數(shù)字信號處理第四版(高西全)第1章

第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng)1.1引言1.2時域離散信號1.3時域離散系統(tǒng)1.4時域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法

——線性常系數(shù)差分方程1.5模擬信號數(shù)字處理方法習(xí)題與上機(jī)題1.1引言信號通常是一個自變量或幾個自變量的函數(shù)。如果僅有一個自變量，則稱為一維信號；如果有兩個以上的自變量，則稱為多維信號。本書僅研究一維數(shù)字信號處理的理論與技術(shù)。物理信號的自變量有多種，可以是時間、距離、溫度、位置等，本書一般把信號看做時間的函數(shù)。針對信號的自變量和函數(shù)值的取值情況，信號可分為以下三種。如果信號的自變量和函數(shù)值都取連續(xù)值，則稱這種信號為模擬信號或者稱為時域連續(xù)信號，例如語言信號、溫度信號等；如果自變量取離散值，而函數(shù)值取連續(xù)值，則稱這種信號稱為時域離散信號，這種信號通常來源于對模擬信號的采樣;如果信號的自變量和函數(shù)值均取離散值，則稱為數(shù)字信號。我們知道，計算機(jī)或者專用數(shù)字信號處理芯片的位數(shù)是有限的，用它們分析與處理信號，信號的函數(shù)值必須用有限位的二進(jìn)制編碼表示，這樣信號本身的取值不再是連續(xù)的，而是離散值。這種用有限位二進(jìn)制編碼表示的時域離散信號就是數(shù)字信號，因此，數(shù)字信號是幅度量化了的時域離散信號。例如：

，這是一個模擬信號，如果對它按照時間采樣間隔T=0.005s進(jìn)行等間隔采樣，便得到時域離散信號x(n)，即

={，0.0，0.6364，0.9，0.6364，0.0，-0.6364，0.9，-0.6364，}顯然,時域離散信號是時間離散化的模擬信號。如果用四位二進(jìn)制數(shù)表示該時域離散信號，便得到相應(yīng)的數(shù)字信號x［n］，即

x［n］={，0.000，0.101，0.111，0.101，0.000，1.101，1.111，1.101，}顯然，數(shù)字信號是幅度、時間均離散化的模擬信號，或者說是幅度離散化的時域離散信號。信號有模擬信號、時域離散信號和數(shù)字信號之分，按照系統(tǒng)的輸入輸出信號的類型，系統(tǒng)也分為模擬系統(tǒng)、時域離散系統(tǒng)和數(shù)字系統(tǒng)。當(dāng)然，也存在模擬網(wǎng)絡(luò)和數(shù)字網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的混合系統(tǒng)。數(shù)字信號處理最終要處理的是數(shù)字信號，但為簡單，在理論研究中一般研究時域離散信號和系統(tǒng)。時域離散信號和數(shù)字信號之間的差別，僅在于數(shù)字信號存在量化誤差，本書將在第9章中專門分析實現(xiàn)中的量化誤差問題。本章作為全書的基礎(chǔ)，主要學(xué)習(xí)時域離散信號的表示方法和典型信號、時域離散線性時不變系統(tǒng)的時域分析方法，最后介紹模擬信號數(shù)字處理方法。1.2時域離散信號

實際中遇到的信號一般是模擬信號，對它進(jìn)行等間隔采樣便可以得到時域離散信號。假設(shè)模擬信號為xa(t)，以采樣間隔T對它進(jìn)行等間隔采樣，得到：（1.2.1）

這里,x(n)稱為時域離散信號，式中的n取整數(shù)，將代入上式,得到：

顯然,x(n)是一個有序的數(shù)字，因此時域離散信號也可以稱為序列。注意這里n取整數(shù)，非整數(shù)時無定義。時域離散信號有三種表示方法：

1.用集合符號表示序列

數(shù)的集合用集合符號{·}表示。時域離散信號是一個有序的數(shù)的集合，可表示成集合:

x(n)={xn,n=

,－2,－1,0,1,2,

}例如，一個有限長序列可表示為

x(n)={1,2,3,4,3,2,1;n=0,1,2,3,4,5,6}也可簡單地表示為

x(n)＝{1,2,3,4,3,2,1}集合中有下劃線的元素表示n=0時刻的采樣值。

2.用公式表示序列

例如：

x(n)=a|n|

0<a<1,－∞<n<∞

3用圖形表示序列

例如,時域離散信號x(n)=sin(πn/5)，n=－5,－4,

,0,

,4,5,圖1.2.1就是它的圖形表示。這是一種很直觀的表示方法。為了醒目，常常在每一條豎線的頂端加一個小黑點(diǎn)。圖1.2.1

x(n)=sin(πn/5)的波形圖實際中要根據(jù)具體情況靈活運(yùn)用三種表示方法，對于一般序列，包括由實際信號采樣得下面介紹用MATLAB語言表示序列。

MATLAB用兩個參數(shù)向量x和n表示有限長序列x(n)，x是x(n)的樣值向量，n是位置向量（相當(dāng)于圖形表示方法中的橫坐標(biāo)n），n與x長度相等，向量n的第m個元素n(m)表示樣值x(m)的位置。位置向量n一般都是單位增向量，產(chǎn)生語句為：n=ns:nf;其中ns表示序列x(n)的起始點(diǎn)，nf表示序列x(n)的終止點(diǎn)。這樣將有限長序列x(n)記為{x(n)；n=ns:nf}。例如，x(n)＝{－0.0000，－0.5878，－0.9511，－0.9511，－0.5878，0.0000，0.5878，0.9511，0.9511，0.5878，0.0000}，相應(yīng)的n=－5,－4,－3,

,5，所以序列x(n)的MATLAB表示如下:

n=－5:5;

x=［－0.0000，－0.5878，－0.9511，－0.9511，－0.5878，0.0000，0.5878，0.9511，0.9511，0.5878，0.0000］

這里x(n)的11個樣值是正弦序列的采樣值，即

x(n)=sin(πn/5)

n=－5,－4,

,0,

,4,5所以，也可以用計算的方法產(chǎn)生序列向量：n=－5:5;x=sin(pi*n/5);這樣用MATLAB計算產(chǎn)生x(n)并繪圖的程序如下：%fig121.m：sin(pi*n/5)信號產(chǎn)生及圖1.2.1繪圖程序n=－5:5; %位置向量n從－5到5x=sin(pi*n/5);

