時，橢圓就越接近于圓.

2.橢圓的第二定義

⑴定義：平面內(nèi)動點M與一個頂點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)e=￡

a

“<1=時，這個動點的軌跡是橢圓.

22

(2)準線：根據(jù)橢圓的對稱性，j+勺=1(a>&>0)的準線有兩條，它們的方程

a2b2

222

為'=±?.對于橢圓鼻+a=1的準線方程，只要把X換成y就可以了，

2

即y=±幺.

C

3.橢圓的焦半徑：山橢圓上任意一點與其焦點所連的線段叫做這點的焦半徑.

22

設(shè)片(-C,0),F2(c,0)分別為橢圓j+二=1(o>&>0)的左、右兩焦點，

12a2b2

M(x,y)是橢圓上任一點，則兩條焦半徑長分別為四K|=a+ex,|〃項="以.

橢圓中涉及焦半徑時運用焦半徑知識解題往往比較簡便.

橢圓的四個主要元素a、b、c、e中有a2=62+c2、《=￡兩個關(guān)系，因此確定橢圓的

a

標準方程只需兩個獨立條件.

(七)橢圓的參數(shù)方程

x2V2,[x=acos0

橢圓3+J=1(。>匕>0)的參數(shù)方程為《(。為參數(shù)).

ab~[y=bsin0

說明⑴這里參數(shù)0叫做橢圓的離心角.橢圓上點P的離心角0與直線OP的傾斜角a

不同：tan6T=-tan0；

a

（2）橢圓的參數(shù)方程可以由方程j+==l與三角恒等式cos2e+sin20=l相比較

ab

而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實質(zhì)是三角代換.

（八）雙曲線及其標準方程

I.雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點斗、心的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a（小于

lFtF2I）的動點M的軌跡叫做雙曲線.在這個定義中，要注意條件2a<\F]F2\,這一條件

可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a=16F2\,則動點的軌跡是兩條射線；

若2a>IKKI，則無軌跡.

若明周<陷閭時，動點M的軌跡僅為雙曲線的一個分支，又若四周>|"外|時，

軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中應(yīng)為“差的絕對值

2222

2.雙曲線的標準方程：4―二=1和餐=1（a>0,b>0）.這里從=,2_。2,

a2b2a2b2

其中IK外1=2仁要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.

3.雙曲線的標準方程判別方法是：女牌/項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在x軸上；如果V項

的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b,因此不能像橢圓那樣，通過

比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上.

4.求雙曲線的標準方程，應(yīng)注意兩個問題：⑴正確判斷焦點的位置；⑵設(shè)出標準方程

后，運用待定系數(shù)法求解.

（九）雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

22

1.雙曲線0-2r=1的實軸長為2a,虛軸長為2b,離心率e=￡>l,離心率e越大,

ab'a

雙曲線的開口越大.

2.雙曲線二一二=1的漸近線方程為？=±巳彳或表示為j—=0.若已知雙曲

a~baa-b

rri

線的漸近線方程是y=±竺x,即mx±〃y=O,那么雙曲線的方程具有以下形式：

n

m2x2-n2y2=k,其中k是一個不為零的常數(shù).

3.雙曲線的第二定義：平面內(nèi)到定點（焦點）與到定直線（準線）距離的比是一個大于

22

1的常數(shù)（離心率）的點的軌跡叫做雙曲線.對于雙曲線I-'=1,它的焦點坐標是（-C,

ab

22

0）和（c,0）,與它們對應(yīng)的準線方程分別是％=-二和8=土.

CC

在雙曲線中，a、b、c、e四個元素間有e=￡與Y=“2+^2的關(guān)系，與橢圓一樣確定

a

雙曲線的標準方程只要兩個獨立的條件.

（十）拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)

1.拋物線的定義：平面內(nèi)到一定點（F）和一條定直線（1）的距離相等的點的軌跡叫

拋物線。這個定點F叫拋物線的焦點，這條定直線1叫拋物線的準線。

需強調(diào)的是，點F不在直線1上，否則軌跡是過點F且與1垂直的直線，而不是拋物線。

2.拋物線的方程有四種類型：

y2-2pxy2--2pxx2-2pyx2--2py

、、、?

