2025年高考數(shù)學一輪復(fù)習-導(dǎo)數(shù)切線方程11種題型-專項訓練【含解析】

第5講導(dǎo)數(shù)切線方程11類【原卷版】【題型一】求切線基礎(chǔ)型：給切點求切線【典例分析】已知函數(shù)，則曲線在點處的切線的方程為__________.【變式演練】1.曲線在點處的切線方程為______.2.已知點在曲線上，則曲線在點處的切線方程為_________.3.已知曲線在點處的切線的傾斜角為，則的值為（）A．1 B． C． D．【題型二】求切線基礎(chǔ)型：有切線無切點求切點【典例分析】曲線在處的切線平行于直線，則點的坐標為（）A．B．C．和D．和【變式演練】1.已知函數(shù)為偶函數(shù)，若曲線的一條切線與直線垂直，則切點的橫坐標為（）A． B． C． D．2.過曲線上一點且與曲線在點處的切線垂直的直線的方程為（）A． B．C． D．3.曲線在點處的切線方程是，則切點的坐標是____________.【題型三】求切線基礎(chǔ)：無切點求參【典例分析】已知曲線在點處的切線與直線垂直，則的取值是（）A．-1 B． C．1 D．【變式演練】1.若曲線的一條切線是直線，則實數(shù)b的值為___________2.已知曲線與直線相切，則實數(shù)a的值為__________.3.已知軸為曲線的切線，則的值為________.【題型四】無切點多參【典例分析】若直線是曲線的切線，且，則實數(shù)b的最小值是______.【變式演練】1已知函數(shù)f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在點（e，f（e））處的切線方程為y=3x﹣e，則a+b=_____.2.若曲線在處的切線方程為，則__________3.已知曲線在點處的切線方程為，則（）A． B． C． D．【題型五】“過點”型切線【典例分析】過原點作曲線的切線，則切點的坐標為___________，切線的斜率為__________.【變式演練】1.過點與曲線相切的直線方程為______________.2.過點作曲線（）的切線，則切點坐標為________．3.已知直線是曲線的切線，則實數(shù)（）A． B． C． D．【題型六】判斷切線條數(shù)【典例分析】已知曲線，則過點可向引切線，其切線條數(shù)為（）A． B． C． D．【變式演練】1.已知過點A（a，0）作曲線C：y＝x?ex的切線有且僅有兩條，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）2.已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，且的圖象在處的切線l與曲線相切，符合情況的切線l（）A．有3條 B．有2條 C．有1條 D．不存在3.已知函數(shù)，當時，曲線在點與點處的切線總是平行時，則由點可作曲線的切線的條數(shù)為（）A． B． C． D．無法確定【題型七】多函數(shù)（多曲線）的公切線【典例分析】直線與曲線相切也與曲線相切，則稱直線為曲線和曲線的公切線，已知函數(shù)，其中，若曲線和曲線的公切線有兩條，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【變式演練】1.函數(shù)與有公切線，則實數(shù)的值為（）A．4 B．2 C．1 D．2.曲線與曲線有（）條公切線.A．1 B．2 C．3 D．43.若函數(shù)與函數(shù)有公切線，則實數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【題型八】切線的應(yīng)用：距離最值【典例分析】點在函數(shù)的圖像上，若滿足到直線的距離為1的點有且僅有1個，則（）A． B． C． D．【變式演練】1.點A在直線y＝x上，點B在曲線上，則的最小值為（）A． B．1 C． D．22.已知點M在函數(shù)圖象上，點N在函數(shù)圖象上，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．33.拋物線上的一動點到直線距離的最小值是A． B． C． D．【題型九】切線的應(yīng)用：距離公式轉(zhuǎn)化型【典例分析】若，則的最小值是A．1 B．2 C．3 D．4【變式演練】1.若，則的最小值是A．1 B．2 C．3 D．42.設(shè)，當取得最小值時，函數(shù)的最小值為___________.3.已知，，則的最小值為______．【題型十】切線的應(yīng)用：恒成立求參等應(yīng)用【典例分析】已知為實數(shù)，則“對任意的實數(shù)恒成立”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式演練】1.已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，若恒成立，則的取值范圍為（）A． B．C． D．2.若曲線在點處的切線與曲線相切于點，則__________.3.