%計算序列向量x(n)的11個樣值subplot(3,2,1);stem(n,x,'.');line(［－5,6］,［0,0］)axis(［－5,6,－1.2,1.2］);xlabel('n');ylabel('x(n)')運(yùn)行程序輸出波形如圖1.2.1所示。1.2.1常用的典型序列

1．單位采樣序列δ(n)

（1.2.2）單位采樣序列也稱為單位脈沖序列，特點(diǎn)是僅在n=0時取值為1，其它均為零。它類似于模擬信號和系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)δ(t)，但不同的是δ(t)在t=0時，取值無窮大，t≠0時取值為零，對時間t的積分為1。單位采樣序列和單位沖激信號如圖1.2.2所示。圖1.2.2單位采樣序列和單位沖激信號

2．單位階躍序列u(n)(1.2.3)單位階躍序列如圖1.2.3所示。它類似于模擬信號中的單位階躍函數(shù)u(t)。δ(n)與u(n)之間的關(guān)系如下列式所示：（1.2.4）（1.2.5）圖1.2.3單位階躍序列令n－k=m，代入式(1.2.5)得（1.2.6）

3．矩形序列RN(n)

（1.2.7）式中，N稱為矩形序列的長度。當(dāng)N=4時，R4(n)的波形如圖1.2.4所示。矩形序列可用單位階躍序列表示，如下式：（1.2.8）圖1.2.4矩形序列

4．實指數(shù)序列

x(n)=anu(n)

a為實數(shù)如果|a|<1,x(n)的幅度隨n的增大而減小，稱x(n)為收斂序列；如果|a|>1，則稱為發(fā)散序列。其波形如圖1.2.5所示。圖1.2.5實指數(shù)序列

5．正弦序列

式中,稱為正弦序列的數(shù)字域頻率(也稱數(shù)字頻率)，單位是弧度(rad)，它表示序列變化的速率，或者說表示相鄰兩個序列值之間變化的弧度數(shù)。如果正弦序列是由模擬信號xa(t)采樣得到的，那么（1.2.9）

因此得到數(shù)字頻率ω與模擬角頻率Ω之間的關(guān)系為

(1.2.9)式具有普遍意義，它表示凡是由模擬信號采樣得到的序列，模擬角頻率Ω與序列的數(shù)字域頻率ω成線性關(guān)系。由于采樣頻率Fs與采樣周期T互為倒數(shù)，因而有上式表示數(shù)字域頻率是模擬角頻率對采樣頻率的歸一化頻率。本書中用ω表示數(shù)字域頻率，Ω和f表示模擬角頻率和模擬頻率。（1.2.10）

6．復(fù)指數(shù)序列

復(fù)指數(shù)序列用下式表示:式中,ω0為數(shù)字域頻率。設(shè)σ=0，用極坐標(biāo)和實部虛部表示如下式：由于n取整數(shù)，下面等式成立：上面公式中M取整數(shù)，所以對數(shù)字域頻率而言，正弦序列和復(fù)指數(shù)序列都是以2π為周期的周期信號。在以后的研究中，在頻率域只分析研究就夠了。

7．周期序列如果對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，使下面等式成立：（1.2.11）則稱序列x(n)為周期性序列，周期為N。例如：式中數(shù)字頻率是π/4，n取整數(shù)，可以寫成下式：因此,

是周期為8的周期序列，波形如圖1.2.6所示。下面討論一般正弦序列的周期性。圖1.2.6正弦序列設(shè)那么如果則要求N=(2π/ω0)k。式中，k與N均取整數(shù)，且k的取值要保證N是最小的正整數(shù)，滿足這些條件，正弦序列才是以N為周期的周期序列。具體正弦序列有以下三種情況：

（1）當(dāng)2π/ω0為整數(shù)時，k=1，正弦序列是以2π/ω0為周期的周期序列。例如，

，該正弦序列周期為16。（2）2π/ω0不是整數(shù)，是一個有理數(shù)時，設(shè)2π/ω0=P/Q，式中P、Q是互為素數(shù)的整數(shù)，取k=Q，那么N=P，則該正弦序列是以P為周期的周期序列。例如,sin(4πn/5),2π/ω0=5/2,k=2,該正弦序列是以5為周期的周期序列。（3）2π/ω0是無理數(shù)，任何整數(shù)k都不能使N為正整數(shù)，因此，此時的正弦序列不是周期序列。例如，ω0=1/4,sin(ω0n)即不是周期序列。對于復(fù)數(shù)指數(shù)序列的周期性也有和上面同樣的分析結(jié)果。以上介紹了幾種常用的典型序列，對于任意序列，可以用單位采樣序列的移位加權(quán)和表示，即（1.2.12）這種任意序列的表示方法，在信號分析中是一個很有用的公式。例如,x(n)的波形如圖1.2.7所示，可以用（1.2.12）式表示成：圖1.2.7用單位采樣序列移位加權(quán)和表示序列1.2.2序列的運(yùn)算

序列的簡單運(yùn)算有加法、乘法、移位、翻轉(zhuǎn)及尺度變換。

1．加法和乘法序列之間的加法和乘法，是指它的同序號的序列值逐項對應(yīng)相加和相乘，如圖1.2.8所示。圖1.2.8序列的加法和乘法

2．移位、翻轉(zhuǎn)及尺度變換序列x(n)如圖1.2.9(a)所示，其移位序列x(n－n0)(當(dāng)n0=2時)如圖1.2.9(b)所示。當(dāng)n0>0時,稱為x(n)的延時序列；當(dāng)n0<0時，稱為x(n)的超前序列。x(－n)則是x(n)的翻轉(zhuǎn)序列，如圖1.2.9(c)所示。x(mn)是x(n)序列每隔m點(diǎn)取一點(diǎn)形成的序列，相當(dāng)于n軸的尺度變換。當(dāng)m=2時，其波形如圖1.2.9(d)所示。圖1.2.9序列的移位、翻轉(zhuǎn)和尺度變換1.3時域離散系統(tǒng)設(shè)時域離散系統(tǒng)的輸入為x(n)，經(jīng)過規(guī)定的運(yùn)算，系統(tǒng)輸出序列用y(n)表示。設(shè)運(yùn)算關(guān)系用T［·］表示，輸出與輸入之間關(guān)系用下式表示：

