七年級數(shù)學(xué)下冊講義（北師大版）第四章第03講 探究三角形全等的條件(6類熱點(diǎn)題型講練)（原卷版）

第03講探究三角形全等的條件(6類熱點(diǎn)題型講練)1．理解和掌握全等三角形判定方法“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”、“邊邊邊”定理.2．能把證明一對角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個三角形全等.知識點(diǎn)01全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.特別說明：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（可以寫成“角角邊”或“AAS”）特別說明：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.知識點(diǎn)02全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．知識點(diǎn)03全等三角形的應(yīng)用（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補(bǔ)短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明．（3）全等三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用一般方法是把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．題型01三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用【例題】（2024上·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，南寧白沙大橋是一座斜拉索橋，造型美觀，結(jié)構(gòu)穩(wěn)固，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是（

）A．三角形的穩(wěn)定性 B．四邊形的不穩(wěn)定性C．三角形兩邊之和大于第三邊 D．三角形內(nèi)角和等于【變式訓(xùn)練】1．（2023上·河北滄州·八年級統(tǒng)考期中）以下生活現(xiàn)象不是利用三角形穩(wěn)定性的是（

）A．B．C． D．2．（2024上·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）周日，小喬在家?guī)蛬寢尨驋咝l(wèi)生，為方便拆取窗簾，他拿來一個人字梯，并且在人字梯的中間綁了一條結(jié)實(shí)的繩子，如圖所示，請問小喬這樣做的道理是（

）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線C．三角形具有穩(wěn)定性 D．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直3．（2024上·湖北省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，建筑工地上的塔吊機(jī)的框架設(shè)計(jì)成很多個三角形，這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是．題型02用SSS證明兩三角形全等【例題】（2023·云南玉溪·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)在一條直線上，，求證：．

【變式訓(xùn)練】1．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的中點(diǎn)，．求證：．

2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)分別在上，，．(1)求證：；(2)求證：．題型03用ASA證明兩三角形全等【例題】（2023春·廣東惠州·八年級?？计谥校┤鐖D，，點(diǎn)，點(diǎn)在上，，求證：．

【變式訓(xùn)練】1．（2023·校聯(lián)考一模）如圖，點(diǎn)A、、、在同一條直線上，若，，求證：．2．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學(xué)?？既＃┤鐖D，在和中，，點(diǎn)B為中點(diǎn)，．(1)求證：．(2)若，求的長．題型04用AAS證明兩三角形全等【例題】（2023·廣東汕頭·廣東省汕頭市聿懷初級中學(xué)校考三模）如圖，點(diǎn)E在邊上，，，．求證：【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，，，．

(1)求證：．(2)當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)．2．（2023秋·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)求證：．題型05用SAS證明兩三角形全等【例題】（2023·廣東廣州·校考模擬預(yù)測）如圖，已知，，．求證：．

【變式訓(xùn)練】1．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）已知，如圖，點(diǎn)、、、在同一直線上，、相交于點(diǎn)，，垂足為，，垂足為，且，．求證：．2．（2023春·山東濟(jì)南·七年級濟(jì)南育英中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，，，．求證：．

題型06添加條件使兩三角形全等【例題】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，D在上，E在上，且，補(bǔ)充一個條件______后，可用“”判斷．

【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江雞西·校考三模）如圖，點(diǎn)在一條直線上，已知，請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件_________使得．（要求不添加任何線段）

2．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)，，，在一條直線上，，，只需添加一個條件即可證明，這個條件可以是________（寫出一個即可）．3．（2023秋·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_______________；要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_______________________．一、單選題1．（2023上·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）巴東長江大橋全長公里，位于長江水道之上，是連接巴東縣南北兩岸的重要通道．如圖，這是大橋中的斜拉索橋，那么斜拉索大橋中運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是（

）A．三角形的內(nèi)角和為 B．三角形的穩(wěn)定性C．兩點(diǎn)之間線段最短 D．垂線段最短2．（2024上·浙江衢州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，小筧家里有一塊三角形玻璃碎了，他帶著殘缺的玻璃去玻璃店配一塊與原來相同的，請問師傅配出相同玻璃的依據(jù)是（

）A． B． C． D．3．（2023上·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）在下列條件中，不能作為判斷的條件是（

）A． B．C． D．4．（2024上·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，若，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．75．（2024上·海南儋州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，小李用若干長方體小木塊，分別壘了兩堵與地面垂直的木塊墻，其中木塊墻，．木塊墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板，點(diǎn)B在上，點(diǎn)A和C分別與木塊墻的頂端重合，則兩堵木塊墻之間的距離為（

）

A． B． C． D．二、填空題6．（2022上·新疆喀什·八年級?？计谥校榱耸挂簧扰f木門不變形，木工師傅在木門的背面加釘了一根木條這樣做的道理是7．（2024上·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，，若要證明，需要補(bǔ)充的個條件是．（寫出一個即可）8．（2024上·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將兩根長度相等的鋼條，的中點(diǎn)固定在點(diǎn)，使，可以繞著點(diǎn)轉(zhuǎn)動，就做成了一個測量工具，則的長等于內(nèi)槽寬，原因是和全等，那么判定和全等的依據(jù)為．

9．（2024上·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期末）教育部頒布的《基礎(chǔ)教育課程改革綱要》要求每位學(xué)生每學(xué)年都要參加社會實(shí)踐活動，某學(xué)校社團(tuán)組織了一次測量探究活動，測量校園內(nèi)的小河的寬度，如圖所示，小東和小穎在河對岸選定一個目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)和、，使點(diǎn)、、共線且河岸平行，、分別與河岸垂直且A、、三點(diǎn)共線，他們已測得，河寬的長為．10．（2023上·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，，于A，于B，且，P點(diǎn)從B向A運(yùn)動，速度為，Q點(diǎn)從B向D運(yùn)動，速度為，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，則經(jīng)過s后，與全等．三、解答題11．（2024上·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、C、D、B在同一條直線上，點(diǎn)E、F分別在直線的兩側(cè)，，，．

(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．12．（2023上·四川巴中·八年級統(tǒng)考期末）如圖，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，，與交于點(diǎn)O．(1)求證：；(2)若，，求的長．13．（2024上·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是上一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若，求的長．14．（2023上·四川眉山·八年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，，，，．

(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．15．（2024上·浙江麗水·八年級統(tǒng)考期末）如圖，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．16．（2023上·甘肅武威·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，是邊上的一點(diǎn)，，平分，交邊于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．17．（2024上·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期末）小明和小亮準(zhǔn)備用所學(xué)