對于以上四種方程：應(yīng)注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對稱軸是哪個軸，方程中的該項

即為一次項；一次項前面是正號則曲線的開口方向向X軸或y軸的正方向；一次項前面是負

號則曲線的開口方向向x軸或y軸的負方向。

3.拋物線的幾何性質(zhì)，以標準方程y2=2px為例

(1)范圍：x>0；

(2)對稱軸：對稱軸為y=o,由方程和圖像均可以看出；

(3)頂點：0(0,0),注：拋物線亦叫無心圓錐曲線(因為無中心)；

(4)離心率：e=l,由于e是常數(shù)，所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的；

(5)準線方程工=一"；

2

(6)焦半徑公式：拋物線上一點P(xl,yl),F為拋物線的焦點，對于四種拋物線的

焦半徑公式分別為(p>0)：

22

y=2px:\PF\=x[+^-y=-2px:\PF\=-xl+^-

2

x-=2py:\PF\=y,+-|-;x=-2py:\PF\=-yl+-^

(7)焦點弦長公式：對于過拋物線焦點的弦長，可以用焦半徑公式推導(dǎo)出弦長公式。

設(shè)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的弦為AB,A(xl,yl),B(x2,y2),AB的傾斜

角為a,則有①AB卜x?+x2+p

②|叫=與

sin支

以上兩公式只適合過焦點的弦長的求法，對于其它的弦，只能用“弦長公式”來求。

(8)直線與拋物線的關(guān)系：直線與拋物線方程聯(lián)立之后得到一元二次方程：

x2+bx+c=0,當(dāng)存0時，兩者的位置關(guān)系的判定和橢圓、雙曲線相同，用判別式法即可；但

如果a=0,則直線是拋物線的對稱軸或是和對稱軸平行的直線，此時，直線和拋物線相交，

但只有一個公共點。

(H)軌跡方程

(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；

⑵以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.

那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線(圖形或軌跡).

(十二)注意事項

1.⑴直線的斜率是?一個非常重要的概念，斜率k反映了直線相對于X軸的傾斜程度.

當(dāng)斜率A存在時，直線方程通常用點斜式或斜截式表示，當(dāng)斜率不存在時，直線方程為x=a

(a《R).因此，利用直線的點斜式或斜截式方程解題時，斜率k存在與否，要分別考慮.

⑵直線的截距式是兩點式的特例，a、b分別是直線在x軸、y軸上的截距，因為肝0,

爾0,所以當(dāng)直線平行于x軸、平行于y軸或直線經(jīng)過原點，不能用截距式求出它的方程，

而應(yīng)選擇其它形式求解.

⑶求解直線方程的最后結(jié)果，如無特別強調(diào)，都應(yīng)寫成一般式.

⑷當(dāng)直線乙或4的斜率不存在時，可以通過畫圖容易判定兩條直線是否平行與垂直

⑸在處理有關(guān)圓的問題，除了合理選擇圓的方程，還要注意圓的對稱性等幾何性質(zhì)的運

用，這樣可以簡化計算.

2.⑴用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程時，要分清焦點在x軸上還是y軸匕還是兩種都

存在.

⑵注意橢圓定義、性質(zhì)的運用，熟練地進行a、b、c、e間的互求，并能根據(jù)所給的方

程畫出橢圓.

⑶求雙曲線的標準方程應(yīng)注意兩個問題：⑴正確判斷焦點的位置；⑵設(shè)出標準方程

后，運用待定系數(shù)法求解.

八hI*2v?

⑷雙曲線。一上=1的漸近線方程為y=±±x或表示為三—鼻=0.若已知雙曲

a2b2aa2b2

線的漸近線方程是y=±'x,即加x±”y=0,那么雙曲線的方程具有以下形式：

n

m2x2-n2y2=k,其中k是一個不為零的常數(shù).

2222

⑸雙曲線的標準方程有兩個0-4=1和二一0=1(a>0,b>0),這里

a2b2a2b2

b2=c2-a2,其中Bl=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.

⑹求拋物線的標準方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標準方程的類型，再求拋物線的標

準方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標準方程的類型，再由條件確定參數(shù)p的值.同時，應(yīng)

明確拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程三者相依并存，知道其中拋物線的標準方程、

焦點坐標、準線方程三者相依并存，知道其中一個，就可以求出其他兩個.