（1.3.1）其框圖如圖1.3.1所示。在時域離散系統(tǒng)中，最重要和最常用的是線性時不變系統(tǒng)，這是因為很多物理過程都可用這類系統(tǒng)表征，且便于分析、設(shè)計與實現(xiàn)。

圖1.3.1時域離散系統(tǒng)1.3.1線性系統(tǒng)

系統(tǒng)的輸入、輸出之間滿足線性疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。設(shè)x1(n)和x2(n)分別作為系統(tǒng)的輸入序列，其輸出分別用y1(n)和y2(n)表示，即那么線性系統(tǒng)一定滿足下面兩個公式：（1.3.2）（1.3.3）（1.3.2）式表征線性系統(tǒng)的可加性；（1.3.3）式表征線性系統(tǒng)的比例性或齊次性，式中a是常數(shù)。將以上兩個公式結(jié)合起來，可表示成（1.3.4）上式中a和b均是常數(shù)。

【例1.3.1】證明y(n)=ax(n)+b(a和b是常數(shù)）所代表的系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。

證明因此，該系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。用同樣方法可以證明所代表的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。1.3.2時不變系統(tǒng)

如果系統(tǒng)對輸入信號的運(yùn)算關(guān)系T［·］在整個運(yùn)算過程中不隨時間變化，或者說系統(tǒng)對于輸入信號的響應(yīng)與信號加于系統(tǒng)的時間無關(guān)，則這種系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)，用公式表示如下：（1.3.5）式中n0為任意整數(shù)。檢查一個系統(tǒng)是否是時不變系統(tǒng)，就是檢查其是否滿足（1.3.5）式。

【例1.3.2】檢查y(n)=ax(n)+b所代表的系統(tǒng)是否是時不變系統(tǒng)，式中a和b是常數(shù)。

解

因此該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。

【例1.3.3】檢查y(n)=nx(n)所代表的系統(tǒng)是否是時不變系統(tǒng)。

解因此該系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。此例從物理概念上可以理解成該系統(tǒng)是一個放大器，其放大量是n，它隨n變化，因此是一個時變系統(tǒng)。依同樣方法可以證明所代表的系統(tǒng)也是時變系統(tǒng)。1.3.3線性時不變系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系

線性時不變系統(tǒng):同時滿足線性和時不變特性的系統(tǒng)稱為時域離散線性時不變系統(tǒng)。時域離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng):設(shè)n0為初始觀察時刻,則可將系統(tǒng)的輸入分為兩部分,稱n0以前的輸入為歷史輸入信號,稱n0及n0以后的輸入為當(dāng)前輸入信號(簡稱輸入信號)。僅由n0時刻的初始狀態(tài)或歷史輸入信號引起的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng);僅由當(dāng)前輸入信號引起的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng);將零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和稱為系統(tǒng)的完全響應(yīng)。設(shè)系統(tǒng)的輸入x(n)=δ(n)，系統(tǒng)輸出y(n)的初始狀態(tài)為零，定義這種條件下的系統(tǒng)輸出為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，用h(n)表示。換句話說，單位脈沖響應(yīng)即系統(tǒng)對于δ(n)的零狀態(tài)響應(yīng)。用公式表示為（1.3.6）h(n)和模擬系統(tǒng)中的單位沖激響應(yīng)h(t)相類似，都代表系統(tǒng)的時域特征。設(shè)系統(tǒng)的輸入用x(n)表示，按照（1.2.12）式表示成單位脈沖序列移位加權(quán)和為那么系統(tǒng)輸出為根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)又根據(jù)時不變性質(zhì)式中的符號“*”代表卷積運(yùn)算，（1.3.7）式表示線性時不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的卷積。計算卷積有三種方法：圖解法，解析法，利用MATLAB語言的工具箱函數(shù)計算法。下面先介紹圖解法。（1.3.7）

1）圖解法觀察（1.3.7）式，計算卷積的基本運(yùn)算是翻轉(zhuǎn)、移位、相乘和相加，這類卷積稱為序列的線性卷積。如果兩個序列的長度分別為N和M，那么卷積結(jié)果的長度為N＋M－1。下面用例題說明如何用圖解法求卷積。

【例1.3.4】已知x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),求y(n)=x(n)*h(n)。

解首先將h(n)用h(m)表示，并將波形翻轉(zhuǎn)，得到h(－m)，如圖1.3.2（c）所示。然后將h(－m)移位n，得到h(n－m)，n>0,序列右移；n<0，序列左移。如n=1，得到h(1-m)，如圖1.3.2（d）所示。接著將h(m)和h(n－m)相乘后，再相加,得到y(tǒng)(n)的一個值。對所有的n重復(fù)這種計算,最后得到卷積結(jié)果，如圖1.3.2(f)所示,y(n)表達(dá)式為

y(n)={1,2,3,4,3,2,1}其實這種圖解法可以用列表法代替，上面的圖解過程如表1.3.1所示。圖1.3.2例1.3.4線性卷積表1.3.1圖解法（列表法）

2)解析法如果已知兩個卷積信號的解析表達(dá)式，則可以直接按照卷積式進(jìn)行計算，下面舉例說明。

【例1.3.5】設(shè)x(n)=an(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。

解

要計算上式，關(guān)鍵是根據(jù)求和號內(nèi)的兩個信號乘積的非零值區(qū)間確定求和的上、下限。因為n≥m時，u(n-m)才能取非零值；0≤m≤3時，R4(m)取非零值,所以，求和區(qū)間中m要同時滿足下面兩式：m≤n

