2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)4.3.2-簡單的三角恒等變換-專項訓(xùn)練【含解析】

年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)4.3.2-簡單的三角恒等變換-專項訓(xùn)練一、單項選擇題1.cos2π12-cos25π12=A.12 B.33 C.22 2已知sinα+π4=-32,則sin2A.12 B.-1C.32 D.-3.某學(xué)生在“撿起樹葉樹枝,凈化校園環(huán)境”的志愿活動中拾到了三支小樹枝(視為三條線段),想要用它們作為三角形的三條高線制作一個三角形.經(jīng)測量,其長度分別為3cm,4cm,6cm,則()A.能作出兩個銳角三角形B.能作出一個直角三角形C.能作出一個鈍角三角形D.不能作出這樣的三角形4.設(shè)sin20°=m,cos20°=n,化簡1+tan10°1-tan10°A.nm B.-mC.mn D.-5.在△ABC中,AC=22,BC=4,則角B的最大值為()A.π4 B.πC.π2 D.6.設(shè)M,N為某海邊相鄰的兩座山峰,到海平面的距離分別為100米,50米.現(xiàn)欲在M,N之間架設(shè)高壓電網(wǎng),須計算M,N之間的距離.勘測人員在海平面上選取一點P,利用測角儀從P點測得的M,N點的仰角分別為30°,45°,并從P點觀測到M,N點的視角為45°,則M,N之間的距離為()A.5010米 B.5014米C.5022米 D.5026米7.若sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈π4,π2,β∈π,A.7π4 BC.5π4或78.圭表(如圖甲)是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器,它包括一根直立的標(biāo)桿(稱為“表”)和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)桿垂直的長尺(稱為“圭”).當(dāng)正午太陽照射在表上時,日影便會投影在圭面上,圭面上日影長度最長的那一天定為冬至,日影長度最短的那一天定為夏至.圖乙是一個根據(jù)北京的地理位置設(shè)計的圭表的示意圖,已知北京冬至正午太陽高度角大約(即∠ABC)為30°,夏至正午太陽高度角(即∠ADC)大約為75°,圭面上冬至線與夏至線之間的距離(即DB的長)為a,則表高(即AC的長)為()甲乙A.34a B.1C.1+34a D.二、多項選擇題9.在△ABC中,下列命題正確的是()A.若A>B,則sinA>sinBB.若sin2A=sin2B,則△ABC一定為等腰三角形C.若a2+b2=c2,則△ABC一定為直角三角形D.若三角形的三邊滿足a2+b2>c2,則此三角形的最大角為鈍角10將函數(shù)f(x)=2cos2xsinφ+sin2xcosφ-sinφ的圖象向左平移π6個單位長度后,與函數(shù)g(x)=cosωx-π3的圖象重合,則φ的值可能為()A.-3π2 B.-C.-π6 D.11.我國古代著名的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”,根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明,后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1,它由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.我們通過類比得到圖2,它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形A'B'C'拼成的一個大等邊三角形ABC.對于圖2,下列結(jié)論正確的是()圖1圖2A.這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,則C.若AB=2A'B',則AB'=5BB'D.若A'是AB'的中點,則三角形ABC的面積是三角形A'B'C'面積的7倍三、填空題12.若tan(α-β)=32,tanβ=2,則tanα=.13.若函數(shù)f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值為2,則常數(shù)φ的一個取值為.

14.設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若B=2A,則b+ca的取值范圍是15.已知定義在x∈-3π4,π4上的函數(shù)f(x)=sinx+π4+sin2x在x=