已知函數(shù)，，若存在使得，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【題型十一】切線的應(yīng)用：零點等【典例分析】已知函數(shù)滿足，當時，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)與軸有三個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是．【變式演練】1.已知函數(shù)的圖象與直線恰有四個公共點，，，，其中，則=______.2.關(guān)于的方程在內(nèi)有且僅有個根，設(shè)最大的根是，則與的大小關(guān)系是A． B． C． D．以上都不對3.已知函數(shù)滿足，且時，，若時，方程有三個不同的根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【課后練習】1.已知函數(shù)在處的切線方程為，則滿足的的取值范圍為_________.2.已知函數(shù)，若曲線在處的切線與直線平行，則______.3.已知過點作曲線的切線有且僅有1條，則實數(shù)的取值是（）A．0 B．4 C．0或-4 D．0或44.已知直線是函數(shù)圖像的一條切線，且關(guān)于的方程恰有一個實數(shù)解，則（）A． B． C． D．5.．函數(shù)在點處的切線與函數(shù)的圖象也相切，則滿足條件的切點的個數(shù)有（）A.個B.個C.個D.個6.已知過點作曲線：的切線有且僅有兩條，則實數(shù)的取值范圍是______.7.已知函數(shù)，則和的公切線的條數(shù)為A．三條 B．二條 C．一條 D．0條8.若兩曲線與存在公切線，則正實數(shù)的取值范圍是__________．9.已知函數(shù)，，若曲線與的公切線與曲線切于點，則___________.10.已知，，求的最小值________.11.已知方程有且僅有兩個不同的實數(shù)解，，則以下有關(guān)兩根關(guān)系的結(jié)論正確的是A． B． C． D．12.已知，則方程恰有2個不同的實根，實數(shù)取值范圍__________________.13.已知函數(shù)（1）求曲線在點處的切線方程；（2）如果過點可作曲線的三條切線,求實數(shù)的取值范圍第5講導(dǎo)數(shù)切線方程11類【解析版】【題型一】求切線基礎(chǔ)型：給切點求切線【典例分析】已知函數(shù)，則曲線在點處的切線的方程為__________.【答案】【解析】【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，求得在切點處的直線斜率；再根據(jù)點斜率求得切線方程．【詳解】因為，所以，則所求切線的方程為.故答案為：.【變式演練】1.曲線在點處的切線方程為______.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，先對函數(shù)求導(dǎo)，然后將點的橫坐標代入導(dǎo)函數(shù)所得的值就是切線的斜率，再利用點斜式可與出切線方程.解：由，得，所以在點處的切線的斜率為，所以所求的切線方程為，即，故答案為：，2.已知點在曲線上，則曲線在點處的切線方程為_________.【答案】【分析】將點的坐標代入曲線方程，可求得的值，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得曲線在點處的切線方程.【詳解】因為點在曲線上，，可得，所以，，對函數(shù)求導(dǎo)得，則曲線在點處的切線斜率為，因此，曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：.3.已知曲線在點處的切線的傾斜角為，則的值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)f(x)在x=1處的傾斜角為得,由此可求a的值.解:函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)f(x)在x=1處的傾斜角為,,,故選B.【題型二】求切線基礎(chǔ)型：有切線無切點求切點【典例分析】曲線在處的切線平行于直線，則點的坐標為（）A．B．C．和D．和【答案】C【詳解】令，解得，，故點的坐標為，故選C.【點睛】本小題考查直線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)與斜率的對應(yīng)關(guān)系，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式演練】1.已知函數(shù)為偶函數(shù)，若曲線的一條切線與直線垂直，則切點的橫坐標為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)偶函數(shù)求參數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得斜率，最后根據(jù)直線垂直關(guān)系得結(jié)果.【詳解】為偶函數(shù)，則，，設(shè)切點得橫坐標為，則解得，（負值舍去）所以.故選：D2.