二次根式（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）-八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（北師大版）

專題2.17二次根式（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)1】二次根式相關(guān)概念與性質(zhì)1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如3、7、等式子，都叫做二次根式.要點(diǎn)說明：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時(shí)，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；（2）；（3）.要點(diǎn)說明：（1）一個(gè)非負(fù)數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡(jiǎn)時(shí)，先將它化成，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來進(jìn)行化簡(jiǎn).（4）與的異同不同點(diǎn)：中可以取任何實(shí)數(shù)，而中的必須取非負(fù)數(shù)；=，=（）.相同點(diǎn)：被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)取非負(fù)數(shù)時(shí)，=.3.最簡(jiǎn)二次根式（1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；（2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.如等都是最簡(jiǎn)二次根式.要點(diǎn)說明：最簡(jiǎn)二次根式有兩個(gè)要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個(gè)因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類二次根式.要點(diǎn)說明：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.【知識(shí)點(diǎn)2】二次根式的運(yùn)算1.乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：二次根式的除法商的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：要點(diǎn)說明：（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)a、b一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時(shí)只能為正數(shù)）.如.2.加減法將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.要點(diǎn)說明：二次根式相加減時(shí)，要先將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.【考點(diǎn)一】二次根式的概念和性質(zhì)①二次根式相關(guān)概念??二次根式及取值范圍【例1】使代數(shù)式有意義的的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式有意義的條件列不等式組解答即可．解：∵代數(shù)式有意義，∴，解得：且，故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了分式有意義的條件，掌握分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】化簡(jiǎn)﹣（）2得（

）A．2 B．﹣4x+4 C．x D．5x﹣2【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得答案.解：1-3x≥0,x≤,2x-1≤＜0,原式=-(1-3x)=1-2x-1+3x=x,故選C.【點(diǎn)撥】主要考查了根據(jù)二次根式的意義及化簡(jiǎn).二次根式規(guī)律總結(jié):當(dāng)a＞0時(shí),=a;當(dāng)a<0時(shí),=-a.二次根式=a,(a≥0).【變式2】下列說法正確的是（）是最簡(jiǎn)二次根式 B．與是同類二次根式 C． D．的化簡(jiǎn)結(jié)果是【答案】B【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式、同類二次根式的定義以及二次根式的性質(zhì)和化簡(jiǎn)逐項(xiàng)分析判斷即可．解：A.不是最簡(jiǎn)二次根式，原說法錯(cuò)誤；B.，與是同類二次根式，原說法正確；C.在，的情況下，原說法錯(cuò)誤；D.的化簡(jiǎn)結(jié)果是2，原說法錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式、同類二次根式的定義以及二次根式的性質(zhì)和化簡(jiǎn)，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．②二次根式相關(guān)概念??復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)【例2】如果，，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把b分母有理化，再比較．解：∵，，∴．故選：A．【點(diǎn)撥】此題考查分母有理化，正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】比較大小錯(cuò)誤的是（

）A．＜ B．＋2＜﹣1C．＞﹣6 D．|1－|＞－1【答案】D【分析】利用比較實(shí)數(shù)大小的方法逐項(xiàng)判斷正誤即可．解：A、由于5<7，則＜，故正確；B、由于＋2<6+2=8，而8=9-1<－1，則＋2＜﹣1，故正確；C、由于，則，故正確；D、由于，故錯(cuò)誤．故選：D【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)大小的比較，涉及二次根式的比較，不等式的性質(zhì)等知識(shí)，其中掌握二次根式大小的比較是關(guān)鍵．【變式2】已知有意義，如果關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是．【答案】．【分析】把方程變形為，根據(jù)方程沒有實(shí)數(shù)根可得，解不等式即可．解：由得，有意義，且，方程沒有實(shí)數(shù)根，即，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用二次根式的非負(fù)性確定的取值范圍．③二次根式相關(guān)概念??最簡(jiǎn)二次根式★★同類二次根式【例3】閱讀材料:數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過完全平方式及二次根式的性質(zhì)去一層（或多層）根號(hào)。如==.根據(jù)以上材料解決下列問題：化簡(jiǎn).【答案】,【分析】根據(jù)題目所給例子直接利用完全平方公式的逆運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.解：【點(diǎn)撥】本題主要考查學(xué)生對(duì)完全平方公式的逆運(yùn)算掌握運(yùn)用能力.屬于基礎(chǔ)性題目.【舉一反三】【變式1】若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則a的值是．【答案】3【分析】根據(jù)同類二次根式的定義得到，據(jù)此求解即可．解：∵最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，∴，∴，故答案為：3．【點(diǎn)撥】本題考查了同類二次根式和最簡(jiǎn)二次根式，能根據(jù)同類二次根式的定義得出是解此題的關(guān)鍵，注意：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫同類二次根式．【變式2】化簡(jiǎn)：=．【答案】/【分析】分子，分母同時(shí)乘以有理化因式，計(jì)算即可．解：，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的分母有理化，準(zhǔn)確找出有理化因式是解題的關(guān)鍵．④二次根式相關(guān)概念??分母有理化【例4】比較大小：．【答案】【分析】首先分別求出、的平方，然后根據(jù)實(shí)數(shù)大小比較的方法，判斷出、的平方的大小關(guān)系，即可判斷出、的大小關(guān)系．解：，，∴故答案為：．【點(diǎn)撥】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正實(shí)數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而?。九e一反三】【變式1】若實(shí)數(shù)滿足，求的平方根．【答案】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性求出a、b的值，根據(jù)平方根的概念解答．解：∵，∴，∴，把代入上式得，∴，∴的平方根為．【點(diǎn)撥】本題考查算術(shù)平方根的非負(fù)性、平方根的定義，根據(jù)非負(fù)性求得b的值是關(guān)鍵．【變式2】先閱讀下列的解答過程，然后再解答：形如的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)數(shù)、，使，，使得，，那么便有：（）．由上述方法化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】應(yīng)先找到哪兩個(gè)數(shù)的和為13，積為42，再判斷是選擇加法還是減法．解：原式．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是把根號(hào)內(nèi)的式子整理為完全平方的形式．【考點(diǎn)二】二次根式大小比較【例5】若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式．求m2+n2的值．【答案】11【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式的定義求得m2、n2，再代入求值即可；解：由題意得：，，，，，時(shí)，兩個(gè)二次根式分別為和，符合題意，∴m2+n2＝8+3＝11；【點(diǎn)撥】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，字母因式是整式，被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式；同類二次根式：把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．【舉一反三】【變式1】在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，如遇到，，這樣的式子，還需做進(jìn)一步的化簡(jiǎn)，這種方法叫分母有理化．，