例1、求與直線3x+4y+12=0平行，且與坐標軸構(gòu)成的三角形面積是24的直線1的方程。

分析：滿足兩個條件才能確定一條直線。一般地，求直線方程有兩個解法，即用其中

個條件列出含待定系數(shù)的方程，再用另一個條件求出此參數(shù)。

解法一：先用“平行”這個條件設(shè)出1的方程為3x+4y+m=0①再用“面積”條件去求m,

?.,直線1交x軸于4(-箏0),交y軸于8(0,-々)由卜g?-用=24,得機=±24,代入①

得所求直線的方程為：3x+4y±24=0

解法二：先用面積這個條件列出1的方程，設(shè)1在x軸上截距離a,在y軸上截距b,則

有點弱=24,因為1的傾角為鈍角，所以a、b同號，labl=ab,I的截距式為曰+*=1,即

21a48

a

48x+a?y-48a=0②又該直線與3x+4y+2=0平行，［w~^a,：.a=±8代入②得所求

直線1的方程為3x+4y±24=0

說明：與直線Ax+By+C=0平行的直線可寫成Ax+By+G=0的形式；與Ax+By+C=0垂

直的直線的方程可表示為Bx-Ay+C2=0的形式。

例2、若直線mx+y+2=0與線段AB有交點，其中A(-2,3),B(3,2),求實數(shù)m的取值范

圍。

解：直線mx+y+2=0過一定點C(0,-2),直線mx+y+2=0實際上表示的是過定點(0,-2)

的直線系，因為直線與線段AB有交點，則直線只能落在NABC的內(nèi)部，設(shè)BC、CA這兩

條直線的斜率分別為員、k2，則由斜率的定義可知，直線mx+y+2=0的斜率k應(yīng)滿足kNki

y

A

B

ox

C(0,-2)

,3

3)B(3,2)

45

---

132

45

->--

-m32即或mq

說明：此例是典型的運用數(shù)形結(jié)合的思想來解題的問題，這里要清楚直線mx+y+2=0

的斜率-m應(yīng)為傾角的正切，而當(dāng)傾角在（0。,90。）或（90。,180。）內(nèi)，角的正切函數(shù)都是單調(diào)遞增

的，因此當(dāng)直線在/ACB內(nèi)部變化時，k應(yīng)大于或等于kBc，或者k小于或等于kAc，當(dāng)A、

B兩點的坐標變化時，也要能求出m的范圍。

例3、已知x、y滿足約束條件

"x>l.

yx-3y<-4,

3x+5y<30,

求目標函數(shù)z=2x-y的最大值和最小值.

解：根據(jù)x、y滿足的約束條件作出可行域，即

如圖所示的陰影部分（包括邊界）.

作直線2x-y=0,再作一組平行于的直線h

2x-y=t,R.

可知，當(dāng)i在％的右下方時，直線?上的點（x,y）

滿足2x-y>0,即t>0,而且直線柱右平移時，t

隨之增大.當(dāng)直線?平移至。的位置時，直線經(jīng)過可行

域上的點B,此時所對應(yīng)的t最大；當(dāng)在/（）的左上

方時,直線方的點（x,y）滿足2x-yV0,即t<0,

而且直線?往左平移時，t隨之減小.當(dāng)直線r平移至%的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點C,

此時所對應(yīng)的t最小.

-x-3y+4=0,

叫解得點B的坐標為（5,3）；

_3x+5y-3O=O,

z*X-1,

由」解得點C的坐標為（1,—）.

I5

I3x+5y-3O=O,

2717

所以，Z最大值=2x5-3=7；=2x1--=--.

例4、某運輸公司有10輛載重量為6噸的A型卡車與載重量為8噸的B型卡車，有11

名駕駛員.在建筑某段高速公路中，該公司承包了每天至少搬運480噸瀝青的任務(wù).一知每輛

卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車8次，B型卡車7次；每輛卡車每天的成本費A型車350

元，B型車400元.問每天派出A型車與B型車各多少輛，公司所花的成本費最低，最低為

多少？

解：設(shè)每天派出A型車與B型車各X、y輛，并設(shè)公司每天的成本為z元.由題意，得

〃x<10,

y<5，

Jx+y<l1,

48x+56y>60,

x,yWN,

且z=350x+400y.

/x<10,

7"8Y=Q11

y<5,

即x+y<ll,

6x+7y>55,

x,yGN,

作出可行域，作直線/()：350x+400y=0,即7x+8y=0.

