北京師范大學(xué)附中版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題能力提升訓(xùn)練

北京師范大學(xué)附中版《創(chuàng)新設(shè)》高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題能力提升訓(xùn)練：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且的值域?yàn)椋瑒t的最小值為()A．3 B． C．2 D．【答案】C2．曲線：在點(diǎn)處的切線恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為()A． B． C． D．【答案】A3．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A． B． C． D．【答案】D4．已知，滿足，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為()A． B．C． D．【答案】A5．，則等于()A． B． C． D．【答案】C6．設(shè)為曲線上的點(diǎn),且曲線在點(diǎn)處切線傾斜角的取值范圍是,則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A7．已知函數(shù)，則的導(dǎo)函數(shù)()A． B．C． D．【答案】A8．設(shè)函數(shù)，其中θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12)))，則導(dǎo)數(shù)的取值范圍是()A．[－2,2] B．[eq\r(2)，eq\r(3)]C．[eq\r(3)，2]D．[eq\r(2)，2]【答案】D9．已知函數(shù)y=3x-x2在x=2處的增量為x=0.1,則y為()A．-0.11 B．1.1 C．3.80 D．0.29【答案】A10．設(shè)P為曲線C：上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為()A． B． C． D．【答案】A11．曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為()A． B． C． D．【答案】B12．已知，，則的取值范圍為()A． B．C． D．【答案】C第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】14．若展開式中的系數(shù)是，則．【答案】15．函數(shù)的圖像在處的切線在x軸上的截距為____________。【答案】16．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，【答案】三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．請(qǐng)先閱讀：在等式（）的兩邊求導(dǎo)，得：，由求導(dǎo)法則，得，化簡得等式：．(1）利用上題的想法（或其他方法），結(jié)合等式

（，正整數(shù)），證明：．(2）對(duì)于正整數(shù)，求證：(i）；

(ii）；

(iii）．【答案】（1）在等式兩邊對(duì)求導(dǎo)得

移項(xiàng)得

（*）(2）（i）在（*）式中，令，整理得

所以

(ii）由（1）知兩邊對(duì)求導(dǎo)，得在上式中，令

即，亦即

（1）

又由（i）知

（2）由（1）+（2）得(iii）將等式兩邊在上對(duì)積分

由微積分基本定理，得

所以

18．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax－a(a∈R)．(1)當(dāng)a＝－3時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；(2)求證：當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．【答案】(1)當(dāng)a＝－3時(shí)，f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2－3x＋3，∴f′(x)＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.當(dāng)x<－1時(shí)，f′(x)>0，則f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增；當(dāng)－1<x<3時(shí)，f′(x)<0，則f(x)在(－1,3)上單調(diào)遞減；當(dāng)x>3時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(3，＋∞)上單調(diào)遞增．∴當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取得極大值為f(－1)＝－eq\f(1,3)－1＋3＋3＝eq\f(14,3)；當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)取得極小值為f(3)＝eq\f(1,3)×27－9－9＋3＝－6.(2)∵f′(x)＝x2－2x＋a，∴Δ＝4－4a＝4(1－a)．由a≥1，則Δ≤0，∴f′(x)≥0在R上恒成立，∴f(x)在R上單調(diào)遞增．∵f(0)＝－a<0，f(3)＝2a>0，∴當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．19．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b的圖像在點(diǎn)P(1，f(1))處的切線為3x＋y－3＝0．(I）求函數(shù)f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；(II）求函數(shù)在區(qū)間[0，t](t>0)上的最值．【答案】(1)由P點(diǎn)在切線上得f(1)＝0，即點(diǎn)P(1,0)，又P(1,0)在y＝f(x)上，得a＋b＝－1，又f′(1)＝－3?2a＝－6，所以a＝－3，b＝2.故f(x)＝x3－3x2＋2.f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)>0，解得x>2或x<0，∴f(x)的增區(qū)間是(－∞，0)，(2，＋∞)，減區(qū)間是(0,2)．(2)當(dāng)0<t≤2時(shí)，f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2；當(dāng)2<t≤3時(shí)，f(x)max＝f(0)＝f(3)＝2，f(x)min＝f(2)＝－2，當(dāng)t>3時(shí)，f(x)max＝f(t)＝t3－3t2＋2，f(x)min＝f(2)＝－2.20．某工廠生產(chǎn)某種兒童玩具，每件玩具的成本為30元，并且每件玩具的加工費(fèi)為元（其中為常數(shù)，且），設(shè)該工廠每件玩具的出廠價(jià)為元（），根據(jù)市場調(diào)查，日銷售量與（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）成反比例，當(dāng)每件玩具的出廠價(jià)為40元時(shí)，日銷售量為10件.(Ⅰ）求該工廠的日利潤(元)與每件玩具的出廠價(jià)元的函數(shù)關(guān)系式；(Ⅱ）當(dāng)每件玩具的日售價(jià)為多少元時(shí)，該工廠的利潤最大，并求的最大值.【答案】（Ⅰ）設(shè)日銷量為則.則日售量為日利潤. ，其中.(Ⅱ）令得.①當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為.②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單減.當(dāng)時(shí)，取最大值.當(dāng)時(shí)，時(shí)，日利潤最大值為元當(dāng)時(shí)，時(shí)，日利潤最大值為元.21．已知a∈R，函數(shù)f(x)＝4x3－2ax＋a.(1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2）證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＋|2－a|>0.【答案】(1)由題意得f′(x)＝12x2－2a.當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)≥0恒成立，此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞).當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)＝12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\r(\f(a,6))))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\r(\f(a,6))))，此時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\r(\f(a,6))))和eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,6))，＋∞))，單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\r(\f(a,6))，\r(\f(a,6))))．(2)由于0≤x≤1，故當(dāng)a≤2時(shí)，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2.當(dāng)a＞2時(shí)，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2.設(shè)g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，則g′(x)＝6x2－2＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(3),3)))，于是所以g(x)min＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝1－eq\f(4\r(3),9)＞0.所以