過曲線上一點且與曲線在點處的切線垂直的直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得幾何意義即可求得切線得斜率，從而可求得與切線垂直得直線方程.【詳解】解：∵，∴，曲線在點處的切線斜率是，∴過點且與曲線在點處的切線垂直的直線的斜率為，∴所求直線方程為，即．故選：A.3.曲線在點處的切線方程是，則切點的坐標是____________.【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切點處的切線的斜率，得到，求得，分類討論，即可求解.【詳解】由函數(shù)，則，設(shè)切點的坐標為，則斜率，所以，解得，當時，切點為，此時切線方程為；當，切點為，不滿足題意，綜上可得，切點為.故答案為：.【題型三】求切線基礎(chǔ)：無切點求參【典例分析】已知曲線在點處的切線與直線垂直，則的取值是（）A．-1 B． C．1 D．【答案】B【分析】求導(dǎo)得到，根據(jù)垂直關(guān)系得到，解得答案.【詳解】，，直線，，故，解得.故選：.【變式演練】1.若曲線的一條切線是直線，則實數(shù)b的值為___________【答案】【解析】【分析】先設(shè)切點為，對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)切線斜率，求出切點坐標，代入切線方程，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)切點為，對函數(shù)求導(dǎo)，得到，又曲線的一條切線是直線，所以切線斜率為，∴，因此，即切點為，代入切線，可得.故答案為：.2.已知曲線與直線相切，則實數(shù)a的值為__________.【答案】2【分析】先設(shè)出切點坐標，然后由切點是公共點和切點處的導(dǎo)數(shù)等于切的斜率列方程組可求得結(jié)果.解：設(shè)切點為，由得，則由題意得，，解得，故答案為：23.已知軸為曲線的切線，則的值為________.【答案】【分析】設(shè)軸與曲線的切點為，由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，解方程即可得解.【詳解】由題意，設(shè)軸與曲線的切點為，則，解得.故答案為：.【題型四】無切點多參【典例分析】若直線是曲線的切線，且，則實數(shù)b的最小值是______.【答案】【解析】【分析】求出的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切線為，由切點處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率求出，再由切點坐標可把表示為的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)可求得的最小值．【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，由于直線是曲線的切線，設(shè)切點為，則，∴，又，∴（），，當時，，函數(shù)b遞增，當時，，函數(shù)b遞減，∴為極小值點，也為最小值點，∴b的最小值為.故答案為：．【變式演練】1已知函數(shù)f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在點（e，f（e））處的切線方程為y=3x﹣e，則a+b=_____.【答案】0【分析】由題意，列方程組可求，即求.【詳解】∵在點處的切線方程為，，代入得①.又②.聯(lián)立①②解得：..故答案為：0.2.若曲線在處的切線方程為，則__________【答案】解：將代入，得切點為，①，又，，②.聯(lián)立①②解得：，，故.故答案為：.3.已知曲線在點處的切線方程為，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，將代入得，故選D．【題型五】“過點”型切線【典例分析】過原點作曲線的切線，則切點的坐標為___________，切線的斜率為__________.【答案】【分析】設(shè)切點坐標為；利用導(dǎo)數(shù)求切線方程并求切點坐標．解：設(shè)切點坐標為；；故由題意得，；解得，；故切點坐標為；切線的斜率為；故切線方程為，整理得．故答案為：；.【變式演練】1.過點與曲線相切的直線方程為______________.【答案】.【詳解】設(shè)切點坐標為，由得，切線方程為，切線過點，，即，，即所求切線方程為.故答案為：.2.過點作曲線（）的切線，則切點坐標為________．【答案】【分析】先求出曲線的方程，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)值為切線斜率，求出切點坐標.【詳解】由（），則，化簡得，則，設(shè)切點為，顯然不在曲線上，則，得，則切點坐標為.故答案為：.3.已知直線是曲線的切線，則實數(shù)（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)切點為，求出切線方程，即得，解方程即得a的值.