作出一組平行直線：7x+8y=t中(t為參數(shù))經(jīng)過可行域內(nèi)的點和原點距離最近的直線，此

25

直線經(jīng)過6x+7y=60和y=5的交點A(—,5),由于點A的坐標不都是整數(shù)，而x,yCN,

6

25

所以可行域內(nèi)的點A(―,5)不是最優(yōu)解.

6

為求出最優(yōu)解，必須進行定量分析.

25

因為，7x—+8x579.2,所以經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點)

6

且與原點最小的直線是7x+8y=10,在可行域內(nèi)滿足該方程的整數(shù)解只有x=10,y=0,所以

(10,0)是最優(yōu)解,即當(dāng)/通過B點時，z=350x10+400x0=3500元為最小.

答：每天派出A型車10輛不派B型車，公司所化的成本費最低為3500元.

例5、已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2、OT=t(0<t<l),以AB為直腰作直

角梯形44'目3,使44,垂直且等于AT,使垂直且等于BT,月'目交半圓于P、

Q兩點，建立如圖所示的直角坐標系.

(1)寫出直線AB的方程；

(2)計算出點P、Q的坐標；

(3)證明：由點P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射

后，反射光線通過點Q.

解:(1)顯然5'(-1,1+4于是

直線AB的方程為y=—/*+1；

(2)由方程組卜2+/i解出

[y=—tx+1,

2t1—r2

3

由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點P發(fā)出的光線經(jīng)點T反射，反

射光線通過點Q.

說明：嘉要注意的是,Q點的坐標本質(zhì)上是三角中的萬能公式，有趣嗎？

例6、設(shè)P是圓M：(x-5)2+(y-5)2=l上的動點，它關(guān)于A(9,0)的對稱點為Q,把P繞原

點依逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。到點S,求ISQI的最值。

解：設(shè)P(x,y),則Q(18-x,-y),記P點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi,則S點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為:

(x+yi)?i=-y+xi,即S(-y,x)

ISQI=&18-X+)河加蘇

=、J182+x2+?2-36x+36v-2xy+x2+y2+2xy

=y/2-Jx^+y2-18x+l8y+81+81

J(x-9)2+(y+9)2

其中，(x-9)2+(y+9)2可以看作是點P到定點B(9,-9)的距離，共最大值為

IM8l+r=2?至+1最小值為IM*-r=2、,瓦—1,貝U

ISQI的最大值為2vlO6+V2,ISQI的最小值為2、106-V2

例7、已知。M：/+(>—2>=]，。是x軸上的動點，QA,QB分別切。M于A,B

4.72

兩點，(1)如果IABI==，求直線MQ的方程；

3

(2)求動弦AB的中點P的軌跡方程.____________

解：(I)由IA61=半，可得IMP1=^1MAI*2/_(乎)2=1,由射

影定理，得I例得|MQ|=3,在RtaMOQ中，

IOQ1=7lMQ\2MOI2=732-22=料，

故a='或。=-Vs，

所以直線AB方程是

2x+島-2正=0或2x-島+2后=0;

(2)連接MB,MQ,設(shè)P(x,y),Q(a,0),由

點M,P,Q在一直線上，得

2v-2

——=2一,(*)由射影定理得IMB\2^MP\-\MQ\,

-ax

即Jx2+(y_2)2.Jq2+4=i,(**)把(*)及(**)消去處

71

并注意到y(tǒng)<2,可得/+(y一一)2=—(y72).

416

說明：適時應(yīng)用平面幾何知識，這是快速解答本題的要害所在。

例8、直線/過拋物線y2=2px(pH0)的焦點，且與拋物線相交于A(/，力)和8(%,為)

2

兩點.(1)求證：4X]j2=p-,

(2)求證：對于拋物線的任意給定的一條弦CD,直線/不是CD的垂直平分線.

解：⑴易求得拋物線的焦點FQ).

若山軸，則/的方程為x」,顯然中,=以

24

若/不垂直于X軸，可設(shè)y=代入拋物線方程整理得

2Pp2p2

2

X-P(1+-jj)x+—=0,^2=—?

2

綜上可知4xtx2-p.

(2)設(shè)c(Cc)D(Cd)且c/d，則CD的垂直平分線/'的方程為

2p''2/

假設(shè)/'過F,則0_*=_士比一?+%整理得

22p24p

[c+d)(2p-+c2+J2)=0---p

2p2+c2+(/2*0>：.c+d=0.

