四川省宜賓市興文第二中學(xué)校高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題

興文二中2023年秋期高三期末考試文科數(shù)學(xué)本試卷共4頁，23小題，滿分150分．考試用時120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】B【解析】【詳解】因為,所以,所以或.若，則,滿足.若，解得或.若，則，滿足.若，顯然不成立，綜上或，選B.2.為虛數(shù)單位,則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】，故虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)的概念，注意復(fù)數(shù)的虛部為，不是，本題為基礎(chǔ)題，也是易錯題.3.已知是第二象限的角，，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【詳解】因為,由誘導(dǎo)公式可得,,即,因為,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故選:D【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;屬于中檔題.4.已知是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，則下列命題中，錯誤的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系依次判斷每個選項得到答案.【詳解】對于：若，則或，故錯誤；正確.故選：.【點睛】本題考查了直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.5.在中，內(nèi)角的平分線交邊于點，，，，則的面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求出，可得出，然后利用余弦定理求出，進(jìn)而求出，然后利用三角形的面積公式可計算出的面積.【詳解】為的角平分線，則.，則，，在中，由正弦定理得，即，①在中，由正弦定理得，即，②①②得，解得，，由余弦定理得，，因此，的面積為.故選：B.【點睛】本題考查三角形面積的計算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.6.某工廠生產(chǎn)的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量(單位：)與時間（單位：）的關(guān)系為：是正的常數(shù)）.如果在前消除了10%的污染物，那么污染物減少80%需要大約花多少時間（）（精確到1h，參考數(shù)據(jù)A.56h B.66h C.76h D.86h【答案】C【解析】【分析】先求出常數(shù)，將代入解析式，利用指數(shù)冪的運算，求出的值即可.【詳解】前消除了10%的污染物,且是正的常數(shù)），時，；時，，，，當(dāng)時，，..故選：C7.函數(shù)在的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由可排除選項C、D；再由可排除選項A.【詳解】因為，故為奇函數(shù)，排除C、D；又，排除A.故選：B.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式選出函數(shù)圖象的問題，在做這類題時，一般要利用函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、特殊點的函數(shù)值等，是一道基礎(chǔ)題.8.將函數(shù)向左平移個單位，得到的圖象，則滿足（）A.圖象關(guān)于點對稱，在區(qū)間上為增函數(shù)B.函數(shù)最大值為2，圖象關(guān)于點對稱C.圖象關(guān)于直線對稱，在上的最小值為1D.最小正周期為，在有兩個根【答案】C【解析】【分析】由輔助角公式化簡三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷各選項.【詳解】函數(shù)，則，將向左平移個單位，可得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，的對稱中心滿足，解得，所以A、B選項中的對稱中心錯誤；對于C，的對稱軸滿足，解得，所以圖象關(guān)于直線對稱；當(dāng)時，，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，所以在上的最小值為1，所以C正確；對于D，最小正周期為，當(dāng)，，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，時僅有一個解為，所以D錯誤；綜上可知，正確的為C，故選：C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡，三角函數(shù)圖象平移變換，正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.9.已知實數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】所求的分母特征，利用變形構(gòu)造，再等價變形，利用基本不等式求最值.【詳解】解：因為滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選：．【點睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)(3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提.10.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)()，則函數(shù)的值域為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用換元思想求出函數(shù)的值域，再分類討論，根據(jù)新定義求得函數(shù)的值域．【詳解】()，令，可得，在上遞減，在上遞增，時，有最小值，又因為，所以當(dāng)時，，即函數(shù)的值域為，時，；時，；時，；的值域是．故選：B．【點睛】思路點睛：新定義是通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.11.設(shè)為坐標(biāo)原點，是以為焦點拋物線上任意一點，是線段上的點，且，則直線的斜率的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，因為，得到，利用直線的斜率公式，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，拋物線的焦點坐標(biāo)為，設(shè)，因為，即線段的中點，所以，所以直線的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以直線的斜率的最大值為1.故選：A.【點睛】本題主要考查了拋物線的方程及其應(yīng)用，直線的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.12.函數(shù)在上有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分離參數(shù)后將函數(shù)零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù).【詳解】函數(shù)定義域為，由得設(shè)令得，時，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減；時，取極大值.，要使函數(shù)有兩個零點即方程右有兩個不同的根，即函數(shù)與有兩個不同交點.即故選:B.【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)零點問題時，參數(shù)可以分離的情況下優(yōu)先選擇分離參數(shù)，然后構(gòu)建新函數(shù)，將零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù).第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.實數(shù)滿足，則的最大值為_____．【答案】．【解析】【分析】畫出可行域，解出可行域的頂點坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，比較大小得到目標(biāo)函數(shù)最值.【詳解】解：作出可行域，如圖所示，則當(dāng)直線過點時直線的截距最大，z取最大值．由同理，，取最大值．故答案為：．【點睛】本題考查線性規(guī)劃的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題.