0≤m≤3這樣求和限與n有關(guān)系，必須將n進(jìn)行分段然后計算。

n<0時，y(n)=00≤n≤3時，乘積的非零值范圍為0≤m≤n，因此n≥4時，乘積的非零區(qū)間為0≤m≤3，因此寫成統(tǒng)一表達(dá)式為

3）用MATLAB計算兩個有限長序列的卷積

MATLAB信號處理工具箱提供了conv函數(shù)，該函數(shù)用于計算兩個有限長序列的卷積（或計算兩個多項式相乘）。

C=conv(A,B)計算兩個有限長序列向量A和B的卷積。如果向量A和B的長度分別為N和M，則卷積結(jié)果向量C的長度為N＋M－1。如果向量A和B為兩個多項式的系數(shù)，則C就是這兩個多項式乘積的系數(shù)。應(yīng)當(dāng)注意，conv函數(shù)默認(rèn)A和B表示的兩個序列都是從0開始，所以不需要位置向量。當(dāng)然,默認(rèn)卷積結(jié)果序列C也是從0開始，即卷積結(jié)果也不提供特殊的位置信息。例1.3.4中的兩個序列滿足上述條件，直接調(diào)用conv函數(shù)求解例1.3.4的卷積計算程序ep134.m如下：

%ep134.m：例1.3.4的卷積計算程序

xn=［1111］;hn=［1111］;

yn=conv(xn,hn);運(yùn)行結(jié)果：

yn=［1,2,3,4,3,2,1］顯然，當(dāng)兩個序列不是從0開始時，必須對conv函數(shù)稍加擴(kuò)展。設(shè)兩個位置向量已知的序列：{x(n)；nx=nxs:nxf}，{h(n)；nh=nhs:nhf}，要求計算卷積：y(n)=h(n)*x(n)以及y(n)的位置向量ny。下面編寫計算這種卷積的通用卷積函數(shù)convu。根據(jù)卷積原理知道，y(n)的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)分別為：nys=nhs+nxs，nyf=nhf+nxf。調(diào)用conv函數(shù)寫出通用卷積函數(shù)convu如下：

function［y,ny］=convu(h,nh,x,nx)

%convu通用卷積函數(shù)，y為卷積結(jié)果序列向量，%ny是y的位置向量,h和x是有限長序列，

%nh和nx分別是h和x的位置向量

nys=nh(1)+nx(1);nyf=nh(end)+nx(end);

%end表示最后一個元素的下標(biāo)

y=conv(h,x);ny=nys:nyf;如果h(n)=x(n)=R5(N+2)，則調(diào)用convu函數(shù)計算y(n)=h(n)*x(n)的程序如下：

h=ones(1,5);nh=－2:2;

x=h;nx=nh;［y,ny］=convu(h,nh,x,nx)運(yùn)行結(jié)果：

y=［123454321］

ny=［－4－3－2－101234］線性卷積服從交換律、結(jié)合律和分配律。它們分別用公式表示如下：（1.3.9）（1.3.8）（1.3.10）以上三個性質(zhì)請讀者自己證明。（1.3.8）式表示卷積服從交換律。（1.3.9）和（1.3.10）式分別表示卷積的結(jié)合律和分配律。設(shè)h1(n)和h2(n)分別是兩個系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，x(n)表示輸入序列。按照（1.3.9）式的右端，信號通過h1(n)系統(tǒng)后再通過h2(n)系統(tǒng)，等效于按照（1.3.9）式左端，信號通過一個系統(tǒng)，該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h1(n)*h2(n)，如圖1.3.3(a)、(b)所示。該式還表明兩系統(tǒng)級聯(lián)，其等效系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于兩系統(tǒng)分別的單位脈沖響應(yīng)的卷積。按照（1.3.10）式，信號同時通過兩個系統(tǒng)后相加，等效于信號通過一個系統(tǒng)，該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于兩個系統(tǒng)分別的單位脈沖響應(yīng)之和，如圖1.3.3(c)、(d)所示。換句話說，系統(tǒng)并聯(lián)的等效系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于兩個系統(tǒng)分別的單位脈沖響應(yīng)之和。圖1.3.3卷積的結(jié)合律和分配律需要再次說明的是，關(guān)于系統(tǒng)級聯(lián)、并聯(lián)的等效系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)與原來兩系統(tǒng)分別的單位脈沖響應(yīng)的關(guān)系，是基于線性卷積的性質(zhì)，而線性卷積是基于線性時不變系統(tǒng)滿足線性疊加原理。因此,對于非線性或者非時不變系統(tǒng)，這些結(jié)論是不成立的。再考察（1.3.11）式，它也是一個線性卷積式，它表示序列x(n)與單位脈沖序列的線性卷積等于序列本身x(n)，（1.3.11）如果序列與一個移位的單位脈沖序列δ(n－n0)進(jìn)行線性卷積，就相當(dāng)于將序列本身移位n0(n0是整常數(shù))，如下式表示：上式中求和項只有當(dāng)m=n－n0時才有非零值，因此得到：（1.3.12）

【例1.3.6】在圖1.3.4中，h1(n)系統(tǒng)與h2(n)系統(tǒng)級聯(lián)，設(shè)求系統(tǒng)的輸出y(n)。圖1.3.4例1.3.6框圖

解先求第一級的輸出m(n)，再求y(n)。1.3.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性一般因果系統(tǒng)定義:

如果系統(tǒng)n時刻的輸出只取決于n時刻以及n時刻以前的輸入序列，而和n時刻以后的輸入序列無關(guān)，則稱該系統(tǒng)具有因果性質(zhì)，或稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。如果n時刻的輸出還取決于n時刻以后的輸入序列，在時間上違背了因果性，系統(tǒng)無法實現(xiàn)，則系統(tǒng)被稱為非因果系統(tǒng)。因此系統(tǒng)的因果性是指系統(tǒng)的可實現(xiàn)性。

線性時不變系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)滿足下式：（1.3.13）滿足（1.3.13）式的序列稱為因果序列，因此因果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)必然是因果序列。因果系統(tǒng)條件（1.3.13）式從概念上也容易理解，因為單位脈沖響應(yīng)是輸入為δ(n)的零狀態(tài)響應(yīng)，在n=0時刻以前即n<0時，沒有加入信號，輸出只能等于零，因此得到因果性條件（1.3.13）式。所謂穩(wěn)定系統(tǒng)，是指對有界輸入，系統(tǒng)輸出也是有界的。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)絕對可和，用公式表示為（1.3.14）