【詳解】設(shè)切點為，∴切線方程是，∴，故答案為：C【題型六】判斷切線條數(shù)【典例分析】已知曲線，則過點可向引切線，其切線條數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在切點處的切線方程，再將點的坐標代入切線方程，可得出關(guān)于的方程，解出該方程，得出該方程根的個數(shù)，即為所求.【詳解】設(shè)在曲線上的切點為，，則，所以，曲線在點處的切線方程為，將點的坐標代入切線方程得，即，解得，，.因此，過點可向引切線，有三條.故選：C.【變式演練】1.已知過點A（a，0）作曲線C：y＝x?ex的切線有且僅有兩條，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）【答案】A【詳解】設(shè)切點為，，，則切線方程為：，切線過點代入得：，即方程有兩個解，則有或.故答案為:A.2.已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，且的圖象在處的切線l與曲線相切，符合情況的切線l（）A．有3條 B．有2條 C．有1條 D．不存在【答案】D【解析】試題分析：，依題意，在上有解.當時，在上無解，不符合題意；當時，符合題意，故.易知曲線在處的切線為.假設(shè)該直線與相切，設(shè)切點為，即有，消去化簡得，分別畫出的圖像，觀察可知它們交點橫坐標，，這與矛盾，故不存在.3.已知函數(shù)，當時，曲線在點與點處的切線總是平行時，則由點可作曲線的切線的條數(shù)為（）A． B． C． D．無法確定【答案】C【解析】分析：由曲線在點與點處的切線總是平行,可得導(dǎo)函數(shù)的對稱軸，從而求出的值，設(shè)出切點坐標，可得關(guān)于切點橫坐標的方程有三個解，從而可得結(jié)果.詳解：由，得，曲線在點與點處的切線總是平行，關(guān)于對稱，即，點，即為，所以，，設(shè)切點為切線的方程為，將點代入切線方程可得，化為，設(shè)令得或，令得，在上遞增，在上遞減，在處有極大值，在處有極小值，且，與有三個交點，方程有三個根，即過的切線有條，故答案為.【題型七】多函數(shù)（多曲線）的公切線【典例分析】直線與曲線相切也與曲線相切，則稱直線為曲線和曲線的公切線，已知函數(shù)，其中，若曲線和曲線的公切線有兩條，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)切點求出兩個函數(shù)的切線方程，根據(jù)這個兩個方程表示同一直線，可得方程組，化簡方程組，可以得到變量關(guān)于其中一個切點橫坐標的函數(shù)形式，求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合該函數(shù)的正負性，畫出圖象圖形，最后利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】設(shè)曲線的切點為：，，所以過該切點的切線斜率為，因此過該切點的切線方程為：；設(shè)曲線的切點為：，，所以過該切點的切線斜率為，因此過該切點的切線方程為：，則兩曲線的公切線應(yīng)該滿足：，構(gòu)造函數(shù),當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以函數(shù)有最大值為：，當時，，當，，函數(shù)的圖象大致如下圖所示：要想有若曲線和曲線的公切線有兩條，則的取值范圍為.故選：C【變式演練】1.函數(shù)與有公切線，則實數(shù)的值為（）A．4 B．2 C．1 D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)兩個切點A和B，然后求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由的導(dǎo)函數(shù)分析求解參數(shù)，再由的導(dǎo)函數(shù)和公切線分析得出關(guān)于的方程組，求解即可得出答案.【詳解】設(shè)公切線與兩個函數(shù)與圖象的切點分別為A和B，由，，可得解得，所以有化簡得，令，則恒成立，即得函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，又因，則可解得方程，，則由解得.故選：A.2.曲線與曲線有（）條公切線.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】設(shè)是曲線圖像上任意一點，，所以，所以過點的切線方程為，整理得①.令，解得，則，所以曲線上過點的切線方程為：，整理得②.由于切線①②重合，故，即③.構(gòu)造函數(shù)，則，，故當時遞減、當時遞增，注意到當時，且，所以當時遞減，當時，遞增，而，根據(jù)零點存在性定理可知在區(qū)間各存在的一個零點，也即有兩個零點，也即方程③有兩個根，也即曲線和曲線有兩條公切線.故選：B3.若函數(shù)與函數(shù)有公切線，則實數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點，求出切線，將其與聯(lián)立，通過判別式為零，可得切點坐標的關(guān)系式，整理得到關(guān)于一個坐標變量的方程，借助于函數(shù)的極值和最值，即可得到的最小值.【詳解】解：，設(shè)公切線與曲線相切的切點為，