這時/'的方程為y=0,師/'與拋物線丁=2px只相交于原點.而/與拋物線有兩個不同的

交點，因此/'與/不重合，/不是CD的垂直平分線.

說明：此題是課本題的深化，課本是高考試題的生長點，復(fù)習(xí)要重視課本。

例9、已知橢圓工+匕=1,能否在此橢圓位于y軸左側(cè)的部分上找到一點M,使它

43

到左準線的距離為它到兩焦點B、F2距離的等比中項，若能找到，求出該點的坐標，若不

能找到，請說明理由。

解：假設(shè)存在滿足條件的點，設(shè)M（xi，yi）a?=4,b2=3,.'.a=2,b=6,c=1,e=y,

IMF,I-IMF21=（。+6當(dāng)）（。一。$）二。2一/匹2=4一；再2,點乂到橢圓左準線的距離

.aA2

d=Xy--------=X]+4J/G=d,：.4-（X]+4）

...5x：+32西+48=0,；.玉=一4或匹=一不，這與小612,0）相矛盾，.?.滿足條件的

點M不存在。

,2

例10、已知橢圓中心在原點，焦點在y軸上，焦距為4,離心率為

（1）求橢圓方程；

（II）設(shè)橢圓在y軸正半軸上的焦點為M,腦A和點B在橢圓上，且M分有向線段AB

所成的比為2,求線段AB所在直線的方程。

解：（I）設(shè)橢圓方程為J+?=l由2c=4得c=2又￡=*

a2b2a3

22

故a=3,/=。2一,2=5二所求的橢圓方程為二+二=1

95

（II）若k不存在，則=＞。2,若k存在，則設(shè)直線AB的方程為：y=kx+2

MB

又設(shè)A（X]j1）B（x2,y2）

y=kx+2

由，22得（）

X+'-19+51/+20H—25=0

--------r-------1

[59

-20k-25八

…①X.-X-,=---------7…②

'-9+5K2

?點M坐標為M（0,2）/.AM-（-X1,2-y,）MB=（x2,y2-2）

AM----?-----

由^^=2得AM=2MB???（一七,2-%）=2（%2，為一2）

MB

.??花二一2/代入①、②得々=上■…③2元…④

9+5k-9+5k2

,妨?20k」25,,73

由③、④得2（---------y=--------k=±——

9+5^29+5k273

反

線段AB所在直線的方程為：y^±—x+2.

3

說明：有向線段所成的比，線段的定比分點等概念，本身就是解析兒何研究的一類重要

問題。向量概念的引入，使這類問題的解決顯得簡潔而流暢。求解這類問題可以用定比分點

公式，也可以直接用有向線段的比解題。

另外，向量的長度，點的平移等與解析幾何都有著千絲萬縷的聯(lián)系，向量與解析幾何

的結(jié)合，為解決這些問題開辟了新的解題途徑。

例11、已知直線/與橢圓j+\=1（。>6>0）有且僅有個交點Q,且與X軸、y軸

ab

分別交于R、S,求以線段SR為對角線的矩形ORPS的一個頂點P的軌跡方程.

解：從直線/所處的位置，設(shè)出直線/的方程，

由已知，直線/不過橢圓的四個頂點，所以設(shè)直線/的方程為丫=履+〃?（4/0）.

代入橢圓方程//+/丫2=/后，得

b2x2+a2（k2x2+2kmx+m2）=a2b2.

化簡后，得關(guān)于X的一元二次方程

（a2k2+h2）x2+2ka2mx+a2m2-a2b2=0.

于是其判別式A=（2%常）2-4（11+一）32機2-1從）=4//（1/+'-/）.

由己知，得△=（）.即/公+/=蘇.①

在直線方程y=Zcx+m中，分別令y=0,x=0,求得R（-',0）,S（0,⑼.

k

x=_絲，

令頂點P的坐標為（x,y）,由已知，得J「解得.x

y=tn.tn=y.

代入①式并整理，得fi+￡=i，即為所求頂點p的軌跡方程.

22

xy

說明：方程《+￡=1形似橢圓的標準方程，你能畫出它的圖形嗎？

22,同

例12、已知雙曲線三—二=1的離心率0=—,過A（a,0）,的直線到原點的

ab3

距離是（i）求雙曲線的方程；

2

（2）已知直線y=丘+5（左K0）交雙曲線于不同的點C,D且C,D都在以8為圓心的圓

上，求A的值.