證明先證明充分性。因為輸入序列x(n)有界，即因此如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)滿足（1.3.14）式，那么輸出y(n)一定也是有界的，即下面用反證法證明其必要性。如果h(n)不滿足(1.3.14)式，即,那么總可以找到一個或若干個有界的輸入來引起無界的輸出，例如：令n=0,有上式說明n=0時刻的輸出為無界，系統(tǒng)不穩(wěn)定，證明了（1.3.14）式條件的必要性。

【例1.3.7】設(shè)線性時不變系統(tǒng)的差分方程為試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。解：因為y(n)只與x(n)有關(guān),與n時刻以后的輸入無關(guān),所以,根據(jù)一般因果系統(tǒng)的定義,該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。如果|x(n)|<A,則,所以,根據(jù)一般穩(wěn)定系統(tǒng)定義,該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。值得注意:如果不加判斷,直接利用線性時不變系統(tǒng)因果穩(wěn)定性的充分必要條件求證,就會得出如下錯誤的結(jié)論:

令x(n)=δ(n),代入系統(tǒng)差分方程得到，當(dāng)n<0時,h(n)==1≠0,由此得出結(jié)論,該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。又因為,所以,該系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。之所以得出錯誤結(jié)論,是因為線性時不變系統(tǒng)因果穩(wěn)定性的充分必要條件只適用于線性時不變系統(tǒng)。但對該系統(tǒng)顯然是非線性系統(tǒng),不能用線性時不變系統(tǒng)因果穩(wěn)定性的充分必要條件求證。此例說明,應(yīng)用性質(zhì)和定理時,一定要注意其適用范圍。

【例1.3.8】設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位系統(tǒng)脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)，式中a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。

解由于n<0時，h(n)=0，因此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。只有當(dāng)|a|<1時,才有因此系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是|a|<1；否則，|a|≥1時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定時，h(n)的模值隨n加大而減小，此時序列h(n)稱為收斂序列。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，h(n)的模值隨n加大而增大，則稱為發(fā)散序列。

【例1.3.9】設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=u(n)，求對于任意輸入序列x(n)的輸出y(n)，并檢驗系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。

解因為當(dāng)n－k<0時，u(n-k)=0;n－k≥0時，u(n－k)=1,因此，求和限為k≤n，所以（1.3.15）上式表示該系統(tǒng)是一個累加器，它將輸入序列從加上之時開始，逐項累加，一直加到n時刻為止。下面分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性：由于因此該系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定系統(tǒng)。自然地，該系統(tǒng)是一個因果系統(tǒng)。根據(jù)以上介紹的穩(wěn)定概念，可以檢查系統(tǒng)是否穩(wěn)定，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)是否滿足絕對可和的條件。實際中，如何用實驗信號測定系統(tǒng)是否穩(wěn)定是一個重要問題，顯然，不可能對所有有界輸入都檢查是否得到有界輸出?？梢宰C明［19］,只要用單位階躍序列作為輸入信號，如果輸出趨于常數(shù)（包括零），則系統(tǒng)一定穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。不必要對所有有界輸入都進(jìn)行實驗。1.4時域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法

——線性常系數(shù)差分方程描述一個系統(tǒng)時，可以不管系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)如何，將系統(tǒng)看成一個黑盒子，只描述或者研究系統(tǒng)輸出和輸入之間的關(guān)系，這種方法稱為輸入輸出描述法。對于模擬系統(tǒng)，我們知道由微分方程描述系統(tǒng)輸出輸入之間的關(guān)系。對于時域離散系統(tǒng)，則用差分方程描述或研究輸出輸入之間的關(guān)系。對于線性時不變系統(tǒng)，經(jīng)常用的是線性常系數(shù)差分方程。本節(jié)主要介紹這類差分方程及其解法。1.4.1線性常系數(shù)差分方程

一個N階線性常系數(shù)差分方程用下式表示：（1.4.1）式中，x(n)和y(n)分別是系統(tǒng)的輸入序列和輸出序列，ai和bi均為常數(shù)，式中y(n－i)和x(n－i)項只有一次冪，也沒有相互交叉相乘項，故稱為線性常系數(shù)差分方程。差分方程的階數(shù)是用方程y(n－i)項中i的取值最大與最小之差確定的。在（1.4.2）式中，y(n－i)項i最大的取值為N，i的最小的取值為零，因此稱為N階的差分方程。（1.4.2）或者1.4.2線性常系數(shù)差分方程的求解

已知系統(tǒng)的輸入序列，通過求解差分方程可以求出輸出序列。求解差分方程的基本方法有以下三種：（1）經(jīng)典解法。這種方法類似于模擬系統(tǒng)中求解微分方程的方法，它包括齊次解與特解，由邊界條件求待定系數(shù)，較麻煩，實際中很少采用。（2）遞推解法。這種方法簡單，且適合用計算機(jī)求解，但只能得到數(shù)值解，對于階次較高的線性常系數(shù)差分方程不容易得到封閉式（公式）解答。（3）變換域方法。這種方法是將差分方程變換到z域進(jìn)行求解，方法簡便有效，這部分內(nèi)容放在第2章學(xué)習(xí)。當(dāng)然還可以不直接求解差分方程，而是先由差分方程求出系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，再與已知的輸入序列進(jìn)行卷積運(yùn)算，得到系統(tǒng)的輸出。但是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如果不是預(yù)先知道，仍然需要求解差分方程，求其零狀態(tài)響應(yīng)解。本節(jié)只介紹遞推法，其中包括如何用MATLAB求解差分方程。觀察（1.4.1）式，求n時刻的輸出，要知道n時刻以及n時刻以前的輸入序列值，還要知道n時刻以前的N個輸出信號值。因此求解差分方程在給定輸入序列的條件下，還需要確定N個初始條件。以上介紹的三種基本解法都只能在已知N個初始條件的情況下，才能得到唯一解。如果求n0時刻以后的輸出，n0時刻以前的N個輸出值y(n0－1)、y(n0－2)、、y(n0－N)就構(gòu)成了初始條件。（1.4.1）式表明，已知輸入序列和N個初始條件，則可以求出n時刻的輸出；如果將該公式中的n用n+1代替，可以求出n+1時刻的輸出，因此（1.4.1）式表示的差分方程本身就是一個適合遞推法求解的方程。