則公共切線為，即，其與相切，聯(lián)立消去得：，則有解，即有解，令，，則，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，則，所以實數(shù)的最小值為.故選：A.【題型八】切線的應(yīng)用：距離最值【典例分析】點在函數(shù)的圖像上，若滿足到直線的距離為1的點有且僅有1個，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求導(dǎo)，設(shè)直線與相切于點，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和切點在曲線、直線上求得切點，再利用到直線的距離為1，結(jié)合圖象解得參數(shù)即可.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)直線與相切于點，則，解得切點為，由題可知到直線的距離為1，所以，解得，結(jié)合圖象可知，.故選：B.【變式演練】1.點A在直線y＝x上，點B在曲線上，則的最小值為（）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】設(shè)平行于直線y＝x的直線y＝x＋b與曲線相切，將題意轉(zhuǎn)化為兩平行線間的距離，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得的值，進而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)平行于直線y＝x的直線y＝x＋b與曲線相切，則兩平行線間的距離即為的最小值．設(shè)直線y＝x＋b與曲線的切點為，則由切點還在直線y＝x＋b上可得，由切線斜率等于切點的導(dǎo)數(shù)值可得，聯(lián)立解得m＝1，b＝－1，由平行線間的距離公式可得的最小值為，故選：A.2.已知點M在函數(shù)圖象上，點N在函數(shù)圖象上，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的圖象與直線平行的切線的切點到直線的距離的兩倍，利用導(dǎo)數(shù)求出切點坐標，根據(jù)點到直線的距離公式可得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱，所以的最小值為函數(shù)的圖象上的點到直線的距離的2倍，即為函數(shù)的圖象與直線平行的切線的切點到直線的距離的兩倍，因為，所以函數(shù)的圖象上與直線平行的切線的斜率，所以，所以切點為，它到直線的距離，所以的最小值為.故選：B.3.拋物線上的一動點到直線距離的最小值是A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：對y=x2求導(dǎo)可求與直線x-y-1=0平行且與拋物線y=x2相切的切線方程，然后利用兩平行線的距離公司可得所求的最小距離d．解：（法一）對y=x2求導(dǎo)可得y′=2x，令y′=2x=1可得x=∴與直線x-y-1=0平行且與拋物線y=x2相切的切點（，），切線方程為y-=x-即x-y-=0由兩平行線的距離公司可得所求的最小距離d=，故選A.【題型九】切線的應(yīng)用：距離公式轉(zhuǎn)化型【典例分析】若，則的最小值是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】原題等價于函數(shù)上的點與函數(shù)上的點間的距離最小值的平方，結(jié)合兩個函數(shù)關(guān)于對稱，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的距離的最小值2倍的平方，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程最后轉(zhuǎn)化求兩平行線間的距離平方即可.【詳解】由題意可轉(zhuǎn)化為點與點間的距離最小值的平方，點A在函數(shù)上，點B在函數(shù)上，這兩個函數(shù)關(guān)于對稱，所以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的距離的最小值2倍的平方，此時，∴斜率為1的切線方程為，它與的距離為.故原式的最小值為2.故選：B.【變式演練】1.若，則的最小值是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】原題等價于函數(shù)上的點與函數(shù)上的點間的距離最小值的平方，結(jié)合兩個函數(shù)關(guān)于對稱，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的距離的最小值2倍的平方，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程最后轉(zhuǎn)化求兩平行線間的距離平方即可.