山東省臨沂市羅莊區(qū)2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題含解析

PAGE16-山東省臨沂市羅莊區(qū)2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題（含解析）一、選擇題1.復數(shù)（是虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)所對應點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】試題分析：，∴復平面內(nèi)所對應點的坐標為，故選D．考點：復數(shù)的運算．2.在的綻開式中，含的正整數(shù)次冪的項共有（）A.4項 B.3項 C.2項 D.1項【答案】B【解析】的綻開式的通項為為整數(shù)，項，即，故選B.【方法點晴】本題主要考查二項綻開式定理的通項與系數(shù)，屬于中檔題.二項綻開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項綻開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項綻開式定理的應用.3.從2名男同學和3名女同學中任選2人參與社區(qū)服務，則選中2人都是女同學的概率為A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：分別求出事務“2名男同學和3名女同學中任選2人參與社區(qū)服務”的總可能及事務“選中的2人都是女同學”的總可能，代入概率公式可求得概率.詳解：設2名男同學為，3名女同學為，從以上5名同學中任選2人總共有共10種可能，選中的2人都是女同學的狀況共有共三種可能則選中的2人都是女同學的概率為，故選D.點睛：應用古典概型求某事務的步驟：第一步，推斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事務，設出事務；其次步，分別求出基本領件的總數(shù)與所求事務中所包含的基本領件個數(shù)；第三步，利用公式求出事務的概率.4.若的綻開式中全部二項式系數(shù)的之和為，則綻開式中的常數(shù)項是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二項式定理及綻開式通項公式得：，由的綻開式的通項為，令得，即可求得綻開式中的常數(shù)項．【詳解】解：由的綻開式中全部二項式系數(shù)的之和為32，得，解得，由的綻開式的通項為，令得，即該綻開式中的常數(shù)項是，故選：B．【點睛】本題考查了二項式定理及綻開式通項公式，屬于基礎題．5.函數(shù)有（）A.極大值，微小值 B.極大值，微小值C.極大值，無微小值 D.微小值，無極大值【答案】C【解析】【分析】利用導函數(shù)的正負可確定原函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性可知當時，函數(shù)取極大值，無微小值；代入可求得極大值，進而得到結(jié)果.【詳解】當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減當時，函數(shù)取極大值，極大值為；無微小值故選：【點睛】本題考查函數(shù)極值的求解問題，關(guān)鍵是能夠依據(jù)導函數(shù)的符號精確推斷出原函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題.6.設隨機變量，，若，則的值為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)二項分布的期望公式求出，再依據(jù)4次獨立重復試驗的概率公式計算可得．【詳解】解：，，，，故選：B．【點睛】本題考查了離散型隨機變量的期望與方程，屬于基礎題．7.設，其中為虛數(shù)單位，，是實數(shù)，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】，，是實數(shù),故選D.8.素數(shù)指整數(shù)在一個大于的自然數(shù)中，除了和此整數(shù)自身外，沒法被其他自然數(shù)整除的數(shù).我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的探討中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如.在不超過的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用列舉法先求出不超過30的全部素數(shù)，利用古典概型的概率公式進行計算即可．【詳解】解：在不超過30的素數(shù)中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個，從中選2個不同的數(shù)有種，和等于30的有，，，共3種，則對應的概率，故選：C．【點睛】本題主要考查古典概型的概率的計算，求出不超過30的素數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎題．9.已知隨機變量聽從正態(tài)分布，且，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】∵隨機變量聽從正態(tài)分布，，即對稱軸是，，∴，∴，∴．故選．10.編號為的位同學隨意入座編號為的個座位，每位同學坐一個座位，設與座位編號相同的學生個數(shù)是，則的方差為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】的全部可能取值為0，1，3，求出概率后，再求出期望和方差．【詳解】解：的全部可能取值為0，1，3，，，，．故選：D．【點睛】本題考查了離散型隨機變量的期望與方差，屬于基礎題．