【例1.4.1】設(shè)系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，輸入序列x(n)=δ(n)，求輸出序列y(n)。

解該系統(tǒng)差分方程是一階差分方程，需要一個初始條件。

（1）設(shè)初始條件:（2）設(shè)初始條件:該例表明，對于同一個差分方程和同一個輸入信號，因為初始條件不同，得到的輸出信號是不相同的。對于實際系統(tǒng)，用遞推解法求解，總是由初始條件向n>0的方向遞推，是一個因果解。但對于差分方程，其本身也可以向n<0的方向遞推，得到的是非因果解。因此差分方程本身不能確定該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)還是非因果系統(tǒng)，還需要用初始條件進(jìn)行限制。下面就是向方向n<0遞推的例題。

【例1.4.2】設(shè)差分方程為求輸出序列y(n)。將n－1用n代替，得到：這確實是一個非因果的輸出信號。用差分方程求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，由于單位脈沖響應(yīng)是當(dāng)系統(tǒng)輸入δ(n)時的零狀態(tài)響應(yīng)，因此只要令差分方程中的輸入序列為δ(n)，N個初始條件都為零，其解就是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。實際上例題1.4.1（1）中求出的y(n)就是該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，例題1.4.2求出的y(n)則是一個非因果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。最后要說明的是，一個線性常系數(shù)差分方程描述的系統(tǒng)不一定是線性非時變系統(tǒng)，這和系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。如果系統(tǒng)是因果的，一般在輸入x(n)=0(n<n0)時，則輸出y(n)=0(n<n0)，系統(tǒng)是線性非時變系統(tǒng)。下面介紹用MATLAB求解差分方程。MATLAB信號處理工具箱提供的filter函數(shù)實現(xiàn)線性常系數(shù)差分方程的遞推求解，調(diào)用格式如下：

yn=filter(B,A.xn)計算系統(tǒng)對輸入信號向量xn的零狀態(tài)響應(yīng)輸出信號向量yn，yn與xn長度相等，其中，B和A是（1.4.2）式所給差分方程的系數(shù)向量，即B=[b0,b1,,bM],A=[a0,a1,,aN]其中a0=1，如果a0≠1，則filter用a0對系數(shù)向量B和A歸一化。

yn=filter(B,A.xn，xi)計算系統(tǒng)對輸入信號向量xn的全響應(yīng)輸出信號yn。所謂全響應(yīng)，就是由初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)和由輸入信號xn引起的零狀態(tài)響應(yīng)之和(在2.4.3節(jié)介紹)。其中,xi是等效初始條件的輸入序列，所以xi是由初始條件確定的。MATLAB信號處理工具箱提供的filtic就是由初始條件計算xi的函數(shù),其調(diào)用格式如下：

xi=filtic(B,A,ys,xs)其中，ys和xs是初始條件向量：ys=［y(－1)，y(－2)，y(－3)，，y(－N)］，xs=［x(－1)，x（－2），x(－3)，，x(－M)］。如果xn是因果序列，則xs=0，調(diào)用時可缺省xs。例1.4.1的MATLAB求解程序ep141.m如下：%ep141.m：調(diào)用filter解差分方程y(n)－ay(n－1)=x(n)a=0.8;ys=1;

%設(shè)差分方程系數(shù)a=0.8,

%初始狀態(tài):y(－1)=1xn=［1,zeros(1,30)］;%x(n)=單位脈沖序列,長度N=31B=1;A=［1,-a］;%差分方程系數(shù)xi=filtic(B,A,ys);

%由初始條件計算等效初始條件的輸入序列xiyn=filter(B,A,xn,xi);%調(diào)用filter解差分方程,求系統(tǒng)輸出信號y(n)n=0:length(yn)-1;subplot(3,2,1);stem(n,yn,'.')title('(a)');xlabel('n');ylabel('y(n)')程序中取差分方程系數(shù)a=0.8時，得到系統(tǒng)輸出y(n)如圖1.4.1（a）所示，與例1.4.1的解析遞推結(jié)果完全相同。如果令初始條件y(－1)=0(僅修改程序中ys=0)，則得到系統(tǒng)輸出y(n)=h(n)，如圖1.4.1（b）所示。圖1.4.1例1.4.1求解程序輸出波形1.5模擬信號數(shù)字處理方法

在緒論中已介紹了數(shù)字信號處理技術(shù)相對于模擬信號處理技術(shù)的許多優(yōu)點(diǎn)，因此人們往往希望將模擬信號經(jīng)過采樣和量化編碼形成數(shù)字信號，再采用數(shù)字信號處理技術(shù)進(jìn)行處理；處理完畢，如果需要，再轉(zhuǎn)換成模擬信號。這種處理方法稱為模擬信號數(shù)字處理方法。其原理框圖如圖1.5.1所示。圖中的預(yù)濾與平滑所起的作用在后面介紹。本節(jié)主要介紹采樣定理和采樣恢復(fù)。圖1.5.1模擬信號數(shù)字處理框圖1.5.1采樣定理及A/D變換器