【詳解】由題意可轉(zhuǎn)化為點與點間的距離最小值的平方，點A在函數(shù)上，點B在函數(shù)上，這兩個函數(shù)關(guān)于對稱，所以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的距離的最小值2倍的平方，此時，∴斜率為1的切線方程為，它與的距離為.故原式的最小值為2.故選：B.2.設(shè)，當取得最小值時，函數(shù)的最小值為___________.【答案】10【分析】表示點與點距離的平方，而點是直線上任一點，點（）是反比例函數(shù)在第四象限上的點，然后由反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的性質(zhì)可求得，從而得，再利用絕對值三角不等式可求出函數(shù)的最小值【詳解】解：表示點與點距離的平方，而點是直線上任一點，點是反比例函數(shù)在第四象限上的點，當是斜率為的直線與相切的切點時，點到直線的距離即為的最小值，由，，所以，當且僅當取等號，所以函數(shù)的最小值為10，故答案為：103.已知，，則的最小值為______．【答案】【分析】利用算術(shù)根的幾何意義，把所求轉(zhuǎn)化為兩個圖形上點的距離最小值即可作答.【詳解】可看成點到點的距離，而點的軌跡是直線，點的軌跡是曲線，則所求最小值可轉(zhuǎn)化為曲線上的點到直線距離的最小值，而曲線在直線上方，平移直線使其與曲線相切，則切點到直線距離即為所求，設(shè)切點，，由得，切點為則到直線距離.故答案為：【題型十】切線的應(yīng)用：恒成立求參等應(yīng)用【典例分析】已知為實數(shù)，則“對任意的實數(shù)恒成立”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線與曲線相切時的值，再數(shù)形結(jié)合將對任意的實數(shù)恒成立轉(zhuǎn)化為，最后判斷充要關(guān)系即可得解.【詳解】設(shè)直線與曲線相切，且切點為，則，解得，所以切點為，，所以切線方程為.數(shù)形結(jié)合可知，對任意的實數(shù)恒成立等價于.而由不能得到，故充分性不成立；反之，由可得到，故必要性成立.故選：B.【變式演練】1.已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，若恒成立，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意求得，代入函數(shù)解析式，把問題轉(zhuǎn)化為恒成立，對分類討論，分離參數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)求最值得答案．【詳解】解：因為，所以，又函數(shù)的圖象在處的切線方程為，所以，解得，所以，因為恒成立，所以恒成立．當時，成立．當時，令，則．當時，，在和上單調(diào)遞減．當時，，單調(diào)遞增，當時，恒成立，所以；當時，恒成立，而，所以．綜上，，所以m的取值范圍為．故選：A2.若曲線在點處的切線與曲線相切于點，則__________.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求解出在點處的切線方程以及在點處的切線方程，根據(jù)兩切線重合，求解出之間的關(guān)系式，由此可化簡計算出的值.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在點處的切線方程為，的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在點處的切線的方程為，由兩條切線重合的條件，可得，且，則，即有，可得，則.故答案為:3.已知函數(shù)，，若存在使得，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用，把問題轉(zhuǎn)化為與在有交點，利用數(shù)形結(jié)合進行分析，即可求解【詳解】，所以，，即與在有交點，分情況討論：①直線過點，即，得；②直線與相切，設(shè)切點為，得，切點為，故實數(shù)a的取值范圍是故選：B【題型十一】切線的應(yīng)用：零點等【典例分析】已知函數(shù)滿足，當時，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)與軸有三個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】試題分析：由題意知，，∵在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)與x軸有三個不同的交點，∴函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)有三個不同的交點，合圖象可知，當直線與相切時，，解得：；此時；當直線過點時，；故.【變式演練】1.已知函數(shù)的圖象與直線恰有四個公共點，，，，其中，則=______.【答案】函數(shù)的圖象如下圖所示：直線過定點，當時，，，由圖象可知切點坐標為，切線方程為：，又因為切線過點，則有，即2.