新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線重難點提升專題9 利用函數(shù)思想求圓錐曲線中的最值與范圍問題（原卷版）

專題9利用函數(shù)思想求圓錐曲線中的最值與范圍問題一、考情分析與圓錐曲線有關(guān)的范圍、最值問題,在高考中常以解答題形式考查,且難度較大,它能綜合應(yīng)用函數(shù)、三角、不等式等有關(guān)知識,因而備受命題者青睞.解題時要緊緊抓住圓錐曲線的定義與性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化,充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用,其中把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值與值域是最常用的方法之一．二、解題秘籍(一)利用函數(shù)思想最值與范圍問題求解方法與策略1.解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍．2.利用函數(shù)思想求圓錐曲線中的最值或范圍,首先要把待求量用某個（些）量來表示,然后把待求量看作關(guān)于這個量的函數(shù),再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求最值與范圍,其中利用二次函數(shù)配方求最值是最常用的方法,有時也可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求最值.【例1】（2023屆四川省成都市高三上學(xué)期10月月考）已知點SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0的公共焦點,橢圓上的點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0的最大距離為3.(1)求橢圓的方程；(2)過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的兩條切線,記切點分別為SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0面積的最大值.【解析】（1）拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,橢圓上的點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0的最大距離為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以橢圓方程為SKIPIF1<0.（2）拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,對該函數(shù)求導(dǎo)得SKIPIF1<0,設(shè)點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,同理可知,直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0,由于點SKIPIF1<0為這兩條直線的公共點,則SKIPIF1<0,所以點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的坐標滿足方程SKIPIF1<0,所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0,聯(lián)立SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,由韋達定理可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0,點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,由已知可得SKIPIF1<0,所以當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0.【例2】（2023屆新高考高中畢業(yè)班“啟航”適應(yīng)性練習(xí)）在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線M：SKIPIF1<0．P,Q,R為M上相異的三點,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0與SKIPIF1<0負半軸交于點A,RQ,PQ分別與SKIPIF1<0正半軸交于點B,C,記點SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若B為M的焦點,當SKIPIF1<0最大時,求SKIPIF1<0的值．【解析】（1）證明：因為SKIPIF1<0,所以直線OP和OQ斜率之積為－1,設(shè)PQ：SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,聯(lián)立SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0恒成立,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,記直線OP、OQ的斜率分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,聯(lián)立SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0恒成立,得SKIPIF1<0,同理設(shè)SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0；（2）因為B為M的焦點,所以SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,不妨設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,記SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增,在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減,且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增,所以當SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0最大,SKIPIF1<0最大．(二)利用距離公式把距離問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值與距離或線段長度有關(guān)的最值與范圍問題通常是把相關(guān)距離或線段長度利用距離公式表示成一個變量的函數(shù),若被開放式為二次函數(shù)類型,可通過配方求最值與范圍.【例3】（2023屆湖北省騰云聯(lián)盟高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0,且離心率為SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；(2)設(shè)過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0兩點,設(shè)坐標原點為SKIPIF1<0,線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最大值.【解析】（1）SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0,其離心率為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故橢圓SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0；（2）當直線SKIPIF1<0斜率不存在時,M與O重合,不合題意,當直線SKIPIF1<0斜率存在時,設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則有SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0兩點在橢圓上,有SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,兩式相減,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,化簡得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0(三)把面積問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題該類問題求解的基本思路通常是把面積用另一個量（如點的橫坐標、縱坐標,直線的斜率等）,把求面積最值與范圍問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值或值域,若函數(shù)式可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)類型,可利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值.