對模擬信號進(jìn)行采樣可以看做一個模擬信號通過一個電子開關(guān)S。設(shè)電子開關(guān)每隔周期T合上一次，每次合上的時間為τ<<T，在電子開關(guān)輸出端得到其采樣信號。該電子開關(guān)的作用等效成一寬度為τ，周期為T的矩形脈沖串pT(t)，采樣信號就是xa(t)與pT(t)相乘的結(jié)果。采樣過程如圖1.5.2(a)所示。如果讓電子開關(guān)合上時間τ→0，則形成理想采樣，此時上面的脈沖串變成單位沖激串，用pδ(t)表示。p+(t)中每個單位沖激處在采樣點(diǎn)上，強(qiáng)度為1，理想采樣則是xa(t)與pδ(t)相乘的結(jié)果，采樣過程如圖1.5.2(b)所示。用公式表示為（1.5.1）上式中δ(t)是單位沖激信號，在上式中只有當(dāng)t=nT時，才可能有非零值，因此寫成下式：（1.5.2）圖1.5.2對模擬信號進(jìn)行采樣下面研究理想采樣前后信號頻譜的變化，從而找出為了使采樣信號能不失真地恢復(fù)原模擬信號，采樣速率Fs(Fs=T－1)與模擬信號最高頻率fc之間的關(guān)系。我們知道在傅里葉變換中，兩信號在時域相乘的傅里葉變換等于兩個信號分別的傅里葉變換的卷積，按照（1.5.2）式，推導(dǎo)如下：設(shè)對（1.5.1）式進(jìn)行傅里葉變換，得到（1.5.3）式中，Ωs=2π/T，稱為采樣角頻率，單位是rad/s。因此（1.5.4）（1.5.5）上式表明理想采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜沿頻率軸，每間隔采樣角頻率Ωs重復(fù)出現(xiàn)一次，或者說理想采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜以Ωs為周期，進(jìn)行周期性延拓而成的。在圖1.5.3中，設(shè)xa(t)是帶限信號，最高頻率為Ωc，其頻譜Xa(jΩ)如圖1.5.3(a)所示。pδ(t)的頻譜Pδ(jΩ)如圖1.5.3(b)所示，那么按照（1.5.5）式，的頻譜如圖1.5.3(c)所示，圖中原模擬信號的頻譜稱為基帶頻譜。如果滿足Ωs≥2Ωc，或者用頻率表示該式，即滿足Fs≥2fc，基帶譜與其它周期延拓形成的譜不重疊，如圖1.5.3(c)所示情況，可以用理想低通濾波器G(jΩ)從采樣信號中不失真地提取原模擬信號，如圖1.5.4所示。但如果選擇采樣頻率太低，或者說信號最高截止頻率過高，使Fs<2fc,Xa(jΩ)按照采樣頻率Fs周期延拓時，形成頻譜混疊現(xiàn)象，用圖1.5.3(d)表示。這種情況下，再用圖1.5.4所示的理想低通濾波器對Xa(t)進(jìn)行濾波，得到的是失真了的模擬信號。下面用公式表示：（1.5.6）這里需要說明的是，一般頻譜函數(shù)是復(fù)函數(shù)，相加應(yīng)是復(fù)數(shù)相加，圖1.5.3和圖1.5.4僅是示意圖。一般稱Fs/2為折疊頻率，只有當(dāng)信號最高頻率不超過Fs/2時，才不會產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，否則超過Fs/2的頻譜會折疊回來而形成混疊現(xiàn)象，因此頻率混疊在Fs/2附近最嚴(yán)重。圖1.5.3采樣信號的頻譜圖1.5.4采樣恢復(fù)總結(jié)上述內(nèi)容，采樣定理敘述如下：（1）對連續(xù)信號進(jìn)行等間隔采樣形成采樣信號，采樣信號的頻譜是原連續(xù)信號的頻譜以采樣頻率Ωs

為周期進(jìn)行周期性的延拓形成的，用公式（1.5.5）表示。（2）設(shè)連續(xù)信號xa(t)屬帶限信號，最高截止頻率為Ωc，如果采樣角頻率Ωs≥2Ωc，那么讓采樣信號通過一個增益為T、截止頻率為Ωs/2的理想低通濾波器，可以唯一地恢復(fù)出原連續(xù)信號xa(t)。否則,Ωs<2Ωc會造成采樣信號中的頻譜混疊現(xiàn)象，不可能無失真地恢復(fù)原連續(xù)信號。實際中對模擬信號進(jìn)行采樣，需根據(jù)模擬信號的截止頻率，按照采樣定理的要求選擇采樣頻率，即Ωs≥2Ωc，但考慮到理想濾波器G（jΩ)不可實現(xiàn)，要有一定的過渡帶，為此可選Ωs=(3~4)Ωc。另外，可以在采樣之前加一抗混疊的低通濾波器，濾去高于Ωs/2的一些無用的高頻分量，以及濾除其它的一些雜散信號。這就是在圖1.5.1中采樣之前加預(yù)濾的原因。上面我們通過對模擬信號進(jìn)行理想采樣分析推導(dǎo)出采樣定理。采樣定理表示的是采樣信號的頻譜與原模擬信號xa(t)的頻譜之間的關(guān)系，以及由采樣信號不失真地恢復(fù)原模擬信號的條件。要進(jìn)一步說明的是，采樣信號用（1.5.2）式表示，它是用一串延時的單位沖激加權(quán)和表示的。按照該式，在t=nT時，即在每個采樣點(diǎn)上，采樣信號的強(qiáng)度（幅度）準(zhǔn)確地等于對模擬信號的采樣值xa(nT)，而在t≠nT非采樣點(diǎn)上采樣信號的幅度為零。時域離散信號（序列）x(n)只有在n為整數(shù)時才有定義，否則無定義，因此采樣信號和時域離散信號不相同。但如果序列是通過對模擬信號采樣得到的，即x(n)=xa(nT)，序列值等于采樣信號在t=nT時的幅度，在第2章將通過分析時域離散信號的頻譜，得到此時序列的頻譜依然是模擬信號頻譜的周期延拓，因此由模擬信號通過采樣得到序列時，依然要服從采樣定理，否則一樣也會產(chǎn)生頻譜混疊現(xiàn)象。將模擬信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號由模/數(shù)轉(zhuǎn)換器(Analog/DigitalConverter,A/DC）完成，模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的原理框圖如圖1.5.5所示。通過按等間隔T對模擬信號進(jìn)行采樣，得到一串采樣點(diǎn)上的樣本數(shù)據(jù)，這一串樣本數(shù)據(jù)可看做時域離散信號（序列）。設(shè)A/DC有M位，那么用M位二進(jìn)制數(shù)表示這一串樣本數(shù)據(jù)，即形成數(shù)字信號。因此，采樣以后到形成數(shù)字信號的這一過程是一個量化編碼的過程。例如：模擬信號xa(t)=sin(2πft+π/8)，式中f=50Hz,選采樣頻率Fs=200

Hz，將t=nT代入xa(t)中，得到采樣數(shù)據(jù)：圖1.5.5模/數(shù)轉(zhuǎn)換器原理框圖當(dāng)