關(guān)于的方程在內(nèi)有且僅有個根，設(shè)最大的根是，則與的大小關(guān)系是A． B． C． D．以上都不對【答案】C【分析】由題，先做出圖像，然后找到最大根，利用斜率公式可得與的大小關(guān)系.【詳解】由題意作出與在的圖象，如圖所示：∵方程在內(nèi)有且僅有5個根，最大的根是.∴必是與在內(nèi)相切時切點的橫坐標設(shè)切點為，，則，斜率則故選C.3.已知函數(shù)滿足，且時，，若時，方程有三個不同的根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，由此可畫出函數(shù)圖像，而直線為過定點的一條直線，當直線與當時的函數(shù)的圖像相切時，直線與在的圖像有兩個公共點，然后利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，再結(jié)合圖像可得答案【詳解】因為，所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱.當時，，則當時，的圖像如圖所示，直線為過定點的一條直線.當直線與當時的函數(shù)的圖像相切時，直線與在的圖像有兩個公共點.當時，函數(shù)，，設(shè)切點為，切線的斜率，則切線方程為，把點代入得，所以；當直線過點時，，所以的取值范圍為，故選：C.【課后練習】1.已知函數(shù)在處的切線方程為，則滿足的的取值范圍為_________.【答案】【分析】因為，可得，即，所以，是上的增函數(shù)，結(jié)合已知，即可求得答案.【詳解】，，，，是上的增函數(shù)，又，，，.即故答案為：2.已知函數(shù)，若曲線在處的切線與直線平行，則______.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)，求導(dǎo)，再根據(jù)曲線在處的切線與直線平行，由求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，又因為曲線在處的切線與直線平行，所以，解得，故答案為：3.已知過點作曲線的切線有且僅有1條，則實數(shù)的取值是（）A．0 B．4 C．0或-4 D．0或4【答案】C【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化求解切線方程，通過方程有兩個相等的解，推出結(jié)果即可．【詳解】設(shè)切點為，且函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，所以，則切線方程為，切線過點，代入得，所以，即方程有兩個相等的解，則有，解得或，故選C．4.已知直線是函數(shù)圖像的一條切線，且關(guān)于的方程恰有一個實數(shù)解，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)切點坐標則切線方程為又直線是函數(shù)圖像的一條切線，切線過代入解得，則切點坐標為代入解得故，令，為的極大值又恰有一個實數(shù)解，則故選5.．函數(shù)在點處的切線與函數(shù)的圖象也相切，則滿足條件的切點的個數(shù)有（）A.個B.個C.個D.個【答案】C【解析】試題分析:設(shè)切點分別為或,因,故,由此可得,切線方程分別為和.由題設(shè)可得,即,也即,由題意這個方程解的個數(shù)就是點的個數(shù).在平面直角坐標系中畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象可以看出兩函數(shù)的圖象有兩個不同的正根,故切點的個數(shù)有兩個,應(yīng)選C.考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運用.6.已知過點作曲線：的切線有且僅有兩條，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】設(shè)切點為，求導(dǎo)得斜率，然后利用點斜式得切線方程，將點代入整理得，使得方程關(guān)于有兩解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，求出，即可求得實數(shù)的取值范圍.解：由題可知，曲線：，定義域為，則，設(shè)切點為，則切線斜率為：，切線方程為：，將代入切線方程得：，又因為，所以，整理得：，由于過點作曲線：的切線有且僅有兩條，即有兩個解，可設(shè)，則，令，即，解得：，令，即，得：，所以時，單調(diào)遞減，令，即，得：，所以時，單調(diào)遞增，所以，所以當時，有兩個解，即過點作曲線：的切線有且僅有兩條，則實數(shù)的取值范圍是：.故答案為：.7.．已知函數(shù)，則和的公切線的條數(shù)為A．三條 B．二條 C．一條 D．0條【答案】A【解析】【分析】分別設(shè)出兩條曲線的切點坐標，根據(jù)斜率相等得到方程，構(gòu)造函數(shù)，研究方程的根的個數(shù)，即可得到切線的條數(shù).【詳解】設(shè)公切線與和分別相切于點，，解得，代入化簡得