線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，若可行域是一個封閉的圖形，我們可以直接解出可行域的頂點，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值；若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值.14.從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名代表，甲被選中的概率為__________.【答案】【解析】【分析】甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,根據(jù)公式即可求得概率.【詳解】甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,.故答案為:.【點睛】本題考查古典概型的概率的計算,考查學(xué)生分析問題的能力,難度容易.15.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對稱.若，則___________.【答案】【解析】【分析】本題可根據(jù)角與角的終邊關(guān)于軸對稱得出它們的正弦值相等，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式求值即可．【詳解】由誘導(dǎo)公式知，因為角與角的終邊關(guān)于軸對稱，所以它們的正弦值相等，即，故答案為：.16.在三棱錐中，平面，，，則該三棱錐的外接球表面積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)、球的表面積公式進(jìn)行求解即可.詳解】取中點，連接，因為，所以是直角三角形，因此有，因為平面，平面，所以，所以是直角三角形，因此有，即，因此是三棱錐的外接球的球心，因為，所以，因此，所以該三棱錐的外接球表面積為，故答案：【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)確定球心的位置是關(guān)鍵.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.為弘揚勞動精神，樹立學(xué)生“勞動最美，勞動最光榮”的觀念，某校持續(xù)開展“家庭勞動大比拼”活動某班統(tǒng)計了本班同學(xué)月份的人均月勞動時間單位：小時，并建立了人均月勞動時間關(guān)于月份的線性回歸方程，與的原始數(shù)據(jù)如表所示：月份人均月勞動時間由于某些原因?qū)е虏糠謹(jǐn)?shù)據(jù)丟失，但已知．（1）求，的值；（2）求該班月份人均月勞動時間數(shù)據(jù)的殘差值殘差即樣本數(shù)據(jù)與預(yù)測值之差．參考公式：在線性回歸方程中，．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由表知，，，由，可得，由回歸直線方程恒過樣本中心點，可得，再由，得，然后解方程組，即可；（2）把代入（1）中得到的回歸方程，求得預(yù)測值后，即可得解．【小問1詳解】由表知，，，所以，所以，即，因為回歸直線方程恒過樣本中心點，所以，即，由，得，，因為，所以，由，得，．【小問2詳解】由（1）知，線性回歸方程為，所以當(dāng)時，預(yù)測值，此時殘差為．18.如圖，四棱錐的底面為等腰梯形，∥，且，平面平面.（1）證明：.（2）若，F(xiàn)為的中點，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】(1)證明AB⊥平面ACD即可；(2)根據(jù)即可求解.【小問1詳解】∵平面平面，且平面平面，∴平面，∵平面，∴.小問2詳解】連接，則由題可知，，在中，由余弦定理可得，∴.在中，由余弦定理得，則，則.∵平面，∴，∴.19.已知是遞增的等比數(shù)列，，且、、成等差數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，，求數(shù)列的前項和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出的值，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可得出數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求得，然后利用裂項相消法可求得.【詳解】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為，由題意及，知.、、成等差數(shù)列成等差數(shù)列，，，即，解得或（舍去），.數(shù)列的通項公式為；（Ⅱ），.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項的求解，同時也考查了裂項求和法，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.20.已知橢圓的短軸長為，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）設(shè)橢圓的左，右焦點分別為，左，右頂點分別為，，點，，為橢圓上位于軸上方的兩點，且，記直線，的斜率分別為，，若，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得：2b＝4，，a2＝b2+c2．聯(lián)立解出即可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）A（﹣3，0），B（3，0），F(xiàn)1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），設(shè)F1M的方程為：x＝my﹣1，M（），（＞0），直線F1M與橢圓的另一個交點為M′（）．由根據(jù)對稱性可得：.直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（8m2+9）y2﹣16my﹣64＝0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及其，得0，聯(lián)立解得m．【詳解】（1）由題意，得，.又，∴，，.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由（1），可知，，據(jù)題意，直線的方程為記直線與橢圓的另一交點為，設(shè)，.∵，根據(jù)對稱性，得.聯(lián)立，消去，得，其判別式，∴，.①由，得，即.②由①②，解得，∵，∴.∴.∴.∴直線的方程為，即.【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．21.已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，是否存在兩個極值點，若存在，求實數(shù)的最小整數(shù)值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）4【解析】【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程．（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合極值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為有兩個不同的根，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與軸的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）函數(shù)導(dǎo)數(shù)當(dāng)時，即在點（1，）處的切線斜率，則對應(yīng)的切線方程為即．（2）當(dāng)時，若存在兩個極值點，則有兩個不同的解，即有兩個根，即有兩個不同的根，設(shè)當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，不符合題意．當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增要使函數(shù)與軸有兩個不同的交點，必須，得設(shè)，則，即在（1，+∞）上為減函數(shù)，存在使得.即當(dāng)時，此時有最小正整數(shù)，使得函數(shù)與軸有兩個不同的交點.即當(dāng)時，是存在兩個極值點，此時最小的的整數(shù)值為4【點睛】本題利用數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)與方程思想，先將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合思想，通過直函數(shù)圖像與軸的交點個數(shù)來確定參數(shù)的取值范圍．（二）選考題，共10分．請考生在第22、23題中任選一