【例4】已知橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0,其右焦點為SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的離心率；(2)若點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上,右頂點為SKIPIF1<0,且滿足直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0面積的最大值.【解析】（1）依題可得,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.所以離心率SKIPIF1<0.（2）易知直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率同號,所以直線SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0軸,故可設(shè)SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0可得,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,化簡可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0化簡得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以直線SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,因為直線SKIPIF1<0不經(jīng)過點SKIPIF1<0,所以直線SKIPIF1<0經(jīng)過定點SKIPIF1<0.設(shè)定點SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,當且僅當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時取等號,即SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0.(四)與斜率有關(guān)的最值與范圍問題與斜率有關(guān)的最值與范圍問題的思路一是設(shè)出動點.是利用斜率定義表示出斜率,然后利用函數(shù)知識求解,二是設(shè)出直線的點斜式或斜截式方程,利用根與系數(shù)之間的關(guān)系或題中條件整理關(guān)于斜率的等式,再利用函數(shù)思想求解.【例5】已知橢圓SKIPIF1<0,過點SKIPIF1<0作橢圓的兩條切線,且兩切線垂直.(1)求SKIPIF1<0；(2)已知點SKIPIF1<0,若存在過點SKIPIF1<0的直線與橢圓交于SKIPIF1<0,且以SKIPIF1<0為直徑的圓過點SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不與SKIPIF1<0重合）,求直線SKIPIF1<0斜率的取值范圍.【解析】（1）由題可知,切線斜率存在,則設(shè)切線SKIPIF1<0,聯(lián)立得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,相切得：SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0由兩切線垂直得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）由（1）得,橢圓方程為SKIPIF1<0由題可知,直線SKIPIF1<0的斜率存在,設(shè)SKIPIF1<0,聯(lián)立得SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0,由韋達定理得：SKIPIF1<0由題意SKIPIF1<0為直徑的圓過點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0①又SKIPIF1<0SKIPIF1<0代入①式得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）,所以SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0隨SKIPIF1<0的增大而增大,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0即直線SKIPIF1<0斜率范圍SKIPIF1<0(五)通過換元把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題該類問題通常是所得結(jié)果比較復(fù)雜,通過換元把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.【例6】已知橢圓C：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分別為橢圓C的左、右焦點,過SKIPIF1<0且與x軸垂直的直線與橢圓C交于點A,B,且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于不同于右頂點P的M,N兩點,且SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最大值．【解析】（1）因為橢圓C的離心率為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0①．將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0②．由①②及SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故橢圓C的標準方程為SKIPIF1<0．（2）由題意知,直線l的斜率不為0,則不妨設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0．聯(lián)立得SKIPIF1<0消去x得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,化簡整理,得SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,將SKIPIF1<0,SKIPIF1<0代入上式,得SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）,所以直線l的方程為SKIPIF1<0,則直線l恒過點SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增,所以當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0取得最大值,為SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0．(六)把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題后再借助導(dǎo)數(shù)求最值或范圍該類問題通常是所得函數(shù)為分式函數(shù)或高次函數(shù),又不具備使用均值不等式的條件,只能借助導(dǎo)數(shù)求最值或范圍.【例7】（2023屆云南省昆明市第一中學(xué)高三上學(xué)期第二次檢測）已知橢圓SKIPIF1<0四個頂點的四邊形為菱形,它的邊長為SKIPIF1<0,面積為SKIPIF1<0,過橢圓左焦點SKIPIF1<0與橢圓C相交于M,N兩點（M,N兩點不在x軸上）,直線l的方程為：SKIPIF1<0,過點M作SKIPIF1<0垂直于直線l交于點E．(1)求橢圓C的標準方程；(2)點O為坐標原點,求SKIPIF1<0面積的最大值．【解析】（1）由題意可得：SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0橢圓C的標準方程為SKIPIF1<0（2）由（1）可得：SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0由題意可設(shè)直線SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0聯(lián)立方程SKIPIF1<0,消去x可得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0∴直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0,則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,則可得SKIPIF1<0即直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0面積為SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時恒成立∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減,則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0(七)利用橢圓的參數(shù)方程把把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值與范圍此類問題通常是把橢圓SKIPIF1<0上的動點設(shè)為SKIPIF1<0,再利用輔助角公式及弦函數(shù)的有界性或單調(diào)性求最值與范圍.