參考答案與解析1.D解析原式=cos2π12-cos2π2?π12=cos2π12-sin2π122.A解析因為sinα+π4=-32,所以sin2α=-cos2α+π2=-cos2α+π4=2sin2α+π4-3.C解析因為三條高線的長度為3cm,4cm,6cm,故三邊之比為4∶3∶2,設(shè)最大邊所對的角為α,則cosα=4+9-162×而α為三角形內(nèi)角,故α為鈍角,故三角形為鈍角三角形.4.C解析1+tan10°5.A解析設(shè)AB=x,則x>0,由余弦定理可得cosB=AB2+B當(dāng)且僅當(dāng)x=22時,等號成立,因為0<B<π,則0<B≤π4,故角B的最大值為π6.A解析如圖,由題可知∠MPM1=30°,∠NPN1=45°,∴PM=200,PN=502,又∠MPN=45°,∴MN2=40000+5000-2×200×502×22=∴MN=5010(米).7.A解析因為α∈π4,π2,所以2α∈π2,π,β-α∈π2,5π又因為sin2α=55,sin(β-α)=10所以2α為第二象限角,β-α為第二象限角,所以cos(β-α)=-1-sin2(β-α)=-31010,cos2α=-1-sin22α=-255,又因為α+β=(β-α)+2α,所以cos(α+β)=cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin8.C解析依題意∠BAD=∠ADC-∠ABC=75°-30°=45°,在△BAD中由正弦定理得BDsin∠BAD=ADsin∠ABD,即asin45°=ADsin30°,所以AD=a222=2a2,又因為在Rt△ACD中,ACAD=sin75°=sin(45°9.AC解析對于選項A,在△ABC中,若A>B,則a>b,因此sinA>sinB,A正確;對于選項B,若sin2A=sin2B,則2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π2,所以△ABC為等腰三角形或直角三角形,B錯誤;對于選項C,若a2+b2=c2,由勾股定理的逆定理可知△ABC一定為直角三角形,C正確;對于選項D,若三角形的三邊滿足a2+b2>c2,由余弦定理可知cosC>0,僅可得C為銳角,最大角是否為鈍角不確定,D錯誤10.AC解析f(x)=(1+cos2x)sinφ+sin2xcosφ-sinφ=cos2xsinφ+sin2xcosφ=sin(2x+φ),將f(x)的圖象向左平移π6個單位長度得y=sin2x+π6+φ=sin2x+π3+φ的圖象,與函數(shù)g(x)=cosωx-π3的圖象重合,故ω=±2,①若g(x)=cos2x-π3=sin2x-π3+π2=sin2x+π6,π3+φ=π6+2kπ,②若g(x)=cos-2x-π3=cos2x+π3=sin2x+π3+π2=sin2x+5π6,π3+φ=5π6+2kπ,φ=2kπ11.ABD解析對于A選項,根據(jù)題意,圖2是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形A'B'C'拼成的一個大等邊三角形ABC,故AA'=BB',AB'>BB',所以這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形,故A選項正確;對于B選項,由題知,在△ABB'中,BB'=3,sin∠ABB'=5314,∠AB'B=120°,所以sin∠BAB'=sin(60°-∠ABB')=3314,所以由正弦定理得BB'sin∠BAB'=AB'sin∠對于C選項,不妨設(shè)AB=2A'B'=2,AA'=x,所以在△AB'B中,由余弦定理得|AB|2=|AB'|2+|BB'|2-2|AB'||BB'|cos∠AB'B,代入數(shù)據(jù)得AA'=x=5-12,所以AB'=AA'+A'B'=1+5-12=5+12,對于D選項,若A'是AB'的中點,則S△ABB'=12BB'·AB'sin120°=B'C'·A'B'sin60°=2S△A'B'C',所以S△ABC=3S△ABB'+S△A'B'C'=7S△A'B'C',故D選項正確12.-74解析因為tan(α-β)=32,tanβ=2,所以tanα=tan[(α-β)+β]=tan(13.π2答案不唯一,φ=2kπ+π2,k∈Z均可解析因為f(x)=cosφsinx+(sinφ+1)cosx=cos

2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ),所以cos

14.(2+1,3+2)解析因為B=2A,則sinB=sin2A=2sinAcosA,cosB=cos2A=2cos2A-1,又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,故由正弦定理可得b+ca=sinB+sinCsinA=2cosA+cosB+cosAsinBsinA=2cosA+cosB+2cos2A=2cosA+2cos又△ABC為銳角三角形,故可得A∈0,π2,B=2A∈0,π2,C=π-3A∈0,π2,解得A∈π6,π4,則cosA∈22,32,故4cos2A+2cosA-1∈(15.-98