解：?；（1）t原點到直線二—2=1的距離

4Z3ab

,abab，3

a=—,==---=----.

y]a~■+■b2c2

Z7=1,=y/3.

故所求雙曲線方程為二_y2=1

3'

（2）把y=依+5彳弋入M—3y2=3中消去y,整理得（1一3女2）/一30入一78=0.

設(shè)。區(qū)，%）,,V2），。。的中點是E（x。，M）），則

_X[+三_15k

-y0=kx<>+5=—―2，

2―1—3人20°1-3A:

=y^±L=-^

kBEk

x0+ky0+k=0,

即—I——>H---——―z-+k=O,又_kw(),k*27

1—321—31

故所求k=±V7.

說明：為了求出人的值，需要通過消元，想法設(shè)法建構(gòu)女的方程.

例13、過點F(-V3,0)作直線/與橢圓3x2+4y2=12相交于A、B兩點，O為坐標原點,

求AB面積的最大值及此時直線傾斜角的正切值。

分析：若直接用點斜式設(shè)I的方程為y-0=Z(x+6),則要y

求/的斜率一定要存在，但在這里/的斜率有可能不存在，因此要人

討論斜率不存在的情形，為了避免討論，我們可以設(shè)直線/的方程「?

為x=my-6這樣就包含了斜率不存在時的情形了，從而簡B

化了運算。

解：設(shè)A(xpyi)>B(x2,y2)>/：x=my-y/3

SMoB=^\OP\-\yi\+^\OP\-\y2l=V3(ly,l+ly21)=打(乃—乃)

把x=my-V3代入橢圓方程得：3(血2y2_2gmy+3)+4y2-12-0,即

22

(3m+4)y-6y/3my-3=0,月+為=6勺〃,=----1——

'123m2+4-123M之+4

I108/n212

12+48

1(3/+4)2+3帆2+47144X

3m2+4

4,9〃/+3_4A/L/3而+1.J3m2+1

3m2+43m2+4(3m2+1)+3

46nl<_2

V3/n2+1+3

V3m2+1

S<——x2=-\/3，止匕時J3加2+1=[3=m=土史

2y/3m2+13

3%

則,ga=±±了

令直線的傾角為a,7r

即aoAB面積的最大值為百，此時直線傾斜角的正切值為±逅。

2

例14、已知常數(shù)a>0,向量￡=(0,a),7=(1,0).

經(jīng)過原點O以Z+如為方向向量的直線與經(jīng)過定點A(0,a)以7-2/lZ為方向向量的直線

相交于點P,其中4試問：是否存在兩個定點E、F,使得IPEI+IPFI為定值.若存在，求

出E、F的坐標；若不存在，說明理由.

解：*//=(I,0),c=(0,a),/.c+A/=(X,a),i—2kc=(1,—2瓶).

因此，直線。P和AP的方程分別為Ay=ax和y—a=-2Aax.

消去參數(shù)X,得點P(x,y)的坐標滿足方程y(y-a)=-2a2x2.

整理得一(y-『,……①

§(丁

因為a>0,所以得：

V2

(i)當(dāng)。=注時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；

2

(ii)當(dāng)0<a<立時，方程①表示橢圓，焦點E(_LJ_L一〃2;)和為合乎

22V222V22

題意的兩個定點；__________

(iii)當(dāng)。>也時，方程①也表示橢圓，焦點E(0」(a+，"_]_))和尸(0,2(a-J。？-，))

22V22V2

為合乎題意的兩個定點.

說明：山于向量可以用一條有向線段來表示，有向線段的方向可以決定解析幾何中直線

的斜率，故直線的方向向量與解析幾何中的直線有著天然的聯(lián)系。求解此類問題的關(guān)鍵是:

根據(jù)直線的方向向量得出直線方程，再轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解決。

例15、已知橢圓]+「=l(a>b>0)的長、短軸端點分別為A、B,從此橢圓上

a~b

點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點工，向量而與而是共線向量。

(1)求橢圓的離心率e；

(2)設(shè)Q是橢圓上任意一點，片、尸2分別是左、右焦點，求/月的取值范圍；

A2A2

解：(1)???居(一c,0),則工歷=-c,y=—，?二k=-----。

MaOMac

h-----—?h2h

?.?％=一<。例與AS是共線向量，???一幺=一巳，???b二。,故6=注。

nnr\

aaca2

因o|r，叵0

(2)攻

?