【例8】已知橢圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的方程；(2)在橢圓C的第四象限的圖象上有一個動點M,連接動點M與橢圓C的左頂點A與y的負半軸交于點E,連接動點M與橢圓的上頂點B,與x的正半軸交于點F,記四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）依題意SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,故C的方程為SKIPIF1<0．（2）依題意,SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,所以直線SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0．直線SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0,又易知SKIPIF1<0,所以四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由題意可知SKIPIF1<0的直線方程為SKIPIF1<0,再設(shè)橢圓的參數(shù)方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0為參數(shù),則動點M到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,化簡得SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0．三、跟蹤檢測1.（2023屆重慶市第八中學(xué)校高三上學(xué)期月考）已知雙曲線E：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0,SKIPIF1<0）一個頂點為SKIPIF1<0,直線l過點SKIPIF1<0交雙曲線右支于M,N兩點,記SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面積分別為S,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.當l與x軸垂直時,SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0.(1)求雙曲線E的標準方程；(2)若l交y軸于點P,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求證：SKIPIF1<0為定值；(3)在（2）的條件下,若SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,求實數(shù)m的取值范圍.2．（2023屆陜西省咸陽市武功縣高三上學(xué)期質(zhì)量檢測）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上一動點,SKIPIF1<0的最大面積為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點,SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上兩點,且SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最大值.3．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0,其左焦點到點SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．(1)求橢圓的方程；(2)直線SKIPIF1<0與橢圓相交于SKIPIF1<0兩點,求SKIPIF1<0的面積關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)關(guān)系式,并求面積最大時直線SKIPIF1<0的方程．4．如圖所示,SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點,離心率為SKIPIF1<0.(1)求橢圓的標準方程；(2)過SKIPIF1<0點作兩條互相垂直的直線SKIPIF1<0,SKIPIF1<0與橢圓交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0兩點,求SKIPIF1<0面積的最大值.5．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0,橢圓上一動點SKIPIF1<0與左?右焦點構(gòu)成的三角形面積最大值為SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)橢圓SKIPIF1<0的左?右頂點分別為SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點,記直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0,已知SKIPIF1<0.①求證：直線SKIPIF1<0恒過定點；②設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最大值.6．（2023屆北京市第四中學(xué)高三上學(xué)期測試）已知中心在原點,焦點在SKIPIF1<0軸上的橢圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0,離心率為SKIPIF1<0,點SKIPIF1<0為其右頂點.過點SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點,直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0分別交于點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)求SKIPIF1<0的取值范圍.7．（2022屆上海市行知中學(xué)高三上學(xué)期考試）已知曲線SKIPIF1<0上一動點SKIPIF1<0到兩定點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的距離之和為SKIPIF1<0,過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．(1)求曲線SKIPIF1<0的方程；(2)動弦SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0,求點SKIPIF1<0的軌跡方程；(3)求SKIPIF1<0的取值范圍．8．（2023屆河南省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0,左?右焦點分別為SKIPIF1<0是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點,SKIPIF1<0.(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓左頂點為A,上頂點為B,直線SKIPIF1<0且交橢圓于P,Q,求SKIPIF1<0的面積最大時,l的方程.9．已知一條動直線SKIPIF1<0,直線l過動直線的定點P,且直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,O為坐標原點．(1)是否存在直線l滿足下列條件：①△AOB的周長為12；②△AOB的面積為6．若存在,求出直線l的方程；若不存在,請說明理由．(2)當SKIPIF1<0取得最小值時,求直線l的方程．10．如圖,已知點SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0SKIPIF1<0的焦點．過點F的直線交拋物線于A,B兩點,點A在第一象限,點C在拋物線上,使得SKIPIF1<0的重心G在x軸上,直線SKIPIF1<0交x軸于點Q,且Q在點F的右側(cè),記SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．(1)求p的值及拋物線的準線方程；(2)設(shè)A點縱坐標為SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(3)求SKIPIF1<