11.10張獎券中含有張中獎的獎券，每人購買張，則前個購買者中，恰有一人中獎的概率為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出基本領件總數(shù)，再依據(jù)分別乘法法則求出滿意前個購買者中，恰有一人中獎的事務總數(shù)，最終依據(jù)古典概型的概率公式計算可得；【詳解】解：依題意三人抽獎狀況總數(shù)為，則個購買者中，恰有一人中獎，分兩步：第一步三個人中兩人從7張不中獎獎券拿到2張，有種；其次步剩下一人從3張中獎獎券拿到1張，有種；其中拿到中獎獎券的人有3種可能，依據(jù)分別乘法計算原理一共有，故前3個購買者中，恰有1人中獎的概率為故選：D．【點睛】本題考查分步乘法計數(shù)原理的應用，古典概型的概率公式的應用，屬于基礎題．12.設函數(shù)是奇函數(shù)（）的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】構(gòu)造新函數(shù),，當時.所以在上單減，又，即.所以可得,此時，又為奇函數(shù)，所以在上的解集為：.故選A.點睛：本題主要考查利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，須要構(gòu)造函數(shù)，例如，想到構(gòu)造.一般：（1）條件含有，就構(gòu)造,（2）若，就構(gòu)造，（3），就構(gòu)造，（4）就構(gòu)造，等便于給出導數(shù)時聯(lián)想構(gòu)造函數(shù).二、填空題13.某高三畢業(yè)班有40人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了條畢業(yè)留言．（用數(shù)字作答）【答案】1560【解析】試題分析：通過題意，列出排列關(guān)系式，求解即可．解：某高三畢業(yè)班有40人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了=40×39=1560條．故答案為1560．點評：本題考查排列數(shù)個數(shù)的應用，留意正確理解題意是解題的關(guān)鍵．14.已知復平面上的正方形的三個頂點對應的復數(shù)分別為，那么第四個頂點對應的復數(shù)是．【答案】【解析】試題分析：三個復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點分別為．設第四個頂點在復平面內(nèi)對應的點為，因為為正方形，所以，即，，即．則第四個頂點對應的復數(shù)是．考點：1向量；2復數(shù)與復平面內(nèi)的點一一對應．15.已知，則．【答案】【解析】試題分析：因為，所以.考點：二項式定理.16.若函數(shù)的圖象在點處的切線與函數(shù)的圖象也相切，則滿意條件的切點的個數(shù)為______.【答案】【解析】【分析】求得函數(shù)，的導數(shù)，可得切線的斜率和方程，由兩直線重合的條件，解方程可得，即可得到所求的個數(shù)．【詳解】解：函數(shù)的導數(shù)為，可得點，處的切線斜率為，切線方程為，函數(shù)的導數(shù)為，設與相切的切點為，可得切線斜率為，切線方程為，由題意可得，，可得，解得或．則滿意條件的的個數(shù)為2，故答案為：2．【點睛】本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，考查直線方程的運用，以及化簡運算實力，屬于中檔題．三、解答題17.某市對全部高校學生進行一般話水平測試，發(fā)覺成果聽從正態(tài)分布N（μ，σ2），下表用莖葉圖列舉出來抽樣出的10名學生的成果．（1）計算這10名學生的成果的均值和方差；（2）給出正態(tài)分布的數(shù)據(jù)：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．由（1）估計從全市隨機抽取一名學生的成果在（76，97）的概率．【答案】（1）49（2）0.8185【解析】分析：（1）依據(jù)莖葉圖所給數(shù)據(jù)，求出總和，求得平均值；利用方差計算公式可得方差值．（2）由3σ原則可知，成果在（76，97）之間即在之間的概率值，因而可求得概率值．詳解：（1）=90，S2==49（2）由（1）可估計，μ=90，σ=7．P（76＜x＜97）=P（μ﹣2σ＜x＜μ）+P（μ＜x＜μ+σ）=+=0.8185點睛：本題考查了莖葉圖的簡潔應用，利用3σ原則求落在某區(qū)間內(nèi)的概率值，關(guān)鍵是理解好定義，屬于簡潔題．18.如表是某位文科生連續(xù)次月考的歷史、政治的成果，結(jié)果如下：月份91011121歷史（分）7981838587政治（分）7779798283（1）求該生次月考歷史成果的平均分和政治成果的平均數(shù)；（2）一般來說，學生的歷史成果與政治成果有較強的線性相關(guān)關(guān)系，依據(jù)上表供應的數(shù)據(jù)，求兩個變量的線性回來方程.參考公式：，，表示樣本均值.【答案】（1）83，80（2）【解析】【分析】（1）干脆由表格中的數(shù)據(jù)結(jié)合平均數(shù)公式求解；（2）求出與的值，則線性回來方程可求．【詳解】（1）依據(jù)題意，計算，；（2）計算，，所以回來系數(shù)為，，故所求線性回來方程為.【點睛】本題考查線性回來方程的求法，考查計算實力，屬于基礎題．19.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的極值；（2）設函數(shù)，若函數(shù)恰有一個零點，求函數(shù)的解析式.【答案】（1）微小值1，函數(shù)沒有極大值.（2）【解析】【分析】（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，再利用導數(shù)求函數(shù)的極值．（2）先求出的導數(shù)，再利用導數(shù)求函數(shù)的極值，依據(jù)函數(shù)恰有一個零點，可得極值等于零，從而求得的值，可得函數(shù)的解析式．【詳解】解：（1）因為，令，解得.因為，當時，，函數(shù)在上是減函數(shù)；當，，函數(shù)在上是增函數(shù).所以，當時，函數(shù)有微小值，函數(shù)沒有極大值.