時，得到序列x(n)如下：

x(n)={,0.382683,0.923879,－0.382683,－0.923879,}如果A/DC按照M=6進(jìn)行量化編碼，即上面的采樣數(shù)據(jù)均用6位二進(jìn)制碼表示，其中一位為符號位，則數(shù)字信號用表示：

={,0.01100,0.11101,1.01100,1.11101,}用十進(jìn)制數(shù)表示的為

={,0.37500,0.90625,-0.37500,-0.90625,}顯然量化編碼以后的和原x(n)不同。這樣產(chǎn)生的誤差稱為量化誤差，這種量化誤差的影響稱為量化效應(yīng)，這部分內(nèi)容將在第9章介紹。1.5.2將數(shù)字信號轉(zhuǎn)換成模擬信號

我們已經(jīng)知道模擬信號xa(t)經(jīng)過理想采樣，得到采樣信號,xa(t)和之間的關(guān)系用（1.5.2）式描述。如果選擇采樣頻率Fs滿足采樣定理，的頻譜沒有頻譜混疊現(xiàn)象，可用一個傳輸函數(shù)為G（jω)的理想低通濾波器不失真地將原模擬信號xa(t)恢復(fù)出來，這是一種理想恢復(fù)。下面先分析推導(dǎo)該理想低通濾波器的輸入和輸出之間的關(guān)系，以便了解理想低通濾波器是如何由采樣信號恢復(fù)原模擬信號的，然后再介紹在實際中數(shù)字信號如何轉(zhuǎn)換成模擬信號。下面由（1.5.6）式表示的低通濾波器的傳輸函數(shù)G(jΩ）推導(dǎo)其單位沖激響應(yīng)g(t)：因為Ωs=2πFs=2π/T，因此g(t)也可以用下式表示：（1.5.7）理想低想濾波器的輸入、輸出分別為和ya(t)，將（1.5.7）式表示的g(t)和（1.5.2）式表示的代入上式，得到：（1.5.8）由于滿足采樣定理，ya(t)=xa(t)，因此得到：（1.5.9）式中，當(dāng)n=

,－1,0,1,2,時，xa(nT)是一串離散的采樣值，而xa(t)是模擬信號，t取連續(xù)值，g(t)的波形如圖1.5.6所示。其特點(diǎn)是:t=0時，g(0)=1;t=nT(n≠0)時，g(t)=0。在（1.5.9）式中，g(t)保證了在各個采樣點(diǎn)上，即t=nT時，恢復(fù)的xa(t)等于原采樣值，而在采樣點(diǎn)之間，則是各采樣值乘以g(t－nT)的波形伸展疊加而成的。

圖1.5.6內(nèi)插函數(shù)g(t)波形這種伸展波形疊加的情況如圖1.5.7所示。g(t)函數(shù)所起的作用是在各采樣點(diǎn)之間內(nèi)插，因此稱為內(nèi)插函數(shù)，而（1.5.9）式則稱為內(nèi)插公式。這種用理想低通濾波器恢復(fù)的模擬信號完全等于原模擬信號xa(t)，是一種無失真的恢復(fù)。但由于g(t)是非因果的，因此理想低通濾波器是非因果不可實現(xiàn)的。下面介紹實際的數(shù)字信號到模擬信號的轉(zhuǎn)換。

圖1.5.7理想恢復(fù)實際中采用D/AC（Digital/AnalogConverter）完成數(shù)字信號到模擬信號的轉(zhuǎn)換。D/AC包括三部分，即解碼器、零階保持器和平滑濾波器，D/AC方框圖如圖1.5.8所示。解碼器的作用是將數(shù)字信號轉(zhuǎn)換成時域離散信號xa(nT)，零階保持器和平滑濾波器則將xa(nT)變成模擬信號。圖1.5.8

D/AC方框圖由時域離散信號xa(nT)恢復(fù)模擬信號的過程是在采樣點(diǎn)內(nèi)插的過程。理想低通濾波的方法是用g(t)函數(shù)作內(nèi)插函數(shù)，還可以用一階線性函數(shù)作內(nèi)插。零階保持器是將前一個采樣值進(jìn)行保持，一直到下一個采樣值來到，再跳到新的采樣值并保持，因此相當(dāng)于進(jìn)行常數(shù)內(nèi)插。零階保持器的單位沖激函數(shù)h(t)以及輸出波形如圖1.5.9所示。對h(t)進(jìn)行傅里葉變換，得到其傳輸函數(shù)：（1.5.10）圖1.5.9零階保持器的輸出波形其幅度特性和相位特性如圖1.5.10所示。由該圖看到,零階保持器是一個低通濾波器，能夠起到將時域離散信號恢復(fù)成模擬信號的作用。圖中虛線表示理想低通濾波器的幅度特性。零階保持器的幅度特性與其有明顯的差別，主要是在|Ω|>π/T區(qū)域有較多的高頻分量，表現(xiàn)在時域上，就是恢復(fù)出的模擬信號是臺階形的。因此需要在D/AC之后加平滑低通濾波器，濾除多余的高頻分量，對時間波形起平滑作用，這也就是在圖1.5.1模擬信號數(shù)字處理框中，最后加平滑濾波器的原因。雖然這種零階保持器恢復(fù)的模擬信號有些失真，但簡單、易實現(xiàn)，是經(jīng)常使用的方法。實際中，將解碼器與零階保持器集成在一起，就是工程上的D/AC器件。圖1.5.10零階保持器的頻率特性習(xí)題與上機(jī)題

1.用單位脈沖序列δ(t)及其加權(quán)和表示題1圖所示的序列。題1圖

2．給定信號：（1）畫出x(n)序列的波形，標(biāo)上各序列值；（2）試用延遲的單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x(n)序列；（3）令x1(n)=2x(n－2)，試畫出x1(n)波形；（4）令x2(n)=2x(n+2)，試畫出x2(n)波形；（5）令x3=x(2－n)，試畫出x3(n)波形。

3．判斷下面的序列是否是周期的;若是周期的，確定其周期。（1）A是常數(shù)（2）

4．對題1圖給出的x(n)要求：（1）畫出x(－n)的波形；（2）計算，并畫出xe(n)波形；（3）計算，并畫出x0(n)波形；（4