①，

②，

③參照③式方法化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】仿照題意進(jìn)行分母有理化即可．解：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了分母有理化，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式2】比較大?。孩賍____ ②___【答案】①＜；②＜【分析】①利用作差法比較大小即可；②利用分子有理化即可比較大?。猓孩伲?∵∴＜0∴＜故答案為：＜；②====∵＞∴∴＜故答案為：＜．【點(diǎn)撥】此題考查的是實(shí)數(shù)的比較大小，掌握利用作差法和分子有理化比較大小是解決此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三】二次根式的的運(yùn)算【例6】計(jì)算：(1)； (2)．【答案】(1)；(2)2【分析】（1）直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則、二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案；（2）將原式用平方差公式化簡(jiǎn)，再求值即可（1）解：（2）【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)和混合運(yùn)算法則．【舉一反三】【變式1】計(jì)算：(1)； (2)．【答案】(1)0；(2)【分析】（1）先將二次根式化為最簡(jiǎn)，然后合并同類項(xiàng)即可；（2）先將二次根式化為最簡(jiǎn)，然后進(jìn)行乘除運(yùn)算即可．（1）解：原式（2）解：原式．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的加減乘除運(yùn)算．解題的關(guān)鍵在于正確的化簡(jiǎn)計(jì)算．【變式2】計(jì)算：(1)； (2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)及化簡(jiǎn)，二次根式的乘法及除法，最后算加減法；（2）利用平方差根式求解，平方根、完全平方公式求解，再算加減法．（1）解：（2）解：．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是二次根式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【例7】計(jì)算題(1) (2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)冪以及二次根式的運(yùn)算，求解即可；（2）根據(jù)二次根式的運(yùn)算求解即可．（1）解：；（2）解：【點(diǎn)撥】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)冪等運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則．【舉一反三】【變式1】計(jì)算：（1）；

（2）；【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根據(jù)二次根式的基本性質(zhì)以及二次根式的除法法則、零指數(shù)冪法則化簡(jiǎn)每一個(gè)二次根式，再合并同類二次根式即可；（2）先根據(jù)二次根式的基本性質(zhì)化簡(jiǎn)每一個(gè)二次根式，再合并同類二次根式即可．解：（1）原式（2）原式；【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解決本題的關(guān)鍵．也考查了零指數(shù)冪法則．【變式2】計(jì)算：【答案】【分析】先根據(jù)零指數(shù)冪的意義，二次根式的乘法和除法法則，以及去括號(hào)法則化簡(jiǎn)，再算加減即可．解：原式=．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，零指數(shù)冪的意義，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【例8】已知，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】根據(jù)x的值，可以求得，將所求值代入原式即可求得結(jié)果．解：∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握二次根式的運(yùn)算方法及乘法公式是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】已知：y＝＋5，化簡(jiǎn)并求的值．【答案】，-4【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到x=4，則y=5，再利用約分得到原式=，然后通分得到原式=，最后把x、y的值代入計(jì)算即可．