（2），函數(shù)的定義域為，所以，令得，當時，，函數(shù)在上是減函數(shù)；當，，函數(shù)在上是增函數(shù).當時，，，當時，，但是比的增長速度要快，，故函數(shù)的微小值為，因為函數(shù)恰有一個零點，故，所以，所以.所以函數(shù).【點睛】本題主要考查求函數(shù)的導數(shù)，函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，利用導數(shù)求函數(shù)的極值，屬于中檔題．20.為評估大氣污染防治效果，調(diào)查區(qū)域空氣質(zhì)量狀況，某調(diào)研機構(gòu)從兩地分別隨機抽取了天的觀測數(shù)據(jù)，得到兩地區(qū)的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI），繪制如圖頻率分布直方圖：依據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)，將空氣質(zhì)量狀況分為以下三個等級：空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）空氣質(zhì)量狀況優(yōu)良輕中度污染中度污染（1）試依據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計地區(qū)當年（天）的空氣質(zhì)量狀況“優(yōu)良”的天數(shù)；（2）若分別在兩地區(qū)上述天中，且空氣質(zhì)量指數(shù)均不小于的日子里隨機各抽取一天，求抽到的日子里空氣質(zhì)量等級均為“重度污染”的概率.【答案】（1）274天（2）【解析】【分析】（1）從地區(qū)選出的20天中隨機選出一天，這一天空氣質(zhì)量狀況“優(yōu)良”的頻率為0.75，由估計地區(qū)當年天）的空氣質(zhì)量狀況“優(yōu)良”的頻率為0.75，從而能求出地區(qū)當年天）的空氣質(zhì)量狀況“優(yōu)良”的天數(shù)．（2）地20天中空氣質(zhì)量指數(shù)在，內(nèi)為3個，設為，，，空氣質(zhì)量指數(shù)在，內(nèi)為1個，設為，地20天中空氣質(zhì)量指數(shù)在，內(nèi)為2個，設為，，空氣質(zhì)量指數(shù)在，內(nèi)為3個，設為，，，設“，兩地區(qū)的空氣質(zhì)量等級均為“重度污染””為，利用列舉法能求出，兩地區(qū)的空氣質(zhì)量等級均為“重度污染”的概率．【詳解】解：（1）從地區(qū)選出的天中隨機選出一天，這一天空氣質(zhì)量狀況“優(yōu)良”的頻率為，估計地區(qū)當年（天）的空氣質(zhì)量狀況“優(yōu)良”的頻率為，地區(qū)當年（天）的空氣質(zhì)量狀況“優(yōu)良”的天數(shù)約為天.（2）地天中空氣質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)，為個，設為，空氣質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)，為個，設為，地天中空氣質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)，為個，設為，空氣質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)，為個，設為，設“兩地區(qū)的空氣質(zhì)量等級均為“重度污染””為，則基本領件空間基本領件個數(shù)為，，包含基本領件個數(shù)，所以兩地區(qū)的空氣質(zhì)量等級均為“重度污染”的概率為.【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，考查列舉法、頻率分布表等基礎學問，考查運算求解實力，考查函數(shù)與方程思想，屬于基礎題．21.已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查.（I）應從甲、乙、丙三個部門員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠足夠，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望；（ii）設A為事務“抽取的3人中，既有睡眠足夠的員工，也有睡眠不足的員工”，求事務A發(fā)生的概率.【答案】（Ⅰ）從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案見解析；（ii）．【解析】分析：（Ⅰ）由分層抽樣的概念可知應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）隨機變量X的全部可能取值為0，1，2，3．且分布列為超幾何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．據(jù)此求解分布列即可，計算相應的數(shù)學期望為．（ii）由題意結(jié)合題意和互斥事務概率公式可得事務A發(fā)生的概率為．詳解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個部門員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采納分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）隨機變量X的全部可能取值為0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，隨機變量X的分布列為X0123P隨機變量X的數(shù)學期望．（ii）設事務B為“抽取的3人中，睡眠足夠的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事務C為“抽取的3人中，睡眠足夠的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A=B∪C，且B與